5
CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO
Premettiamo una Definizione: si chiama atto di moto di un sistema materiale in
un dato istante t, l’insieme delle velocità di tutti i punti del sistema all’istante t.
E’ errato parlare di “velocità” di un sistema, perchè in generale i punti non hanno
la stessa velocità. Bisogna parlare di velocità.
Il moto di un sistema di punti materiali si dice rigido se le distanze fra essi sono
costanti nel tempo, ovvero
|P1 − P2 | = cost
∀P1 , P2 ∈ S
(1)
Tutte le volte che le dimensioni del corpo sono trascurabili rispetto al campo in cui
avviene il moto, si può parlare di punto materiale.
Corpo Rigido: corpo soggetto solo a moti rigidi. Schematizza, entro certi limiti,
il comportamento di molti solidi naturali.
Punto Solidale: i punti fissati attorno al corpo seguono il corpo rigido nel suo
movimento.
Osservazione: anche un corpo deformabile può muoversi rigidamente.
Problema: come individuare la posizione di un C.R. nello spazio?
Studiamo prima il caso piano
(2)
³ ´
I versori i, j sono solidali con il corpo rigido e sono definiti a piacere. Ruotando
X di θ verso x, si ottiene la sovrapposizione degli
³ assi
´ che individua l’orientazione
della terna solidale. La posizione della coppia i, j rispetto alla coppia di versori
³
´
I, J si individua nel seguente modo:
½
i = α11 I + α12 J
,
j = α21 I + α22 J
(3)
con le condizioni di ortogonalità
½
i×i=j×j =1
i×j =0
=⇒
⎧
⎨
α211 + α212 = 1
α221 + α222 = 1
,
⎩
α11 α21 + α12 α22 = 0
(4)
6
dove i coefficienti αij (t) sono 4 funzioni del tempo legate dalle 3 condizioni precedenti. Esiste un parametro indipendente. Dal disegno possiamo ricavare che
⎧
⎪
i = α11 I + α121 J = cos
⎪
|{z}θI + sin
|{z}θJ
⎨
α11
α12
⎪
j = α21 I + α22 J = −
⎪
|{z}θJ
{z θ}I + cos
| sin
⎩
α21
.
(5)
α22
Descriviamo ora le coordinate del punto P tramite la coppia (x, y) e la coppia
(X, Y ). P (x, y) descrive la posizione del punto P in un sistema di coordinate
solidale con il C.R., per cui P (x, y) è rappresentato da delle costanti. Scriviamo
la posizione di P rispetto all’origine O
P − O = (P − A) + (A − O) = xi + y j + XA I + YA J.
(6)
Introducendo la dipendenza dal tempo t, possiamo scrivere
(P − O) (t) = xi (t) + y j (t) + XA (t) I + YA (t) J.
(7)
La coppia (x, y) è costante, mentre i (t) e j (t) sono noti se è noto θ (t). La posizione
del C.R. nel piano è nota se sono noti (XA , YA , θ). Nello spazio esistono gli angoli
di Eulero (θ, φ, ψ). Si ricavano con un procedimento analogo a quello del piano,
ma con un grado di complessità superiore.
Moti Rigidi Particolari
Moto Traslatorio
Def. Si dice che un C.R. si muove di moto traslatorio se ∀P1 , P2 ∈ C.R. =⇒ P2 −P1
è un vettore costante nel tempo in modulo, direzione e verso.
1. Il moto è traslatorio se i versori della terna sono costanti. Infatti
P2 −P1 = [(P2 − A) + (A − O)]−[(P1 − A) + (A − O)] = (P2 − A)−(P1 − A)
³
´
x2 i + y2 j + z2 k − x1 i + y1 j + z1 k = cost.
(8)
2. Il moto è traslatorio se i punti del sistema hanno la stessa velocità (variabile
istante per istante, in generale), denominata velocità del moto traslatorio v.
Dim. Il moto è traslatorio =⇒ ∀P1 , P2 ∈ C.R P2 − P1 = cost. Ma anche
(P2 − O) − (P1 − O) = cost. Derivando rispetto al tempo t si ottiene
vP2 − vP1 = 0
=⇒
vP2 = vP1 .
(9)
Viceversa, se v è costante, allora tutti i punti si muovono di moto rettilineo
uniforme.
7
Moto Rotatorio
Def. Un moto rigido si dice rotatorio se rimangono fissi nel moto i punti di una
retta (asse di rotazione)
In realtà, basta che siano fissi due punti appartenenti alla retta.
Detti P punto fuori dall’asse e Q piede della perpendicolare, tutti i punti descrivono in un intervallo ∆t archi di circonferenza con angoli al centro ∆θ. Si
definisce la velocità angolare del moto rotatorio il vettore ω = θ̇k.
La velocità di P si calcola con
vP = ω ∧ (P − Q) = ω ∧ [(P − O) + (O − Q)] = ω ∧ (P − O) + ω ∧ (O − Q) (10)
con O punto qualunque dell’asse z. Ma ω k (O − Q)
=⇒
ω ∧ (P − Q) =
ω ∧ (P − O).
Vogliamo ora calcolare la velocità di un punto P solidale con il C.R. che si muove
rispetto ad un sistema di riferimento con origine O.
vP =
d
d
d
(P − O) = [(P − O) + (A − O)] = vA + (P − A) .
dt
dt
dt
(11)
P − A =xi + y j + z k con (x, y, x) costanti. Quindi
vP = vA +
´
d
d
d ³
d
xi + y j + z k = vA + x i + y j + z k.
dt
dt
dt
dt
(12)
Ricordiamo che i = α11 (t) I+α12 (t) J+α13 (t) K, j = α21 (t) I+. . .. αij (t)sono funzioni degli angoli di Eulero. Vogliamo calcolare dtd i, dtd j, dtd k. Ricaviamo le seguenti
identità dalle regole del prodotto scalare per i versori i, j e k
⎧
d
=⇒
i×i=0
⎨ i×i=1
dt
d
(13)
j×j =0
j×j =1
=⇒
dt
⎩
d
k×k =0
k×k =1
=⇒
dt
e
⎧
⎨ i×j =0
j×k =0
⎩
k×i=0
=⇒
=⇒
=⇒
d
i×j
dt
d
j×k
dt
d
k×i
dt
= −i × dtd j
= −j × dtd k
= −k × dtd i
(14)
8
Teorema di Poisson
Sia C un corpo rigido in moto, i, j e k siano i versori di una terna ortonormale
destra solidale con il corpo. Esiste ed è unico un vettore ω, indipendente dalla terna
scelta tale che le derivate dei versori i, j e k rispetto al tempo t siano espresse da:
⎧ d
⎨ dt i = ω ∧ i
d
(15)
j =ω∧j ,
⎩ dt
d
k =ω∧k
dt
tale vettore viene detto velocità angolare.
Dim. La dimostrazione si basa su tre punti: 1) esistenza, 2) unicità e 3)indipendenza dalla terna prescelta.
1. Dimostriamo che esiste un vettore ω tale che
µ
¶
µ
¶
µ
¶
d
d
d
ω=
j ×k i+
k×i j+
i × j k.
dt
dt
dt
(16)
Verifichiamo tale formula calcolando ω ∧ i, ω ∧ j e ω ∧ k.
¶
µ
¶
µ
¶ ¸
∙µ
d
d
d
k×i j+
j ×k i+
i×j k ∧i
ω∧i=
dt
dt
dt
µ
¶h
¶h
¶h i µ
¶h i
i µd
i µd
d
d
k×i j∧i +
k × i −k +
i×j k∧i =
i×j j .
dt
dt
dt
dt
(17)
Utilizzando le tabelle 13 e 14, scambiamo i fattori tra loro, per cui
¶
µ
¶h i µ
¶
µ
¶
µ
d
d
d
d h i
i×j j =
i×k k+
i×j j
−k × i −k +
dt
dt
dt
dt
µ
¶
µ
¶
µ
¶
d
d
d
d
=
i×i i+
i×j j+
i × k k = i.
(18)
dt
dt
dt
dt
Si noti che nell’ultimo passaggio abbiamo inserito un coefficiente nullo
d
i × i = 0.
dt
Questa aggiunta ci ha permesso di poter ricostruire il vettore
mente l’esistenza si dimostra per gli altri due versori.
(19)
d
i.
dt
Analoga-
2. ³
Unicità. Dimostrazione
per assurdo. Supponiamo che per la terna assegnata
´
A; i, j, k esista un secondo vettore ω 0 6= ω tale che valgano le equazioni di
Poisson. Questo vuol dire che
¡ 0
¢
¡ 0
¢
⎧ d
0
=⇒
ω
−
ω
∧
i
=
0
=⇒
ω
−
ω
⎨ dt i = ω ∧ i = ω ∧ i
¡ 0
¢
¡ 0
¢k i
0
d
=⇒
ω −ω ∧j =0
=⇒
ω −ω kj .
j =ω ∧j =ω∧j
¡ 0
¢
¡ 0
¢
⎩ ddt
0
∧
k
=
ω
∧
k
=⇒
ω
−
ω
∧
k
=
0
=⇒
ω
−
ω
kk
k
=
ω
dt
(20)
Poichè il vettore ω0 − ω risulta essere parallelo a tutti e tre i versori =⇒ ω 0 −
ω = 0, infatti il vettore nullo è l’unico che può essere contemporaneamente
parallelo a tutti e tre i versori.
9
3. Indipendenza dalla terna solidale prescelta. Premettiamo un Lemma
Lemma Sia P un punto solidale al C.R., allora
vP = vA + ω ∧ (P − A) .
(21)
Dim.del Lemma Consideriamo P − A =xi + y j + z k con (x, y, x) costanti
P − A = (P − O) + (O − A) = xi + y j + z k
(22)
e derivo rispetto al tempo t
³
´
³
´
³
´
d
d
d
i+y j+z k =x ω∧i +y ω∧j +z ω∧k
dt
dt
dt
³
´ ³
´ ³
´
³
´
= ω ∧ xi + ω ∧ y j + ω ∧ z k = ω∧ xi + y j + z k = ω∧(P − A) .
C.V.D.
(23)
L’equazione 21 può essere messa nella forma
vP − vA = x
d
(P − A) = ω ∧ (P − A) .
dt
(24)
Scegliamo una seconda terna con origine in A di versori i0 , j 0 e k 0 e chiamiamo
ω 0 il vettore che verifica le formule di Poisson
⎧ d 0
0
⎨ dt i = ω ∧ i0
d 0
(25)
j = ω0 ∧ j 0 .
⎩ dt
0
d 0
0
k =ω ∧k
dt
Considero P solidale al C.R. tale che P − A =i0 ; grazie al Lemma
³ ´
d
d ³ 0´
(P − A) = ω ∧ (P − A)
=⇒
i = ω ∧ i0 ,
dt
dt
(26)
ma poichè valgono le Eq.(25)
d 0
i = ω 0 ∧ i0 .
dt
(27)
´ ¡
³
¢
0
ω ∧ i − ω ∧ i = ω − ω0 ∧ i0 = 0.
(28)
d 0
j = ω0 ∧ j 0.
dt
(30)
Quindi
0
0
ω ∧i =ω∧i
0
=⇒
0
0
Adesso sia P il punto sull’asse y 0 che dista 1 da A tale che P − A =j 0 . Dal
Lemma abbiamo che
³ ´
d ³ 0´
d
(P − A) = ω ∧ (P − A)
=⇒
j = ω ∧ j0 ,
(29)
dt
dt
ma poichè valgono le Eq.(25)
10
Quindi
0
0
ω ∧j =ω∧j
0
´ ¡
³
¢
0
ω ∧ j − ω ∧ j = ω − ω0 ∧ j 0 = 0. (31)
0
=⇒
Ancora una volta possiamo dire
¢ 0
½ ¡ 0
−
ω
ω
¢ ∧ i0 = 0
¡ 0
ω −ω ∧j =0
=⇒
0
¡ 0
¢ 0
ω
−
ω
¡ 0
¢ k i0
ω −ω kj
=⇒
=⇒
ω0 − ω = 0 e ω0 = ω.
(32)
Osservazione Cambiando punto da A a B, ω non cambia. Il vettore velocità
angolare non dipende dall’origine della terna solidale
ω0 = ω
.
ωA = ωB
(33)
Prendendo infatti in B assi paralleli ai corrispondenti assi in A, l’espressione di ω
legata ai versori degli assi che sono gli stessi per le due terne è la stessa. Studiamo
le conseguenze del teorema di Poisson nel caso piano. Riconsideriamo la fig.2. In
questo esempio
k = K (versori ⊥ al piano)
Richiamiamo l’Eq.(5)
½
e
d
k = 0.
dt
i = cos θI + sin θJ
.
j = − sin θI + cos θJ
Calcoliamo le derivate rispetto al tempo t
½ d
i = − sin θθ̇I + cos θθ̇J
dt
d
j = − cos θθ̇I − sin θθ̇J
dt
e
(34)
(35)
(36)
µ
¶
³
´
d
ω=
i × j k = sin2 θθ̇ + cos2 θθ̇ k = θ̇k.
(37)
dt
Conseguenza (del Lemma) del Teorema di Poisson è che esiste uno e un solo vettore
ω tale che
vP = vA + ω ∧ (P − A) .
(38)
Se cambiamo punto solidale sostitutendo A con B, otteniamo
vP = vB + ω ∧ (P − B) .
(39)
Questa legge lega la velocità di due punti qualsiasi solidali al C.R. Se consideriamo
il caso particolare ω = 0
vP = vA
∀P, A ∈ C.R.
(40)
Si dice che l’atto di moto è traslatorio. Invece, se esiste un punto A solidale con il
C.R. con velocità nulla
vP = ω ∧ (P − A) ,
(41)
si dice che l’atto di moto è rotatorio.
11
Invarianti Cinematici
Se un corpo ha in ogni istante un atto di moto rototraslatorio, il suo moto è rigido.
Dim. Siano P e Q ∈ C.R. qualsiasi. Calcoliamo
∙
¸
d
d
d
d |P − Q|2
= [(P − Q) × (P − Q)] = [(P − Q)]×(P − Q)+(P − Q)×
(P − Q)
dt
dt
dt
dt
d
[(P − Q)] × (P − Q) .
(42)
dt
Ma P − Q = (P − O) − (Q − O) con O punto fisso e la precedente formula diventa
=2
= 2 (vP − vQ ) × (P − Q) = 2 [ω ∧ (P − Q)] × (P − Q) = 0
(43)
e quindi |P − Q| = costante.
1. Sia ω 6= 0 e consideriamo
vP = vQ + ω ∧ (P − Q) ,
(44)
moltiplichiamo scalarmente per ω
vP × ω = [vQ + ω ∧ (P − Q)] × ω = vQ × ω + [ω ∧ (P − Q)] × ω
|
{z
}
=0
=⇒
La quantità
vP × ω = vQ × ω
∀P, Q ∈ C.R.
I = vP × ω
(45)
(46)
si chiama invariante scalare cinematico
secondo il vettore ω
hanno uguale componente
2. Punti che stanno su una stessa retta parallela ad ω hanno uguale velocità.
Infatti sia r k ω e sia u il versore di ω, allora
vP = vQ + ω ∧ (P − Q) = αu
α∈R
12
=⇒ ω ∧ (αu) = 0
perchè paralleli
=⇒ vP = vQ .
(47)
3. Sono uguali le componenti delle velocità di due punti qualsiasi del C.R. secondo la retta che li congiunge. Se la velocità fosse diversa i 2 punti varierebbero la loro distanza. Quindi il moto non sarebbe più rigido.
Infatti da
vP = vQ + ω ∧ (P − Q) ,
moltiplichiamo scalarmente per u
vP × u = vQ × u + [ω ∧ (P − Q)] × u = vQ × u,
(48)
dove abbiamo usato il parallelismo tra (P − Q) e u. Se in un certo istante
esiste un punto Q solidale al C.R. con velocità nulla, allora si può ridurre
l’atto di moto rototraslatorio a atto di moto rotatorio attorno a Q.
∀P ∈ C.R.
vP = v/Q + ω ∧ (P − Q) .
(49)
Se esiste Q tale che vQ = 0 allora esiste una retta di punti solidali al C.R.
con velocità nulla.
Problema
Come facciamo a riconoscere l’atto di moto rotatorio? Cerchiamo Q tale che
vQ = 0. Preso A solidale prefissato,
0 = vQ = vA + ω ∧ (Q − A)
=⇒
−ω ∧ (Q − A) = vA .
(50)
L’equazione vettoriale è stata già studiata e le sue soluzioni sono:
a) Se vA = 0
=⇒ Q = A.
b) Se vA 6= 0, C.N.S. per l’esistenza è che ω × vA = 0. Questo vuol dire che
l’invariante cinematico deve annullarsi. La soluzione generale dell’equazione
vettoriale è:
ω ∧ vA
+ λω.
(51)
Q−A=
ω2
13
La soluzione è formata da tutti i punti che stanno su una retta parallela ad
ω
Se l’invariante cinematico I 6= 0, non esiste alcun punto solidale al C.R.
con velocità nulla. Tuttavia esiste la retta Q − A definita nella precedente
equazione, la quale ha la particolarità di avere i punti che hanno velocità
parallela ad ω.
Dim. Dall’equazione vQ = vA + ω ∧ (Q − A); vQ k ω ⇐⇒ vQ ∧ ω = 0
vQ ∧ ω = vA ∧ ω + [ω ∧ (Q − A)] ∧ ω = vA ∧ ω + ω 2 (Q − A) − [(Q − A) × ω] ω
µ
¶ ∙µ
¶
¸
ω ∧ vA
ω ∧ vA
2
+ λω −
+ λω × ω ω
= vA ∧ ω + ω
ω2
ω2
£
¤
(52)
= vA ∧ ω + ω ∧ vA + λω 2 ω − λω 2 ω = vA ∧ ω + ω ∧ vA = 0.
I punti Q ∈ r hanno velocità parallela a ω. Sono i punti del C.R. che hanno la
minore velocità.
I 6= 0
vP × ω = vQ
vQ 6= 0 vP = vQ + ω ∧ (P − Q)
ω ∧ (P − Q) ⊥ vQ
|vP |2 = |vQ |2 + |ω ∧ (P − Q)|2
(53)
Osservazione Se ω 6= 0 e I = 0, tutti i punti hanno velocità perpendicolare a ω.
In questo caso, l’asse del Mozzi, che in generale è costituito da punti con velocità
parallela ad ω, sarà costituito da punti a velocità nulla, ovvero: se I = 0 e ω 6= 0
=⇒
l’atto di moto è rotatorio (Asse del Mozzi ≡ Asse di Istantanea Rotazione).
14
Viceversa, se l’atto di moto è rotatorio =⇒ I = 0. Infatti, esisterà un punto C tale
che vC = 0
=⇒ I = vP × ω = vC × ω = 0.
(54)
Inoltre, l’asse d’istantanea rotazione (passante per C e parallelo a ω) coincide con
l’asse del Mozzi. Quindi per vedere se l’atto di moto con ω 6= 0 è riducibile ad un
atto di moto rotatorio, basta vedere se I = 0. Cosa succede nel piano. Sia ω 6= 0,
ω nel caso piano è normale al piano del moto (ω ⊥ π) . Consideriamo l’invariante
cinematico I = vP × ω . Poichè il moto è piano, vP è un vettore parallelo al piano
(piano direttore) =⇒ I = vP × ω = 0 (vP ⊥ ω). Dalla precedente dimostrazione,
possiamo dire che esiste un punto C ∈ π con vC = 0. C è detto centro d’istantanea
rotazione. Se ω 6= 0 un moto rigido piano è in ogni istante rotatorio
½
vP = ω ∧ (P − C)
e vP ⊥ P − C
(55)
|vP | = |ω| |P − C|
Teorema di Chasles
Dato un moto rigido piano, sia ω 6= 0. Note le direzioni della velocità di due punti
solidali al C.R., P e Q, in un istante il centro d’istantanea rotazione si trova sulle
rette perpendicolari a tali direzioni nei punti
O è il centro d’istantanea rotazione
Esempio: Asta rigida
Consideriamo l’asta di lunghezza l nel piano (x, y). Calcoliamo la velocità vA e
prendiamo k come versore uscente. Allora ω = −θ̇k (il vettore ω è entrante nel
piano) e
vA = ω ∧ (A − C) = −θ̇k ∧ (−l sin θ) J = −θ̇l sin θI
(56)
15
oppure
xA = l cos θ
A − O =l cos θI
¾
=⇒
vA = −lθ̇ sin θI.
(57)
Accelerazioni dei punti di un C.R.
Siano P ed A due punti solidali con il C.R. Scriviamo la formula della velocità per
i due punti
(58)
vP = vA + ω ∧ (P − A)
e deriviamo rispetto al tempo t
→
−
aP = aA + ω̇ ∧ (P − A) + ω ∧ (vP − vA )
→
−
= aA + ω̇ ∧ (P − A) + ω ∧ [ω ∧ (P − A)] .
(59)
Cinematica Relativa (Teorema di Galilei o legge di composizione delle
velocità)
Velocità
Sia O un osservatore fisso, O0 un osservatore mobile e P in moto relativo rispetto
ad entrambi gli osservatori. Costruiamo il vettore posizione
P − O = (P − O0 ) + (O0 − O) = x (t) i + y (t) j + z (t) k + (O0 − O) .
(60)
Derivo rispetto al tempo t ambo i membri
d
d
d
vP = ẋi + ẏ j + ż k + x i + y j + z k + vO0 .
|{z}
dt
dt
dt
assoluta
La quantità
vP,rel = ẋi + ẏ j + ż k
(61)
rappresenta la velocità relativa del punto rispetto all’osservatore mobile. Segue che
³
´
³
´
³
´
vP = vP,rel + x ω ∧ i + y ω ∧ j + z ω ∧ k + vO0
|{z}
assoluta
³
´ ³
´ ³
´
³
´
= vP,rel + ω ∧ xi + ω ∧ y j + ω ∧ z k + vO0 = vP,rel + ω ∧ xi + y j + z k + vO0
= vP,rel + [ω ∧ (P − O0 ) + vO0 ] .
(62)
ω rappresenta la velocità angolare della terna mobile rispetto a quella fissa. Il
termine tra parentesi quadre rappresenta la velocità di trascinamento di P , cioè la
velocità di P come se fosse solidale con la terna mobile. In sisntesi scriviamo
vP = vP,rel + vP,trasc = vP,rel + vS .
|{z}
assoluta
(63)
16
Accelerazione di Coriolis
Dall’Eq.(63), deriviamo rispetto al tempo t per ricavare le accelerazioni
d
d
aP = vP,rel + vS ,
|{z}
dt
dt
(64)
assoluta
ma vP,rel = ẋi + ẏ j + ż k, quindi
d
d
d
d
vP,rel = ẍi + ÿ j + z̈ k + ẋ i + ẏ j + ż k.
dt
dt
dt
dt
(65)
Il termine aP,rel = ẍi + ÿ j + z̈ k rappresenta l’accelerazione relativa e l’Eq.(65) si
può scrivere
d
d
d
d
vP,rel = aP,rel + ẋ i + ẏ j + ż k
dt ³
dt ´ ³
³
´ ³dt
´ ³
´ dt
´ ³
´
= aP,rel +ẋ ω ∧ i +ẏ ω ∧ j +ż ω ∧ k = aP,rel + ω ∧ ẋi + ω ∧ ẏ j + ω ∧ ż k
³
´
= aP,rel + ω ∧ ẋi + ẏ j + ż k = aP,rel + ω ∧ vP,rel .
(66)
Calcoliamo la derivata rispetto al tempo t della velocità di trascinamento
d
d
vS = [ω ∧ (P − O0 ) + vO0 ]
dt
dt
d
→
−
aO0 + ω̇ ∧ (P − O0 ) + ω ∧ [P − O0 ]
dt
h
i
d
→
−
0
= aO0 + ω̇ ∧ (P − O ) + ω ∧
x (t) i + y (t) j + z (t) k
dt
h
³
´
³
´
³
´i
→
−
= aO0 + ω̇ ∧ (P − O0 ) + ω ∧ ẋi + ẏ j + ż k + x ω ∧ i + y ω ∧ j + z ω ∧ k
h³
´ ³
´ ³
´i
→
−
= aO0 + ω̇ ∧ (P − O0 ) + ω ∧ vP,rel + ω ∧ ω ∧ xi + ω ∧ y j + ω ∧ z k
h³
´ ³
´ ³
´i
→
−
0
= aO0 + ω̇ ∧ (P − O ) + ω ∧ vP,rel + ω ∧ ω ∧ xi + ω ∧ y j + ω ∧ z k
h
³
´i
→
−
0
0
= aO + ω̇ ∧ (P − O ) + ω ∧ vP,rel + ω ∧ ω ∧ xi + y j + z k
→
−
= aO0 + ω̇ ∧ (P − O0 ) + ω ∧ vP,rel + ω ∧ [ω ∧ (P − O0 )] .
(67)
Il termine
→
−
aS = aO0 + ω̇ ∧ (P − O0 ) + ω ∧ [ω ∧ (P − O0 )] ,
(68)
d
vS = aS + ω ∧ vP,rel
dt
(69)
viene chiamato accelerazione di trascinamento e corrisponde all’acelerazione del
punto P come se questo fosse rigidamente collegato alla terna mobile. Quindi
e, in totale
aP = aP,rel + ω ∧ vP,rel + aS + ω ∧ vP,rel = aP,rel + aS + 2ω ∧ vP,rel .
|{z}
(70)
assoluta
Il termine
aC = 2ω ∧ vP,rel
si chiama accelerazione di Coriolis
(71)
17
Legge di composizione delle velocità angolari
Denotiamo con
ω ass , la velocità angolare vista dall’osservatore fisso
ω rel , la velocità angolare vista dall’osservatore mobile
.
Ω , la velocità angolare della terna mobile rispetto a quella fissa
(72)
Segue che presi due punti P e Q ∈ C.R., l’osservatore fisso vede
vP,ass. = vQ,ass. + ωass ∧ (P − Q) ,
(73)
l’osservatore mobile vede
vP,rel. = vQ,rel. + ω rel ∧ (P − Q) .
(74)
Sottraendo membro a membro le due uguaglianze si ottiene:
vP,ass. − vP,rel. = vQ,ass. − vQ,rel. + ωass ∧ (P − Q) + ωrel ∧ (P − Q)
vP,ass. − vP,rel. = vQ,ass. − vQ,rel. + ωass ∧ (P − Q) + ωrel ∧ (P − Q) .
(75)
Dall’Eq.(63) si ricava
vP,rel. + vP,S − vP,rel. = vQ,rel. + vQ,S − vQ,rel. + (ω ass − ω rel ) ∧ (P − Q)
=⇒
vP,S = vQ,S + (ω ass − ω rel ) ∧ (P − Q) .
(76)
La velocità di trascinamento può essere trasformata tenendo conto del vettore Ω.
Questo ci conduce a
½
vP,S = vA,ass. + Ω ∧ (P − A)
,
(77)
vQ,S = vA,ass. + Ω ∧ (Q − A)
dove A è l’origine della terna mobile. Sostituendo nell’Eq.(76), si ottiene
vA,ass. + Ω ∧ (P − A) = vA,ass. + Ω ∧ (Q − A) + (ω ass − ω rel ) ∧ (P − Q) .
(78)
Raccogliendo Ω a primo membro, possiamo scrivere
Ω ∧ (P − Q) = (ω ass − ω rel ) ∧ (P − Q) .
Portando tutto a primo membro si ottiene
´
³
=⇒
Ω − ω ass + ωrel ∧ (P − Q) = 0
=⇒
Ω − ωass + ω rel = 0
∀P, Q solidali col C.R.
Ω − ω ass + ωrel k P − Q
=⇒
ω ass = Ω + ω rel .
(79)
∀P, Q
(80)
ωass è la somma della velocità angolare vista dall’osservatore mobile e dalla velocità
angolare di trascinamento della terna mobile. La relazione nell’Eq.(80) traduce la
legge di composizione delle velocità angolari.
