Soluzioni - Matematica e Applicazioni

IV Appello di Probabilità e Statistica
Laurea in Matematica
21 settembre 2009
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ESERCIZIO 1. La mia radiosveglia per funzionare necessita di due pile stilo (entrambe cariche).
Ho a disposizione quattro pile, che indico con a, b, c, d, la cui carica residua è pari rispettivamente
a 3, 7, 9 e 15 mesi. Scelgo due pile a caso e le inserisco nella radiosveglia.
(a) Qual è la probabilità che la radiosveglia funzioni per più di 6 mesi? E per più di un anno?
(b) Supponiamo che la radiosveglia funzioni per più di 6 mesi. Sulla base di questa informazione,
qual è la probabilità che tra le pile inserite ci sia la pila b?
(c) Supponiamo che la radiosveglia smetta di funzionare dopo 9 mesi. A questo punto estraggo
dalla radiosveglia una a caso delle due pile già inserite e la sostituisco con una a caso delle
due che non avevo scelto all’inizio. (Le pile non utilizzate conservano la loro carica iniziale.)
Qual è la probabilità che la radiosveglia funzioni almeno per i 4 mesi successivi?
SOLUZIONE.
(a) È impossibile che la radiosveglia funzioni per più di un anno, dal momento che non ci sono
due pile la cui carica residua sia per entrambe almeno di un anno.
Le coppie di pile per cui la durata residua di entrambe è più di sei mesi sono quelle che
non contengono la pila a e sono dunque 32 = 3 (cioè {b, c}, {c, d} e {b, d}). Dato che le
possibili coppie di pile sono 42 = 6, la probabilità cercata è pari a 3/6 = 1/2.
(b) Definiamo gli eventi E := “la radiosveglia funziona per più di 6 mesi” e B := “la pila b è tra
quelle inserite”. Per il punto precedente, P (E) = 1/2. L’evento E∩ B coincide con la scelta
di una delle due coppie {b, c} e {b, d}, per cui P (E ∩ B) = 2/ 42 = 1/3. Di conseguenza
P (B|E) =
P (E ∩ B)
1/3
2
=
= .
P (E)
1/2
3
(c) Se la radiosveglia smette di funzionare dopo 7 mesi, significa che le pile inserite inizialmente
sono c e d. Passati i 7 mesi, le durate residue di queste due pile sono pari rispettivamente a
0 e a 8 mesi, mentre le durate residue delle pile a e b sono per ipotesi ancora pari a 3 e 7
mesi rispettivamente. Di conseguenza, affinché la radiosveglia funzioni almeno per i 4 mesi
successivi, è necessario e sufficiente:
• che io estragga dalla radiosveglia la pila c (altrimenti nella radiosveglia rimane la pila
c, che è scarica, e la radiosveglia non funziona),
• e che la sostituisca con la pila b (altrimenti la radiosveglia smetterebbe di funzionare
dopo 3 mesi, pari alla durata residua della pila a).
Dato che questi due eventi sono indipendenti e hanno ciascuno probabilità 1/2, la probabilità
che la radiosveglia funzioni almeno per i 4 mesi successivi è pari a 1/2 · 1/2 = 1/4.
ESERCIZIO 2. Disegniamo nel piano cartesiano un cerchio centrato nell’origine, il cui raggio
R è una variabile casuale scalare discreta. Indicando con A l’area del cerchio, supponiamo che
A ∼ P o(m), dove m ∈ (0, ∞) è un parametro fissato.
(a) Si determini la distribuzione di R (cioè l’insieme dei valori assunti da R e la sua densità
discreta).
(b) Si calcolino E(R2 ) e E(R4 ).
p
(c) Si calcoli approssimativamente la probabilità che l’area del cerchio sia maggiore di m− m/2
quando m ∈ N è grande, dopo aver spiegato perché è lecito usare l’approssimazione normale.
SOLUZIONE.
n
(a) Per ipotesi A(Ω) = Z+ = {0, 1, 2, . . .} e pA (n) = e−m mn! per n ∈ A(Ω). Dato che A = πR2 ,
p
p
p
si ha R = A/π e di conseguenza R(Ω) = A(Ω)/π = { n/π}n=0,1,2,... . Inoltre
2
2
−m
pR (x) = P (R = x) = P (A = πx ) = e
mπx
,
(πx2 )!
∀x ∈ R(Ω) .
(b) Ricordando che media e varianza di una P o(m) sono uguali a m, si ha
E(A)
m
A
2
=
=
E(R ) = E
π
π
π
2
2
A
E(A )
V ar(A) + E(A)2
m + m2
E(R4 ) = E
=
=
=
.
π2
π2
π2
π2
(c) Sia {Xn }n=1,2,... una successione iid di variabili P o(1). È noto che, per m ∈ N, si ha
X1 + . . . + Xm ∼ P o(m) ∼ A dunque possiamo applicare il metodo dell’approssimazione
normale alla variabile A. Posto X m := A/m e indicata con Z una variabile N (0, 1), si ha
r m
Xm − 1
1
1
√
= P Xm > 1 − √
=P
> −√
P A>m−
2
1/ m
2m
2
1
1
1
' P Z > −√
=P Z≤ √
=Φ √
' 0.76.
2
2
2
ESERCIZIO 3. Dati due numeri naturali m, n con m ≤ n, si denoti con Sm,n l’insieme delle
funzioni iniettive da {1, 2, . . . , m} a {1, 2, . . . , n}, sia P la probabilità uniforme su Sm,n .
(a) Si determini il numero di elementi di Sm,n .
(b) Per i ∈ {1, 2, . . . , m}, sia Ai := {σ ∈ Sm,n : σ(i) = 1}. Calcolare P (Ai ).
S
(c) Posto Bm,n := m
i=1 Ai , calcolare P (Bm,n ).
(d) Considerando la funzione X : Sm,n → R definita da
X(σ) := min(σ(1), σ(2), . . . , σ(m)) ,
per σ ∈ Sm,n ,
si determini l’insieme dei valori che X può assumere e la sua densità discreta.
SOLUZIONE.
(a)
n!
(n − m)!
(b) Si noti che Ai è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle funzioni iniettive da
{1, 2, . . . , m} \ {i} a {2, 3, . . . , n}, che ha la stessa cardinalità di Sm−1,n−1 . Dunque
P (Ai ) =
|Sm−1,n−1 |
1
= .
|Sm,n |
n
(c) Gli Ai sono eventi disgiunti. Perciò
P
m
[
i=1
!
Ai
=
m
.
n
(d) X può assumere i valori {1, 2, . . . , n − m + 1}. L’evento {X = k} è formato dalle mappe
iniettive da {1, 2, . . . , m} a {k, k + 1, . . . , n} che assumono il valore k, che ha la stessa
cardinalità di Bm,n−k+1 . Pertanto
|{X = k}| =
m
m
(n − k + 1)!
m(n − k)!
|Sm,n−k+1 | =
=
,
n−k+1
n − k + 1 (n − k + 1 − m)!
(n − k + 1 − m)!
da cui
P (X = k) =
|{X = k}|
m(n − m)!(n − k)!
=
.
|Sm,n |
n!(n − k + 1 − m)!
ESERCIZIO 4. Sia X una variabile casuale assolutamente continua a valori in (0, 1), cioè
la cui densità fX (x) è nulla per x 6∈ (0, 1). Possiamo interpretare X come un punto aleatorio
dell’intervallo (0, 1), che divide tale intervallo in due segmenti. Indichiamo con Z la lunghezza del
segmento più lungo. Sia inoltre FX (·) la funzione di ripartizione di X e introduciamo l’evento
A := {X > 1/2}.
(a) Si esprima la variabile Z in funzione delle tre variabili X, 1A , 1Ac .
(b) Si mostri che la funzione di ripartizione di Z è data da


se t ≤ 21
0
FZ (t) = FX (t) − FX (1 − t) se t ∈ [ 21 , 1] ,


1
se t ≥ 1
e che la densità di Z è data da fZ (t) = fX (t) + fX (1 − t) 1( 1 ,1) (t).
2
(c) Nel caso in cui fX (t) = 3t2 1(0,1) (t), si determini E(Z).
SOLUZIONE.
(a) Z = X1A + (1 − X)1Ac .
(b) La formula per FZ (t) è chiaramente vera per t ≤ 1/2 e per t ≥ 1. Per t ∈ (1/2, 1), usando
la formula Z = X1A + (1 − X)1Ac ricavata al punto precedente si ha
FZ (t) = P (Z ≤ t) = P ({Z ≤ t} ∩ A) + P ({Z ≤ t} ∩ Ac )
= P ({X ≤ t} ∩ A) + P ({(1 − X) ≤ t} ∩ Ac ) = P (X ∈ (1/2, t]) + P (X ∈ [(1 − t), 1/2])
= P (X ∈ [(1 − t), t]) = FX (t) − FX (1 − t) .
Derivando questa relazione si ottiene la formula per fZ (t).
(c) Per il punto precedente, fZ (t) = 3(t2 + (1 − t)2 )1( 1 ,1) (t) = (6t2 − 6t + 3)1( 1 ,1) (t), quindi
2
Z 1
t · fZ (t) dt =
(6t3 − 6t2 + 3t) dt
−∞
1/2
1
1
1
1
1
1
25
=6·
1−
−6·
1−
+3·
1−
=
.
4
16
3
8
2
4
32
Z
E(Z) =
+∞
2