C
op
yr
ig
ht
©
Es
se
li
Geometria
br
Parte Seconda
i
S.
p.
A
.
C
op
yr
ig
ht
©
Es
se
li
br
i
S.
p.
A
.
.
A
99
p.
Geometria piana
CAPITOLO I
S.
GEOMETRIA PIANA
Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l’estensione e la posizione dei corpi.
䉴 punto
ente geometrico privo di dimensioni: cioè non
ha lunghezza, né altezza né profondità; i punti
si indicano con la lettera maiuscola
li
Enti fondamentali
della geometria
br
i
䉴 piano
superficie piana che si estende indefinitamente in tutti i sensi
se
䉴 linea
insieme ordinato di punti; essa ha una sola dimensione della lunghezza
Figura geometrica: insieme di enti geometrici
LE RETTE
Es
Retta: insieme di punti che si susseguono all’infinito seguendo una medesima direzione;
le rette si indicano sempre con la lettera minuscola.
䉴 il numero di rette passanti per un piano è infinito
䉴 il numero di rette passanti per un punto è infinito;
l’insieme di rette passanti per un punto si dice fascio di rette
©
Assiomi relativi
alle rette
䉴 per due punti può passare una sola retta
ht
Due rette possono essere fra loro:
yr
ig
Incidenti:
se hanno un punto in comune
C
op
Perpendicolari:
due rette incidenti che formano quattro angoli retti
.
A
100
p.
Parte Seconda
S.
Parallele:
quando giacciono sullo stesso piano e, prolungandole, non si incontrano mai, ossia mantengono la
stessa distanza
LE SEMIRETTE E I SEGMENTI
br
li
se
Segmento: individuati due punti A e B su una retta, la parte di retta compresa fra loro si chiama segmento; i punti A e B vengono chiamati estremi del
segmento e il segmento si indica con le lettere de-
i
Semiretta: individuato un punto A su una retta,
esso la divide in due semirette; la semiretta è dunque un insieme di punti che si susseguono all’infinito secondo la stessa direzione, ma seguendo un
unico verso; il punto A viene chiamato origine
della semiretta
Es
gli estremi e un trattino sopra: AB o più semplicemente con le sole lettere: AB
䉴 segmenti consecutivi
due segmenti che hanno un
estremo in comune
ht
©
䉴 segmenti adiacenti (o
congruenti)
due segmenti consecutivi
che appartengono alla
stessa retta
Confronto tra segmenti
yr
ig
䉴 segmenti coincidenti
due segmenti che hanno
entrambi gli estremi in
comune
䉴 segmenti uguali
segmenti con estremi diversi, ma con la stessa
lunghezza
C
op
Altre definizioni relative ai segmenti:
• punto medio di un segmento: punto che divide un segmento in due segmenti uguali e adiacenti
• asse di un segmento: retta perpendicolare che passa per il punto medio
.
A
101
S.
spezzata: successione di segmenti consecutivi; può essere:
1. aperta: l’ultimo estremo non coincide con il primo
2. chiusa: l’ultimo estremo coincide con il primo
3. intrecciata: due segmenti non consecutivi si intersecano
I PIANI E LE RETTE
䉴 il numero di piani è infinito
䉴 per tre punti non allineati passa un solo piano
se
Assiomi relativi
ai piani
li
br
i
•
p.
Geometria piana
䉴 se una retta passa per due punti di un piano, appartiene al piano
Es
䉴 ogni retta divide il piano in due semipiani
GLI ANGOLI
Angolo: parte di piano compresa tra due semirette aventi la
stessa origine
©
Vertice dell’angolo: il punto che fa da origine comune alle
due semirette
ht
Lati dell’angolo: le due semirette
Grado: unità di misura dell’angolo; corrisponde alla trecentosessantesima parte dell’angolo giro
ig
Bisettrice di un angolo: semiretta che, avendo come origine il vertice di un angolo, lo divide in due parti uguali
C
op
yr
Come si indica un angolo: si utilizzano 3 lettere maiuscole
corrispondenti al vertice e a due punti posti sui lati, es. AOB;
oppure una lettera dell’alfabeto greco: α, β, γ, δ etc.
.
A
102
p.
Parte Seconda
CLASSIFICAZIONE DEGLI ANGOLI
Definizione
Figura
S.
Nome
angolo contenente il prolungamento dei suoi lati
Convesso
angolo non contenente il prolungamento dei suoi lati
Acuto
angolo di ampiezza minore dell’angolo retto (meno di 90°)
Retto
angolo avente i lati perpendicolari; misura 90°, la metà di
un angolo piano
Ottuso
angolo di ampiezza maggiore dell’angolo retto, ma minore
dell’angolo piatto (più di 90° e meno di 180°)
Piatto
angolo in cui uno dei suoi lati è il prolungamento dell’altro
(misura 180°)
Giro
angolo costituito dalla somma di due angoli piatti o quattro
angoli retti (misura 360°)
yr
ig
ht
©
Es
se
li
br
i
Concavo
C
op
Confronto tra angoli
䉴 uguali (o congruenti)
Sono uguali due angoli i cui lati, se sovrapposti, coincidono. In altre parole
hanno la stessa ampiezza in gradi.
䉴 complementari
Angoli la cui somma è uguale ad un angolo retto (90°). Il complementare di
un angolo acuto è un altro angolo acuto.
.
A
103
p.
Geometria piana
S.
䉴 supplementari
Angoli la cui somma è uguale ad un angolo piatto (180°). Due angoli adiacenti sono sempre supplementari. Il supplementare di un angolo ottuso è un
angolo acuto.
䉴 esplementari
Angoli la cui somma è uguale ad un angolo giro (360°).
br
i
䉴 consecutivi
Angoli giacenti su un medesimo piano. Hanno il
vertice e un lato in comune e gli altri due lati da
parti opposte, rispetto al lato comune, non giacciono uno sul prolungamento dell’altro.
li
Confronto tra angoli
Es
se
䉴 adiacenti
Sono angoli consecutivi che hanno i lati non
comuni disposti uno sul prolungamento dell’altro. Essi sono sempre supplementari.
©
䉴 opposti al vertice
Angoli in cui i lati dell’uno sono il prolungamento dei lati dell’altro. Essi sono uguali o
congruenti.
ht
LA DISTANZA
Due rette, semirette o segmenti che intersecandosi danno luogo a quattro angoli retti si dicono
perpendicolari. Questo principio si utilizza per definire il concetto di distanza.
ig
Distanza tra un punto e un retta: segmento perpendicolare alla retta che ha il punto per
estremo.
yr
LE RETTE PARALLELE
op
Rette parallele: si dicono parallele due rette che, giacendo sullo stesso piano, non hanno alcun
punto in comune
C
Assioma fondamentale delle rette parallele: data una retta e un punto non appartenente ad
essa, per quel punto può passare soltanto una retta parallela a quella data.
.
A
104
S.
p.
Parte Seconda
䉴 Alterni interni (3-5 e 4-6) e alterni esterni (2-8 e 1-7)
li
䉴 Coniugati interni (3-6 e 4-5) e coniugati esterni (2-7 e 1-8)
䉴 Corrispondenti (3-7, 4-8, 1-5, 2-6)
se
Angoli formati da due
rette parallele e una
trasversale
br
i
Due rette parallele intersecate da una trasversale
formano angoli dalle proprietà particolari:
Es
Regola: gli angoli alterni sono uguali fra loro; allo stesso modo gli angoli coniugati e gli angoli
corrispondenti
I POLIGONI
ht
©
Poligono: parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa.
䉴 Lati: i lati della spezzata che delimita il poligono
ig
䉴 Vertici: gli estremi dei segmenti che formano la spezzata
䉴 Perimetro: la somma della misura dei lati
yr
䉴 Area: la misura del piano delimitato dai lati
C
op
Elementi del poligono
䉴 Angoli interni: angoli convessi che hanno come vertice un vertice del poligono e come lati due lati del poligono aventi come origine il vertice
Nota: ogni poligono ha tanti angoli interni quanti sono i suoi lati
䉴 Diagonali: segmenti che uniscono due vertici non consecutivi
䉴 Apotema: segmento originato dal centro del poligono e perpendicolare a
uno dei suoi lati
.
A
105
p.
Geometria piana
S.
䉴 convessi
quando il poligono non contiene il prolungamento dei suoi lati (ha, cioè, tutti angoli convessi)
li
br
䉴 concavi
quando il prolungamento di uno qualunque
dei lati attraversa il poligono
i
Classificazione dei
poligoni
se
Occorre poi distinguere:
poligono inscritto in una circonferenza:
quando tutti i suoi vertici toccano internamente la circonferenza
•
poligono circoscritto ad una circonferenza:
quando tutti i suoi lati toccano esternamente la circonferenza
Es
•
ht
©
Il centro della circonferenza inscritta e circoscritta ad un poligono regolare è detto centro del
poligono.
Il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono regolare.
Il raggio della circonferenza inscritta corrisponde all’apotema del poligono regolare, perché
partendo dal centro, tocca tutti i vertici.
I TRIANGOLI
C
op
base
yr
Nome
ig
Triangolo: poligono con 3 lati
ELEMENTI DEL TRIANGOLO
Definizione
uno qualsiasi dei suoi lati
Punto di incontro
Figura
//
Segue
.
A
106
perpendicolare tracciata dal vertice sul lato
opposto o sul suo prolungamento
ortocentro
bisettrice
semiretta, che uscendo dal vertice, divide
l’angolo in due parti uguali
incentro
asse
retta perpendicolare al lato nel suo punto
medio
li
segmento che uscendo dal vertice divide il
lato opposto in due parti uguali
baricentro
circocentro
©
Es
se
mediana
br
i
altezza
S.
p.
Parte Seconda
ht
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI
Figura
Tutti i lati e gli angoli interni sono uguali.
Ortocentro, incentro e baricentro si incontrano nello stesso
punto
yr
equilatero
Definizione
ig
Nome
Secondo i lati
C
op
isoscele
Due lati uguali (gli angoli alla base sono uguali)
Segue
.
A
107
Tutti lati disuguali
S.
scaleno
p.
Geometria piana
Secondo gli angoli
Definizione
Figura
rettangolo
Ha un angolo retto; i due lati adiacenti a questo angolo si chiamano cateti; il terzo lato si chiama ipotenusa
acutangolo
Ha tutti gli angoli acuti
ottusangolo
Ha un angolo ottuso
se
li
br
i
Nome
Es
Nota
Un triangolo ha sempre 3 angoli interni, la cui somma corrisponde sempre a 180°, cioè a un
angolo piatto.
La somma fra un angolo interno il corrispondente angolo esterno è 180°.
䉴 Due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente i tre lati uguali
䉴 Due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due lati e l’angolo
compreso
©
Criteri di uguaglianza
dei triangoli
ht
䉴 Due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due angoli ed il
lato da essi compreso
䉴 Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo
in cui l’ipotenusa è uguale al diametro.
ig
䉴 Il lato di un triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza è uguale al
doppio della misura del raggio moltiplicato per radice di tre.
䉴 Il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale alla
misura del raggio moltiplicata per radice di tre.
op
yr
Rapporto fra triangoli
e circonferenze
C
Relazioni fra i lati
di un triangolo
䉴 L’apotema di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale
alla metà della misura del raggio ap = r : 2.
䉴 L’altezza di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale al
triplo della misura del raggio diviso due.
䉴 In un triangolo rettangolo la somma delle misure dei cateti è uguale alla
somma tra la misura dell’ipotenusa e il diametro del cerchio inscritto.
䉴 In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due a < b + c; b <
a + c; c < a + b
.
A
108
p.
Parte Seconda
FORMULE RELATIVE AI TRIANGOLI
S.
Perimetro: si ottiene sommando la misura dei lati.
Nota
In un triangolo equilatero, avendo i lati uguali, è p = I · 3.
i
b⋅h
ovvero “base per altezza diviso 2”.
2
br
Area: la formula generale è a =
li
Nota
In un triangolo rettangolo sono altezze entrambi i cateti; perciò l’area si calcola moltiplicando
c ⋅c
i cateti fra loro e dividendo per 2: 1 2
2
FORMULA DI ERONE
Es
p
p
p p
a = ⋅ − I1 ⋅ − I 2 ⋅ − I3
2
2
2 2
se
In un triangolo quando sono note le misure dei lati, si ottiene l’area estraendo la radice quadrata
dal prodotto del suo semiperimetro per le differenze fra il semiperimetro e ciascuno dei tre lati:
TEOREMA DI PITAGORA
©
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Questo risulta molto utile per la risoluzione di alcuni
problemi.
ig
ht
Ne deriva il concetto di terna pitagorica: sequenza di tre
numeri a, b, c per cui vale la relazione a2 + b2 = c2, potrebbero perciò essere misure dei lati di un triangolo rettangolo.
Es. la terna pitagorica primitiva è 3, 4, 5: infatti 32 + 42 = 52,
perché 9 + 16 = 25.
yr
1° T EOREMA DI E UCLIDE
C
op
In ogni triangolo rettangolo, ciascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.
.
A
109
S.
p.
Geometria piana
2° T EOREMA DI E UCLIDE
br
i
In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
li
I QUADRILATERI
Quadrilatero: poligono con 4 lati.
se
䉴 Trapezi
Hanno solo 2 lati paralleli
䉴 Parallelogrammi
Hanno i lati paralleli a due
a due
©
Classificazione dei
quadrilateri
Es
• Romboide: parallelogramma con 2 angoli
acuti e 2 angoli ottusi
• Quadrato: parallelogramma con 4 angoli
retti e i lati uguali
䉴 In un quadrilatero ogni
lato è minore della somma
degli altri tre
ig
IL TRAPEZIO
• Rombo: parallelogramma con 4 lati uguali,
le cui diagonali risultano tra loro perpendicolari
ht
Relazioni tra i lati
di un quadrilatero
• Rettangolo: parallelogramma con 4 angoli
retti
yr
Trapezio: quadrilatero con 2 lati paralleli.
op
Elementi del trapezio
C
Somma degli
angoli interni
䉴 basi: i lati paralleli; a seconda della dimensione si
chiamano base minore e
base maggiore
䉴 lati obliqui: gli altri 2 lati
䉴 altezza: distanza tra le basi
䉴 La somma degli angoli interni
è sempre 360°
.
A
110
p.
Parte Seconda
CLASSIFICAZIONE DEI TRAPEZI
Definizione
Figura
S.
Nome
ha un angolo ottuso
acutangolo o isoscele
ha tutti gli angoli acuti; sono uguali fra loro: i lati
obliqui le diagonali i 2 angoli adiacenti alla base
maggiore i 2 angoli adiacenti alla base minore
rettangolo
ha un lato obliquo perpendicolare alle basi, formando 2 angoli retti; pertanto quel lato coincide con
l’altezza
Perimetro: si calcola sommando fra loro i lati
se
li
br
i
ottusangolo
( bm + b M ) ⋅ h
2
Es
Area: somma delle basi per altezza diviso 2: a =
IL PARALLELOGRAMMA
Parallelogramma: quadrilatero con lati paralleli a due a due.
©
䉴 le diagonali si tagliano scambievolmente a metà gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari
ht
Particolarità dei
parallelogrammi
䉴 una diagonale divide un parallelogramma in due triangoli uguali i lati opposti sono uguali gli angoli opposti sono uguali
ig
IL ROMBOIDE
Romboide: parallelogramma con 2 angoli acuti e 2
angoli ottusi.
yr
Nota
I lati opposti sono uguali
op
Perimetro: essendo i lati uguali a due a due, si calcola moltiplicando per 2 la loro somma, cioè
p = ( l1 + l 2 ) ⋅ 2
C
Area: considerando come base uno dei lati, è uguale alla base per la sua altezza, quindi a = b · h
