LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO

ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI
LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO
1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°
γ
Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela CE al
lato BA.
Consideriamo ora le due rette parallele CE BA tagliate dalla
trasversale AC .
L’angolo β è uguale a β’ perché angoli alterni interni e α è
uguale ad α’ perché angoli corrispondenti.
Quindi γ + β’ + α’ = 180° allora anche γ + β + α = 180°
2) In un triangolo un angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti.
Consideriamo il triangolo ABC, prolunghiamo il lato BC e
tracciamo la parallela CE al lato BA.
Consideriamo ora le due parallele CE e BA tagliate dalla
trasversale AC .
Si formano due angoli alterni interni uguali β = β’ e due
angoli corrispondenti uguali α = α’
Così l’angolo esterno α’ + β’ è uguale alla somma degli
angoli interni non adiacenti α e β
3) In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti.
Consideriamo il triangolo ABC e prolunghiamo il lato BC in
CD. Prendiamo il punto medio del lato AC e uniamo B con E,
sul prolungamento di BE si prenda un segmento EF uguale a
BE stesso.
Consideriamo i triangoli ECF e BEC, sono congruenti per il
primo criterio perché hanno i lati BE=EF e AE=EC per
costruzione e gli angoli α e α’ uguali perché opposti al
vertice.
Pertanto l’angolo in BAE è uguale all’angolo in ECF che è
minore di tutto l’angolo esterno.
4) La somma degli angoli esterni di un triangolo è 360°
Consideriamo il triangolo ABC prolunghiamo ora i suoi lati
otteniamo così tre angoli piatti β+β' = α+α' = γ+γ' = 180°
ma siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è
180° avremo:
3x180° - 180° = 2x180° = 360°
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I POLIGONI
1) La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a:
( n – 2 ) x 180°
Consideriamo il poligono ABCDE con al centro il punto P.
Unendo P a ogni vertice del poligono otterremo 5 triangoli;
e siccome la somma degli angoli interni di questi ultimi è
sempre 180° possiamo scrivere 5 x 180°. (n=5)
Va considerato però l’angolo giro al centro che misura
360° = 2 x180° Possiamo così enunciare la seguente
Ai = (n–2) x 180.
2) La somma degli angoli esterni di un poligono è 360°
Consideriamo il poligono ABCDE e prolunghiamo i suoi lati.
Consideriamo ora i cinque angoli piatti A,B,C;D,E formati
dagli angoli interni più quelli esterni avremo in totale
5 x 180°.
Ma la somma degli angoli interni è uguale a (n-2)x180°
avremo
5x180°-(5-2)x180° = (5-3)x180° cioè 2x180° = 360°.
3) In ogni parallelogramma : (rettangolo, quadrato, rombo, parallelogrammo)
• ciascuna diagonale lo divide in due parti uguali
• le diagonali si tagliano scambievolmente per metà
Prendiamo in considerazione i triangoli ABD e BDC.
I due triangoli sono uguali per il secondo criterio di congruenza
perché:
I lati DC e AB sono uguali perché nel parallelogramma i lati
sono a due a due congruenti, quindi anche i lati AD e BC sono
uguali. Gli angoli CDB e ABD sono uguali perché alterni
interni rispetto alle due rette parallele DC e AB tagliate dalla
trasversale DB.
Prendiamo in considerazione i triangoli DCE e AEB.
I lati DC e AB sono uguali perché nel parallelogramma i lati
sono a due a due congruenti.
Gli angoli al centro sono uguali perché opposti al vertice
Gli angoli D e B sono uguali perché alterni interni rispetto
alle due rette parallele DC e AB tagliate dalla trasversale DB.
Per differenza anche gli angoli A e C sono uguali. Per il
secondo criterio i due triangoli sono uguali e quindi le
diagonali si dividono a metà
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4) Le diagonali di un rettangolo sono uguali
Prendiamo in considerazione i triangoli DAB e ABC.
Sono uguali per il quarto criterio di congruenza poiché
hanno i lati AD e BC uguali perché i lati opposti del
rettangolo sono a due a due congruenti; hanno la base AB
in comune e i due angoli DAB e CBA sono retti.
Quindi anche i lati DB e CA sono uguali.
5) Le diagonali del rombo sono perpendicolari e bisettrici degli angoli
Dimostriamo che le diagonali sono perpendicolari.
Consideriamo i triangoli ADP e DPC sono uguali
perché hanno AD=DC, AP=PC perché le diagonali si
dividono a metà e i due angoli alla base α e
α1 congruenti
Quindi l’angolo DPA è uguale a DPC perciò 180:2 =
90°
Dimostriamo ora che le diagonali sono bisettrici
degli angoli.
Consideriamo il triangolo isoscele ADC, l’altezza DP
è mediana e bisettrice.
6) In un quadrato le diagonali si tagliano scambievolmente per metà, sono uguali e perpendicolari e sono
bisettrici degli angoli
Consideriamo il quadrato ABCD e chiamiamo P il punto di
intersezione delle diagonali.
Dimostriamo che le diagonali si dividono scambievolmente
per metà. Prendiamo in considerazione i triangoli ADP e CBP
sono congruenti perché hanno i lati AD e BC uguali perché lati
di un quadrato; consideriamo poi due parallele DC, AB tagliati
dalla trasversale DB formano angoli D e B alterni interni
uguali per lo stesso motivo anche gli angoli C e A sono
congruenti. Per il secondo teorema di similitudine i due
triangoli ADP e BCP sono congruenti.
Dimostriamo che le diagonale sono uguali.
Consideriamo i due triangoli rettangoli ADB e DCB. Sono uguali perché hanno tuitti i lati uguali.
L’angolo A e C di 90°. Per il secondo teorema di congruenza questi due triangoli sono uguali.
Dimostriamo che le diagonali sono bisettrici degli angoli.
Consideriamo il triangolo isoscele ADC. Il lato DP è la mediana, ma anche altezza e bisettrice.
Dimostriamo che le diagonali sono perpendicolari.
Consideriamo il triangolo DCP e siccome le diagonali CA e BD sono bisettrici degli angoli; gli angoli C e
D sono di 45° quindi da 180° togliamo (45°x2) rimane un angolo di 90°
7) In un trapezio isoscele le diagonali si dividono in parti uguali
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Prendiamo in considerazione i triangoli AOB e CDO e
dimostriamo che sono congruenti .
Intanto hanno l’angolo al centro uguale perché opposto
al vertice; inoltre, sono congruenti anche i lati obliqui e
gli angoli alla base, per differenza di angoli uguali.
Quindi, anche il terzo angolo è uguale, pertanto i due
triangoli sono uguali per il secondo criterio di
congruenza.
8) In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è mediana e bisettrice
Prendiamo in considerazione i due triangoli rettangoli in cui
viene diviso il triangolo isoscele e dimostriamo che sono
uguali.
Hanno l’angolo retto e gli angoli alla base uguali, quindi per
differenza anche il terzo angolo è uguale pertanto AD è
bisettrice.
Inoltre i due triangoli hanno i lati obliqui uguali perciò per il
secondo criterio di congruenza sono congruenti.
Quindi AD è anche mediana.
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FIGURE EQUIVALENTI
1) Un trapezio è equivalente ad un triangolo che ha per base la somma delle basi.
Prolunghiamo la base AB di un segmento BF uguale a
DC. Dimostriamo che i due triangoli sono congruenti.
Intanto perdiamo in considerazione le rette DC e BF
tagliate dalla trasversale CE formano angoli alterni
interni uguali; la stessa cosa anche per l’altra
trasversale DF. Quindi, per il secondo criterio di
congruenza, i due triangoli sono uguali pertanto il
trapezio ABCD e il triangolo ADF hanno la stessa area.
2) Un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza
Prendiamo in considerazione i 2 triangoli ADH e BCK e
dimostriamo che sono congruenti.
Le rette AD e CB sono parallele e tagliate dalla
trasversale AB formano angoli corrispondenti uguali,
ovvero l’angolo α e l’angolo α'; inoltre i lati HD e KC
sono uguali perché altezze del parallelogramma. Infine, i
due triangoli sono rettangoli, quindi, per il quarto
criterio di congruenza, sono uguali.
3) Un triangolo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza
Prendiamo in considerazione il triangolo AHC e il
triangolo AMC rettangoli, e dimostriamo che sono
uguali. Hanno il lato AC in comune, β = β1 perché
alterni interni rispetto alle rette AM e HC tagliate
dalla trasversale AC. Quindi, per il quarto criterio di
congruenza, sono uguali.
La stessa cosa anche per ABH e il triangolo ABN.
Quindi il triangolo ABC è la metà del rettangolo
BNMC
4) In un poligono regolare l’area si trova: A = P x a : 2
Scomponiamo l’esagono in 6 triangoli e chiamiamo a l’altezza di
ogni triangolo e l la base.
Siccome l’area di un triangolo si trova b x h : 2, avremo:
A = 6x(l x a : 2)
Ma applicando la proprietà associativa della moltiplicazione 6xl = P
Quindi l’area del poligono regolare si trova P x a : 2
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TEOREMI DI PITAGORA E DI EUCLIDE
1) Primo teorema di Euclide
Prendiamo in considerazione il triangolo rettangolo ABC e il
triangolo A’C’H’ parte del triangolo dato e dimostriamo che
sono simili. Hanno entrambi un angolo retto, α = α' essendo lo
stesso angolo quindi, anche il terzo angolo sarà uguale per
differenza.
Quindi essendo simili possiamo scrivere :
AH:AC=AC:AB
Cioè: In un triangolo rettangolo, un cateto è medio
proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso su
l’ipotenusa.
Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni
possiamo anche dire che:
AC2 = AH x AB
L’area del quadrato costruito su un cateto è equivalente al
rettangolo avente per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del
cateto stesso su di essa.
2) Secondo teorema di Euclide
Dimostriamo che i triangoli A’CH e C’B’H in cui viene diviso
il triangolo rettangolo ABC sono simili.
Hanno un angolo retto in comune, l’angolo retto è stato diviso
in due parti α e β che per somma danno 90°
Quindi, se da 180° (la somma degli angoli interni del triangolo)
togliamo 90° rimangono altri 90° pertanto in A’CH da 90°-β
otteniamo α e in C’B’H da 90° - α otteniamo β. I due triangoli
sono simili perciò:
AH : CH = CH : HB
Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni come
nel precedente teorema, avremo che:
CH2 = AH x HB
L’area del quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è
equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa.
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3) Teorema di Pitagora
Dal 1° teorema di Euclide si può scrivere che il quadrato
Q1 è equivalente a R1 e, in questo modo, anche Q2 è
equivalente a R2.
Ma R1 + R2 non è altro che Q, ovvero il quadrato costruito
sull’ipotenusa.
Quindi:
Q1+Q2 = R1+R2 = Q
L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla
somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
TANGENTI AD UNA CIRCONFERENZA
1) Due tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza sono uguali
Indichiamo con D e B i punti in cui le
tangenti uniamo questi due punti con il
centro C del cerchio e dimostriamo
adesso che i due triangoli formati sono
uguali.
Intanto CB = CD perchè raggi della
stessa circonferenza, il lato CA è in
comune e i due triangoli sono rettangoli
perché il raggio è sempre perpendicolare
alla tangente.
Per il IV criterio di congruenza sono
uguali e quindi sono uguali anche le BA e
DA.
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POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA
1) In un poligono circoscritto ad una circonferenza la somma dei lati opposti è uguale
Consideriamo il poligono ABCD circoscritto ad una
circonferenza e indichiamo con G, E, F; H. i punti di
tangenza Consideriamo il punto C esterno ad una
circonferenza siccome i segmenti tangenti condotti da un
punto esterno ad un cerchio sono uguali abbiamo CG = CF
= c la stessa cosa vale anche per gli altri punti pertanto DG
= DH = d, AH =AE =a, BE = BF = b per cui la somma di
AD+CB = b+c+d+a è uguale alla somma di AB+CD =
a+d+c+b Pertanto la somma dei lati opposti è congruente
alla somma degli altri due.
2) L’area di un poligono circoscritto ad una circonferenza è: A = P x r . 2
Il raggio della circonferenza inscritta nel poligono è
congruente all’apotema.
Dividiamo il poligono in 5 triangoli e calcoliamo l’area
della figura scomposta considerando r l’altezza del
triangolo.
a = AB x r:2 + BC x r:2 + CD x r:2 + DE x r:2 + EA x
r:2
ma possiamo anche scrivere
a = (BC+CD+DE+EA+AB) x r:2
che per la proprietà associativa è uguale a Px r:2.
DIAGONALE DEL CUBO
Indichiamo con d la diagonale di base e D la diagonale
del cubo.
D=
d 2 + l2
D=
l2 + l2 + l2 =
8
ma d2 = l2 + l2 quindi
3l 2 = l 3 = l x 1,732
VOLUME E SUPERFICIE DEL CONO E DEL CILINDRO EQUILATERO
1) Cilindro equilatero
Volume del cilindro equilatero.
Nel cilindro equilatero l’altezza è uguale al raggio: h = 2r
V = Sb x h
Sb = π r 2 h = π r 2 2r = 2πr 3
Superficie totale
St = Sl + Sb = 2πr h + 2πr2 = 2πr 2r + 2πr2 = 4πr2 + 2πr2 = 6πr2
2) Cono equilatero
Volume del cono equilatero:
Nel cono equilatero l’apotema è uguale al diametro:
a = 2r;
h = 4r 2 − r 2 = r 3
V = Sb x h/3 = πr2 h /3 = πr2 r 3 / 3 = πr3
3/3
Superficie totale del cono equilatero:
St = Sl + Sb= 2πr 2r / 2 + πr2 =2πr2 + πr2 = 3πr2
ALTEZZA DEL TRIANGOLO EQUILATERO E DIAGONALE DEL QUADRATO
1) Diagonale del quadrato
Troviamo la diagonale del quadrato:
D=
l 2 +l 2 =
2l 2 = l 2 = l x 1,414
2) Altezza del triangolo equilatero
Troviamo l’altezza del triangolo equilatero:
2
⎛l⎞
H = l2 −⎜ ⎟ =
⎝2⎠
9
4l 2 − l 2
=
4
l
3l 2
3 = l x 0,866
=
2
4