Dal sistema Geocentrico a quello Eliocentrico
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E girano...! dal sistema geocentrico a quello eliocentrico A cura di: Eva Giorgi Matteo Bini Osservazione dei moti celesti Durante una lezione di Fisica, abbiamo riflettuto sui moti celesti visibili a occhio nudo. Il Sole: moto periodico lungo l'eclittica (intervallo giorno notte) La Luna: moto periodico (ciclo completo ogni 28 giorni) Le stelle: moto circolare antiorario intorno alla Stella Polare (punto fisso) Marte: moto retrogrado rispetto alle stelle (Regolo ed Algieba) Venere: moto periodico analogo a quello Lunare Moto Lunare La Luna ha un periodo di 28 giorni con delle fasi, influenzate dal suo diverso orientamento rispetto al Sole. Opposta ad esso è completamente visibile (Luna piena), mentre quando interposta tra la terra e il Sole è illuminata l'altra faccia (Luna nuova). La Luna viene definita crescente quando compare nel cielo prima del tramonto, calante quando appare prima dell'alba. Moto delle stelle Sia con l'utilizzo di Stellarium, che con l'osservazione ad occhio nudo, ci siamo accorti che le stelle ruotano attorno alla Stella Polare Foto stroboscopia che mostra la rotazione degli astri attorno alla Stella Polare. Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. Moto dei pianeti Moto di Venere Venere, essendo vicino al Sole, è difficile da osservare ad occhio nudo. Grazie all'ausilio di Stellarium abbiamo potuto studiarne il moto. Esso presenta delle fasi simili a quelle della Luna, ma con un periodo più lungo (ca. 4/5 mesi). Moto di Marte Dopo un lungo periodo di osservazione notturna (con fotografie) abbiamo analizzato come Marte si muove nel cielo. Dopo aver preso come UMA (unità di misura astronomica) la distanza tra Regolo ed Algieba, abbiamo calcolato il rapporto (in pixel) tra la distanza Marte-Regolo (d) ed UMA. I risultati ottenuti sono i seguenti: Foto 1 Foto 2 Foto 3 Foto 4 Foto 5 Foto 6 Foto 7 Foto 8 Foto 9 Foto 10 Foto 11 Foto 12 Foto 13 Foto 14 Foto 15 Foto 16 Foto 17 Foto 18 Foto 19 Foto 20 d 1160 752 800 955 655 560 576 712 648 479 552 544 479 417 341 470 360 552 752 576 UMA d/UMA 995 1,165 668 1,125 740 1,081 955 1 697 0,93 640 0,87 681 0,84 873 0,81 812 0,79 640 0,73 0,71 770 785 0,69 714 0,67 773 0,53 652 0,52 809 0,58 602 0,59 904 0,61 1043 0,72 778 0,74 Il grafico mostra l'andamento del rapporto tra la distanza Marte-Regolo e UMA (i valori sono espressi in pixel). Le foto non state scattate regolarmente, ma coprono un intervallo che va dal 15 Marzo al 4 Maggio 2012. Dalla tabella è possibile dedurre il moto di Marte: inizialmente Marte si avvicina a Regolo (riscontrabile dal fatto che d/UMA va a diminuire); in seguito Marte si allontana da esso (d/UMA aumenta). Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. Modello tolemaico In passato si pensava che la Terra stesse al centro dell'universo e furono creati vari modelli per dimostrare tale affermazione (modelli geocentrici). Uno dei più famosi è quello aristotelico-tolemaico (elaborato nel II secolo da Tolomeo di Alessandria), condiviso a lungo da molti intellettuali, sia da un punto di vista filosofico/religioso che scientifico. Rimase in atto fino alla rivoluzione copernicana. Esso ammetteva l'esistenza di "un primo motore immobile", che faceva ruotare i corpi celesti attorno alla terra con moto circolare uniforme (considerato all'epoca lo standard di perfezione). Nel modello di Tolomeo, i corpi celesti non stanno su sfere concentriche alla Terra (deferente), ma su altre sfere (epiciclo), che hanno il loro centro sulle prime. Dei dati che abbiamo raccolto (mediante osservazioni qualitative), cosa possiamo spiegare con il sistema tolemaico e cosa no? Moto periodico del Sole lungo l'eclittica SI Moto periodico della Luna (presenza delle fasi) SI La Luna è il satellite della terra, perciò sistema tolemaico non varierebbe il suo moto. Moto di rotazione delle stelle attorno alla Stella Polare, in senso antiorario SI Moto retrogrado di Marte SI La Stella Polare, fissa nel cielo, rappresentava per gli antichi il "centro dell'universo" (il primo motore immobile). Si spiega introducendo un moto circolare interno (epiciclo) a quello intorno alla terra (deferente). Fasi di Venere NO Essendo vicino al Sole e ruotando sull'epiciclo, non sarebbe mai possibile avvistare "Venere piena". Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. La rivoluzione copernicana Nel 1543, Niccolò Copernico (un prete ed astronomo polacco) pubblica un'opera rivoluzionaria "De revolutionibus orbium coelestium". In questo scritto viene ripresa la visione eliocentrica di Aristarco, per affermare, in seguito a nuove osservazioni e calcoli, che i moti retrogradi spariscono se immaginiamo il solo fermo al centro del sistema e la Terra in rotazione intorno ad esso. Ai tempi di Copernico non vi era distinzione tra scienza, filosofia e religione e mettere in discussione verità teologiche significava andare contro la chiesa cattolica e luterana. Infatti, unico loro punto d'accordo era la preservazione del modello geocentrico ed il rifiuto di quello eliocentrico. Tyco Brahe Dato che il modello tolemaico non poteva dimostrare tutti i moti analizzati, un astronomo danese (Tyco Brahe) costruì un osservatorio per approfondire l'argomento. Fu il primo nella storia a compiere osservazioni quantitative di tale portata e precisione. Dopo venti anni di ricerca con la tecnologia dell'epoca (che consisteva nel mappare il cielo e misurare gli angoli dei corpi celesti rispetto all'orizzontale), elaborò un suo modello. Per paura delle reazioni della Chiesa, egli propose un compromesso tra il nuovo modello copernicano e quello tolemaico. La Terra, immobile, è il centro dell'Universo; la sfera delle stelle fisse, la Luna ed il Sole le ruotano intorno. Il Sole è il centro di rotazione di tutti gli altri corpi celesti. Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. Johannes Kepler In seguito Johannes Kepler, un collaboratore di Tyco Brahe, osservando i risultati raccolti, enunciò tre leggi e formulò un nuovo sistema. Egli rappresentava il prototipo del fisico teorico: ovvero colui che si preoccupa più di interpretare i dati a disposizione che di procurarseli. Inizialmente creò un modello basato sulla teoria eliocentrica e realizzato con orbite circolari, ma si rese conto ben presto che tale sistema non poteva soddisfare tutti i dati raccolti da Tyco. Decise così di cambiare la sua teoria e trasformò le orbite da circolari a ellittiche. Ecco le conclusioni a cui giunse: 1) I pianeti si muovono su orbite ellittiche, in cui il Sole è uno dei fuochi 2) I pianeti spaziano aree uguali in tempi uguali (i pianeti lontani vanno più lenti) 3) Il quadrato del periodo, fratto il cubo del semiasse maggiore dell'orbita, è una costante. T2 K r3 Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. Kepler notò anche che vi era una relazione tra la distanza media e il periodo. R 0,39 0,72 1 1,52 5,2 9,54 19,19 T 0,24 0,62 1 1,88 11,86 29,46 84,01 R è la distanza media tra i pianeti del Sistema Solare ed il Sole. T è il periodo dell'orbita ellittica. Il grafico mostra tale rapporto. 1 R è uguale alla distanza Terra-Sole. 1 T è uguale al tempo di rivoluzione della Terra intorno al Sole. Galileo Galilei Qualche anno più tardi anche un'altro scienziato si interessò allo studio degli astri. Galileo perfezionò il cannocchiale inventato in Olanda e fu il primo a puntarlo verso il cielo. Grazie a tale strumento, potè osservare le fasi di Venere e le quattro lune di Giove. Questi elementi diedero un "colpo mortale" al modello geocentrico. Il contributo di Newton Un secolo dopo, Newton ipotizzò che le leggi della dinamica che aveva elaborato, osservando i moti sulla Terra, valessero anche per i corpi celesti. Cercò quindi d'interpretare i moti celesti in termini di Forza. Per semplificare il ragionamento di Newton riscriviamo le leggi di Kepler immaginando che le orbite dei pianeti siano circolari, invece che ellittiche. 1) I pianeti descrivono intorno al Sole orbite circolari aventi come centro il Sole 2) Il moto dei pianeti è uniforme (spazia aree uguali in tempi uguali ed archi uguali in tempi uguali) 3) I quadrati dei tempi impiegati dai pianeti a descrivere le orbite, sono proporzionali ai cubi dei raggi(definito raggio il raggio dell'orbita circolare) delle orbite. ( T 2 = K r 3 ) Presupposti T 2 = K r3 terza legge di Kepler F =ma seconda legge di Newton Si definisce circolare uniforme il moto di un punto che descrive una traiettoria circolare con velocità di modulo costante. FAB = FBA terza legge di Newton Si definisce periodo (T) di m.c.u. il tempo impiegato dal punto in moto a descrivere un' intera circonferenza. Si definisce frequenza (f) di un m.c.u. Il numero di giri compiuti dal punto in moto in un tempo unitario. MOTO CIRCOLARE UNIFORME ac = V2 r accelerazione centripeta (m.c.u.) V= 2r T modulo della velocità (m.c.u.) Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. Il ragionamento di Newton ac = V 2 4r 2 1 4r = 2 = 2 r T r T T 2 = K r3 Unire la formula dell'accelerazione centripeta con quella della velocità 4r 4r 4π = = 2 3 T K r K r2 Sostituire il periodo (T), con la relazione ricavata dalle terza legge di Kepler Considerare la forza agente su un pianeta (P) che ruota attorno al Sole (S) FSP = mP ac ac = 4π 4π Sostituire l'accelerazione centripeta, con la relazione ricavata in mP ac = mP 2 K r K r2 precedenza nella seconda legge di Newton FSP = mP 4π r2 K Raggruppare gli elementi non "variabili" Otteniamo quindi una costante: 4π = CS K FSP = mP CS r2 Considerare la forza agente sul Sole (S) da parte del pianeta (P) FPS = mS CP r2 Per la terza legge di Newton (principio di azione e reazione) esiste anche una forza di uguale modulo e direzione ma verso opposto che il pianeta esercita sul Sole. Quindi, è possibile mettere a confronto le due equazioni mS mP C = C P m P C S = mS C P S r2 r2 CS C = P =G mS mP Da cui dividendo entrambi i membri delle equazioni per il prodotto della masse mP mS Il rapporto tra la costante e la massa è una costante, che chiamiamo Costante di gravitazione universale (G) C S = G mS mP m C S = 2P G mS 2 r r Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. In conclusione otteniamo la legge di gravitazione di Newton: FSP = G mS m P r2 Lo stesso procedimento si può ripetere per tutti i pianeti del sistema solare. La relazione ricavata descrive la gravitazione che vale per le masse dei pianeti e del Sole. Ma la stessa legge può valere per qualsiasi coppia di corpi nell'universo? La legge di gravitazione è universale Newton ha dimostrato che la legge di gravitazione è valida nello spazio per i corpi celesti. Ma la domanda che ci poniamo adesso è: la legge di gravitazione vale solo per i pianeti o invece si può applicare a qualsiasi coppia di masse nell’Universo? E per quanto riguarda la Terra, qual è l'esatta relazione fra la legge di gravitazione e la Forza Peso? Newton provò a rispondere a queste domande. Per dimostrare che la legge di gravitazione è universale provò ad applicare la relazione trovata prendendo come masse di paragone, non più Sole e Terra, ma un oggetto sulla Terra e la terra stessa. Newton intuisce tale affermazione con questo ragionamento: "Un oggetto in caduta libera sulla terra (ad esempio una mela) ha un'accelerazione g (9,8 m/s2). La forza in questione, che chiameremo Forza Peso (P), si calcola moltiplicando la massa dell'oggetto per la sua accelerazione (in questo caso g)." F = m a P = mM g Applicare adesso la relazione gravitazionale tra Sole e pianeta alla mela e la terra, otteniamo: (metti anche legenda) FSP = G mS mP G mM mT P= 2 2 r rT Mettere ad equazione le due relazioni mM g = G mM mT 2 rT Semplificare g= G mT 2 rT Abbiamo trovato l'accelerazione di gravità che agisce sulla mela. Newton deve dimostrare che la legge di gravitazione è universale. Il suo approccio era di tipo scientifico, questo per l'epoca era una novità. Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. Egli prende in considerazione la terra e la Luna (per la sua facile osservazione) e ne studia l'attrazione reciproca. Come per la relazione tra Sole e pianeta, si assume per semplicità che la Luna abbia un'orbita circolare. Se l'ipotesi che la massa della terra è responsabile della caduta degli oggetti è vera, si può trovare una corrispondenza tra il tempo di caduta di un oggetto sulla terra e il tempo di "caduta" della Luna. mL = Massa luna 1 y = gt 2 2 t = 1s mT = Massa Terra dTL = Distanza Terra-Luna g = 9,8m / s 2 y = 4,9m aL = Accelerazione lunare Dopo aver calcolato il tempo di caduta di un oggetto sulla terra (relazione tempo caduta = 4,9 m in un secondo), considerare l'attrazione della terra rispetto alla Luna. Riscrivere la relazione di gravità con i nuovi dati G mS mP G mL mT FTL = 2 2 r dTL Dato che la distanza terra-Luna è circa 60 volte il raggio terrestre, l'accelerazione di un oggetto sulla terra dovrebbe essere circa 3600 volte l'accelerazione della Luna. G mT aL = 2 dTL FSP = aL = G mT 1 dTL 60 2 se si applica la legge oraria e si divide per 3600, 2 1 d aL G mT 60 TL 1 = = 2 g G mT 3600 dTL si può prevedere che la caduta della Luna sia: yL = 4,9 m = 0,136cm 3600 Newton vuole verificare che la sua ipotesi è corretta. La sua intenzione rappresentava una novità per l'epoca e coincide con la nascita del pensiero scientifico. Nessuno prima d'allora, aveva agito con così tanto rigore. Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. L'ipotesi sarà verificata, se il risultato di tale misura è comparabile con quella previsto. Supporre che la Luna percorra orbite circolari di periodo (T) di 27,3 giorni. La circonferenza dell'orbita della Luna ha come centro il centro della terra ( 0;dTL ) ed ha equazione: x 2 + y + dTL = dTL 2 2 x 2 + y 2 + 2dTL y = 0 Considerare un piccolo arco di circonferenza percorso dalla Luna in un secondo: Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini. Dobbiamo trovare lo spazio di caduta della Luna ( y L ) in un secondo: x 2 + y 2 + 2dTL y = 0 x 2 + 2dTL y ( y +1 ) = 0 Raccogliere 2dTL y . Dato che la y di caduta della Luna in 2dTL un secondo è molto inferiore alla distanza terra-Luna, la quantità y è trascurabile. 2d TL y << dTL x 2 + 2dTL y +1 = 0 La circonferenza può essere approssimata ad una parabola se si considerano piccoli tratti di arco. y= 1 2 x 2dTL Quanto vale questa quantità dopo un secondo? Dato che l'arco è molto piccolo, può essere considerato come un segmento. Perciò la variazione di spazio, può essere calcolata con la formula del moto rettilineo: X V t VL 1s x 2 1s 2d TL VL 1s 1s TL y1s = 2 2 2 1 4π dTL 2 x1s = 2 1s 2 0,136cm 2dTL r TL Newton così ha dimostrato che la sua intuizione era corretta: il moto di una mela in caduta libera sulla Terra e il moto dei pianeti e dei corpi celesti in generale sono regolati dalla stessa forza, che a ragione può essere chiamata universale. Ma cosa significa universale? La forza che tiene insieme il sistema solare agisce su tutti i corpi dotati di massa, dai pianeti agli atomi. F= G m1 m2 r2 Quindi, vale per ogni coppia di masse nell'universo. Giugno 2012 Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini. Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini.
