Dal sistema Geocentrico a quello Eliocentrico

E girano...!
dal sistema geocentrico a quello eliocentrico
A cura di:
Eva Giorgi
Matteo Bini
Osservazione dei moti celesti
Durante una lezione di Fisica, abbiamo riflettuto sui moti celesti visibili a occhio nudo.

Il Sole: moto periodico lungo l'eclittica (intervallo giorno notte)

La Luna: moto periodico (ciclo completo ogni 28 giorni)

Le stelle: moto circolare antiorario intorno alla Stella Polare (punto fisso)

Marte: moto retrogrado rispetto alle stelle (Regolo ed Algieba)

Venere: moto periodico analogo a quello Lunare
Moto Lunare
La Luna ha un periodo di 28 giorni con delle fasi, influenzate dal suo diverso orientamento rispetto al Sole. Opposta
ad esso è completamente visibile (Luna piena), mentre quando interposta tra la terra e il Sole è illuminata l'altra
faccia (Luna nuova).
La Luna viene definita crescente quando compare nel cielo prima del tramonto, calante quando appare prima
dell'alba.
Moto delle stelle
Sia con l'utilizzo di Stellarium, che con l'osservazione ad occhio
nudo, ci siamo accorti che le stelle ruotano attorno alla Stella
Polare
Foto stroboscopia che mostra la rotazione degli
astri attorno alla Stella Polare.
Giugno 2012
Liceo Scientifico Statale Niccolò Rodolico
Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini.
Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini.
Moto dei pianeti
Moto di Venere
Venere, essendo vicino al Sole, è difficile da osservare
ad occhio nudo. Grazie all'ausilio di Stellarium
abbiamo potuto studiarne il moto. Esso presenta delle
fasi simili a quelle della Luna, ma con un periodo più
lungo (ca. 4/5 mesi).
Moto di Marte
Dopo un lungo periodo di osservazione notturna (con fotografie) abbiamo analizzato come Marte si muove nel cielo.
Dopo aver preso come UMA (unità di misura astronomica) la distanza tra Regolo ed Algieba, abbiamo calcolato il
rapporto (in pixel) tra la distanza Marte-Regolo (d) ed UMA. I risultati ottenuti sono i seguenti:
Foto 1
Foto 2
Foto 3
Foto 4
Foto 5
Foto 6
Foto 7
Foto 8
Foto 9
Foto 10
Foto 11
Foto 12
Foto 13
Foto 14
Foto 15
Foto 16
Foto 17
Foto 18
Foto 19
Foto 20
d
1160
752
800
955
655
560
576
712
648
479
552
544
479
417
341
470
360
552
752
576
UMA
d/UMA
995
1,165
668
1,125
740
1,081
955
1
697
0,93
640
0,87
681
0,84
873
0,81
812
0,79
640
0,73
0,71
770
785
0,69
714
0,67
773
0,53
652
0,52
809
0,58
602
0,59
904
0,61
1043
0,72
778
0,74
Il grafico mostra l'andamento del rapporto tra la distanza
Marte-Regolo e UMA (i valori sono espressi in pixel).
Le foto non state scattate regolarmente, ma coprono un
intervallo che va dal 15 Marzo al 4 Maggio 2012.
Dalla tabella è possibile dedurre il moto di Marte: inizialmente Marte si avvicina a Regolo (riscontrabile dal fatto che
d/UMA va a diminuire); in seguito Marte si allontana da esso (d/UMA aumenta).
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Modello tolemaico
In passato si pensava che la Terra stesse al centro dell'universo e furono creati vari modelli per dimostrare tale
affermazione (modelli geocentrici). Uno dei più famosi è quello aristotelico-tolemaico (elaborato nel II secolo da
Tolomeo di Alessandria), condiviso a lungo da molti intellettuali, sia da un punto di vista filosofico/religioso che
scientifico. Rimase in atto fino alla rivoluzione copernicana. Esso ammetteva l'esistenza di "un primo motore
immobile", che faceva ruotare i corpi celesti attorno alla terra con moto circolare uniforme (considerato all'epoca lo
standard di perfezione). Nel modello di Tolomeo, i corpi celesti non stanno su sfere concentriche alla Terra
(deferente), ma su altre sfere (epiciclo), che hanno il loro centro sulle prime.
Dei dati che abbiamo raccolto (mediante osservazioni qualitative), cosa possiamo spiegare con il sistema tolemaico e
cosa no?
Moto periodico del Sole lungo l'eclittica
SI
Moto periodico della Luna (presenza delle fasi)
SI
La Luna è il satellite della terra, perciò sistema
tolemaico non varierebbe il suo moto.
Moto di rotazione delle stelle attorno alla Stella Polare, in
senso antiorario
SI
Moto retrogrado di Marte
SI
La Stella Polare, fissa nel cielo, rappresentava per
gli antichi il "centro dell'universo" (il primo motore
immobile).
Si spiega introducendo un moto circolare interno
(epiciclo) a quello intorno alla terra (deferente).
Fasi di Venere
NO
Essendo vicino al Sole e ruotando sull'epiciclo, non
sarebbe mai possibile avvistare "Venere piena".
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La rivoluzione copernicana
Nel 1543, Niccolò Copernico (un prete ed astronomo
polacco)
pubblica
un'opera
rivoluzionaria
"De
revolutionibus orbium coelestium". In questo scritto viene
ripresa la visione eliocentrica di Aristarco, per affermare,
in seguito a nuove osservazioni e calcoli, che i moti
retrogradi spariscono se immaginiamo il solo fermo al
centro del sistema e la Terra in rotazione intorno ad esso.
Ai tempi di Copernico non vi era distinzione tra scienza,
filosofia e religione e mettere in discussione verità
teologiche significava andare contro la chiesa cattolica e
luterana. Infatti, unico loro punto d'accordo era la
preservazione del modello geocentrico ed il rifiuto di
quello eliocentrico.
Tyco Brahe
Dato che il modello tolemaico non poteva dimostrare
tutti i moti analizzati, un astronomo danese (Tyco
Brahe) costruì un osservatorio per approfondire
l'argomento. Fu il primo nella storia a compiere
osservazioni quantitative di tale portata e precisione.
Dopo venti anni di ricerca con la tecnologia dell'epoca
(che consisteva nel mappare il cielo e misurare gli
angoli dei corpi celesti rispetto all'orizzontale),
elaborò un suo modello. Per paura delle reazioni
della Chiesa, egli propose un compromesso tra il
nuovo modello copernicano e quello tolemaico. La
Terra, immobile, è il centro dell'Universo; la sfera
delle stelle fisse, la Luna ed il Sole le ruotano intorno. Il Sole è il centro di rotazione di tutti gli altri corpi celesti.
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Realizzato da Eva Giorgi e Matteo Bini.
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Johannes Kepler
In seguito Johannes Kepler, un collaboratore di Tyco Brahe, osservando i risultati raccolti, enunciò tre leggi e formulò
un nuovo sistema. Egli rappresentava il prototipo del fisico teorico: ovvero colui che si preoccupa più di interpretare
i dati a disposizione che di procurarseli. Inizialmente creò un modello basato sulla teoria eliocentrica e realizzato con
orbite circolari, ma si rese conto ben presto che tale sistema non poteva soddisfare tutti i dati raccolti da Tyco.
Decise così di cambiare la sua teoria e trasformò le orbite da circolari a ellittiche.
Ecco le conclusioni a cui giunse:
1) I pianeti si muovono su orbite ellittiche, in cui il Sole è uno dei fuochi
2) I pianeti spaziano aree uguali in tempi uguali (i pianeti lontani vanno più lenti)
3) Il quadrato del periodo, fratto il cubo del semiasse maggiore dell'orbita, è una costante.
T2
K
r3
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Kepler notò anche che vi era una relazione tra la distanza media e il periodo.
R
0,39
0,72
1
1,52
5,2
9,54
19,19
T
0,24
0,62
1
1,88
11,86
29,46
84,01
R è la distanza media tra i pianeti del Sistema
Solare ed il Sole. T è il periodo dell'orbita
ellittica. Il grafico mostra tale rapporto.
1 R è uguale alla distanza Terra-Sole.
1 T è uguale al tempo di rivoluzione della
Terra intorno al Sole.
Galileo Galilei
Qualche anno più tardi anche un'altro scienziato si interessò allo studio degli astri. Galileo perfezionò il cannocchiale
inventato in Olanda e fu il primo a puntarlo verso il cielo. Grazie a tale strumento, potè osservare le fasi di Venere e
le quattro lune di Giove. Questi elementi diedero un "colpo mortale" al modello geocentrico.
Il contributo di Newton
Un secolo dopo, Newton ipotizzò che le leggi della dinamica che aveva elaborato, osservando i moti sulla Terra,
valessero anche per i corpi celesti. Cercò quindi d'interpretare i moti celesti in termini di Forza.
Per semplificare il ragionamento di Newton riscriviamo le leggi di Kepler immaginando che le orbite dei pianeti siano
circolari, invece che ellittiche.
1) I pianeti descrivono intorno al Sole orbite circolari aventi come centro il Sole
2) Il moto dei pianeti è uniforme (spazia aree uguali in tempi uguali ed archi uguali in tempi uguali)
3) I quadrati dei tempi impiegati dai pianeti a descrivere le orbite, sono proporzionali ai cubi dei raggi(definito
raggio il raggio dell'orbita circolare) delle orbite. ( T 2 = K  r 3 )
Presupposti
T 2 = K  r3
terza legge di Kepler
F =ma
seconda legge di Newton
Si definisce circolare uniforme il moto di un punto che descrive
una traiettoria circolare con velocità di modulo costante.
FAB =  FBA
terza legge di Newton
Si definisce periodo (T) di m.c.u. il tempo impiegato dal punto in
moto a descrivere un' intera circonferenza.
Si definisce frequenza (f) di un m.c.u. Il numero di giri compiuti
dal punto in moto in un tempo unitario.
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
ac =
V2
r
accelerazione centripeta (m.c.u.)
V=
2r
T
modulo della velocità (m.c.u.)
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Il ragionamento di Newton
ac =
V 2 4r 2 1 4r
= 2  = 2
r
T
r T
T 2 = K  r3 
Unire la formula dell'accelerazione centripeta con quella della velocità
4r
4r
4π
=
=
2
3
T
K r
K  r2
Sostituire il periodo (T), con la relazione
ricavata dalle terza legge di Kepler
Considerare la forza agente su un pianeta (P) che ruota attorno al Sole (S)
FSP = mP  ac
ac =
4π
4π
Sostituire l'accelerazione centripeta, con la relazione ricavata in
 mP  ac = mP 
2
K r
K r2
precedenza nella seconda legge di Newton
FSP =
mP 4π

r2 K
Raggruppare gli elementi non "variabili"
Otteniamo quindi una costante:
4π
= CS
K
FSP =
mP
 CS
r2
Considerare la forza agente sul Sole (S) da parte del pianeta (P)
FPS =
mS
 CP
r2
Per la terza legge di Newton (principio di azione e reazione) esiste anche una forza di uguale modulo e
direzione ma verso opposto che il pianeta esercita sul Sole. Quindi, è possibile mettere a confronto le due
equazioni
mS
mP

C
=
 C P  m P  C S = mS  C P
S
r2
r2
CS
C
= P =G
mS mP
Da cui dividendo entrambi i membri delle equazioni per il
prodotto della masse mP  mS
Il rapporto tra la costante e la massa è una costante, che chiamiamo Costante di
gravitazione universale (G)
C S = G  mS 
mP
m
 C S = 2P  G  mS
2
r
r
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In conclusione otteniamo la legge di gravitazione di Newton:
FSP =
G  mS  m P
r2
Lo stesso procedimento si può ripetere per tutti i pianeti del sistema solare.
La relazione ricavata descrive la gravitazione che vale per le masse dei pianeti e del Sole.
Ma la stessa legge può valere per qualsiasi coppia di corpi nell'universo?
La legge di gravitazione è universale
Newton ha dimostrato che la legge di gravitazione è valida nello spazio per i corpi celesti.
Ma la domanda che ci poniamo adesso è: la legge di gravitazione vale solo per i pianeti o invece si può applicare a
qualsiasi coppia di masse nell’Universo? E per quanto riguarda la Terra, qual è l'esatta relazione fra la legge di
gravitazione e la Forza Peso?
Newton provò a rispondere a queste domande.
Per dimostrare che la legge di gravitazione è universale provò ad applicare la relazione trovata prendendo come
masse di paragone, non più Sole e Terra, ma un oggetto sulla Terra e la terra stessa.
Newton intuisce tale affermazione con questo ragionamento:
"Un oggetto in caduta libera sulla terra (ad esempio una mela) ha un'accelerazione g (9,8 m/s2). La forza in
questione, che chiameremo Forza Peso (P), si calcola moltiplicando la massa dell'oggetto per la sua accelerazione (in
questo caso g)."
F = m  a  P = mM  g
Applicare adesso la relazione gravitazionale tra Sole e pianeta alla mela e la terra, otteniamo: (metti anche
legenda)
FSP =
G  mS  mP
G  mM  mT
 P=
2
2
r
rT
Mettere ad equazione le due relazioni
mM  g =
G  mM  mT
2
rT
Semplificare
g=
G  mT
2
rT
Abbiamo trovato l'accelerazione di gravità che agisce sulla mela.
Newton deve dimostrare che la legge di gravitazione è universale. Il suo approccio era di tipo scientifico, questo
per l'epoca era una novità.
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Note tratte dal corso di fisica di 3F a.s. 2011/12 - Prof. Fubini.
Egli prende in considerazione la terra e la Luna (per la sua facile osservazione) e ne studia l'attrazione
reciproca.
Come per la relazione tra Sole e pianeta, si assume per semplicità che la Luna abbia un'orbita circolare.
Se l'ipotesi che la massa della terra è responsabile della caduta degli oggetti è vera, si può trovare una
corrispondenza tra il tempo di caduta di un oggetto sulla terra e il tempo di "caduta" della Luna.
mL = Massa luna
1
y = gt 2
2
t = 1s
mT = Massa Terra
dTL = Distanza Terra-Luna
g = 9,8m / s 2
y = 4,9m
aL = Accelerazione lunare
Dopo aver calcolato il tempo di caduta di un oggetto sulla terra (relazione tempo caduta = 4,9 m in un
secondo), considerare l'attrazione della terra rispetto alla Luna.
Riscrivere la relazione di gravità con i nuovi dati
G  mS  mP
G  mL  mT
 FTL =
2
2
r
dTL
Dato che la distanza terra-Luna è circa 60 volte il raggio terrestre, l'accelerazione di un oggetto sulla terra
dovrebbe essere circa 3600 volte l'accelerazione della Luna.
G  mT
aL =
2
dTL
FSP =
aL =
G  mT
 1

  dTL 
 60

2
se si applica la legge oraria e si divide per 3600,
2
 1

 d 
aL G mT  60 TL 
1
=

=
2
g
G  mT
3600
dTL
si può prevedere che la caduta della Luna sia:
yL =
4,9
m = 0,136cm
3600
Newton vuole verificare che la sua ipotesi è corretta. La sua intenzione rappresentava una novità per l'epoca e
coincide con la nascita del pensiero scientifico. Nessuno prima d'allora, aveva agito con così tanto rigore.
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L'ipotesi sarà verificata, se il risultato di tale misura è comparabile con quella previsto.
Supporre che la Luna percorra orbite circolari di periodo (T) di 27,3 giorni.
La circonferenza dell'orbita della Luna ha come centro il centro della terra ( 0;dTL ) ed ha equazione:
x 2 +  y + dTL  = dTL
2
2
x 2 + y 2 + 2dTL y = 0
Considerare un piccolo arco di circonferenza percorso dalla Luna in un secondo:
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Dobbiamo trovare lo spazio di caduta della Luna ( y L ) in un secondo:
x 2 + y 2 + 2dTL y = 0  x 2 + 2dTL y  (
y
+1 ) = 0 Raccogliere 2dTL y . Dato che la y di caduta della Luna in
2dTL
un secondo è molto inferiore alla distanza terra-Luna, la quantità
y
è trascurabile.
2d TL
y << dTL  x 2 + 2dTL y +1 = 0
La circonferenza può essere approssimata ad una parabola se si considerano piccoli tratti di arco.
y=
1 2
x
2dTL
Quanto vale questa quantità dopo un secondo?
Dato che l'arco è molto piccolo, può essere considerato come un segmento.
Perciò la variazione di spazio, può essere calcolata con la formula del moto rettilineo:
X V t
VL 1s
x
2
1s
 2d TL

 VL  1s   
 1s 
 TL

y1s = 
2
2
2
1
4π dTL
2
 x1s =
 2  1s 2  0,136cm
2dTL
r TL
Newton così ha dimostrato che la sua intuizione era corretta: il moto di una mela in caduta libera sulla Terra
e il moto dei pianeti e dei corpi celesti in generale sono regolati dalla stessa forza, che a ragione può essere
chiamata universale.
Ma cosa significa universale?
La forza che tiene insieme il sistema solare agisce su tutti i corpi dotati di massa, dai pianeti agli atomi.
F=
G  m1  m2
r2
Quindi, vale per ogni coppia di masse nell'universo.
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