Giroscopio

GIROSCOPIO
Scopo dell’esperienza:
Verificare la relazione:
ωp = bmg/Iω
dove ωp è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il
momento principale d’ inerzia assiale, m la massa del giroscopio e g l’accelerazione di
gravità e b la distanza fra baricentro del giroscopio e punto di appoggio (= polo di
rotazione).
Teoria fisica
Nella trattazione del moto dei corpi rigidi si può andare dal caso più semplice di moto
di un corpo vincolato, in cui l’asse è in ogni caso fisso, al moto di un corpo non vincolato
attorno ad un asse coincidente con un asse centrale d’inerzia (anche in questo caso
l’asse risulta fisso), al corpo che ruota attorno ad un asse centrale d’inerzia, ma
essendo soggetto ad un momento di forza (e l’asse mostra un moto di precessione
attorno ad una direzione fissa) fino al caso in cui il corpo è posto inizialmente in
rotazione attorno ad un asse diverso da un asse centrale d’inerzia ed il moto si svolga
sotto l’azione di un sistema di forze qualunque. Nei casi più generali la soluzione delle
equazioni del moto può risultare molto complicata. Analizziamo alcuni casi particolari,
che risultano pertanto di trattazione semplificata.
Il momento angolare totale è la somma dei singoli momenti angolari che, di norma, non
sono paralleli all’asse di rotazione: di conseguenza in generale anche il momento
angolare totale non è parallelo all’asse di rotazione. Ci si può chiedere se esista, per
ogni corpo, un asse di rotazione tale che il momento angolare totale risulti parallelo ad
esso. La risposta è si: qualsiasi sia la forma del corpo è possibile trovare di minimo tre
direzioni fra di loro perpendicolari tali che, se il corpo ruota attorno a quell’asse, il
momento angolare totale risulti parallelo all’asse di rotazione. Essi sono chiamati assi
principali di inerzia ed i corrispondenti momenti di inerzia sono detti momenti
principali di inerzia.
Gli assi principali di inerzia costituiscono un sistema di riferimento solidale col corpo
ed, in generale, ruotano rispetto all’osservatore. Quando il corpo ha un qualche tipo di
simmetria, gli assi principali di inerzia coincidono con questi assi di simmetria.
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Quando un corpo ruota attorno ad un asse principale di inerzia, il momento angolare
totale è parallelo alla velocità angolare e si può scrivere la relazione vettoriale:
L = Iω
Nel caso più generale di rotazione del corpo rigido attorno ad un asse qualsiasi, il
momento angolare totale può essere espresso rispetto agli assi principali di inerzia
come:
L = I1 ωx0 ux0 + I2 ωy0 uy0 + I3 ωz0 uz0
dove ux0, uy0, uz0 sono i tre versori degli assi principali d’inerzia e ωx0, ωy0, ωz0 sono le
corrispondenti componenti della velocità angolare. L ed ω hanno direzioni diverse, ma
usando questa espressione, I1, I2, I3 sono quantità fisse (essendo riferite agli assi
principali d’inerzia) che possono essere valutate per ogni corpo. I versori ux0, uy0, uz0
non sono fissi nello spazio, ma ruotano con il corpo stesso, essendo ad esso solidali.
Come esempio, possiamo vedere nel caso in figura come ‘nasca’ il vettore momento
angolare: il corpo ruota attorno all’asse di rotazione con velocità angolare ω,
scomponibile rispetto alle tre direzioni ux0, uy0, uz0 che caratterizzano gli assi
principali d’inerzia. Il momento di inerzia rispetto ad ognuno di questi assi è stato
calcolato ed è riportato in figura. Il vettore momento angolare nasce dalla somma
vettoriale delle tre componenti I1 ωx0 ux0 + I2 ωy0 uy0 + I3 ωz0 uz0 , non coincide con il
vettore ω, e varia come direzione nello spazio durante la rotazione del corpo, non
essendo i tre versori degli assi principali d’inerzia fissi nello spazio. Se il modulo del
momento angolare rimane costante, si ha comunque una variazione del momento
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angolare, riconducibile all’azione di un momento della forza, legata alla variazione della
direzione del momento angolare stesso.
Il giroscopio è costituito da una ruota libera di ruotare attorno ad un asse, passante
per un punto fisso, posto a distanza h dal centro di massa della ruota. L’asse di
rotazione coincide con uno degli assi principali d’inerzia del giroscopio stesso. Il
giroscopio ha simmetria cilindrica (rispetto all’asse z): i momenti d’inerzia rispetto
all’asse x e y coincidono mentre quello rispetto all’asse z è diverso. Iz viene detto
momento assiale, mentre Ix = Iy = Ixy viene detto momento equatoriale.
Sperimentalmente si può calcolare il momento d’inerzia assiale tenendo l’asse del
giroscopio orizzontale e attaccando una massa sulla circonferenza perimetrale del
giroscopio. Il giroscopio diventa così un pendolo composto, dal cui periodo di
oscillazione è possibile ricavare il momento di inerzia, che è la somma del momento di
inerzia del puro giroscopio + il contributo mR2 dovuto alla massa m posta a distanza R
dall’asse.
Iz’ = Iz + mR2
Anche per ricavare il momento d’inerzia equatoriale si sfrutta la possibilità di
trasformare il giroscopio in un pendolo composto che può oscillare attorno ad un asse
passante per il punto di appoggio. Essendo d la distanza del centro di massa del
giroscopio dal punto di appoggio, il momento di inerzia misurato attraverso il periodo
è:
Ixy’ = Ixy + Md2
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da cui è possibile ricavare Ixy
Il giroscopio è caratterizzato da due moti: il moto di precessione e quello di
nutazione.
1) moto di precessione
Il giroscopio può essere pensato come una trottola che ruota intorno ad un asse
principale d’inerzia con velocità angolare ω grande, diretta lungo l’ asse.
Il polo di rotazione (O) non coincide col baricentro del corpo (B), in cui è applicata la
forza peso mg. Il momento della forza rispetto ad O è τ = b ∧ mg. Il vettore L = Iω è
diretto lungo l’asse del giroscopio, mentre τ è perpendicolare all’asse. Il momento
meccanico fa variare solo la direzione del momento angolare, che ruota
perpendicolarmente all’asta ed a τ, descrivendo una circonferenza in senso antiorario.
dθ è l’angolo percorso dal vettore L nel tempo dt alla velocità angolare ωp, da cui
risulta che: dθ = ωp dt.
Chiamando r il raggio della circonferenza descritta dal vettore L si può dire che:
dL = r dθ
per la definizione dell’angolo in radianti, e:
r = L sen ϕ
ove ϕ è l’angolo tra il vettore L e la direzione della verticale.
È facile verificare che : dL = r dθ = L sen ϕ dθ = L sen ϕ ωp dt.
Dalla II equazione cardinale del moto si ha che:
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dL = τ dt ⇒ dL = τ dt
Allora:
dL = τ dt = L sen ϕ ωp dt
Visto che τ = mgb sen ϕ e L = Iω, possiamo ricavare il valore di ωp:
ωp = mgb/Iω
ωp è la velocità di precessione; abbiamo così stabilito il legame che intercorre tra la
velocità angolare di rotazione (ω) e quella di precessione.
È stata fatta un’approssimazione: per poter scrivere L = Iω si assume ω>>ωp.
2) moto di nutazione (non utilizzata nell’a.a.2003/2004)
Mentre il moto di precessione avviene su un piano orizzontale, quello di nutazione è
un’oscillazione lungo una direzione verticale. In generale l’angolo ϕ non rimane
costante, ma oscilla fra due valori fissi in modo che l’estremo di L, mentre precede
attorno a z, oscilli fra due cerchi C e C’.
Consideriamo una ruota che giri rapidamente attorno al suo asse orizzontale, con
l’estremo B poggiato su un sostegno verticale in modo che l’asse possa ruotare, sia in
un piano orizzontale sia in un piano verticale, con attrito ridotto al minimo. Teniamo la
ruota in posizione orizzontale in modo che non preceda, e lasciamola poi libera
all’istante t= 0. il momento della forza agisce in modo che il punto A si abbassi e
questo porta ad una variazione del momento angolare ∆L nella direzione dell’asse y.
Tuttavia, a causa della sospensione dell’asse nel punto B e dell’orientazione verticale
del supporto, il momento angolare nella direzione y si deve conservare ed il sistema
acquista una velocità angolare ω’ diretta lungo y. La ruota ed il suo asse girano in
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senso antiorario. Tuttavia il valore di ω’ è maggiore di quello che si dovrebbe avere
per soddisfare la pura condizione di moto di precessione, cioè la variazione di
momento angolare nella direzione orizzontale è maggiore di quanto dovrebbe essere
secondo la relazione ωp= mgb/L . Questa situazione richiede una velocità angolare
nella direzione di τ, ma in verso opposto e l’asse si muove di nuovo verso l’alto. Man
mano che l’asse precede con velocità angolare ω’ è presente anche il moto ‘a festone’
mostrato in figura.
Nel caso generale, il moto di nutazione si sovrappone a quello della precessione, dando
origine a quel percorso ‘frastagliato’ del vettore momento angolare attorno all’asse
verticale. Possiamo cercare di concentrare l’attenzione sul solo moto di nutazione.
Supponiamo quindi di essere in una condizione in cui il polo coincida col baricentro: il
momento della forza τ è nullo, essendo nullo il braccio della forza , perciò:
τ = 0 ⇒ L = costante
Il momento angolare L è costante sia in modulo sia in direzione. Esso è legato a ω
tramite una matrice d’inerzia o tensore:
L = I ω
Quando gli assi di rotazione coincidono con gli assi principali d’inerzia, la matrice I è
molto semplificata: è una matrice diagonale che ha sulla diagonale principale Ix, Iy e Iz
mentre tutti gli altri elementi sono nulli.
Essendoci anche una simmetria cilindrica, Ix = Iy = Ixy ed il momento angolare si può
scrivere:
L = Ixy ωx ux + Ixy ωy uy+ Iz ωz uz
dove ωx, ωy e ωz sono le componenti della velocità angolare di rotazione ω rispetto al
sistema degli assi principali d’inerzia. Non necessariamente però il momento angolare
coincide con l’asse di rotazione del corpo: ciò avviene solo se la rotazione avviene
attorno ad un asse centrale d’inerzia.
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In particolare poniamo il giroscopio nella situazione caratterizzata da questo stato di
moto ‘equilibrato’ e notiamo che l’asse non ha moto di precessione. Agiamo poi con
l’applicazione di una rapida forza perturbante, rompendo la situazione di equilibrio che
si era istaurata. Il giroscopio reagisce come abbiamo visto sopra, mostrando il moto di
oscillazione attorno alla posizione di equilibrio.
Consideriamo un particolare istante in cui gli assi principali coincidano con gli assi del
sistema di riferimento del laboratorio.
Possiamo scomporre la velocità di rotazione ω in due componenti (in questo istante la
terza componente risulta nulla), una lungo l’asse z e l’altra lungo la direzione del
momento angolare. Quest’ultima esprime il moto della nutazione, che produce una
precessione dell’asse di rotazione attorno alla direzione del momento angolare, che in
questo caso è fisso.
Abbiamo quindi due velocità di rotazione: ωN , nella stessa direzione di L, ed ω, che
forma un angolo θ con L: le due velocità si sommano vettorialmente.
Notiamo che la componente x della velocità angolare può essere espressa anche
attraverso la proiezione sull’asse x della velocità ωN , che le componenti del momento
angolare possono essere espresse attraverso i momenti di inerzia per le relative
componenti delle velocità angolari e che senθ = ωx/ωN = Lx/L
Possiamo cioè scrivere che:
Lx = L sen θ
(1)
Ly = 0
Lz = L cos θ
(θ è l’angolo compreso tra il versore -k e la direzione di L).
Visto che L = I ω:
Lx = Ixy ωx
Ly = 0
(2)
Lz = Iz ωz
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Dall’uguaglianza di (1) e (2) si ottiene che:
ωN/ωz = Iz/(Ixy cos θ)
Sapendo che ω = 2πf, dove f è la frequenza, si ricava che:
fn = (Iz/(Ixy cos θ)) fz
dove fz è la frequenza di rotazione e fn è la frequenze di nutazione.
Sotto l’ipotesi che θ sia piccolo, si può fare l’approssimazione: cos θ ≈ 1. Allora:
fn = (Iz/Ixy) fz
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