Note introduttive sulla geometria analitica
Cosa è la geometria analitica?
La geometria analitica è un ramo della geometria in cui gli enti geometrici (come punto, retta,
piano, conica, ecc.) si studiano mediante il linguaggio ed i metodi dell'algebra.
Strumento fondamentale della geometria analitica è il sistema di coordinate cartesiane.
La geometria analitica può essere vista come:
1) l'applicazione dell'algebra alla geometria;
2) l’applicazione della geometria all’algebra.
Che significa "applicazione dell'algebra alla geometria"?
La geometria analitica affronta la geometria con tutti gli strumenti algebrici ora studiati (in massima
parte equazioni e sistemi, ma anche espressioni, radici quadrate e, come si vedrà, strumenti algebrici
più raffinati). Così, ogni problema geometrico si risolve mediante operazioni algebriche.
Spieghiamo ora che significa " applicazione della geometria all’algebra ".
Significa che ogni problema di algebra o che normalmente si risolve con strumenti algebrici, si può
risolvere anche con l’ausilio della geometria.
Nella geometria analitica ogni equazione, ogni sistema e, in generale, tutto ciò che si è studiato in
algebra assume o può assumere un significato geometrico. Ad esempio, in geometria analitica,
un'equazione di primo grado rappresenta una retta, un'equazione di secondo grado può
rappresentare una circonferenza o una parabola o un'altra conica, una disequazione può
rappresentare una porzione di piano, un sistema di equazioni può rappresentare delle figure che si
intersecano, e così via. Quindi, ogni volta che si presenta un problema che, per essere risolto ha
bisogno di equazioni o sistemi di equazioni o altri strumenti algebrici, può essere risolto anche con
rette, circonferenze, parabole, ecc.
Quindi, con la geometria analitica, un problema geometrico si trasforma in un problema algebrico
(come vedremo presto parlando di rette e poi di coniche) e, viceversa, un problema algebrico può
risolversi mediante l'ausilio della geometria (come vedremo quando affronteremo le disequazioni di
secondo grado che risolveremo mediante l'ausilio della parabola).
La geometria analitica e Cartesio
Il filosofo francese René Descartes , detto anche Renatus Cartesius e, in italiano, Cartesio ( 1596 –
1650), fu l'inventore della geometria analitica, pubblicata nel suo trattato "La géométrie" nel 1637.
Da lui hanno preso il nome i concetti di "piano cartesiano", "assi cartesiani", "sistema di coordinate
cartesiane", ecc.
Importanza della geometria analitica
La geometria analitica ha avuto un ruolo fondamentale nello sviluppo della matematica. Senza la
geometria analitica gran parte della matematica inventata dopo Cartesio non sarebbe stata possibile,
come ad esempio la geometria degli spazi a più di tre dimensioni o l’analisi infinitesimale. Ancora,
le tecniche della geometria analitica, hanno permesso ulteriori sviluppi del calcolo infinitesimale e
della teoria delle funzioni (argomenti che costituiscono il nocciolo del programma di quinta), e
hanno posto le basi per i nuovi aspetti della matematica superiore.
Note introduttive sulla geometria analitica
Innovazioni nell'opera di Cartesio
Formalismo algebrico
Cartesio migliorò il formalismo algebrico (che è l'insieme dei simboli che noi usiamo nell'algebra)
al punto tale che La géométrie di Descartes è il più antico testo matematica che uno studente di
algebra odierno potrebbe leggere senza incontrare difficoltà nella notazione. L'unico simbolo
arcaico esistente nel libro è l'uso di al posto di = per esprimere l'uguaglianza.
Nuova concezione nell'uso delle lettere dell'alfabeto
Deriva da Cartesio la consuetudine di adoperare le prime lettere dell'alfabeto (a, b, c,...) per indicare
i parametri (ossia numeri prefissati) e delle ultime (x, y, z) per esprimere le incognite (ossia numeri
che non si conoscono e che si devono determinare).
Inoltre, in un aspetto essenziale egli rompeva con la tradizione greca. Infatti, i greci volevano dare
ad ogni espressione algebrica un significato geometrico. Essi consideravano per esempio, x 2 e x3
come un'area e un volume e quindi come grandezze non omogenee che non si potevano sommare.
Ciò significa che non avrebbero mai potuto scrivere un'espressione del tipo x2 + x3. Addirittura per i
greci sarebbe stato impossibile scrivere x4 perché avrebbero dovuto concepire una quarta
dimensione spaziale. Ancora, per loro, un'espressione del tipo a2b2 - b era inconcepibile, perché non
ha nessun significato geometrico moltiplicare due aree (rispettivamente a2 e b2) e poi sottrarle per
una lunghezza (ossia b). Cartesio invece, supera questa limitazione dei greci e quindi può
considerare qualsiasi espressione letterale senza dover incorrere ad assurdità geometriche.
I "difetti" dell'opera di Cartesio
1) Non viene fatto sistematico uso di coordinate ortogonali, ma vengono spesso usate coordinate
oblique, ovviamente molto più scomode.
2) Ai tempi di Cartesio i numeri negativi non sono ben accetti ai matematici. Anche Cartesio usa
malvolentieri i numeri negativi e non usa mai ascisse negative.
3) L'opera di Cartesio risulta di lettura molto difficile per i matematici del suo tempo, perché
Descartes ha omesso una grande quantità di dettagli elementari, necessari per la sua comprensione.
In alcune osservazioni conclusive Cartesio cercò di giustificare i difetti dell'esposizione con
l'assurda affermazione di aver taciuto molte cose per non privare il lettore della gioia della scoperta.
Nella sua genialità non si rendeva conto della difficoltà che gli altri avrebbero incontrato nella
comprensione delle nuove e profonde concezioni.
La geometria analitica e Fermat
L'unico che potesse rivaleggiare con Descartes in abilità matematica era Pierre de Fermat (16011665), ma neppure questi era un matematico di professione, bensì un avvocato.
Indipendentemente da Cartesio egli scoprì i principi fondamentali della geometria analitica,
descritta in una sua opera "Introduzione ai luoghi" pubblicata postuma. Pertanto agli occhi di molti
la geometria analitica apparve come un'invenzione personale di Descartes.
È un peccato che Fermat non abbia pubblicato quasi nulla durante la sua vita: la sua esposizione era
infatti molto più sistematica e didattica di quella di Descartes. Inoltre, la sua geometria analitica era
un po' più vicina alla nostra, per il fatto che in essa l'asse delle ordinate erano ortogonali rispetto
all'asse delle ascisse.
Fermat, sviluppando i suoi studi sulla geometria analitica, pervenne a conclusioni molto avanzate
per l'epoca, per le quali è considerato il precursore del calcolo differenziale (che si fa in quinta) con
il suo metodo per la individuazione dei massimi e dei minimi delle funzioni, analogo a quello del
calcolo differenziale che sarà sviluppato da Gottfried Leibniz e Isaac Newton.
Fermat oggi è famoso per i suoi studi sulla teoria dei numeri che ci danno la possibilità, tra l’altro,
di crittografare le informazioni segrete che inviamo al computer (come le password per la posta
elettronica o i codici segreti per le operazioni bancarie on line).
Note introduttive sulla geometria analitica
Tornando a Cartesio e a Fermat, può sembrare strano che due persone abbiano inventato
contemporaneamente la stessa cosa indipendentemente l’uno dall’altro. In realtà questa è una cosa
che si è verificata spesso nella storia della Matematica, perché una scoperta si verifica quando i
tempi sono “maturi”, ossia, quando le conoscenze dell’umanità sono pronte a recepire la nuova
scoperta.
Per esempio, ricordiamo infatti che:
1) A metà del ‘500, la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado fu scoperta
contemporaneamente da Scipione Dal Ferro, Niccolò Tartaglia e Girolamo Cardano.
2) Nella prima metà del ‘600 la geometria analitica è stata inventata contemporaneamente da
Cartesio e da Fermat.
3) Nella prima metà del ‘600 i logaritmi furono inventati contemporaneamente da Nepero e da
Jobst Bürgi.
4) Nella seconda metà del ‘600 l’analisi infinitesimale è stata inventata contemporaneamente
da Newton e da Leibniz.
5) Nella prima metà dell’ ‘800 le geometrie non euclidee sono state inventate quasi
contemporaneamente da Gauss, Bolyai e Lobačevskij.
RISPONDERE ALLE SEGUENTI DOMANDE
1) Cosa è la geometria analitica?
2) Che si intende per “applicazione dell’algebra alla geometria”? E cosa per
“applicazione della geometria all’algebra”?
3) Chi ha inventato la Geometria analitica?
4) Ha avuto importanza la geometria analitica nello sviluppo della Matematica?
5) Oltre alla geometria analitica, quali sono le innovazioni in Matematica che ha
introdotto Cartesio?
6) Quali sono i difetti dell’opera di Cartesio "La géométrie"?
7) Chi fu un altro matematico che inventò la geometria analitica contemporaneamente a
Cartesio? E per cosa è famoso?
8) Succede spesso nella Matematica che due o più persone facciano contemporaneamente
la stessa scoperta?
NOTA: La maggior parte delle informazioni scritte in questi appunti è stata tratta dal libro "Storia
della matematica" di Carl B. Boyer, Mondadori
