Fisica Febbraio - Matematica e Fisica

5^A - FISICA
compito n°3 - 2016-17
1. Un'astronave A parte dalla Terra con velocità v A=0,300 c (rif. Terra) diretta verso una stella S
(ferma rispetto alla Terra) che si trova alla distanza d S =6,00 anni luce dalla Terra.
Dopo un anno (rif. Terra) parte dalla Terra un'astronave B con velocità v B =0,500 c (rif. Terra)
che raggiunge l'astronave A, la supera e raggiunge la stella prima di A.
Inoltre, dopo un anno e dopo due anni (rif. B) dalla propria partenza, l'astronave B emette due
impulsi luminosi L1 ed L2 verso la Terra.
Descrivi la situazione tramite un diagramma posizione-tempo (rif. Terra) che mostri in maniera
chiara e precisa la linea oraria della Terra, della stella, delle astronavi A e B, degli impulsi
luminosi L1 ed L2. Rispondi alle seguenti domande nei riferimenti indicati.
a. Dopo quanto tempo dalla partenza dell'astronave A avviene l'incontro tra le due astronavi?
(rif. Terra - rif. A)
b. A quale distanza dalla Terra avviene tale incontro? (rif. Terra - rif. A)
c. Quanti anni è durato il viaggio dell'astronave B verso la stella? (rif. Terra - rif. B)
d. Qual è la distanza della stella dalla Terra (rif. A)?
e. Qual è la velocità con cui l'astronave B si avvicina all'astronave A? (rif. A)
f. Qual è l'intervallo di tempo tra l'emissione degli impulsi L1 ed L2? (rif. Terra)
g. Qual è l'intervallo di tempo tra la ricezione degli impulsi L1 ed L2? (rif. Terra)
h. In un certo riferimento, gli eventi E1: “Le astronavi A e B si incontrano” ed E2: “L'astronave B
raggiunge la stella S” avvengono nello stesso luogo. Calcola la velocità vX di tale riferimento
(rif. Terra). Spiega il risultato ottenuto.
2. Spiega il motivo per cui l'enunciato del Principio di Relatività Galileiana contiene la limitazione
relativa ai fenomeni meccanici. (circa 8 righe)
3. Spiega cosa avrebbe dovuto misurare l'esperimento di Michelson e Morley e quali furono le
spiegazioni proposte per il risultato trovato. (circa 8 righe)
5^A - Correzione compito n°3
1. Nel diagramma posizione-tempo, la linea
oraria della Terra coincide con l'asse x, quella
x
(a.l)
E2
S
della stella coincide con la retta di eq.
B
x=6 , quelle delle astronavi A e B sono in
A
blu ed in rosso, quelle degli impulsi luminosi
sono in verde chiaro.
a. Poniamoci nel riferimento della Terra e
misuriamo
il
tempo
in
anni,
lo
E1
spostamento in anni luce e, quindi, la
velocità in frazioni di c. Poniamo
t=0
L1
L2
T
t
(anni)
alla partenza dell'astronave B.
La posizione iniziale dell'astronave A sarà quindi: x 0 A=0,3 a.l.
Le leggi orarie delle due astronavi sono:
x A=v A t1=v A tx 0 A=0,3 t0,3 ; x B =v B t=0,5 t .
L'incontro tra le due astronavi avviene quando:
x A= x B ⇒ 0,3 t0,3=0,5 t ⇒ 0,2 t=0,3 ⇒ t incontro=1,50 anni .
Nel riferimento della Terra, è quindi trascorso un tempo t inc 1=2,50 anni dalla partenza
dell'astronave A. Nel riferimento dell'astronave A, a causa del fenomeno della “dilatazione dei
tempi”, il tempo trascorso è:
inc A =
t inc 1
A
≃2,5  1−0,32≃2,38 anni .
b. Nel riferimento della Terra, al momento dell'incontro entrambe le astronavi hanno percorso
una distanza: d inc =0,3⋅2,5=0,5⋅1,5=0,750 a.l.
Nel riferimento di A, tale distanza subisce il fenomeno della “contrazione delle lunghezze”:
d ' inc =
d inc
A
≃0,75  1−0,3 ≃0,715 a.l.
2
ovvero: d ' inc =v A inc A≃0,3⋅2,38≃0,714 a.l. (differenza non significativa).
c. Nel riferimento della Terra, la durata del viaggio di B verso la stella è data da:
d B =v B t viaggio ⇒ t viaggio =
dS 6
≃
≃12,0 anni .
v B 0,5
Nel riferimento dell'astronave B, per la “dilatazione dei tempi”, la durata del viaggio è:
viaggio B =
t viaggio
B
≃12  1−0,52≃10,4 anni .
d. Per la “contrazione delle lunghezze”: d ' S =
dS
A
≃6  1−0,32≃5,72 a.l.
e. Per la “composizione relativistica delle velocità”:
v BA =
v B −v A
1−v A v B / c
2
=
0,5 c−0,3 c
≃0,235 c .
1−0,5 c⋅0,3 c / c 2
f. Nel riferimento della Terra, l'intervallo di tempo tra le emissioni dei due impulsi è:
 t em= B  =
1
 1−0,52
≃1,15 anni .
g. L'intervallo di tempo con cui gli impulsi vengono ricevuti dalla Terra è maggiore di quello con
cui vengono emessi, in quanto l'astronave B si sta allontanando dalla Terra, per cui il secondo
impulso deve percorrere una distanza maggiore rispetto al primo.
Nel tempo  t em , l'astronave si allontana dalla Terra di:
 x=v B  t em≃0,5⋅1,15≃0,575 a.l. .
L'intervallo di tempo tra la ricezione dei due impulsi sulla Terra è quindi:
 t ric = t em
x
≃1,150,575≃1,73 anni .
c
h. Nel riferimento della Terra, l'evento E1 ha coordinate x 1=0,750 a.l. , t 1=1,50 anni ,
mentre l'evento E2 ha coordinate x 2=6,00 a.l. , t 2=12,0 anni .
Per le TL:  x ' = x−v X  t =0 ⇒ v X =
 x 5,25 a.l.
≃
≃0,500 c .
 t 10,5 anni
Come è ovvio, il riferimento in questione è quello dell'astronave B, in cui entrambi gli eventi
avvengono nello stesso luogo di coordinate x 1 ' =x 2 ' =0 (l'astronave stessa).
2. Le leggi dell'elettromagnetismo scoperte nella seconda metà dell'Ottocento (eq. di Maxwell con
la previsione dell'esistenza di onde elettromagnetiche, forza di Lorentz) contenevano
esplicitamente la velocità delle onde o delle cariche, e quindi apparivano valide in un solo RI,
che veniva identificato con quello dell'etere. Pertanto, sarebbe stato possibile identificare il moto
degli altri RI rispetto all'etere, che assumeva il significato di un rif. “assoluto”.
3. L'esperimento di MM avrebbe dovuto misurare la velocità della Terra rispetto all'etere o, con
linguaggio ottocentesco, la velocità del “vento d'etere” incontrato dalla Terra nel suo moto
intorno al Sole. Il risultato negativo dell'esperimento fu spiegato da Einstein ammettendo che la
velocità della luce nel vuoto sia la stessa in tutti i RI. Spiegazioni alternative ammettevano che la
Terra trascinasse (totalmente o parzialmente) l'etere nel suo moto, che i corpi in movimento
subissero una contrazione della loro lunghezza o che la velocità della luce si componesse con
quella della sorgente di emissione.
Nota
Per sicurezza, verifichiamo alcuni punti del primo problema utilizzando le TL.
•
Per applicare le TL al passaggio dal riferimento della Terra a quello dell'astronave A, dobbiamo
fare in modo che al tempo t=t ' =0 essi abbiano la stessa origine, per cui, rispetto al sistema di
coordinate utilizzato nella soluzione precedente, dobbiamo eseguire una traslazione di 1 anno
verso sinistra lungo l'asse dei tempi. In questo nuovo sistema di coordinate, l'evento “incontro
delle astronavi A e B” ha, nel riferimento della Terra, coordinate x=0,75 a.l. , t=2,5 anni. .
Nel riferimento di A: t ' = A t−v A x /c≃
•
1
 1−0,3
2
2,5−0,3⋅0,75≃2,38 anni c.v.d.
Nel riferimento di A, la Terra si muove con velocità −v A per un tempo t ', per cui la distanza
che essa percorre è: d ' =v A t ' ≃0,3⋅2,38≃0,714 a.l. c.v.d.
•
Per applicare le TL al passaggio dal riferimento della Terra a quello dell'astronave B, invece, non
abbiamo bisogno di eseguire alcuna traslazione. L'evento “atterraggio dell'astronave B sulla stella
S” ha quindi, nel riferimento della Terra, coordinate x=6 a.l. , t=12 anni. .
Nel riferimento di B: t ' = B t−v B x / c≃
•
1
 1−0,52
12−0,5⋅6≃10,4 anni c.v.d.
Nel riferimento della Terra, il viaggio dell'astronave A verso la stella S ha una durata:
t=
dS 6
= =20 anni .
v A 0,3
L'evento “atterraggio dell'astronave A sulla stella S” ha quindi, nel riferimento della Terra,
coordinate x=6 a.l. , t=20 anni. .
Nel riferimento di A: t ' = A t−v A x /c≃
1
 1−0,32
20−0.3⋅6≃19,1 anni .
Nel riferimento di A, la stella S si muove con velocità −v A per un tempo t ', per cui la distanza
che essa percorre è: d ' =v A t ' ≃0,3⋅19,1≃5,73 a.l. c.v.d.