Il moto armonico

Il moto armonico
Il moto di un pendolo e quello di un’altalena sono moti oscillatori, in cui la traiettoria del moto è
ripetuta diverse volte in versi opposti. Il modello più semplice di moto oscillatorio, in cui si
trascurano gli effetti degli attriti che smorzano l’oscillazione, è quello del moto armonico.
Si chiama moto armonico il movimento che si ottiene proiettando su un diametro le posizioni di un
punto materiale che si muove di moto circolare uniforme.
Di conseguenza, la traiettoria del moto armonico è un diametro del moto circolare uniforme che lo
genera. Questo diametro divide la traiettoria del moto circolare uniforme in due semicirconferenze.
Come è mostrato nella figura 21, il punto Q che si muove di moto armonico oscilla in un verso (per
esempio quello negativo) mentre il punto P si muove su una delle semicirconferenze (per esempio
quella superiore) e nel verso opposto quando P percorre l’altra semicirconferenza.
Figura 21
Moto del punto Q sul diametro in conseguenza del moto di P sulla circonferenza.
Nella figura il punto P è disegnato a intervalli di tempo uguali, duranti i quali esso percorre archi
uguali. Invece si nota che, negli stessi intervalli di tempo, il punto Q che segue il moto armonico
non percorre distanze uguali; per la precisione:
nelle zone centrali il moto armonico è più rapido e percorre distanze maggiori in tempi uguali; agli
estremi il moto armonico è più lento e percorre distanze minori negli stessi tempi. Nei punti di
inversione del moto la velocità istantanea del punto è nulla.
Il grafico spazio-tempo del moto armonico
Il moto armonico si può studiare in laboratorio
grazie a una molla di buona qualità a cui è
attaccato un pesetto.
Con un sensore di movimento posto sotto la
molla si rileva il grafico spazio-tempo della
figura 22.
Dal grafico si possono dedurre due grandezze
fondamentali del moto armonico:
Figura 22
Grafico spazio-tempo del moto di un pesetto
attaccato a una molla
il periodo T, che è la durata di un’oscillazione completa avanti e indietro; l’ampiezza
dell’oscillazione, che è la distanza tra il valore massimo della curva da quello centrale
dell’oscillazione ed è uguale al raggio della circonferenza ideale che genera il moto armonico.
Con altri sensori è possibile studiare anche il grafico velocità-tempo del moto armonico e quello
accelerazione-tempo; nelle figure seguenti questi grafici sono sovrapposti a quello spazio-tempo per
avere un confronto.
Il grafico v-t conferma che la velocità si annulla Il grafico a-t rivela che a è nulla quando il moto
nei punti di inversione del moto (linee tratteggiate oscillatorio passa per il centro (punti di
arancioni), mentre assume il valore massimo
intersezione tra le due curve); inoltre a è
(positivo o negativo) al centro dell’oscillazione massima quando lo spostamento s è minimo e
(linee tratteggiate azzurre).
viceversa (linee tratteggiate).
Quindi,
il grafico spazio-tempo e quello accelerazione-tempo sono direttamente proporzionali, ma i segni
delle due grandezze sono sempre opposti.
La legge del moto armonico
La curva che compare nel grafico spazio-tempo del moto armonico disegnata dal sensore di
posizione si chiama cosinusoide. L’abbiamo ottenuta scegliendo un sistema di riferimento in cui
l’origine s = 0 m è posta al centro dell’oscillazione e scegliendo l’istante t = 0 s nel momento in cui
l’oscillazione è nel suo punto massimo. La formula che fornisce la posizione s in funzione
dell’istante di tempo t è:
s=rcosωt=rcos2πtT
(22)
Ricordando la costruzione presentata all’inizio
del paragrafo, ω è la velocità angolare del moto
circolare uniforme che genera il moto armonico e
r è il raggio della traiettoria circolare; ω e T sono
legati dalle equazioni (17).
Nel moto armonico r è l’ampiezza
dell’oscillazione e la grandezza ω viene chiamata
pulsazione.
Riferendoci al grafico (figura 23) della
cosinusoide riportato a lato, studiamo nella
tabella seguente alcuni casi:
Figura 23
Grafico spazio-tempo del moto armonico.
Moto armonico
t0
T/4
T/2
T
s s = r cos 0 = r s = r cos π/2 = 0 s = r cos π = –r s = r cos 2π = r

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
All’istante iniziale il corpo è nel punto di massimo spostamento positivo dal centro
dell’oscillazione.
Dopo 1/4 di periodo passa per il punto centrale.
Dopo 1/2 periodo è giunto al punto di massima oscillazione negativa.
Dopo un periodo, l’oscillazione ricomincia.
Per la velocità istantanea nel moto armonico, il grafico velocità-tempo visto in precedenza e la
teoria stabiliscono che vale la relazione
v=−ωrsenωt=−v0senωt.
(23)
Dove v0 = ωr è il massimo modulo della velocità del corpo che oscilla ed è anche il modulo della
velocità del moto circolare uniforme ideale che genera il moto armonico.
L’accelerazione del moto armonico
Una pallina che si muove di moto armonico si trova nel punto Q della sua traiettoria. Q è la
proiezione di un punto P che si muove di moto circolare uniforme. Il vettore posizione s⃗ di Q è il
vettore che ha origine nel centro di oscillazione e la punta dove si trova Q.
Dalle figure precedenti si vede che
L’accelerazione a⃗ in un punto Q del moto armonico ha sempre verso opposto al vettore posizione
s⃗ di Q (figura 24).
Figura 24
I vettori a⃗ e s⃗ hanno la stessa direzione e versi opposti.
Nel confronto tra il grafico spazio-tempo e quello accelerazione-tempo avevamo inoltre visto che in
ogni istante il valore di a e quello di s sono direttamente proporzionali.
La formula che fornisce a⃗ e che riassume queste due proprietà è:
Ricordando la formula (22) , il valore dell’accelerazione può essere espresso come
a=−ω2s=−ω2rcosωt=−a0cosωt,
(25)
dove a0 = ω2r è il massimo modulo dell’accelerazione del corpo che oscilla ed è anche valore
dell’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme ideale che genera il moto armonico.
Dimostrazione della legge per l’accelerazione nel moto armonico
Per dimostrare la formula (24), disegniamo il raggio vettore , il vettore posizione di Q,
l’accelerazione centripeta a⃗ c del moto circolare e l’accelerazione a⃗ del moto armonico (figura
25).
Figura 25
Posizioni e accelerazioni del moto circolare uniforme e del corrispondente moto armonico.
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Si vede che i vettori a⃗ e s⃗ hanno la stessa direzione e versi opposti, quindi possiamo
introdurre un fattore di proporzionalità k fra il modulo di a⃗ e il modulo di s⃗ , cioè
scrivere a⃗ =−ks⃗ .
Per calcolare k notiamo che i due triangoli OQP e PML sono simili perché sono entrambi
rettangoli e hanno uguali gli angoli QOˆP e LPˆM (alterni interni tra s⃗ e a⃗ , con la
trasversale r⃗ ). Allora si può scrivere la proporzione
MP¯¯¯¯¯¯OQ¯¯¯¯¯=PL¯¯¯¯¯OP¯¯¯¯¯,cioèas=acr.
Il valore di a (modulo del vettore a⃗ ) si ricava moltiplicando per s i due membri della seconda
equazione e sostituendo al posto di ac l’espressione w2r:
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Quindi il valore di k è w2, per cui otteniamo infine la formula (24): a⃗
= - ω2s⃗ .