Capitolo 6 - Tutorati UNIPV

Capitolo 6
Autovalori e diagonalizzazione
Marco Robutti
Facoltà di ingegneria
Università degli studi di Pavia
Tutorato di geometria e algebra lineare
Anno accademico 2014-2015
Marco Robutti
Capitolo 6
Osservazione
In tutto il capitolo si lavora su matrici quadrate A ∈ MR (n) e su
operatori lineari ( o endomorfismi), quindi su applicazioni
lineari del tipo:
L : V −→ V ,
L : Rn −→ Rn
Marco Robutti
Capitolo 6
Definizione (Autovettore)
Dato lo spazio vettoriale V isomorfo a Rn e un operatore lineare
L : V −→ V , un vettore v ∈ V è detto autovettore di L se:
v ∈ V , v 6= 0V , L (v) ∈ Span (v)
X ∈ Rn , X 6= 0n , AX ∈ Span (X )
Marco Robutti
Capitolo 6
’in forma astratta
’in pratica
Definizione (Autovalore)
Dato lo spazio vettoriale V isomorfo a Rn e un operatore lineare
L : V −→ V , un numero reale λ ∈ R è detto autovalore di L se:
∃v ∈ V , v 6= 0V | L (v) = λv
’in forma astratta
∃X ∈ Rn , X 6= 0n , AX = λX
’in pratica
il vettore v viene detto autovettore relativo all’autovalore λ.
Marco Robutti
Capitolo 6
Definizione (Spettro)
Dato lo spazio vettoriale V isomorfo a Rn e un operatore lineare
L : V −→ V , viene detto spettro di L l’insieme di tutti gli
autovalori di L, ossia:
Spec (L) = {λ ∈ R | ∃v ∈ V , v 6= 0V : L (v) = λv}
Marco Robutti
Capitolo 6
Definizione (Autospazio)
Dato lo spazio vettoriale V isomorfo a Rn e un operatore lineare
L : V −→ V , sia λ ∈ R un autovalore di L. L’insieme:
Vλ = {v ∈ V | L (v) = λv} ,
è detto autospazio relativo all’autovalore λ; l’equazione
vettoriale:
L (v) = λv,
è detta equazione dell’autospazio Vλ .
Marco Robutti
Capitolo 6
Definizione (Polinomio caratteristico)
Sia A ∈ MR (n). Il polinomio:
pA (t) = det (A − tIn ) ,
è detto polinomio caratteristico della matrice A e soddisfa le
seguenti affermazioni:
1) è un polinomio di grado n;
2) il termine di grado n è: (−1)n t n ;
3) il termine di grado n − 1 è: (−1)n−1 tr (A) t n−1 ;
4) il termine noto è: det (A).
Marco Robutti
Capitolo 6
Algoritmo - Ricerca degli autovalori
Sia A ∈ MR (n) , n ≥ 2 e λ ∈ R. Allora si ha che:
λè un autovalore di A ⇐⇒ |A − λIn | = 0
Marco Robutti
Capitolo 6
Algoritmo - Trovare le equazioni cartesiane degli
autospazi
L’autospazio Vλ associato all’autovalore λ ha come equazioni
cartesiane le righe linearmente indipendenti del sistema:
(A − λIn ) X = 0n ,
e quindi:
dim (Vλ ) = n − rg (A − λIn )
Marco Robutti
Capitolo 6
Definizione (Molteplicità algebrica)
E’ il numero di volte in cui compare l’autovalore λ come radice
del polinomio caratteristico. Viene indicata con la lettera greca
µ.
Marco Robutti
Capitolo 6
Definizione (Molteplicità geometrica)
E’ la dimensione dell’autospazio Vλ associato all’autovaore λ,
cioè:
m (λ) = dim (Vλ ) ,
vale inoltre la seguente relazione tra molteplicità geometrice e
algebrica:
m (λ) ≤ µ (λ)
Marco Robutti
Capitolo 6
Definizione (Matrice diagonalizzabile)
Una matrice MR (n) è diagonalizzabile se, equivalentemente:
• ∃ una base BRn formata da autovettori di A;
• A è simile ad una matrice diagonale.
Marco Robutti
Capitolo 6
Teorema (Primo criterio di diagonalizzazione)
Sia A ∈ MR (n) una matrice quadrata reale di ordine n. Siano
λ1 , . . . , λh con 1 ≤ h ≤ n gli autovalori distinti di A con
molteplicità geometriche m (λ1 ) , . . . , m (λh ). La matrice A è
diagonalizzabile se e solo se risulta:
m (λ1 ) + m (λ2 ) + · · · + m (λh ) = n.
Marco Robutti
Capitolo 6
Teorema (Secondo criterio di diagonalizzazione)
Sia A ∈ MR (n) una matrice quadrata reale di ordine n. La
matrice A è diagonalizzabile se e solo se sono verificate
entrambe le seguenti condizioni:
1) il polinomio caratteristico di A è totalmente decomponibile in
R;
2) tutti gli autovalori di A sono regolari (cioè hanno molteplicità
algebrica e geometrica uguali).
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Capitolo 6
Osservazione (Qualcosa di utile...)
Sia A ∈ MR (n) una matrice diagonalizzabile. Allora:
det (A) = λ1 · λ2 . . . · λn ,
tr (A) = λ1 + λ2 + · · · + λn ,
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Capitolo 6
Osservazione (Qualcosa di utile...)
Una matrice A ∈ MR (n) si dice diagonalizzabile se è simile ad
una matrice diagonale, ovvero se vale la scrittura:
AN = ∆N =⇒ ∆ = N −1 AN,
dove la matrice N è costituita da autovettori della matrice A.
Ne consegue che due matrici A e B simili tra loro e
diagonalizzabili sono simili alla stessa matrice diagonale e
quindi hanno lo stesso polinomio caratteristico, cioè:
pA (t) = pB (t)
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