media del campione

Alcune definizioni della statistica
Un ramo della matematica applicata che si occupa della raccolta e
dell’interpretazione dei dati quantitativi e dell’uso della teoria delle
probabilità per la stima di parametri di una popolazione.
Lo studio scientifico dei dati numerici basato sui fenomeni naturali.
La procedura matematica per descrivere le probabilità e la distribuzione
casuale o non-casuale della materia o del verificarsi degli eventi.
Una serie di teoremi matematici che aiuta ad analizzare i dati attribuendo
significatività ai risultati.
Una raccolta di metodi per raccogliere, organizzare, riassumere,
analizzare e interpretare i dati, e per trarre conclusioni basate su di essi.
La scienza e l’arte di raccogliere, riassumere ed analizzare dati soggetti a
variazione casuale (Biology Online)
Tipi di statistica
Statistica descrittiva: procedure per riassumere e
presentare i dati e per descriverli attraverso
strumenti matematici
Statistica inferenziale: procedure per derivare
dai dati già noti, con l’aiuto di modelli
matematici, affermazioni più generali.
Statistica descrittiva: riassunto e
presentazione dei dati
Riassume i dati per mezzo di tabelle e grafici:
 Tabelle di frequenza (numero assoluto di casi
per categoria)
 Tabelle percentuali (% di casi per categoria)
 Tabelle crociate (matrici 2 x 2, 2 x 3, ecc.)
 Grafici (a barre, lineari, a torta, ecc.)
Tipi di variabili
I dati della statistica riguardano variabili, cioè grandezze che possono
assumere valori differenti. Le variabili possono essere di tipo diverso:
Quantitative (i valori sono numeri)
continue: altezza, peso, ecc (i valori sono numeri reali).
discrete: risultati del lancio di un dado (possono
assumere solo certi valori)
Qualitative o categoriche (i valori sono rappresentati dall’appartenenza
a categorie)
nominali: maschio/femmina; remissione/recidiva/morte
(le categorie non sono ordinate)
NB: se le categorie sono solo due, mutuamente
esclusive, si parla di variabili binarie o
dicotomiche
ordinali: <10 anni, fra 10 e 50 anni, > 50 anni (le
categorie hanno un ordine)
Tipi di variabili
In una ricerca, si definisce variabile indipendente quella che
viene manipolata direttamente dallo sperimentatore, o in
alternativa selezionata attraverso il metodo di campionamento.
Per esempio, il fatto che i pazienti siano trattati con un farmaco o
con placebo è un esempio di variabile indipendente manipolata
direttamente dallo sperimentatore. In alternativa, se viene
selezionato un campione di maschi da confrontare con un
campione di femmine, il sesso è una variabile indipendente
controllata indirettamente attraverso il sistema di
campionamento.
Al contrario, la variabile dipendente è quella che misuriamo per
verificare la sua correlazione con la variabile indipendente. Nei
due esempi precedenti, la variabile dipendente potrebbe essere la
risposta alla terapia nel primo caso, e l’incidenza di una certa
patologia nei due sessi nel secondo caso.
Statistica descrittiva: descrizione
matematica dei dati
Fornisce una descrizione sintetica dei dati
utilizzando (per i dati quantitativi) metodi
numerici:
 Valutazione del “punto centrale” dei dati
 Valutazione della distribuzione dei dati
Valutazione del “punto centrale” dei dati
Mediana: il punto centrale è calcolato sulla base dell’ordinamento
crescente dei dati, e rappresenta la posizione centrale in questo
ordinamento.
Dati: 2, 5, 6, 13, 14, 45, 47
Mediana = 13
Media aritmetica: è il rapporto fra la somma dei valori e il numero
dei valori
Dati: 2, 5, 6, 13, 14, 45, 47
Media = 132/7 = 18,85
Valutazione della distribuzione dei dati
Attorno alla mediana: utilizzando lo stesso principio
dell’ordinamento crescente dei dati e della loro posizione, è
possibile definire vari quantili (per esempio, dividendo in 4
intervalli si ottengono i quartili, e così via).
Se si divide in 100 intervalli, si ottengono i percentili. Per
esempio, il 75° percentile è il valore del dato che,
nell’ordinamento crescente, ha un posizione tale che:
il 75% dei dati ha un valore inferiore (cioè rimane a
sinistra nell’ordinamento)
 il 25% dei dati ha un valore superiore (cioè rimane a
destra nell’ordinamento)
 NB: la mediana è il 50° percentile

Numero di dati = 121
Ordinamento crescente
Mediana: dato n° 61: 60 dati (50%) a sinistra, 60 dati (50%) a destra
2, 5, 6, 9, …….. 46, …….. 157, ………… 542, ……… 3450, 6213, 6578, 12500
25° percentile: dato n° 31: 30 dati (25%) a sinistra, 90 dati (75%) a destra
25° percentile = 46
Mediana (50° percentile) = 157
75° percentile = 542
La media è invece la somma aritmetica dei 121
valori divisa per 121. Può essere molto diversa
dalla mediana. Per esempio, in questo caso
potrebbe essere molto più alta, perché influenzata
dai valori molto alti all’estremo destro dei dati.
Valutazione della distribuzione dei dati
Attorno alla media: la deviazione standard (σ) è la
radice quadrata della varianza, un indicatore di
dispersione che si ottiene sommando tutti i singoli
scarti dalla media, elevando al quadrato e dividendo
per il numero di dati.
σ 2 = VAR
La distribuzione normale
Una distribuzione normale in una variabile
X con media e varianza è una
distribuzione statistica con funzione di
probabilità:
Sul dominio . Mentre statistici e
matematici usano uniformemente il termine
“distribuzione normale”, i fisici talvolta la chiamano
“distribuzione Gaussiana” e gli studiosi di scienze
sociali si riferiscono ad essa come “curva a
campana”.
L’ascissa rappresenta i valori. L’ordinata rappresenta la densità di
probabilità dei valori.
Tutta l’area sotto la curva rappresenta l’insieme di tutti i casi possibili,
cioè la probabilità totale (1,0).
Le probabilità non sono mai riferite a un punto, ma a un intervallo, e
rappresentano il rapporto fra tutti i casi che rientrano in quell’intervallo e
il totale dei casi
In una distribuzione normale perfetta:
68.26% dei casi sono compresi fra -1 e +1 DS attorno alla media
95.46% dei casi sono compresi fra -2 e +2 DS attorno alla media
99.74% dei casi sono compresi fra -3 e +3 DS attorno alla media
Z score
Lo z-score (chiamato anche standard score, o normal score) è un
modo di trasformare un singolo valore di una distribuzione
normale nel suo equivalente “standardizzato”.
In altre parole, lo z-score ci dice di quante DS il valore dista dalla
media della popolazione.
Statistica descrittiva per variabili categoriche
I dati riguardanti variabili categoriche vengono spesso
riportati in forma di tabella (2x2, 2x3, ecc.). La
maniera più semplice di descrivere matematicamente i
dati è di calcolare le proporzioni.
Remissione
Popolazione 28
%
56
Malattia
Morte
Totale
12
10
50
24
20
100
Statistica inferenziale
La statistica descrittiva, pur aiutandoci a capire le
proprietà dei dati in nostro possesso, non aggiunge nulla
alle informazioni che già abbiamo. Le sue affermazioni,
essendo relative a dati certi, sono certe.
La statistica inferenziale, invece, si propone di fare
nuove affermazioni a proposito di dati che non
possediamo, per mezzo di una elaborazione matematica
derivata dalla teoria delle probabilità. Le sue
affermazioni, quindi, sono probabilistiche.
Statistica inferenziale
Il concetto di verità delle affermazioni della statistica inferenziale deve essere ben
compreso.
Le affermazioni della statistica inferenziale sono matematicamente vere e
rigorose (nell’ambito della validità del modello matematico che si adotta, e
purchè, naturalmente, i calcoli vengano condotti correttamente), ma riguardano
esclusivamente la probabilità della verità di altre affermazioni.
In altre parole, la statistica inferenziale non ci fornisce certezze sull’argomento
della nostra ricerca, ma solo certezze sulla probabilità che le nostre asserzioni su
tale argomento siano vere.
Affermazione vera (se il modello è valido e i calcoli sono corretti)
Affermazione N° 1
(calcolata dalla
statistica inferenziale)
Affermazione N° 2
(oggetto della ricerca)
L’affermazione N° 2, sulla base dei dati noti, ha il
95% di probabilità di essere vera.
Il gruppo A è diverso dal gruppo B
relativamente al parametro x
Affermazione probabile
Statistica inferenziale
I problemi che la statistica inferenziale cerca di risolvere sono
essenzialmente di due tipi:
1) Problema della stima (per esempio stima di una media):
•
fornisce informazioni sulla media di una popolazione quando
sono note media e deviazione standard di un campione della
stessa.
2) Problema della verifica di ipotesi (per esempio confronto fra
due o più campioni):
•
calcola la probabilità che due campioni, di cui siano note media
e deviazione standard, siano campioni derivati da una stessa
popolazione oppure da due popolazioni diverse.
Campionamento statistico
Nell’ambito della statistica descrittiva abbiamo finora considerato
strumenti per descrivere un’intera popolazione quando siano noti
tutti i dati ad essa relativi. Ma nella ricerca, in genere, non si
conoscono i dati dell’intera popolazione, ma solo quelli di un
campione.
Il campionamento si usa quando si vuole conoscere uno o più
parametri di una popolazione, senza doverli misurare in ogni suo
elemento. Il campionamento consiste nel selezionare un numero più
piccolo di elementi fra tutti quelli che formano una popolazione. Può
essere fatto in vari modi, ma deve sempre essere di tipo
probabilistico (cioè garantire la casualità della selezione).
Parleremo allora di numerosità, media e deviazione standard del
campione, e dobbiamo porci il problema di che rapporto esista fra
questi valori e la numerosità, la media e la deviazione standard
dell’intera popolazione.
Media del campione e media della
popolazione
Immaginiamo di avere una popolazione
rappresentata da mille persone (per esempio la
popolazione degli abitanti maschi di un paese), e
di volere conoscere la loro statura.
Se conoscessimo la statura di ciascuno dei mille
abitanti, potremmo descrivere la popolazione
con assoluta precisione in termini di media e
deviazione standard.
Media del campione e media della
popolazione
Se però non abbiamo le risorse per misurare la
statura di mille abitanti, possiamo scegliere un
campione casuale, per esempio di 30 abitanti.
Avremo allora una media e una deviazione
standard del campione, la cui numerosità è
naturalmente 30.
Che rapporto c’è fra questi valori e quelli
dell’intera popolazione di mille abitanti?
Media del campione e media della
popolazione
Immaginiamo di ripetere l’operazione di campionamento
20 volte, ogni volta con un diverso campione casuale di
30 abitanti. Otterremo 20 medie diverse, e 20 DS diverse.
Un concetto importante è che l’insieme di queste medie
dei campioni tende ad assumere una distribuzione
normale, anche se la popolazione di origine non è
distribuita normalmente.
In altre parole, il processo di campionamento casuale è di
per sé un fenomeno che si distribuisce normalmente.
Teorema del limite centrale
Il teorema del limite centrale afferma appunto che, data una
certa popolazione con media μ e DS σ, da cui si estrae un
numero infinito di campioni random e di numerosità N, man
mano che N aumenta la distribuzione delle medie dei campioni
tende a una distribuzione normale, con media μ (uguale a
quella della popolazione di origine) e DS = σ/√N.
L’aspetto sorprendente e non intuitivo di questo teorema è che,
qualunque sia la forma della distribuzione della popolazione
originale, la distribuzione delle medie dei campioni tende alla
distribuzione normale.
Spesso la distribuzione normale viene raggiunta rapidamente,
anche per valori non molto grandi di N.
Ricordate che N è la numerosità del singolo campione, e non il
numero di campioni (quest’ultimo si assume essere infinito).
Teorema del limite centrale
Qui sono mostrati i risultati di una simulazione al computer. Il computer ha
eseguito un campionamento di numerosità N a partire da una popolazione con
distribuzione uniforme (quindi assolutamente diversa da quella normale), e
ha calcolato la media. Questa procedura è stata ripetuta 500 volte per ciascuna
di quattro numerosità del singolo campione: 1, 4, 7, e 10.
Campioni diversi di
una popolazione.
Le medie dei vari
campioni…
…tendono a distribuirsi
normalmente.
Distribution of Sample Means
Errore standard della media (SEM)
Lo Standard Error of the Mean (SEM) è
una valutazione della deviazione
standard di un insieme di medie di
campioni. Idealmente si dovrebbe
calcolare dividendo la deviazione
standard dell’intera popolazione () per
la radice quadrata della numerosità del
campione:
Poiché in genere la DS dell’intera
popolazione non è nota, si può ottenere
una stima del SEM utilizzando al posto
di  la deviazione standard del singolo
campione (s)
SEM =

________
√n
SEM =
(stimato)
s
________
√n
NOTA: il SEM è sempre più piccolo della DS della popolazione di origine, ed è
tanto più piccolo quanto maggiore è la numerosità del campione.
L’importanza di n
In termini più semplici, quando valutiamo la media di
un campione, la probabilità che questa media sia simile
a quella della popolazione di origine dipende
essenzialmente da due fattori:
n (la numerosità del campione)
 s (la deviazione standard del campione

Infatti, poiché il SEM è uguale a s / √n , quanto più
grande è n, e quanto più piccolo è s, tanto più piccolo è
il SEM.
Un SEM più piccolo significa meno probabilità che la
media del campione sia molto diversa da quella della
popolazione.
Confidence interval: definizioni
Confidence interval = intervallo attorno alla media in cui si ha una certa probabilità
che cada un valore
Confidence limits = i due valori, superiore e inferiore, che delimitano il confidence
interval
Confidence level = la probabilità per cui si calcola il confidence interval (per esempio
95% o 99%)
Z score = il numero di deviazioni standard (moltiplicatore) necessario per ottenere il
confidence interval per un certo confidence level
Deviazione standard
Per esempio, per un
confidence level del 95%
CI = Media  1,96 x σ
Z score
Tabella per i Confidence Intervals
Confidence level
0.8
0.9
0.95
0.99
Z score
1.28
1.645
1.96
2.58
µ ± 1.96 x σ
Z score
Un confidence interval del 95% è un intervallo di valori, centrato sulla media, che contiene
il 95% dei dati dell’intera popolazione (ovvero, in cui c’è il 95% di probabilità che sia
compreso un dato qualunque della popolazione). Corrisponde alla zona ombreggiata del
diagramma. Viene in genere definito per mezzo dei due valori a sinistra e a destra della
regione (confidence limits).
Il valore del 95% è il confidence level, e si ottiene utilizzando come moltiplicatore uno zscore di 1,96. Per ottenere livelli diversi, si usano z-scores appropriati (per esempio, per il
99% si deve moltiplicare per 2,58.
CI riferito alla media di un campione
Se ci riferiamo a un campione di una
popolazione, si definisce il CI della media come
l’intervallo attorno alla media del campione
entro cui c’è il 95% (o qualunque altro livello) di
probabilità che cada la vera media della
popolazione
Il CI della media si calcola a partire dall’errore
standard della media (SEM) del campione
CI della media: come si calcola
Partendo da un campione, il CI della media si
può calcolare in due modi diversi:
Se è nota la DS σ della
popolazione generale:
Z score
appropriato
CI = Media  z x SEM
Media del
campione
SEM calcolato usando
la DS della popolazione
generale ()
Se non è nota la DS σ della
popolazione generale:
t appropriato
(sostituisce z)
CI = Media  t x SEM stimato
Media del
campione
SEM calcolato
usando la DS del
campione (s)
Distribuzione z e distribuzione t
La z-distribution descrive la
distribuzione dei dati in una
popolazione normalmente distribuita.
Intervallo attorno alla media = Media  z x 
% di dati nell’intervallo
80%
90%
95%
99%
z
1.28
1.645
1.96
2.58
La t-distribution (t di Student) è simile
alla z, ma tiene conto dei gradi di libertà
(cioè della numerosità N del campione 1). Per N che tende all’infinito, t tende a z.
E’ opportuno usare la t-distribution in
problemi come quello di calcolare il CI
per la valutazione della media di una
popolazione dalla media di un campione,
problemi cioè in cui l’incertezza del
risultato dipende in modo critico dalla
numerosità del campione.
t distribution
df
Probability
50%
90%
95%
98%
99%
99,9%
1
l.000
6.314
12.706
3l.821
63.657
636.6l9
2
0.816
2.920
4.303
6.965
9.925
31.598
5
0.727
2.015
2.571
3.365
4.032
6.859
40
0.681
l.684
2.021
2.423
2.704
3.551
60
0.679
1.671
2.000
2.390
2.660
3.460
120
0.677
1.658
l.980
2.358
2.617
3.373

0.674
1.645
1.960
2.326
2.576
3.291
Problema della stima della media
Riassumendo, il problema della stima è il primo dei due problemi oggetto della
statistica inferenziale, e in genere si presenta in questa forma:
Popolazione generale
(di cui non si conosce né la media né la deviazione standard)
Campione
(di cui si conoscono N (numerosità),
M (Media) e s (DS)
Calcolo di un Confidence Inetrval attorno alla media del campione,
per un certo Confidence Level, utilizzando N, s, e la tabella t
Conclusione:
Secondo i dati noti, c’è il X% (Confidence Level) di probabilità
che la media della popolazione cada entro il CI calcolato
Esempio di stima di una media
Se la media del campione è, per esempio, 25, e il
CI calcolato per un CL del 95% va da 22 a 28
(media 3), allora si può dire che:
Secondo i dati a nostra disposizione, l’affermazione
che
la media della popolazione di origine è
compresa fra 22 e 28
ha il 95% di probabilità di essere vera.
NB: E’ assolutamente sbagliato, invece, dire che, con il
95% di probabilità, la media della popolazione di origine
è uguale a 25
Stima della % da un campione
Per le variabili categoriche, in maniera assolutamente analoga, è
possibile stimare la percentuale di una variabile nella
popolazione generale a partire da quella nel campione,
calcolando un CI. Anche qui si calcola uno SE, di definisce un
CL, e si calcola l’intervallo.
Per esempio, ammettiamo che in uno studio su 165 neonati di peso < 1000 g, 124 (0,7515, cioè
75,15%) abbiano avuto bisogno di ventilazione assistita. Se vogliamo stimare la proporzione nella
popolazione generale dei neonati di quel peso che ha bisogno di ventilazione, calcoleremo lo SE
(mettiamo che in questo caso sia 0,033). Fissato un CL, per esempio 95%, si sceglie un adatto
moltiplicatore (1,96 se si usa la z distribution) e si calcola il CI:
95% CI = 0,7515  1,96 x 0,033
In altre parole, dal campione in esame si può stimare che c’è il 95% di
probabilità (CL) che la percentuale di neonati sotto il chilo di peso che ha
bisogno di ventilazione assistita sia compresa fra 0,687 (cioè il 68,7%) e 0,817
(cioè l’81,7%) (CI)
Significato del CI e del CL
Riassumendo, il CI è una misura del grado di imprecisione della
nostra stima. Più ampio è il CI, più imprecisa è la nostra stima.
Al contrario, il CL è una misura del livello di certezza che
vogliamo raggiungere. Più alto è il CL, maggiore è la probabilità
che la nostra affermazione sia vera.
Un CL alto fa aumentare la certezza, ma anche l’imprecisione
Un CL basso fa diminuire la certezza, ma aumenta la precisione
Esempio:
La media del mio campione e 15. Quale sarà la vera media della
popolazione?
A: Sarà compresa fra 14 e 16 La probabilità che questo sia vero è
dell’80% (CI stretto e CL basso: alta precisione, minore certezza)
B: Sarà compresa fra 12 e 18 La probabilità che questo sia vero è del
95% (CI ampio e CL alto: bassa precisione, maggiore certezza)
Verifica di ipotesi
La verifica di ipotesi è il secondo tipo di
problema affrontato dalla statistica inferenziale.
L’ipotesi da verificare in questo caso è la
cosiddetta “ipotesi nulla” (null hypothesis)
Ipotesi nulla
L’ipotesi nulla (H0) è un’ipotesi che il ricercatore fa riguardo a un
parametro della popolazione oggetto della ricerca (in genere la media) e
che viene confutata o non confutata dai dati sperimentali. Nel caso più
comune, del confronto fra due campioni, la forma dell’ipotesi nulla è la
seguente:
H0: µ1 = µ2
Dove µ1 e µ2 sono le medie delle due popolazioni da cui sono stati tratti
i due campioni.
Per esempio, se i due campioni si riferiscono a neonati a termine
oppure a neonati pretermine, e la variabile misurata è il valore della
glicemia a un’ora di vita, allora l’ipotesi nulla dice che:
non c’è differenza fra la media dei valori glicemia a un’ora di vita
nelle due popolazioni.
L’ipotesi alternativa, cioè che la differenza esiste, prende il nome di H1
Ipotesi nulla
Molto spesso l’ipotesi nulla è l’opposto di ciò che si vorrebbe
dimostrare.
Come vedremo, l’ipotesi nulla viene rigettata oppure no a
secondo del suo livello di “improbabilità”.
Se l’ipotesi nulla viene rigettata, questo è un dato a favore
dell’ipotesi alternativa. In senso stretto, però, il test statistico non
dice nulla sull’ipotesi alternativa H1, ma solo sulla probabilità
dell’ipotesi nulla.
Riassumendo:
Se H0 viene rigettata perché improbabile, questo è un dato a
favore di H1
Se H0 non viene rigettata, questo non vuol dire che H0 debba
essere vera. Si può solo dire che, sulla base dei dati raccolti, non
la si può considerare “abbastanza” improbabile.
Il p-value (probability value)
Ma che vuol dire “abbastanza” improbabile? Anche nel
caso della verifica di ipotesi, è necessario decidere un
“livello” di improbabilità che autorizzi a “rigettare” l’ipotesi
nulla.
Questo valore si chiama p-value, o soltanto p, e si può
definire come la probabilità che il risultato ottenuto (per
esempio la differenza fra le medie dei due campioni) sia
dovuto al caso, se l’ipotesi nulla è vera, cioè se le medie
delle popolazioni da cui i campioni sono tratti sono uguali.
Il p si esprime come frazione dell’unità. Valori di p spesso
usati come livello sono:
<0,05
(cioè una probabilità < al 5%)
<0,01
(cioè una probabilità < all’1%)
Il p-value
Glicemia a un’ora in un
campione di neonati a termine
Media = M1
Glicemia a un’ora in un
campione di neonati pretermine
Media = M2
M1 > M2
IPOTESI NULLA: La media dei valori di glicemia a un’ora nella
popolazione di tutti i neonati a termine (μ1) e nella popolazione
di tutti i neonati pretermine (μ2) è uguale (μ1 = μ2)
SCELTA DEL LIVELLO: Sarà considerato significativo un p < 0,01
A questo punto si dovrà scegliere un modello di analisi statistica
appropriato per il tipo di problema (per esempio, in questo caso, il t di Student).
Il risultato del calcolo statistico, alla fine, dovrà essere espresso
sotto forma di p-value per l’ipotesi nulla.
SE il p è < a 0,01: l’ipotesi nulla viene rigettata, in favore di una possibile
ipotesi alternativa.
SE il p è > a 0,01: l’ipotesi nulla non viene rigettata. Ciò non dimostra che
essa sia vera.
Errori di tipo I e II
SE il p è < a 0,01: l’ipotesi nulla
viene rigettata, in favore di una
possibile ipotesi alternativa.
(studio che ha successo)
Se però l’ipotesi nulla è vera, si
commette un errore di tipo I.
La probabilità di commettere un
errore di tipo I (detta α) è uguale
al p-value.
Se comunque l’ipotesi nulla è
falsa, si commette un errore di
tipo II.
SE il p è > a 0,01: l’ipotesi nulla
non viene rigettata. Ciò non
dimostra che essa sia vera.
(studio che non ha successo)
La probabilità di commettere un
errore di tipo II (detta β) spesso
non è calcolabile.
La causa più frequente di errore
di tipo II è la numerosità
insufficiente dei campioni.
Errore tipo II e potenza
• β è la probabilità di commettere un errore di tipo II,
cioè di non riuscire a rigettare un’ipotesi nulla che è
falsa (in altre parole, di non riuscire ad affermare la
nostra ipotesi anche se è vera
• 1- β esprime la potenza di uno studio, cioè la
probabilità di non commettere un errore di tipo II
• Se β è 0,20, la potenza dello studio sarà 0,80, in altre
parole lo studio avrà l’80% di probabilità di riuscire a
dimostrare la propria ipotesi, se questa è vera
Da cosa dipende la potenza?
1. Dalla dimensione reale dell’effetto che si vuole dimostrare. In
altre parole, quanto più il segnale da rivelare è grande, tanto
più facile è, per uno studio, rivelarlo.
2. Dal livello di significatività prefissato (soglia di p). In altre
parole, quanto più bassa si pone la soglia di p, tanto più facile
è che non si arrivi a quella soglia anche se l’ipotesi è vera.
Uno studio che vuole essere più affidabile, sarà anche meno
potente.
3. Dalla numerosità del campione. Più grande è N, più potente è
lo studio.
4. Dalla varianza (o DS) della popolazione di origine. Più
grande è la varianza, meno potente è lo studio
5. Da altri fattori: normalità della popolazione, tipo di test
statistico adoperato
Dimensionamento del campione
• Un campione troppo piccolo porta più facilmente ad errori
di tipo II
• La numerosità del campione dipende però in modo critico
dall’entità della differenza esistente fra le due popolazioni
relativamente al parametro oggetto dello studio
• In uno studio RCT, quindi, è importante dimensionare in
anticipo il campione, cioè decidere prima quanti soggetti
dovranno essere arruolati per rispondere al quesito
• Il dimensionamento va fatto tenendo conto della differenza
più piccola che si ha interesse a cogliere (grandezza del
segnale minimo che si considera utile), e del livello di
significatività statistica che si desidera raggiungere (cioè,
della soglia fissata per il p)
Scelta del test appropriato
A seconda della forma del problema, si sceglierà
un test diverso per la verifica delle ipotesi. E’
importante ricordare che, qualunque sia il test
statistico impiegato, alla fine il risultato dovrà
essere espresso sotto la forma di un p-value
perché lo si possa interpretare.
Di che test ho bisogno?
Variabili quantitative in gruppi categorici:
confronto fra le medie di due campioni, anche
di numerosità diversa (between-subject)
t di Student, unpaired
Variabili quantitative in un gruppo unico:
confronto fra coppie di misurazioni nello stesso
soggetto (within-subject)
t di Student, paired
Variabili qualitative in gruppi categorici:
confronto fra conteggi (numero dei casi che
ricadono in differenti categorie)
Chi quadro
Rapporto fra due variabili quantitative continue
misurate nello stesso gruppo di soggetti
Coefficiente di correlazione r
e regressione
Variabili quantitative continue o in gruppi
categorici: confronto fra le medie di tre o più
campioni, e di più variabili indipendenti (analisi
covariata)
Analisi contemporanea di più variabili
dipendenti
ANOVA, ANCOVA
MANOVA
Test di Student unpaired
(between-subject design)
Due gruppi categorici
Maschi
Femmine
In cui si misura una variabile
dipendente quantitativa
Bilirubinemia:
media, DS
Bilirubinemia:
media, DS
Due gruppi creati a partire da una variabile
quantitativa secondo un valore arbitrario
O
P
P
U
R
E
EG < 37 sett
EG >= 37 sett
In cui si misura una variabile
dipendente quantitativa
Bilirubinemia:
media, DS
Bilirubinemia:
media, DS
Test di student paired
(within-subject design)
Un solo gruppo
Neonati a termine
Due misurazioni per ciascun soggetto
Bilirubina a 2 gg
Bilirubina a 4 gg
Ogni misurazione viene confrontata con quella corrispondente nello stesso soggetto
Varietà di “t-test”
Nel t-test per campioni indipendenti (unpaired) i due
campioni si riferiscono a due gruppi di soggetti diversi
(per esempio pazienti trattati o non trattati):
between-subject design.
Nel t-test per campioni appaiati (paired) i due campioni
si riferiscono a due diverse misurazioni dello stesso
parametro nello stesso gruppo di soggetti (per esempio
glicemia prima e dopo un trattamento). In questo caso ci
saranno due misurazioni per ogni soggetto, e quindi la
numerosità dei due campioni è necessariamente uguale:
within-subject design.
Il test del t di Student
“Student” è lo pseudonimo con cui William Gosset, pubblicò nel 1908
un lavoro sulla “distribuzione t” nel caso in cui un campione piccolo
venga utilizzato per stimare i parametri della popolazione di origine.
La “distribuzione t” si avvicina a quella normale (distribuzione z) man
mano che la numerosità del campione cresce.
Il test del t di Student
Il test del t di Student applica il concetto di “distribuzione t” al confronto fra due
campioni, in particolare alla distribuzione della differenza fra la media di due
campioni derivati dalla stessa popolazione di origine (ipotesi nulla)
Distribuzione ideale delle medie
di due campioni
Tre scenari per la differenza fra due medie
Il t-test come esempio di valutazione del rapporto segnale-rumore
La formula del t-test
Varietà di “t-test”
Per campioni indipendenti, anche di numerosità diversa
(unpaired):
- campioni con varianza simile (omoschedastico)
- campioni con varianza diversa
Per campioni appaiati (paired)
NB: In tutti i casi il test può essere calcolato a una coda
o a due code
Varietà di “t-test”
nel test ad una coda, la zona di rifiuto è
solamente da una parte della distribuzione (a
sinistra quando il segno è negativo, a destra
quando è positivo)
nel test a due code, la zona di rifiuto è
distribuita dalle due parti
Il test a due code è più conservativo (vi si
ricorre quando non si ha alcuna idea sui
possibili risultati) mentre il test ad una coda
è più potente
T-test
Il t-test è un test molto “robusto”. Questo significa che,
se applicato bene, dà risultati affidabili anche quando le
popolazioni di origine non hanno una distribuzione
normale, soprattutto se le dimensioni dei campioni non
sono estremamente ridotte.
In tutti i casi in cui non si abbia una comprensione
precisa di quale varietà applicare, è più opportuno
ricorrere, conservativamente, al test unpaired, a due
code, per campioni con varianza differente
Chi quadro
Il chi quadro si applica quando la variabile dipendente è espressa
come conteggi in categorie. I risultati quindi sono espressi sotto
forma di una tabella (2x2, 2x3, 3x3, ecc.)
Per esempio, se vogliamo valutare il follow-up a 5 anni dei pazienti
affetti da una certa patologia a seconda del sesso, ed esprimiamo il
risultato come conteggio del numero di pazienti guariti, ancora
malati o morti, avremo una tabella 2x3:
Guariti
Malati
Morti
Maschi
20
12
4
Femmine
15
9
6
Come si calcola il chi quadro
Il calcolo del chi quadro si basa sul confronto fra frequenze osservate e
frequenze attese nelle singole sottocategorie.
Le frequenze attese si calcolano a partire dalle frequenze osservate
Valori osservati
Valori attesi
chi (p) =
Guariti
Malati
M
20
8
28
F
16
13
29
36
21
57
Guariti
Malati
M
17.68
10.32
F
18.32
10.68
0.203
17.68 = 36*28 / 57
Come passare dal chi quadro al p
Il test del chi quadro calcola i valori
attesi per ogni cella della tabella, e li
confronta con quelli osservati. Il
risultato ottenuto, detto appunto chi
quadro, viene trasformato in p-value
in maniera dipendente dai gradi di
libertà (il numero di gradi di libertà
di una tabella è uguale al numero di
righe meno 1 moltiplicato per il
numero di colonne meno 1)
df
P = 0.05
P = 0.01
P = 0.001
1
3.84
6.64
10.83
2
5.99
9.21
13.82
3
7.82
11.35
16.27
4
9.49
13.28
18.47
5
11.07
15.09
20.52
6
12.59
16.81
22.46
7
14.07
18.48
24.32
8
15.51
20.09
26.13
9
16.92
21.67
27.88
10
18.31
23.21
29.59
11
19.68
24.73
31.26
12
21.03
26.22
32.91
Risk e Odds
Un modo semiquantitativo di esprimere la significatività nel caso di variabili
categoriche è rappresentato dai concetti di risk, odds, risk ratio e odds ratio.
Immaginiamo una tabella 2x2 che esprima lincidenza di handicap in funzione
del peso alla nascita
Handicap Non handicap
Totale
A. < 1000 g
10
42
52
B. 1000 – 1500g
8
88
96
Si definisce rischio (risk) il rapporto fra i soggetti con outcome e il totale,
mentre si definisce probabilità (odds) il rapporto fra soggetti con
outcome e soggetti senza.
Per A: Risk = 10/52 = 0,19
Odds = 10/42 = 0,24
Per B: Risk = 8/96 = 0,08
Odds = 8/88 = 0,09
Risk Ratio e Odds Ratio
Se invece confrontiamo i due gruppi fra di loro, otterremo il Risk Ratio (RR,
detto anche Relative Risk) e l’Odds Ratio (OR).
Handicap Non handicap
Totale
A. < 1000 g
10
42
52
B. 1000 – 1500g
8
88
96
Per A: Risk = 10/52 = 0,19
Odds = 10/42 = 0,24
Per B: Risk = 8/96 = 0,08
Odds = 8/88 = 0,09
Confronto di A con B:
RR = 0,19/0,08 = 2,3
OR = 0,24/0,09 = 2,6
Risk Ratio e Odds Ratio: significato
Confronto di A con B:
RR = 0,19/0,08 = 2,3
OR = 0,24/0,09 = 2,6
Sia il RR che l’OR possono essere riportati, in modo semiquantitativo, a un giudizio di
significatività nel rigettare l’ipotesi nulla. Ecco due tabelle orientative:
Table 1. Semiquantitative grading of the relative risk, odds ratio, or rate ratio
Reported Relative Risk, Odds Ratio, or Rate Ratio
1
Estimate
<0.50
--
0.50-0.99
-
1.0 or not statistically significant
NS
1.1-2.0
+
2.1-3.0
++
>3.0
+++
Values <1 indicate decreased risk; values >1 indicate increased risk.
Risk Ratio e Odds Ratio: differenza
Confronto di A con B:
RR = 0,19/0,08 = 2,3
OR = 0,24/0,09 = 2,6
Per outcome rari rispetto all’intera popolazione, RR e OR sono
quasi uguali.
Quanto più l’outcome è frequente, tanto più il RR e l’OR
divergono, tenendo presente che l’OR è sempre più “grande”,
cioè più lontano dall’unità, del RR.
ANOVA
Se si confrontano fra loro tre o più gruppi, non è più corretto
utilizzare il t-test ripetendolo per tutte le combinazioni. In questo
modo la probabilità di avere risultati falsamente significativi
cresce al crescere del numero di gruppi.
In questi casi si deve usare una metodologia di calcolo più
complessa, chiamata ANOVA (ANalysis Of VAriance).
Questo metodo tiene conto non solo della “devianza totale” dei
valori, ma anche della “devianza tra” (between) i gruppi e della
“devianza entro” (within) i gruppi.
L’ANOVA è un calcolo statistico complesso, e richiede in genere
una buona comprensione dei concetti teorici di base.
Confronto fra due o più variabili
I test considerati finora misurano una variabile in
più gruppi. Quando invece si vuole confrontare
l’andamento di due o più variabili quantitative
nello stesso gruppo si ricorre ai test di
correlazione e di regressione.
Coefficiente di correlazione
Il coefficiente di correlazione
esprime la probabilità che due
variabili siano correlate fra loro,
anche se non sussiste necessariamente
un rapporto diretto di causalità. La
correlazione può essere lineare o di
altro tipo (quadratica, ecc.)
Un coefficiente di correlazione va da
-1 (correlazione negativa) a 1
(correlazione positiva). I valori
intorni allo 0 esprimono l’assenza di
correlazione.
Il più semplice coefficiente di
correlazione è quello di Pearson,
detto r, che misura la correlazione
lineare fra due variabili in un
campione.
r = -1
r=0
r = +1
Altri esempi di r
Coefficiente di determinazione r2
E’ il quadrato della correlazione, ed esprime la
percentuale della variazione dei valori di y che è
spiegata dal modello di regressione associato a x
0  r2  1.
Quanto più grande è r2 , tanto più forte è la relazione
lineare
Quanto più r2 è vicino a 1, tanto più sicure sono le nostre
predizioni
Coefficiente di determinazione
Rapporto fra r e r2
Come passare da r a p
Una riflessione sul significato di p
In questo esempio, abbiamo due casi in cui il p è di
0,05, ma il significato è molto diverso
In questo campione di 5 casi (N = 5), r è molto alto
(0,80), e quindi la correlazione fra le due variabili è
elevata. A causa del piccolo numero di rilevazioni, però,
la probabilità che questo risultato sia casuale è elevata, e
il valore del p si attesta a 0,05.
In altre parole, sembra che fra le due variabili ci sia una
correlazione molto alta, ma non lo si può dire con molta
certezza perché il numero di dati è piccolo
In quest’altro caso, invece, il numero di dati è molto
grande (N = 1000), ma r è piccolo (0,05). Anche qui, p
si attesta a 0,05.
In altre parole, fra le due variabili c’è probabilmente
una correlazione, ma la correlazione è di lieve entità
Significato generale di un test
In altre parole, possiamo considerare il risultato di un test statistico,
come il t-test o r, come la misura di un rapporto segnale/rumore.
Il segnale è l’entità della differenza fra due gruppi di dati nel confronto
fra medie (t di Student), o l’entità della correlazione fra due variabili
(r).
Il rumore è la probabilità della generazione casuale di uno pseudosegnale, e dipende in modo critico dalla numerosità dei dati.
entità della differenza fra le
medie, o della correlazione
Segnale
variabilità casuale
Rumore
Regressione
Se esiste correlazione fra due variabili, è
possibile calcolare una funzione che descriva
il rapporto fra le due variabili e che permetta
di predire altri valori. Se tale funzione è una
linea, si parla di regressione lineare, altrimenti
di regressione non lineare.
Se le variabili sono più di due, si parla di
regressione multipla
Un esempio di regressione lineare
La formula generale di una linea di regressione è:
y = a + bx
dove a è il punto di intersezione dell’asse Y, e b la
pendenza della linea (angolo con l’asse X)
La linea di regressione viene calcolata in maniera da rendere
minima la somma degli scarti quadratici dei singoli valori osservati
Predizione
Il calcolo di una linea di regressione può permettere di fare
predizioni riguardo a valori non osservati
Regressione lineare e non lineare
Regressione multipla
I test di regressione multipla valutano
la maniera in cui molte variabili
indipendenti influenzano una
singola variabile dipendente: per
esempio, come vari fattori prognostici
influenzano la sopravvivenza in una
patologia neoplastica.
Regressione multipla lineare e non
lineare
Curve di Kaplan Meier
La curva di Kaplan Meier permette di rappresentare i dati di
uno studio in termini di “time to event”, cioè del tempo
necessario perché i pazienti raggiungano un determinato
“endpoint” (per esempio la morte: in questo caso la curva è una
curva di sopravvivenza).
La curva rappresenra tutti i dati disponibili in termini di
percentuale dell’evento rispetto al tempo trascorso
dall’arruolamento, e questo permette di valutare insieme i dati di
pazienti arruolati in tempi diversi.
Vengono inclusi anche i pazienti che non hanno presentato
ancora l’endpoint al momento della chiusura dello studio, e quelli
dei pazienti persi al follow-up. Tali dati vengono definiti
“censored” e il tempo trascorso fra l’arruolamento e la
conclusione dello studio, oppure fra l’arruolamento e l’uscita
dallo studio per i persi al follow-up, è rappresentato graficamente
con un segno verticale (tick mark).
Un esempio di curva di Kaplan Meier
Example of a Censored Curve with Tick Marks
This Group of Patients Has a Minimum Follow-Up of a Little Over a Year
Rappresentazione di due gruppi come curva di Kaplan Meier
Gap orizzontale: differenza
nel tempo di presentazione
dell’outcome
Gap verticale: differenza
nell’esito finale
Valori derivati da una curva Kaplan Meier
Mediana = tempo a cui il 50% dei pazienti ha
presentato l’evento
Media = tempo medio di presentazione
dell’evento
Comparison of survival between two groups. Eyeballing the KM curves for the Placebo and 6MP groups, we see that
1. Median survival time is 22.5 m for 6-MP and 8 for placebo (14.5 month difference).
2. The Kaplan-Meier curve for 6-MP group lies above that for the Placebo group and there is a
big gap between the two curves: the survival of 6-MP seems to be superior.
3. The gap seems to become bigger as time progresses.
Valutazione statistica delle curve di Kaplan
Meier
L’analisi statistica è basata sui principi del chiquadro, che confronta le percentuali attese con
quelle osservate.
Test: Log rank test.
H0: non c’è differenza fra le curve A e B
H1: la differenza esiste
Il risultato finale è espresso come p.
Confronto fra curve di Kaplan Meier
(Log Rank Test)
Figure 2: Survival of patients in the low risk group treated by liver
resection alone or liver resection plus adjuvant chemotherapy.
(n=113; Kaplan-Meier estimate, log-rank test).
Cox regression test
E’ un modello complesso di analisi di regressione multivariata, che
permette sia il confronto fra curve di sopravvivenza di tipo Kaplan
Meier che il calcolo del contributo di fattori prognostici
indipendenti al rischio.
Un esempio di valutazione del contributo di fattori diversi al rischio cumulativo
“Cox proportional hazards model” e
“hazard ratio”
Il modello di Cox permette di valutare due
importanti aspetti nell’ambito di una
rappresentazione “time to event” di tipo
Kaplan Meier:
1. Calcolo dell’ hazard ratio, un numero che
esprime il “rischio relativo” fra i due gruppi
per unità di tempo
2. Calcolo del contributo indipendente al
rischio di più variabili (analisi covariata)
Hazard ratio e differenza fra gruppi
Non sempre l’hazard ratio esprime in modo
realistico la differenza clinica fra due gruppi.
Come molte misure complesse, il suo significato
può essere fuorviante, perché dipende in maniera
critica dalla forma delle curve.
Se si vuole sapere essenzialmente la rilevanza
del significato clinico finale, occorre sempre
valutare anche la mediana e la media delle due
curve.
Cox model
Il modello di Cox permette di calcolare il
contributo delle singole variabili all’outcome,
stratificando in maniera complessa per le
differenti variabili (analisi covariata)