Approfondimento 7.6 - La regressione multipla
Al di là dell’aspetto didattico o di casi di ricerca particolari, è abbastanza irrealistico pensare che i
fenomeni possano essere spiegati nei termini di una sola variabile indipendente, soprattutto nel
campo delle scienze sociali, dove la presenza di molti fattori né necessari né sufficienti è la regola, e
niente affatto un’eccezione. Per questo motivo, i modelli di regressione contengono quasi sempre
più di una variabile indipendente o predittore. Quando i predittori in un modello di regressione sono
più di uno si parla di modello di regressione multipla.
Un modello di regressione multipla non offre solo una spiegazione più esauriente della
variabilità della variabile dipendente, ma permette di verificare in modo più approfondito l’effetto
di una particolare variabile indipendente, dal momento che la variabilità della variabile dipendente
viene suddivisa nelle quote dovute all’effetto di ognuno dei predittori. In questo senso, la
regressione multipla è analoga all’ANOVA fattoriale, fatta eccezione per il fatto che un modello di
regressione multipla “classico” non incorpora effetti di interazione fra i predittori. In pratica, quindi,
una regressione multipla è l’equivalente di un modello di ANOVA fattoriale in cui siano considerati
solo gli effetti principali di variabili indipendenti metriche. Se quindi vogliamo verificare l’effetto
delle variabili socio-demografiche classiche (età, genere1, titolo di studio) sul punteggio di
Coscienziosità, è possibile inserire tutti questi predittori in un unico modello di regressione e
verificare l’influenza di ognuno di essi al netto della quota di variabilità della variabile dipendente
spiegata dagli altri predittori (Figura 7.6.1).
Figura 7.6.1 Suddivisone della devianza della variabile dipendente nel caso di una regressione
multipla
Esiste in ogni caso la possibilità di inserire effetti di interazione nel modello di regressione, ma è
un’operazione tutt’altro che banale e che implica una diversa logica nell’interpretazione dei
risultati. Il lettore interessato a questa procedura troverà utile il testo di Jaccard e Turrisi (2003).
L’equazione generale di un modello di regressione multipla è:
Y = a + b1 X 1 + b2 X 2 + ... + bk X k + e
dove a è l’intercetta e b1, b2, …, bk sono detti coefficienti di regressione parziali (o pendenze
parziali). A livello di interpretazione del significato dei coefficienti, l’intercetta è il valore medio
atteso che ci aspettiamo di osservare nelle popolazione in Y quando tutte le variabili indipendenti
(predittori) sono uguali a zero, mentre ogni coefficiente di regressione parziale rappresenta il
cambiamento medio che possiamo aspettarci di osservare nella popolazione in Y in corrispondenza
ad cambiamento unitario di un predittore Xk quando tutti gli altri predittori sono mantenuti costanti,
ossia è stato rimosso dalla variabilità della variabile dipendente l’effetto di tutte le altre variabili
indipendenti. Per questo, potremmo anche dire che in un modello di regressione multipla le variabili
1
I lettori più attenti potrebbero avere qualche perplessità sull’inserimento di un variabile dicotomica come il genere in
un modello di regressione. Come sarà illustrato più avanti, esiste una procedura per inserire nel modello di regressione
multipla anche variabili nominali.
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indipendenti fungono da variabili di controllo le une con le altre. Questo ci permette di valutare in
modo molto più preciso l’effetto di un predittore, dato che altre possibili cause della variabilità della
variabile dipendente sono state rimosse (o controllate) statisticamente.
Nella regressione multipla la procedura di stima dei parametri è un’estensione di quella della
regressione bivariata, così come i test di significatività e, in parte, l’interpretazione di R2. Nella
regressione multipla R2 non è la proporzione di variabilità comune fra due variabili, ma è la
proporzione di variabilità comune fra la variabile dipendente e l’insieme (set) delle variabili
indipendenti. In altre parole, è il coefficiente di correlazione multipla al quadrato fra criterio e
predittori e la proporzione di variabilità della variabile dipendente spiegata dall’insieme dei
predittori. Come in tutti gli altri casi che abbiamo visto, è possibile verificare statisticamente che il
valore di R2 sia maggiore di zero. Quando si considera più di un predittore, però, occorre utilizzare
la formula di correzione analoga a quella che abbiamo già visto nel caso della correlazione multipla,
che produce un valore di Adjusted R2 (R2 “aggiustato”),
Adjusted R 2 = 1 −
(n − 1)
(1 − R 2 )
(n − k − 1)
dove n è il numero di soggetti e k il numero di predittori.
Il motivo della necessità dell’aggiustamento di R2 è che, per ragioni legate alla particolare
procedura di calcolo, al ridursi della differenza fra numero di soggetti n e numero di predittori k, il
valore di R2 tende a “gonfiarsi” indipendentemente dal fatto che i predittori del modello
rappresentino effettivamente le maggiori fonti di variazione della variabile dipendente, finché,
quando il numero di predittori è uguale al numero di soggetti meno uno, il valore di R2 è in ogni
caso uguale a 1. Nel caso di una regressione multipla, quindi, è fondamentale consultare questo
indice, e non quello “grezzo”, per valutare la bontà di adattamento del modello di regressione ai dati
osservati.
La significatività di Adjusted R2 viene verificata con un test F esattamente come quella di R2
per la regressione bivariata. In questo caso, però, il valore di F critico va cercato per gradi libertà a
numeratore uguali a numero di predittori (k) e gradi di libertà a denominatore uguali al numero di
soggetti meno il numero di predittori meno uno (n − k − 1):
(n − k − 1) × Adjusted R 2
Fk ,n −k −1 =
k (1 − Adjusted R 2 )
Supponiamo di aver eseguito una regressione multipla con 4 predittori e 200 soggetti, e che il valore
di R2 ottenuto sia ,56. Le ipotesi sono:
H0: Adjusted ρ2 = 0 → il coefficiente di determinazione “aggiustato” nella popolazione è uguale a
zero → i dati osservati non sono coerenti con un modello lineare di regressione multipla
H1: Adjusted ρ2 > 0 → il coefficiente di determinazione “aggiustato” nella popolazione è maggiore
di zero → i dati osservati non sono coerenti con un modello lineare di regressione multipla
Il valore di F critico2 per un livello di significatività α = ,05, k = 4 e n − k − 1 = 200 − 4 − 1 = 195
gradi di libertà è 2,42. Calcoliamo Adjusted R2:
Adjusted R 2 = 1 −
(200 − 1)
(n − 1)
(1−,56) =,55
(1 − R 2 ) = 1 −
(200 − 4 − 1)
(n − k − 1)
A questo punto calcoliamo F:
2
in Excel: =INV.F(,05;4;195)
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F4,195 =
(n − k − 1) × Adjusted R 2 (200 − 4 − 1)×,55
= 59,58
=
4(1−,55)
k (1 − Adjusted R 2 )
Conclusione: poiché F calcolato > F critico (59,58 > 2,42), è troppo improbabile che quanto
osservato sia il risultato di un’ipotesi nulla vera, per cui la rifiutiamo. Questi risultati suggeriscono
che il coefficiente di determinazione “aggiustato” nella popolazione sia significativamente
maggiore di zero, per cui i dati osservati sono coerenti con un modello lineare di regressione
multipla
In precedenza abbiamo detto che se il numero di predittori è uguale al numero di soggetti meno uno
il valore di R2 risulterà in ogni caso uguale a 1. Nella realizzazione di una regressione multipla,
quindi, occorre considerare attentamente il problema del numero di soggetti ottimale in rapporto al
numero di predittori. Storicamente, vale la rule of thumb di 10 soggetti per predittore (Harris, 1985;
Wampold & Freund, 1987), ma la questione è stata affrontata in modo molto più approfondito da
Green (1991), Maxwell (2000) e Kelley e Maxwell (2003). Questi autori forniscono una trattazione
molto sofisticata del problema, per cui il lettore interessato ad approfondire l’argomento è rinviato
ai loro lavori. Per quanto nell’articolo non appaia proprio lieto di farlo, Maxwell (2000) fornisce
comunque una formula per la stima della dimensione ottimale del campione basata sulla dimensione
dell’effetto f2 che si intende individuare a livello statistico:
nottimale =
7,85
+k
f2
dove k = numero di predittori. Con questa formula è possibile ottenere una dimensione campionaria
che assicuri una potenza del test statistico di ,80, ossia la probabilità di accettare l’ipotesi alternativa
che i coefficienti di regressione siano significativamente diversi da zero è dell’80%. Questo
significa che se prendiamo i valori di f2 che Cohen (1988) considera limite fra un effetto trascurabile
e un effetto piccolo (f2 = 0,02), fra un effetto piccolo e un effetto moderato (f2 = 0,15) e fra un
effetto moderato e un effetto grande (f2 = 0,35; vedi anche Tabella 7.24 del manuale) avremo:
7,85
7,85
nottimale ;effetto piccolo =
+ k = 393 + k , nottimale ;effetto moderato =
+ k = 53 + k ,
0,02
0,15
7,85
nottimale ;effetto grande =
+ k = 23 + k
0,35
Supponiamo però che i soggetti ormai siano stati raccolti e che in base alla loro numerosità le
formule appena mostrate ci rivelino che non sia possibile inserire nel modello di regressione
multipla tutti i predittori a cui avevamo pensato. In questi casi, occorre valutare inizialmente le
correlazioni bivariate fra ogni predittore e il criterio. In genere, conviene inserire nel modello solo
quei predittori che abbiano una correlazione bivariata col criterio di almeno |,20|. Se la limitazione
al numero massimo di predittori che è possibile inserire rispetto all’ampiezza campionaria è
maggiore, si può rendere più severo il cut-off aumentano la correlazione bivariata minima a |,30| o
|,40|.
Strategie di regressione multipla
Una regressione multipla può essere realizzata in un gran numero di modi diversi. Le principali
strategie di regressione multipla sono fondamentalmente tre:
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1. standard (o simultanea)
2. gerarchica (o sequenziale)
3. statistica
Le tre strategie si differenziano in base a come viene determinato l’ordine di “entrata” dei predittori
nell’equazione di regressione e ai criteri statistici per mantenere o meno nel modello i predittori.
Nel modello standard o simultaneo tutte le variabili indipendenti vengono inserite insieme
nell’equazione di predizione. L’impatto sulla variabile dipendente di ogni variabile indipendente
viene valutato come la variabile indipendente in questione se fosse stata inserita nel modello di
regressione dopo che tutte le altre variabili indipendenti sono già state inserite nel modello. Ogni
variabile indipendente viene quindi valutata in termini di cosa aggiunge alla predizione della
variabile dipendente rispetto alla predizione garantita da tutte le altre variabili indipendenti.
Nella regressione gerarchica o sequenziale, le variabili indipendenti sono inserite
nell’equazione in un ordine specificato dal ricercatore, una alla volta, oppure, più comunemente, a
blocchi. Ogni variabile o blocco di variabili indipendenti viene valutato in termini di cosa aggiunge
alla spiegazione della variabilità della variabile dipendente al momento del suo ingresso. Il
ricercatore di solito assegna l’ordine di entrata delle variabili nel modello in base a considerazioni
di ordine logico o teorico, per cui non esiste una regola fissa. In ogni caso, devono essere inserite
per prime nel modello le variabili di maggiore importanza teorica, e poi le altre. Un caso abbastanza
tipico in psicometria potrebbe essere quello dello studio della validità incrementale di un nuovo test
psicologico. La validità incrementale di un test può essere rappresentata, ad esempio, da quanto
l’inserimento del test in una batteria composta da altri strumenti aggiunge al potere diagnostico
della batteria stessa: la regressione multipla gerarchica permette di rispondere alla domanda “il
punteggio al test da inserire nella batteria aggiunge qualcosa in termini di variabilità spiegata della
variabile dipendente dopo che nel modello sono stati inseriti tutti gli altri strumenti della batteria”?
In questo caso, andremmo a considerare il cambiamento in R2 prodotto dall’inserimento del
punteggio del nuovo test: se è statisticamente diverso da zero, allora il test possiede validità
incrementale e varrà la pena inserirlo nella batteria, altrimenti no. In altri casi, la sequenza più
comune di inserimento sequenziale dei predittori nel modello è la seguente:
I. Variabili esogene (ossia, variabili non psicologiche): sono le variabili, in genere sociodemografiche, sulle quali il soggetto non ha controllo (ad esempio, età, genere, etc.)
II. Variabili esogene sulle quali il soggetto può avere un controllo, più o meno forte (ad esempio,
numero di figli, reddito, scolarizzazione, etc.)
III. Variabili endogene, ossia le variabili psicologiche
La logica della sequenza di inserimento appena presentata non è valida sempre, perché ragioni
teoriche o specifiche per un determinato campo di indagine potrebbero suggerire un ordine di
inserimento diverso. Nondimeno, quando la variabile dipendente è un punteggio ad un test
psicologico è prassi abbastanza comune cercare di rimuovere innanzitutto la variabilità della
variabile dipendente dovuta fattori non psicologici, come l’età o la condizione clinica, e solo dopo
inserire nel modello le altre variabili psicologiche. Questo è il motivo per cui la regressione multipla
viene spesso utilizzata per tarare i punteggi ad un test: in pratica, si cerca di ottenere un punteggio
“ripulito” dall’influenza di alcune variabili del soggetto rilevanti. Nelle batterie neuropsicologiche
per la valutazione dell’efficienza cognitiva degli anziani, il punteggio osservato, ad esempio, nelle
prove di memoria a breve termine viene corretto mediante apposite tavole in base al genere, all’età
e al grado di scolarizzazione del soggetto, poiché è noto come il punteggio osservato in queste
prove sia in relazione con queste variabili. La procedura statistica per individuare i fattori di
correzione prevede l’impiego della regressione multipla.
La regressione statistica è una procedura in cui l’ordine di entrata nel modello delle variabili
è basato unicamente su criteri statistici. Le decisioni circa quali variabili inserire o escludere
dall’equazione di regressione sono basate solo sulle statistiche calcolate nel campione oggetto della
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ricerca, e per questo motivo i ricercatori più attenti agli aspetti teorici e di generalizzazione dei
risultati non amano particolarmente questa strategia, che è invece è quella prediletta da chi invece
ha come unico scopo dell’analisi quello di individuare il sottoinsieme di predittori che permetta di
predire il punteggio nel criterio con la massima precisione possibile, indipendentemente dalle
implicazioni del risultato sul piano teorico.
Nella regressione multipla statistica le procedure di selezione dei predittori sono
fondamentalmente di tre tipi:
a. Forward Selection (selezione in avanti): l’analisi comincia con l’equazione di regressione
vuota e le variabili indipendenti sono aggiunte una alla volta in base al fatto che soddisfino i
criteri statistici di entrata. Il criterio più semplice di selezione è che il predittore, al momento
dell’inserimento nel modello di regressione, abbia un coefficiente di regressione
significativo almeno ad un livello α = ,05. Una volta inclusa nell’equazione di regressione,
la variabile indipendente selezionata vi rimane anche se con l’aggiunta delle successive il
suo coefficiente di regressione non è più significativo al livello scelto.
b. Backward Deletion (selezione all’indietro): l’analisi comincia con tutte le variabili
indipendenti inserite nell’equazione di regressione, e queste vengono eliminate una alla
volta se non contribuiscono significativamente alla regressione. Anche in questo caso, il
criterio più semplice di esclusione è che il predittore, al momento della verifica statistica,
abbia un coefficiente di regressione non significativo ad un livello, ad esempio, α = ,10. Una
volta esclusa dall’equazione di regressione, la variabile indipendente eliminata non può più
rientrarvi.
c. Stepwise: questa procedura è un compromesso fra la Forward e la Backward Deletion, in
quanto l’analisi comincia con l’equazione di regressione vuota e le variabili indipendenti
sono aggiunte una alla volta se soddisfano un criterio statistico (ad esempio, coefficiente di
regressione significativo ad un livello α = ,05), ma possono essere eliminate in uno
qualunque degli stadi di selezione successivi se non contribuiscono più in modo
significativo (ad esempio, il coefficiente di regressione non è più significativo ad un livello
α = ,10) alla spiegazione della variabilità della variabile dipendente. Questa è considerata la
procedura da scegliere per giungere alla migliore equazione di predizione.
E’ importante notare come le strategie di regressione multipla qui presentate non siano
intercambiabili, ma debbano essere scelte in base alla domanda di ricerca. La Tabella 7.6.1 mostra
un esempio di quali possano essere le strategie di regressione multipla ottimali per diverse domande
di ricerca.
Tabella 7.6.1. Criteri di selezione della strategia di regressione multipla in base alla domanda di
ricerca per un modello che intenda prevedere il Voto all’Esame di Maturità in base al Genere, alla
Media Voto degli Anni Precedenti, alla Motivazione allo Studio (misurata mediante apposito test) e
alle Abilità Cognitive (misurate mediante apposito test).
Domanda di ricerca
Qual è la dimensione della relazione generale fra il voto di
maturità e i suoi predittori?
A quanta parte della relazione contribuisce singolarmente ogni
predittore indipendentemente dagli altri?
L’inserimento nel modello delle variabili psicologiche (motivazione
allo studio e abilità cognitive) aumenta significativamente la
precisione nella predizione del voto di maturità dopo aver
considerato l’influenza delle differenze di genere e della media
voto degli anni precedenti?
Qual è la migliore combinazione lineare dei predittori per predire
con la maggiore precisione possibile il voto di maturità nel
campione?
Strategia di regressione multipla
da scegliere
Standard
Gerarchica
Statistica
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Spesso si tendono ad utilizzare anche strategie miste: ad esempio, si creano blocchi di predittori che
vengono inseriti nel modello mediante una strategia di tipo gerarchico, ma al momento per la
selezione dei predittori all’interno di ogni blocco si adotta una strategia di selezione di tipo
statistico.
Il problema della collinearità
Le assunzioni per l’applicazione di un modello di regressione multipla sono le stesse della
regressione bivariata (si veda Paragrafo 7.3.2 del manuale), più quella dell’assenza di collinearità
dei predittori. Il termine “collinearità” (collinearity) si riferisce alla possibilità che almeno due
variabili indipendenti siano perfettamente correlate fra loro oppure che una variabile indipendente
sia una combinazione lineare3 di alcune o di tutte le altre variabili indipendenti. Il caso più banale di
collinearità è quello in cui si inseriscono nel modello di regressione le variabili “Numero di risposte
corrette”, “Numero di risposte errate” e “Numero di risposte totali”, dove il numero di risposte totali
è la somma del numero di risposte corrette e del numero di risposte errate. In questo caso, il numero
di risposte totali è una combinazione lineare delle altre due variabili indipendenti:
Numero di risposte totale = Numero di risposte corrette + Numero di risposte errate
Il problema è che se esiste una perfetta collinearità fra due o più predittori, è impossibile arrivare ad
una soluzione unica per le stime dei parametri del modello di regressione. Le situazioni di perfetta
collinearità per fortuna sono abbastanza semplici da individuare, per cui difficilmente possono
costituire una reale minaccia per il ricercatore attento. Una minaccia molto più seria è costituita
dall’alta collinearità, ossia una situazione in cui una o più variabili indipendenti sono troppo, per
quanto non perfettamente, correlate fra loro. Nella pratica comune, le variabili indipendenti sono
sempre un po’ correlate fra loro, per cui sono in parte collineari. Quando questa situazione diviene
estrema, si verificano seri problemi di stima dei parametri, che diviene tanto più inattendibile
quanto maggiore è la proporzione di variabilità comune fra i predittori. In questi casi, uno specifico
coefficiente di regressione non può essere confrontato con gli altri nell’equazione così da arrivare
ad una valutazione attendibile degli effetti di ogni variabile indipendente. La stima potrebbe
risultare non statisticamente significativa anche se, in effetti, la variabile indipendente e la variabile
dipendente sono in relazione nella popolazione. In pratica che cosa succede? Poniamo il caso di
utilizzare l’età e il titolo di studio come predittori del livello di coscienziosità. Se età e titolo di
studio sono entrambi correlati con la coscienziosità, ci aspettiamo che ogni predittore si prenda la
sua “parte” di variabilità della variabile dipendente, analogamente a quanto illustrato in Figura
7.6.1, per cui la variabilità dei punteggi di coscienziosità sarà spiegata in parte dall’età e in parte dal
titolo di studio. Se però età e titolo di studio sono eccessivamente correlate fra loro, e quindi
collineari, solo una di esse si riuscirà a “prendersi” (spiegare) una quota sostanziale di variabilità
della variabile dipendente, mentre l’altra rimarrà a bocca asciutta. In pratica, è come se i predittori
collineari costituissero un gruppo di amici seduti attorno ad un tavolo al ristorante: se alla fine della
cena il cameriere porta un solo cioccolatino per tavolo, e lo prende uno dei commensali, tutti i suoi
compagni di tavolo (ossia, tutti coloro che in quel momento sono in stretta in relazione fra loro) non
avranno niente, anche se il cioccolatino è per il tavolo, e non specificamente per la persona che
riesce ad accaparrarselo.
Prima di procedere con l’esecuzione di una regressione multipla, quindi, è sempre bene
esaminare la matrice di correlazione dei predittori. Alcuni manuali suggeriscono di considerare con
sospetto coefficienti di correlazione estremi, come ad esempio ,80, ma chi ha un minimo di
3
Una combinazione lineare è una somma pesata di elementi: l’equazione di regressione multipla è una combinazione
lineare in quanto è una somma di punteggi nelle variabili pesati per i coefficienti di regressione più l’errore.
Nell’esempio successivo del numero di risposte corrette il peso di ogni elemento è assunto essere uguale a 1.
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esperienza sa benissimo che anche correlazioni più deboli (ad esempio, ,50) sono a rischio
collinearità. Sfortunatamente, però, questa operazione da sola non è sufficiente, per quanto
necessaria, all’individuazione di una situazione di collinearità, in quanto ci permette di verificare
solo l’eventuale presenza di una collinearità fra coppie di predittori, mentre, come abbiamo visto
prima, la collinearità può essere dovuta anche ad una combinazione lineare di alcuni predittori. Il
miglior metodo per individuare la collinearità fra uno o più predittori, quindi, è far regredire ogni
variabile indipendente su tutte le altre ed esaminare l’R2 risultante: se è troppo alto (> ,50), significa
che fra quelle variabili indipendenti vi è collinearità. In pratica, è come se, a turno, ogni predittore
venisse considerato la variabile dipendente di un modello di regressione in cui le variabili
indipendenti sono gli altri predittori. Il valore di R2 di questa analisi è la proporzione di variabilità
comune fra quel predittore e l’insieme di tutti gli altri: se questa proporzione è maggiore del 50%,
c’è ragione di sospettare la collinearità. Realizzare questo tipo di analisi non è immediato come la
produzione di una matrice di correlazione, ma SPSS produce nell’output dell’analisi di regressione
un valore, detto Tolerance (si veda Rimando SPSS 7.5) che rappresenta la proporzione di variabilità
di un predittore che non è spiegata dagli altri predittori: in pratica, è 1 − R2 della regressione di quel
predittore su tutti gli altri. Se non vi è collinearità, questo valore è uguale a 1: ossia, 1 − R2 = 1
poiché l’R2 della regressione di quel predittore sugli altri è uguale a zero: i predittori non hanno
variabilità in comune. Se però questo valore è inferiore a ,50, ad esempio ,35, significa che 1 − R2 =
,65, ossia il predittore in questione condivide con gli altri il 65% della sua variabilità: in questo caso
c’è ragione di sospettare la collinearità. SPSS riporta insieme al valore di Tolerance anche il suo
reciproco, il fattore di inflazione della varianza o Variance Inflation Factor (VIF). Se consideriamo
come valore limite , 50 per la Tolerance, quello del VIF è 1 / ,50 = 2. Se quindi osserviamo un VIF
maggiore di 2, significa che la Tolerance è inferiore a ,50, e quindi i predittori hanno un’eccessiva
quota di variabilità comune.
Nella pratica possono capitare situazioni ambigue, per così dire, per cui non siamo in grado
di stabilire ancor prima di eseguire l’analisi di regressione se ci troviamo effettivamente in una
situazione di collinearità. La collinearità va quindi indagata anche dopo aver eseguito l’analisi,
ispezionando i risultati ottenuti. Lo stesso SPSS, del resto, riporta i valori di Tolerance e di VIF
insieme alla stima dei parametri, e non prima. I “sintomi” principali di collinearità sono
fondamentalmente due:
1. Un R2 alto ma parametri statisticamente non significativi a causa di alti errori standard delle
stime dei parametri. Se l’insieme dei predittori spiega una quota sostanziale di variabilità
della variabile dipendente ma nessuno di essi risulta statisticamente significativo,
evidentemente c’è qualcosa che non quadra. Il motivo potrebbe essere la collinearità, che è
nota produrre stime degli errori standard delle stime dei parametri molto alte: dato che il test
di significatività di un coefficiente di regressione è dato dal rapporto fra la stima del
parametro e il suo errore standard, se l’errore standard è molto alto il valore di t calcolato
tenderà ad essere molto basso, e quindi probabilmente inferiore al t critico, da cui
impossibilità a rifiutare l’ipotesi nulla che nella popolazione quel coefficiente di regressione
sia uguale a zero.
2. Coefficienti di regressione che cambiano in modo sistematico quando alcune variabili
indipendenti sono escluse o incluse nell’equazione. In generale la regressione multipla serve
proprio a capire quanto ogni predittore è importante nella predizione del criterio, per cui può
capitare che un predittore risulti significativo quando è da solo nell’equazione, e cessi di
esserlo quando viene inserito nel modello di regressione multipla un predittore più
importante. Occorre però verificare che questo non sia il risultato del fatto che i predittori
sono collineari. Supponiamo di voler predire il punteggio di coscienziosità. Inseriamo nel
modello l’età e risulta un predittore significativo. Poi inseriamo il titolo di studio, e notiamo
che l’età non è più un predittore significativo, mentre il titolo di studio sì. Se inseriamo un
terzo predittore, ad esempio il genere, è l’età torna ad essere significativa, mentre il titolo di
studio non lo è più, c’è nuovamente qualcosa di strano, perché se vi è assenza di collinearità
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la significatività dei predittori non cambia in modo così eclatante. Se età e titolo di studio
non fossero collineari, l’aggiunta del genere potrebbe sì modificare in parte la stima dei loro
coefficienti di regressione, ma non in modo tale da invertire le significatività.
Altri sintomi di collinearità, meno discriminanti di quelli appena illustrati, sono l’entità dei
coefficienti, ossia coefficienti inaspettatamente alti o bassi in assoluto o relativamente ad altri
nell’equazione, e coefficienti col segno “sbagliato”, nel senso che fra predittore e criterio risulta una
relazione positiva quando invece in base alla teoria ci aspettavamo una relazione negativa, o
viceversa. Queste due situazioni possono essere di difficile interpretazione, poiché non esistono
linee guida precise per dire che un coefficiente di regressione è troppo maggiore di un altro, né
possiamo sapere con certezza, e in anticipo, quale sarà il segno “giusto” di un coefficiente di
regressione. Per riuscire ad utilizzare questi indizi in modo adeguato occorre una profonda
conoscenza del fenomeno in esame, per cui sono sconsigliati per i meno esperti.
La domanda da un milione di euro, a questo punto, è: se otteniamo una “diagnosi” di
collinearità, che cosa si fa? Purtroppo non c’è una soluzione che va bene sempre. A volte la
collinearità è il risultato di campioni troppo ristretti, per cui l’eccessiva relazione fra una o più
variabili è dovuta all’errore di campionamento e non esiste nella popolazione. In questi casi
aumentare il campione, posto che il campionamento sia eseguito nel modo corretto, può aiutare a
risolvere il problema. Non sempre però questo è possibile, oppure il campione è già
sufficientemente ampio. In questo caso, di solito si prova ad accorpare le variabili collineari in un
solo indicatore. Il problema, però, è che non sempre questo è possibile: se i predittori collineari
fossero due punteggi ottenuti dai soggetti in due diversi test psicologici, si può trasformare questi
punteggi a punti z e sommarli, così da ottenere un unico indice. Oppure si può ricorrere a procedure
statistiche più sofisticate, come l’analisi delle componenti principali. Il punto però è: quando
accorpiamo le variabili, che cosa rappresenta la nuova variabile? Se accorpiamo lerisposte di
frequenza di variabili come “Ascolto della radio”, “Assistere a programmi TV” e “Leggere i
giornali” possiamo ragionevolmente pensare di aver ottenuto una variabile più generale come
“Fruizione di mass-media”, ma se sono collineari genere e titolo di studio che cosa otteniamo
accorpandoli? Si tenga poi presente che qualunque operazione di trasformazione dei predittori va
inevitabilmente a modificare l’interpretazione del coefficiente di regressione ad esso associato. Se
otteniamo nel modo descritto in precedenza un indicatore composito costituito dalla somma dei
punteggi standardizzati di ansia e depressione, il coefficiente di regressione indicherà la variazione
media attesa in Y per una variazione unitaria della “somma dei punteggi standardizzati di ansia e
depressione”. In questi casi, c’è da augurare ogni bene a chi dovrà fornire una spiegazione del
risultato.
Un altro possibile rimedio alla collinearità è considerare l’equazione di regressione solo per
il suo valore predittivo: R2, infatti, può comunque può essere molto alto, al netto della mancanza di
significatività delle stime dei parametri, per cui gli errori di predizione di Y in base ai punteggi delle
variabili indipendenti saranno comunque limitati. Questa soluzione, ad ogni modo, è praticabile
solo in casi in cui la pragmatica della predizione prevalga sulla necessità di trovare una spiegazione
al fenomeno in esame.
Infine, potremmo pensare di eliminare la/e variabile/i problematica/e e confrontare i risultati
dei diversi modelli. Ad esempio, se X1 e X2 risultano collineari, dal modello: Y = a + b1X1 + b2X2 +
e si scarta X2, ottenendo il seguente modello alternativo: Y = a + b1X1 + e*. Questa soluzione, però,
può facilmente condurre all’errore di specificazione, per cui sarebbe meglio stimare anche il
modello in cui è X1 ad essere scartata: Y = a + b2X2 + e**, in modo da valutare in modo completo le
conseguenze dell’eventuale errore di specificazione. Occorre in ogni caso una buona esperienza per
essere in grado di valutare al meglio queste situazioni, e riuscire a decidere quale/i dei predittori
collineari escludere.
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L’impiego di predittori misurati su scala nominale: le variabili dummy
Le variabili categoriali possono essere inserite in un modello di regressione multipla dopo averle
trasformate in variabili dummy4. Il caso più semplice è quello delle variabili dicotomiche, come il
genere: una categoria viene codificata come 0 (di solito le femmine) e l’altra come 1 (di solito i
maschi), e la variabile così codificata viene inserita nel modello di regressione. Supponiamo di aver
stimato un modello di regressione multipla in cui i predittori della coscienziosità sono l’età e il
genere, e che l’equazione di regressione risultante sia la seguente:
Y = 25,31 + 0,26 X Età + 3,62 X Genere
Il coefficiente di regressione relativo all’età ci informa che, al netto dell’effetto del genere, per ogni
anno in più di vita della persona possiamo aspettarci un aumento medio di coscienziosità di 0.26
punti. Il coefficiente di regressione del genere, invece, ci dice che, a parità di età, l’essere 1
(Maschio) su questa variabile significa ottenere in media un punteggio di coscienziosità 3,62 punti
superiore rispetto a quello di chi è 0 (Femmine). Per dimostrarlo basta sostituire i valori 1 e 0 nella
formula e confrontare i risultati:
Maschio (XGenere = 1):
Femmina (XGenere = 0):
Y = 25,31 + 0,26 X Età + 3,62 × 1 = 25,31 + 0,26 X Età + 3,62
Y = 25,31 + 0,26 X Età + 3,62 × 0 = 25,31 + 0,26 X Età
Il caso dicotomico è il più semplice da gestire. Se però vogliamo inserire nel modello una variabile
politomica, come ad esempio la diagnosi di disturbo di personalità di Cluster A (Paranoide,
Schizoide, Schizotipico), la questione si fa leggermente più complessa. Si genererà un numero di
variabili dummy uguale al numero di categorie della variabile meno una, quindi nel caso che stiamo
considerano 3 − 1 = 2. Chiameremo queste categorie, ad esempio “Essere o meno Paranoide” ed
“Essere o meno Schizoide”. Nella prima variabile dummy codificheremo con 1 i Paranoidi e con
zero tutti gli altri, indipendentemente dalla diagnosi. Nella seconda variabile dummy,
codificheremo con 1 gli Schizoidi e con 0 tutti gli altri, indipendentemente dalla diagnosi. E gli
Schizotipici? Gli Schizotipici saranno coloro che hanno un punteggio zero su entrambe le variabili
dummy, ossia non sono né Paranoidi (0 sulla prima variabile dummy) né Schizoidi (0 sulla seconda
variabile dummy, Tabella 7.6.2).
Tabella 7.6.2 Generazione di variabili dummy per la variabile categoriale Disturbo di Personalità
Cluster A (Paranoide, Schizoide, Schizotipico)
Diagnosi
Paranoide
Schizoide
Schizotipico
Paranoide
Paranoide
Schizoide
Schizotipico
Schizotipico
Schizoide
4
Prima variabile dummy
Essere (1) o non essere (0)
Paranoide
1
0
0
1
1
0
0
0
0
Seconda variabile dummy
Essere (1) o non essere (0)
Schizoide
0
1
0
0
0
1
0
0
1
dummy in inglese significa “manichino”, “fantoccio”
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Supponiamo che le due variabili dummy generate in Tabella 7.6.1 siano inserire in un modello di
regressione multipla per la predizione delle difficoltà interpersonali (Y, misurato mediante apposito
test) insieme all’età, e di ottenere la seguente equazione di regressione:
Y = 33 + 1,20 X Età + 2,10 X Paranoide + 1,50 X Schizoide
In una situazione come questa, le equazioni possibili in base alla diagnosi sono:
Paranoide (XParanoide = 1; XSchizoide = 0):
Y = 33 + 1,20 X Età + 2,10
Schizoide (XParanoide = 0; XSchizoide = 1):
Y = 33 + 1,20 X Età + 1,50
Schizotipico (XParanoide = 0; XSchizoide = 0):
Y = 33 + 1,20 X Età
Il valore del coefficiente di regressione di XParanoide indica che essere Paranoide, a parità di età,
comporta un aumento medio di 2,10 punti nel test sulle difficoltà interpersonali rispetto al non
esserlo (e quindi rispetto ad essere Schizoide o Paranoide), mentre il valore del coefficiente di
regressione di XSchiozide indica che essere Schizoide, al netto dell’età, comporta un aumento medio al
test di 1,50 punti rispetto al non esserlo (e quindi essere Paranoide o Schizotipico). Questi risultati,
però, forniscono indirettamente informazioni anche sulla variazione di punteggio al test di chi è
Schizotipico, perché chi è Schizotipico otterrà al test di difficoltà interpersonali un punteggio di
2,10 punti inferiore rispetto ai Paranoidi e 1,50 punti inferiore rispetto agli Schizoidi.
Confrontare i coefficienti di regressione e valutarne la dimensione dell’effetto
Quando il modello di regressione prevede più di un predittore, occorre verificare quale di essi è più
importante, ossia, mostra la relazione più forte con il criterio al netto delle relazioni col criterio
degli altri predittori. Il problema è che non possiamo basarci sull’entità del coefficiente di
regressione, perché questo dipende dall’unità di misura delle variabili, né sul livello di
significatività, che dipende dal numero di soggetti. Come abbiamo visto nel caso della regressione
bivariata, quindi, possiamo esaminare i coefficienti di regressione standardizzati β, che possono
essere trasformati nella dimensione dell’effetto f2.
Supponiamo di aver realizzato un’analisi di regressione multipla strandard per predire il
punteggio di Coscienziosità in base all’età, al genere (variabile dummy codificata M = 1, F = 0) e
agli anni di scolarizzazione5. Abbiamo raccolto i dati su 200 soggetti e i risultati dell’analisi
eseguita con SPSS sono quelli riportati in Figura 7.6.2.
Model Summary
Model
1
R
,768a
R Square
,589
Adjusted
R Square
,583
Std. Error of
the Estimate
5,95495
a. Predictors: (Constant), Anni di Scolarizzazione,
Genere, Età
5
Gli anni di scolarizzazione possono essere ottenuti ricodificando il titolo di studio in base al numero di anni di studio
necessari per raggiungere quel titolo: quindi avremo che nessun titolo = 0, licenza elementare = 5, licenza media = 8,
diploma di scuola superiore = 13, laurea triennale = 16, laurea specialistica = 18, dottorato di ricerca /master /
specializzazione = 21,5.
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ANOVAb
Model
1
Regression
Residual
Total
Sum of
Squares
9979,443
6950,432
16929,875
df
3
196
199
Mean Square
3326,481
35,461
F
93,806
Sig.
,000a
a. Predictors: (Constant), Anni di Scolarizzazione, Genere, Età
b. Dependent Variable: Coscienziosità
Coefficientsa
Model
1
(Constant)
Età
Genere
Anni di Scolarizzazione
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
5,167
1,852
,222
,024
6,173
,845
1,110
,105
Standardized
Coefficients
Beta
,418
,335
,486
t
2,789
9,064
7,308
10,563
Sig.
,006
,000
,000
,000
Zero-order
,488
,370
,538
Correlations
Partial
,543
,463
,602
Part
,415
,334
,483
Collinearity Statistics
Tolerance
VIF
,986
,996
,989
1,014
1,004
1,011
a. Dependent Variable: Coscienziosità
Figura 7.46 Output di SPSS per un’analisi di regressione multipla standard
Nella prima tabella di Figura 7.6.1, Model Summary, vengono riportati il valore di R, che è la
correlazione del criterio con l’insieme (set) dei predittori (e quindi rappresenta il coefficiente di
correlazione multipla fra criterio e predittori), il valore grezzo di R2 (R Square), il valore di R2
“aggiustato” (Adjusted R Square) e l’errore standard dei punteggi stimati (Std. Error of the
Estimate). Questa tabella mostra come l’insieme dei predittori spieghi nel complesso quasi il 60%
della variabilità della variabile dipendente. Il valore di Adjusted R2 è calcolato come:
Adjusted R 2 = 1 −
(200 − 1)
(n − 1)
(1−,589) =,583
(1 − R 2 ) = 1 −
(200 − 3 − 1)
(n − k − 1)
Per verificare la sua significatività dobbiamo consultare la tabella ANOVA, dove troviamo il valore
di F. Si noti come il rapporto fra la devianza (Sum of Squares) dovuta alla regressione (Regression
= 9979,443) e quella totale (Total = 16929,875) sia uguale al valore di R2 = ,589. La significatività
di F è calcolata su R2 (e non su Adjusted R2) per gradi di libertà a numeratore uguali al numero di
predittori (3) e a denominatore uguali al numero di soggetti meno numero di predittori meno uno (n
− k − 1 = 200 − 3 − 1 = 196):
F3,196 =
(n − k − 1) × Adjusted R 2 (200 − 3 − 1)×,589
=
= 93,81
k (1 − Adjusted R 2 )
3(1−,589)
Nella tabella Coefficients sono riportate tutte le informazioni relative alle stime dei parametri. Il
valore (Constant) è l’intercetta, il cui valore stimato è 5,17, ed è significativamente diversa da zero
(p = ,006, colonna Sig.). Questo significa che quando tutti i predittori sono uguali a zero, il
punteggio medio di Coscienziosità atteso nella popolazione è 5,17. Questo valore in realtà non ci
dice niente perché corrisponde ad un individuo che ha zero anni, è femmina (Genere = 0) e ha zero
anni di scolarizzazione: naturalmente è possibile trovare una donna che non abbia titolo di studio,
mentre è assurdo pensare di aver misurato la coscienziosità in un bambino appena nato.
Nella colonna Unstandardized Coefficients troviamo i valori di b (sottocolonna B) e il loro
errore standard (sottocolonna Std. Error). Se facciamo il rapporto B / Std. Error troviamo il valore
di t nella colonna t, dal quale è calcolata la significatività nella colonna Sig.. Ad esempio, nel caso
dell’età abbiamo ,222 / ,024 = 9,25 (al netto degli errori di approssimazione al terzo decimale).
Tutti e tre i coefficienti di regressione sono statisticamente significativi (Sig. < ,05). Possiamo
quindi scrivere l’equazione di regressione multipla:
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YˆCoscienziosità = 5,17 + 0,22 X Età + 6,17 X Genere + 1,11X Scolarizzazione
Che informazioni ci danno i coefficienti di regressione parziali? Che, mantenendo tutte le altre
condizioni costanti, quando l’età aumenta di un anno, possiamo attenderci un aumento medio del
punteggio di Coscienziosità di 0,22 punti; che i maschi (Genere = 1) ottengono al test per la misura
della Coscienziosità 6,17 punti in più delle femmine (Genere = 0), e che per ogni anno in più di
scolarizzazione possiamo attenderci un aumento medio di coscienziosità di 1,11 punti. Se
dovessimo indicare quale predittore ha la maggiore influenza sulla variabile dipendente non
potremmo basarci su questi risultati, dato che i tre predittori hanno unità di misura diverse (nel caso
del genere di fatto nemmeno esiste un’unità di misura). Non ha senso utilizzare il livello di
significatività, e in questo caso lo avrebbe ancora meno dato che per tutti i predittori è minore di
,001, per cui rivolgiamo la nostra attenzione alla colonna Standardized Coefficients Beta, dove sono
riportati i coefficienti di regressione parziali calcolati sulle variabili standardizzate. Aver
standardizzato predittori e criterio significa aver riportato tutte le misure sulla stessa scala in cui
media = 0 e deviazione standard = 1, per cui l’intercetta è uguale a zero, ma non significa aver
eseguito una standardizzazione anche dei coefficienti di regressione, che quindi, a differenza di
come molti pensano, possono risultare maggiori di |1.0| (Courville & Thompson, 2001). Se
scrivessimo l’equazione di regressione con i β avremmo:
*
*
*
*
YˆCoscienzio
sità = 0, 418 X Età + 0,335 X Genere + 0, 486 X Scolarizzazione
I β rappresentano la variazione media attesa in Y in termini di numero di deviazioni standard che ci
attendiamo di osservare quando il predittore varia di una deviazione standard. L’interpretazione di
questo dato non è immediata come quella del coefficiente di regressione calcolato sui dati grezzi, e
in ogni caso non è scritto da nessuna parte che la variazione di una deviazione standard nel
punteggio di età sia equivalente alla variazione di una deviazione standard del numero di anni di
scolarizzazione. Ma c’è di più: come fa il genere a variare di una deviazione standard? La sola
considerazione dei β come indici di dimensione dell’effetto è dunque insufficiente e
fondamentalmente fuorviante (Courville & Thompson, 2001). Dobbiamo quindi consultare anche la
sottocolonna Zero-order della colonna Correlations: in questa colonna sono riportati i coefficienti
di correlazione bivariati fra i predittori e il criterio, che nel contesto della regressione multipla sono
detti coefficienti strutturali rS (structure coefficients). E’ interessante notare come la somma dei
prodotti β × rS produca il valore di R2:
R 2 = ∑ β j rSj =,418×,488+,335×,370+,486×,538 =,589
Questo significa che un certo predittore può avere una correlazione con Y (rS) molto alta ma un
coefficiente standardizzato β molto basso, o viceversa, quando i predittori hanno un certo grado di
correlazione fra di loro. Nel caso che stiamo esaminando questo non succede perché i predittori
sono indipendenti fra di loro (si noti come nella colonna Collinearity Statistics tutti i valori di
Tolerance siano prossimi a 1, il che significa che la variabilità spiegata di ogni predittore da parte
degli altri sia praticamente uguale a zero), ma come fanno notare Courville e Thompson (2001)
quello di considerare solo i β è un errore che viene commesso molto spesso, anche in articoli
pubblicati dalle riviste scientifiche. Questa strategia, infatti, è corretta solo se i predittori sono
perfettamente indipendenti fra loro e si è certi di aver specificato il modello di regressione esatto: se
questo non succede, l’aggiunta o l’esclusione di un altro predittore dal modello può radicalmente
alterare i valori del β di uno specifico predittore (Thompson, 1999). L’entità del β infatti dipende
dagli altri predittori inclusi nell’equazione di regressione, per cui è sensibile ai cambiamenti che
avvengono nel numero di predittori (Dunlap & Landis, 1998).
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Per valutare adeguatamente l’impatto di un predittore sulla variabile dipendente, quindi,
dobbiamo tenere conto sia del coefficiente β che del coefficiente strutturale rS calcolando la
dimensione dell’effetto f2. Nel caso della regressione multipla, l’f2 di un predittore si calcola:
f2 =
R 2 − Rk2−1
1− R2
dove R2k-1 è il valore di R2 calcolato senza il predittore del quale si vuole determinare la dimensione
dell’effetto. Calcolare questo valore è semplicissimo perché basta calcolare ΣβjrSj senza il
predittore. Quindi avremo che i tre f2 per i tre predittori sono:
R 2 − Rk2−1 ,589 − (,335×,370+,486×,538)
=,50
=
1−,589
1− R2
R 2 − Rk2−1 ,589 − (,418×,488+,486×,538)
2
f Genere
=
=,30
=
1−,589
1− R2
R 2 − Rk2−1 ,589 − (,418×,488+,335×,370)
2
f Scolarizzazione =
=,64
=
1−,589
1− R2
2
f Età
=
In base alle linee guida della Tabella 7.24 del manuale possiamo considerare questi effetti come
Grande, Moderato e Grande, rispettivamente.
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