Legge di Ohm.

Legge di Ohm.
Obiettivi didattici:
• Verifica della relazione tra corrente e d.d.p. per un conduttore metallico.
• Verifica della relazione tra la resistenza di un conduttore e le sue dimensioni (lunghezza, sezione)
• Misura della resistività di materiali diversi.
Cenni teorici.
La corrente elettrica dal punto di vista microscopico: modello di Drude
In un conduttore metallico i portatori di carica elettrica sono gli elettroni liberi cioè quelli non
legati ai singoli atomi. Se immaginiamo di sezionare il conduttore e di analizzare il moto degli
elettroni attraverso la sezione così ottenuta, noteremmo che il numero di cariche che attraversano la superficie in una direzione è uguale al numero di cariche che la attraversano in direzione
opposta e quindi, pur essendoci un moto disordinato delle cariche elettriche, la corrente totale
attraverso la sezione è nulla.
Collegando
il conduttore ai poli di una batteria, verrà a crearsi al suo interno un campo elettrico
r
r
r
E , di conseguenza agirà una forza F = −eE ( e è la carica di un elettrone) sugli elettroni i quali
inizieranno a muoversi nella direzione opposta al campo. A causa dei continui urti con i difetti e
le vibrazioni (fononi) del reticolo cristallino, i portatori di carica raggiungeranno dopo breve
tempo una velocità media costante1, detta velocità di deriva e si stabilirà una corrente elettrica I.
Se durante un certo intervallo di tempo ∆t passa una quantità di carica q attraverso una qualunque sezione del conduttore, possiamo definire l’intensità di corrente I:
q
I=
∆t
che si misura in Ampère= Coulomb/secondi [A]= [C/s]. In generale se la quantità di carica che
attraversa una sezione varia nel tempo si dovrà passare al limite per intervalli di tempo piccoli,
cioè:
lim ∆q dq
I=
=
.
∆t → 0 ∆t dt
Una volta fissata la differenza di potenziale ai capi del conduttore, la corrente è la stessa per ciascuna delle sue sezioni in analogia a quanto avviene per il flusso di un liquido all’interno di un
condotto alle imboccature del quale sia mantenuta costante la differenza di pressione. In analogia con il moto dei fluidi, possiamo definire una densità di corrente J per unità di superficie in
maniera tale che:
r r
I = J ⋅ nS
r
dove S è l’area della sezione del conduttore che prendiamo in esame e n è la normale a tale sezione. Dal modello microscopico di elettroni liberi possiamo anche stimare J notando che essa
sarà data dal prodotto della carica di un elettrone, per la velocità media di deriva per la densità
dei portatori nel conduttore, cioè:
1
Essendo soggetti ad una forza, gli elettroni hanno un’accelerazione istantanea non nulla ma a causa degli urti tendono ad assumere una accelerazione media nulla e una velocità di deriva costante: il caso è un po’ diverso
dall’intuizione della meccanica classica perché stiamo considerando delle grandezze mediate su un tempo abbastanza lungo da comprendere diversi urti.
1
r
r
J = nev
materiali diversi hanno una densità di portatori diversa, mentre a causa dei difetti presenti nei
materiali e della temperatura che attiva le vibrazioni (fononi) del cristallo avremo velocità di deriva diverse a temperature diverse e in campioni di diversa qualità. Ci aspettiamo comunque che
la velocità di deriva sia proporzionale al campo elettrico applicato così possiamo scrivere:
r
r
v = µE
r
r
quindi: J = neµE
dove abbiamo introdotto la mobilità µ come caratteristica specifica dei portatori in un certo materiale.
La legge di Ohm.
Ci chiediamo ora come varia la corrente in un conduttore in funzione della differenza di potenziale ∆V (ddp) applicata, una volta che abbiamo fissato la forma e le dimensioni del conduttore
stesso e fissate le condizioni esterne (temperatura, ecc.). Se si misura mediante un voltmetro la
ddp applicata e mediante un amperometro la corrente che circola nel conduttore e si riportano le
coppie così ottenute su un grafico si ottiene l’andamento di I in funzione di ∆V che in generale
sarà del tipo:
I = f (∆V )
questa viene detta curva caratteristica del conduttore ed ha in generale andamenti diversi.
Nel caso in cui la relazione risulti lineare, si dice che il conduttore è ohmico ovvero obbedisce
alla legge di Ohm che possiamo scrivere:
∆V = RI
R è una costante, cioè non dipende da I e da ∆V, che prende il nome di resistenza e si misura in
Ohm (Ω).
Per verificare se un conduttore è ohmico si devono quindi applicare valori di corrente I diversi e
misurare la caduta di tensione ∆V ottenute, riportare le coppie su un grafico (∆V, I) e verificare
la dipendenza lineare: la pendenza della retta rappresenta la resistenza del conduttore.
Ci possiamo anche rendere conto con semplici esperienze che la resistenza così definita dipende
dalle dimensioni del conduttore. Ad esempio, se consideriamo un filo, si può verificare che la
resistenza è direttamente proporzionale alla sua lunghezza l mentre è inversamente proporzionale alla sua sezione A, cioè:
l
R=ρ
A
ρ è la resistività che è una proprietà intrinseca del conduttore considerato e quindi non dipende
dalle dimensioni ma solo dal tipo di materiale, ad es. rame, ottone, costantana ecc. In genere ρ
si esprime in Ω⋅m oppure in Ω⋅cm e si trova tabulata per materiali diversi in funzione della temperatura. La resistività assume valori in un intervallo molto ampio che va da 10-6 Ω⋅cm del rame
a 1018 Ω⋅cm del quarzo fuso.
Usando dei fili come campioni, possiamo misurare la caduta di tensione per fili di diversa lunghezza l mantenendo la corrente costante. Possiamo anche misurare la caduta di potensiale su
fili di sezione S diversa mantenendo questa volta la lunghezza e la corrente costanti. In questo
modo possiamo verificare la relazione:
2
R=
∆V
l
=ρ
I
S
Sempre considerando un conduttore a forma di filo possiamo scrivere per una sua sezione:
ρl
∆ V = El = RI =
I
A
I
E = ρ = ρJ
A
ma ricordando la relazione microscopica che abbiamo trovato precedentemente abbiamo che:
J = neµE
1
= σ = neµ
ρ
L’inverso della resistività è la conducibilità σ che si misura in (Ω⋅cm)-1. Abbiamo così trovato
relazione importante che lega una grandezza macroscopica con caratteristiche microscopiche: la
conducibilità di un materiale è proporzionale alla densità dei portatori n e alla loro mobilità µ.
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Esperienze.
Materiale occorrente.
• un generatore di tensione
• (un amperometro)
• un voltmetro
• cavetti di collegamento
• pinzette a coccodrillo
• alcuni fili metallici, di materiale e sezioni diversi
• base isolante con morsetti per collegare i fili metallici
• metro
• calibro
Procedimento esecutivo
Verifica della legge di Ohm.
•
•
Montare il circuito secondo lo schema in figura, controllando i collegamenti prima di connettersi alla rete. Collegare il polo positivo del generatore con l’amperometro, uscire da
quest’ultimo e collegarsi al polo A della resistenza, collegare il polo B della resistenza con il
polo negativo del generatore. Collegare il voltmetro in parallelo alla resistenza (filo metallico); il polo positivo al punto A e quello negativo al punto B.
Prima di accendere il generatore di corrente porre i sui potenziometri a 0. Impostare il valore
di limitazione della tensione ad un valore sufficientemente elevato girando in senso orario il
potenziometro della tensione. Incrementare il valore della corrente solo progressivamente.
V
A
A
B
•
Fare poi variare la corrente a passi successivi costanti (ad es. 0.05A) leggendone il valore
sull’amperometro. Leggere quindi i corrispondenti valori di tensione sul voltmetro, ricordando che nel nostro caso è consigliabile limitare il valore massimo di corrente a 1.5 A per
evitare il surriscaldamento del filo. Riportare i valori letti in tabella e su grafico.
•
Verificare inizialmente il valore di offset nel voltmetro applicando una corrente nulla. Porre
particolare attenzione alla lettura degli strumenti, specie nel caso che questi abbiano valori di
fondoscala diversi. In tal caso bisogna ogni volta calcolare il valore di ogni singola divisione. Tale operazione è possibile dividendo il valore di fondoscala (F) dello strumento per il
numero totale delle divisioni (N). Perciò la lettura di uno strumento la cui lancetta segna n
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•
divisioni sarà (F/N)⋅n. Si raccomanda di utilizzare sempre la scala che permette la maggiore
escursione dell’ago indicatore in modo da ridurre l’errore percentuale.
Ricavare il valore della resistenza del filo dal rapporto V/I e calcolando la pendenza della
retta I-V mediante il metodo dei minimi quadrati.
Studio della dipendenza della resistenza dalle sue dimensioni e dal tipo di materiale.
La prova è suddivisa in tre fasi.
1. Nella prima si fa variare la lunghezza del filo conduttore, che funge da resistenza, mentre
rimangono costanti la sezione e il materiale di cui è fatto il filo e si studia come varia la resistenza. Per ottenere lunghezze diverse occorre servirsi delle pinzette a coccodrillo.
2. Nella seconda, fissata la lunghezza del filo e scelto un materiale, si studia la variazione della
resistenza al variare della sezione del filo conduttore. Sono disponibili fili dello stesso materiale e di sezione diversa; inoltre si possono collegare in parallelo due fili della stessa sezione, in questo caso la sezione risulterà raddoppiata.
3. Nella terza si utilizza fili di materiali diversi ma con dimensioni identiche.
Quali conclusioni si possono trarre sulla variazione della resistenza al variare della sua lunghezza? Come si modifica la resistenza se cambia la sezione del conduttore? E’ possibile affermare
che la resistenza di un conduttore dipende sia dalla caratteristiche geometriche che dal tipo di
materiale usato? Costruire due grafici riportando in ordinata la resistenza e in ascissa una volta
la lunghezza del filo e una volta la sezione. Quale forma assumono i due grafici?
Applicando il metodo dei minimi quadrati alle coppie di punti sperimentali ottenute si ricava la
legge fisica che lega la corrente alla d.d.p. , in particolare la resistenza del filo considerato risulta, in genere il coefficiente di correlazione lineare è molto buono.
Conclusioni
La prima prova ha consentito di verificare la legge di Ohm, cioè la proporzionalità diretta tra
corrente e caduta di potenziale ai capi di un conduttore, la seconda prova ha permesso lo studio
della dipendenza della resistenza di un conduttore dalle caratteristiche geometriche dello stesso
e dal tipo di materiale.
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