MODELLIZZAZIONE
DEI
TASSI DI INTERESSE
Derivati su obbligazioni e
simili (1)
Per determinare un prezzo ai derivati che hanno come sottostante una
obbligazione o simili vi è bisogno di avere un modello dell'evoluzione
dei prezzi di una obbligazione.
Nel caso delle azioni il modello (con i suoi limiti) è il processo
browniano geometrico descritto da
d S = S dt S d z
Nel caso delle obbligazioni il problema è più complesso in quanto
il valore di un'obligazione dipende dai flussi di cassa che vanno
attualizzati col giusto tasso e quindi si deve avere un modello
per l'evoluzione di tutta la curva dei tassi.
Dopodiché dobbiamo derivare un'evoluzione risk-neutral da usare
nel prezzare i derivati.
Derivati su obbligazioni e
simili (2)
Vi sono due grandi classi di modelli per determinare il prezzo
delle obbligazioni che sono il sottostante di qualche opzione
• Modelli di equilibrio (Vasicek, CIR..)
Questi modelli assumono una qualche forma di equilibrio fra
domanda/offerta che determina il tasso spot r(t) e fanno evolvere
il tasso spot.
• Modelli di non arbitraggio ( Hull-White, HJM, Libor...)
Questi modelli partono dalla curva forward come data
e la fanno evolvere
Derivati su obbligazioni e
simili (3)
Esistono tuttavia altri derivati che sono semplici da prezzare
tanto quanto quelli sulle azioni in quanto dipendono solo
dal prezzo del sottostante in un dato momento nel futuro.
Per similitudine colle azioni si può pensare che il sottostante abbia
una distribuzione log-normale e che quindi si possa applicare
mutatis mutande il prezzo che si deriva da BSM
==> modello di Black
Esempi di strumenti strutturati del genere sono
•Caplet
•Floorlet
•Collar (= caplet+ floorlet)
La modellizzazione dei tassi di
interesse: modello Vasicek-CIR
Vasicek: ipotesi (1)
Le ipotesi su cui si basa il modello di Vasicek (1977) sono
•Il tasso di interesse spot r(t) segue un processo markoviano
continuo
•Il prezzo di uno zero coupon (discount bond) con maturità T
è determinato solo da r(s) con t<s<T
•Il mercato è efficiente
Vasicek: ipotesi (2)
Efficienza del mercato significa:
• Senza costi di transazione
• Informazione disponibile a tutti
• Investitore agisce razionalmente
in particolare questo vuol dire assenza di arbitraggio
(vedi le condizioni sui coefficienti)
Vasicek: ipotesi (3)
L'evoluzione del tasso spot è data da un processo descritto da
d r=m r , t d tsr , t d z
in particolare Vasicek sceglie la forma
d r=a b−r d t d z
Questo processo è anche conosciuto come il processo di
Ornstein-Uhlenbeck
Vasicek: ipotesi (4)
Il prezzo di un'obbligazione zero coupon con maturità T
è data al tempo t da
P t , T = P t ,T , r t
siccome dato un processo per l'evoluzione di r(s)
la densità di probabilità al tesmpo s di r(s) è determinata
solo da r(t) e
poichè si assume il valore dell'obbligazione come
T
−∫t d s r s
P t , T = E e
= P t , T , r t
Vasicek: caratteristiche
●
●
●
Presenza della mean-reversion, che tiene conto dell’ evidenza
empirica che il tasso a breve tende verso un certo valore nel
lungo periodo (risolvere con dz=0);
Modello univariato: la term structure è spiegata da un’ unica
variabile di stato, il tasso a breve r(t);
Manca eteroschedasticità ( la volatilità non cambia al variare
di r)
Non arbitraggio ed il prezzo
del rischio
Supponiamo che il prezzo di uno zero coupon evolva come
d P= t , T P d t t , T P d z
(questa espressione è connessa con quella di r usando Ito,
esattamente come quella di V è connessa a quella di S nel modello
di Black-Scholes).
Consideriamo al tempo t di vendere una quantita' di bond W1
con maturità T1 e comprarne W2 con maturità T2
Il portafoglio W=W1-W2 evolverà istantaneamente come
d W =t , T 1 W 1−t , T 2 W 2 d t t , T 1 W 1− t , T 2 W 2 d z
Non aritraggio ed il prezzo
del rischio
Scegliendo opportunamente si può cancellare il termine in dz
il portafoglio dovrà quindi eveolvere come un risk-free
per argomenti di non arbitraggio quindi si deduce che
t , T 1 −r t t , T 2 −r t
=
=q t , r
t , T 1
t , T 2
dove q è indipendente dai T ed è il prezzo del rischio
poiché
t , T , r =r t q t , r t , T , r
Vasicek assume che
q t , r =q 0=costante
L'equazione di Vasicek
Partendo da P(t,T,r(t)) possiamo applicare il lemma di Ito
ed ottenere
2
∂P ∂P
1∂ P 2
∂P
d P=
m
s d t
s d z
2
∂t ∂r
2 ∂r
∂r
da cui si ottiene usando l'equazione del prezzo del rischio
2
∂P
∂P 1 2 ∂ P
mq s
s
−r P=0
2
∂t
∂r 2 ∂r
con condizione finale (esattamente come BSM)
P T , T , r =1
La soluzione di Vasicek
L'equazione che si vuole risolvere è quindi
2
∂P
∂P 1 2 ∂ P
abq0−a r
−r P=0
2
∂t
∂r 2 ∂r
la cui soluzione è
−B t ,T r t
P t , T , r = At , T e
−a T −t
1−e
B t , T =
a
At , T =e
1
1 2
1 2
2
B
t
,T
−T
t
a
abq
−
−
B t ,T
0
2
2
4a
a
Risk-neutral vuol dire q0=0! ( Però esiste il forward risk-neutral..)
La struttura a termine
Partendo dalla soluzione della precendete equazione per il modello
desiderato (caratterizzato da m e s) si può ottenere la struttura
a termine poichè la soluzione dà il valore di uno zero coupon.
Quindi si deduce la struttura a termine R(t,T) da
−R t ,T T −t
P t , T =e
−1
Rt , T =
log P t , T
T −t
Opzioni col modello di
Vasicek
Un'opzione europea call con strike K e maturità al tempo Tm
soddisferà la stessa equazione del bond ma con payoff, ossia
condizione al contorno diversa data da
C K , T m ; t=T m , T , r =max P T m , T , r − K , 0
dove il valore dell'obligazione a Tm dipende dal processo
sottastante ossia è calcolato col modello e questo è differente
da BSM.
CIR: introduzione
●
Il modello di Cox, Ingersoll e Ross (1985)
considera la determinazione della struttura
termine dei tassi d'interesse come un
problema di formulazione di una teoria di
equilibrio generale dei prezzi.
E’ necessario definire le ipotesi sulla teoria
economica sottostante il modello
CIR: ipotesi
●
Le ipotesi di base sono inquadrabili in
due categorie:
–
Relative alla struttura del mercato:
●
●
●
●
●
Competitività e assenza di attriti nel mercato;
Continuità degli scambi;
infinita divisibilità delle attività;
Possibilità di dare/prendere a prestito
qualsiasi quantità di denaro
Possibilità di operazioni allo scoperto
CIR: ipotesi
–
Relative alla dinamica del tasso a breve r e
alle preferenze degli investitori:
●
●
Gli agenti hanno una funzione di utilità di tipo
logaritmico;
La funzione prezzo di mercato del rischio q è
supposta lineare rispetto alla radice quadrata di r
q t , r = r
●
1/ 2
La term structure dipende unicamente dal tasso
spot r(t), che evolve secondo un’ equazione
stocastica markoviana di tipo square-root
CIR:dinamica del tasso r(t)
●
In particolare, l’ espressione che formalizza la
dinamica del tasso r è:
d r=a b−r d t r
1/ 2
dz
dove a, b, σ >0 e r(t)>=0
b è il valore di lungo periodo a cui tende r(t);
a è la velocità di aggiustamento di r(t) verso b;
σ
è il coefficiente di diffusione del processo
stocastico
dz è un processo di Wiener con media nulla e
varianza pari a dt
CIR: caratteristiche
●
●
●
Presenza della mean-reversion, che tiene
conto dell’ evidenza empirica che il tasso
a breve tende verso un certo valore nel
lungo periodo;
Modello univariato: la term structure è
spiegata da un’ unica variabile di stato, il
tasso a breve r(t);
Eteroschedasticità:la volatilità di r(t) varia
al variare del livello di r(t).
CIR: stima dei parametri
●
Per stimare i parametri del modello, è
possibile utilizzare una procedura a
due fasi, che prevede:
–
–
Valutazione di α , γ , σ 2 con una
regressione lineare su una serie storica di
tassi d’ interesse relativi a titoli
obbligazionari;
Stima di π con una procedura di
regressione non lineare su serie storiche
di rendimenti di obbligazioni con diversa
vita a scadenza
Vasicek-CIR: vantaggi e
svantaggi
●
Vantaggi:
–
–
●
Limitato numero di parametri da stimare;
Non negatività del tasso d’ interesse.
Svantaggi:
–
–
–
Presenza di molte limitazioni nelle ipotesi
di base;
Perfetta correlazione nei tassi d’ interesse;
Assenza di fit.
CIR: Curve teoriche
CIR Spot Rate Curve
Theoretical (CIR) and market spot curve
Market Spot Rate Curve
5,50%
5,00%
4,00%
3,50%
3,00%
Maturity
15
-a
go
-2
8
23
-fe
b23
7
2se
t-1
ar
-1
2
12
-m
20
-s
et
-0
6
ar
-0
1
2,50%
30
-m
Rate
4,50%
30
/0
30 3 /0
/0 1
30 3 /0
/0 2
30 3 /0
/0 3
30 3 /0
/0 4
30 3 /0
/0 5
30 3 /0
/0 6
30 3 /0
/0 7
30 3 /0
/0 8
30 3 /0
/0 9
30 3 /1
/0 0
30 3 /1
/0 1
30 3 /1
/0 2
30 3 /1
/0 3
30 3 /1
/0 4
30 3 /1
/0 5
30 3 /1
/0 6
30 3 /1
/0 7
30 3 /1
/0 8
30 3 /1
/0 9
30 3 /2
/0 0
30 3 /2
/0 1
30 3 /2
/0 2
30 3 /2
/0 3
30 3 /2
/0 4
30 3 /2
/0 5
30 3 /2
/0 6
30 3 /2
/0 7
30 3 /2
/0 8
30 3 /2
/0 9
30 3 /3
/0 0
30 3 /3
/0 1
3/
32
Rate
CIR: Curve teoriche future
CIR Future Term Structures
5,4%
4,9%
4,4%
3,9%
3,4%
2,9%
Maturity
Spot
Fut1
Fut2
Fut3
Fut4
Fut5
Fut6
Fut7
Fut8
La modellizzazione dei tassi di
interesse: modello HJM
Le finalità del modello HJM (Heath,
Jarrow, Morton)
●
●
HJM descrive l’evoluzione temporale di
un’intera curva di tassi forward
HJM fornisce il fit esatto della struttura
spot di yield (a differenza dei modelli di
equilibrio, e.g. CIR)
Le ipotesi di HJM
A. Assenza di arbitraggio;
B. completezza della curva dei tassi
forward;
C. rischio di credito indifferenziato per
ogni operatore.
La grandezza da modellizzare:
il tasso forward istantaneo
Si procede dai prezzi dei zero coupon:
{ P t , T ∣T ≥t }
Si definisce il tasso forward istantaneo:
f t , T ≡ lim f t , T , T '
T ' T
Le due grandezze sono legate dalle:
[
T
P t , T =exp −∫ f t , s ds
t
]
⇔
∂ logP t ,T
f t , T =−
∂T
Il modello stocastico ipotizzato per
la TS spot
Numero di
fattori di rischio
statisticamente
indipendenti.
n
Volatilità
istantanea di
P(t,T) legata al
k-esimo fattore
di rischio.
dP t , T
=μ t ,T dt ∑ σk t ,T dz k t
P t ,T
k=1
Drift istantaneo
del rendimento di
P.
Processo di Wiener
associato al kesimo fattore di
rischio
Utilizzo delle ipotesi
A. Nell’ipotesi di non arbitraggio, il drift
del rendimento di P deve essere il
tasso risk free istantaneo r(t,T) :
μt ,T =r t ,T
Utilizzo delle ipotesi
C) L’ipotesi di completezza dei tassi forward
implica l’indifferenziazione del tasso risk free
su ogni maturity:
r t ,T =r t
Il modello stocastico dedotto per il
tasso forward istantaneo
Dalle relazioni precedenti si deduce la
seguente equazione HJM:
T
n
∑ σ̇ k t ,T ∫ σ̇ k t ,s ds dt
k =1
t
df t ,T =
drift m t ,T
dove σ̇ k t , T ≡
∂ σ k t ,T
∂T
n
∑ σ̇ k t ,T dz k t
k=1
Implicazioni dell’equazione HJM
Le ipotesi alla base del modello HJM
implicano che il drift m(t,T):
m t , T =
n
T
k =1
t
∑ σ̇ k t ,T ∫ σ̇ k t ,s ds
è completamente determinato
dalla volatilità σ k t ,T :
⇒
Implicazioni dell’equazione HJM
La matrice C di varianza-covarianza dei
fattori di rischio contiene TUTTE le
informazioni di cui dispone il modello
HJM per far evolvere i tassi forward.
Dalla matrice C alle volatilità dei
fattori di rischio
Per costruzione i fattori di rischio in HJM
sono statisticamente indipendenti
Occorre riscrivere la matrice empirica
C nella base in cui essa è diagonale: le
volatilità σ k t ,T sono proporzionali agli
autovalori (Analisi delle componenti
principali).
