Serie di Fourier

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C A P I T O L O
SERIE DI FOURIER
18.1
INTRODUZIONE
Nei capitoli precedenti è stato dedicato ampio spazio alla analisi di circuiti pilotati da
generatori sinusoidali. Il presente capitolo è dedicato alla analisi di circuiti aventi eccitazioni periodiche non sinusoidali. La nozione di funzione periodica è stata introdotta
nel Capitolo 9, dove si è visto che la sinusoide rappresenta il tipo più semplice e comune di funzione periodica.
Questo capitolo presenta la serie di Fourier, un metodo per esprimere una qualunque funzione periodica in termini di sinusoidi. Una volta che la funzione di eccitazione del generatore è stata espressa in termini di sinusoidi, è possibile applicare l’analisi
fasoriale per calcolare tensioni e correnti del circuito.
La serie di Fourier prende il nome dal matematico francese Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768–1830). Nel 1822, Fourier intuı̀ che qualunque funzione periodica avente utilità pratica può essere rappresentata come una somma di sinusoidi. Questa rappresentazione, assieme al teorema di sovrapposizione, permetterà di determinare la risposta dei circuiti a ingressi periodici arbitrari mediante l’uso dei fasori.
Si inizia con la serie di Fourier espressa in forma trigonometrica; viene poi trattata
la serie di Fourier in forma esponenziale. La serie di Fourier viene successivamente
applicata alla analisi dei circuiti. Vengono infine presentate due applicazioni pratiche
della serie di Fourier: gli analizzatori di spettro e l’analisi delle proprietà di alcuni tipi
di filtri.
18.2 SERIE DI FOURIER IN FORMA TRIGONOMETRICA
Nel corso dei suoi studi sulla trasmissione del calore, Fourier scoprı̀ che una funzione
periodica non sinusoidale può essere espressa come una somma di infinite funzioni sinusoidali. Si ricordi che una funzione periodica è una funzione che si ripete ogni T secondi. In altre parole, una funzione periodica soddisfa alla condizione
f ðtÞ ¼ f ðt þ nT Þ
ð18:1Þ
dove n è un intero e T è il periodo della funzione.
Secondo il teorema di Fourier, qualunque funzione periodica di frequenza !0 di qualche interesse per le applicazioni si può esprimere come somma di infinite funzioni seno e coseno a frequenze multiple intere di !0 . f ðtÞ può quindi essere espressa come
f ðtÞ ¼ a0 þ a1 cos !0 t þ b1 sin !0 t þ a2 cos 2!0 t
þ b2 sin 2!0 t þ a3 cos 3!0 t þ b3 sin 3!0 t þ oppure
f ðtÞ ¼ a0 þ
|{z}
costante
1
X
ðan cos n!0 t þ bn sin n!0 tÞ
n¼1
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
ð18:2Þ
ð18:3Þ
AC
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
1 8
2
Capitolo 18 – Serie di Fourier
dove !0 ¼ 2=T è detta frequenza fondamentale, in radianti al secondo. Le sinusoidi
sin n!0 t e cos n!0 t sono dette le n-esime armoniche di f ðtÞ; armoniche dispari se n è
dispari, armoniche pari se n è pari. La 18.3 è chiamata serie di Fourier in forma trigonometrica di f ðtÞ. Le costanti an e bn sono i coefficienti di Fourier. Il coefficiente a0 è
la componente costante, o valore medio, di f ðtÞ. (Si ricordi che le sinusoidi hanno valore medio nullo.) I coefficienti an e bn (per n 6¼ 0) sono le ampiezze delle sinusoidi
che costituiscono la componente AC. Riassumendo,
La serie di Fourier di una funzione periodica f ðtÞ è una rappresentazione di f ðtÞ composta da una
componente costante e da una componente AC formata da una serie di armoniche sinusoidali.
Affinché una funzione sia rappresentabile in serie di Fourier secondo la (18.3), essa
deve soddisfare a certi criteri, in modo che la somma di infiniti termini nella (18.3)
possa convergere a un valore finito. Le condizioni su f ðtÞ che portano a una serie di
Fourier convergente sono le seguenti:
1. f ðtÞ è a un solo valore dovunque.
2. f ðtÞ possiede un numero finito di punti di discontinuità all’interno di un periodo.
3. f ðtÞ possiede un numero finito di massimi e di minimi all’interno di un periodo.
Z t0 þT
4. L’integrale
j f ðtÞj dt < 1 per ogni istante t0 .
t0
Queste condizioni sono chiamate condizioni di Dirichlet. Benché non si tratti di condizioni necessarie, esse sono sufficienti perché la serie di Fourier esista1 .
Una operazione importante nell’uso della serie di Fourier è la determinazione dei
coefficienti a0 ; an e bn . Il processo di determinazione dei coefficienti è chiamato analisi di Fourier. I seguenti integrali di funzioni trigonometriche risultano utili per l’analisi di Fourier. Qualunque siano gli interi m e n,
Z T
sin n!0 t dt ¼ 0
ð18:4aÞ
Z
Z
Z
0
T
cos n!0 t dt ¼ 0
ð18:4bÞ
sin n!0 t cos m!0 t dt ¼ 0
ð18:4cÞ
0
T
0
T
sin n!0 t sin m!0 t dt ¼ 0;
ðm 6¼ nÞ
ð18:4dÞ
cos n!0 t cos m!0 t dt ¼ 0,
ðm 6¼ nÞ
ð18:4eÞ
0
Z
Z
Z
T
0
T
sin2 n!0 t dt ¼
T
2
ð18:4f Þ
cos2 n!0 t dt ¼
T
2
ð18:4gÞ
0
T
0
Queste identità verranno ora utilizzate per il calcolo dei coefficienti di Fourier. Si
inizia con il calcolo di a0 . Integrando ambo i membri della (18.3) su un periodo, si
ottiene
1
Nota storica: nonostante sia stato Fourier a pubblicare il teorema nel 1822, fu P.G.L. Dirichlet (18051859) che ne fornı̀ più tardi una dimostrazione accettabile.
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18.2 Serie di Fourier in forma trigonometrica
Z
#
Z T"
1
X
f ðtÞ dt ¼
a0 þ
ðan cos n!0 t þ bn sin n!0 tÞ dt
T
0
0
¼
Z
n¼1
1 Z
X
T
a0 dt þ
0
þ
an cos n!0 t dt
0
n¼1
Z
T
T
bn sin n!0 t dt
ð18:5Þ
0
Ricordando le identità (18.4a) e (18.4b), i due integrali contenenti termini sinusoidali
si annullano. Quindi,
Z T
Z T
f ðtÞ dt ¼
a0 dt ¼ a0 T
0
0
cioè
1
T
a0 ¼
Z
T
f ðtÞ dt
ð18:6Þ
0
che mostra come a0 rappresenti il valore medio della funzione f ðtÞ.
Per ottenere an , si moltiplicano entrambi i membri della (18.3) per cos m!0 t e si
esegue l’integrale su un periodo:
Z
T
f ðtÞ cos m!0 t dt
0
¼
Z T"
#
1
X
a0 þ
ðan cos n!0 t þ bn sin n!0 tÞ cos m!0 t dt
0
¼
Z
n¼1
1 Z
X
T
a0 cos m!0 t dt þ
0
þ
n¼1
Z
T
an cos n!0 t cos m!0 t dt
0
T
bn sin n!0 t cos m!0 t dt
ð18:7Þ
0
L’integrale contenente a0 è nullo in forza della (18.4b), mentre l’integrale che contiene bn si annulla per la proprietà (18.4c). L’integrale contenente an sarà pure nullo, eccetto quando m ¼ n, nel qual caso vale T =2, secondo le (18.4e) e (18.4g). Ne segue,
Z T
T
f ðtÞ cos m!0 t dt ¼ an ;
per m ¼ n
2
0
cioè
2
an ¼
T
Z
T
f ðtÞ cos n!0 t dt
ð18:8Þ
0
In maniera simile, bn si ottiene moltiplicando entrambi i membri della (18.3) per
sin m!0 t e integrando su un periodo. Il risultato è
bn ¼
2
T
Z
T
f ðtÞ sin n!0 t dt
ð18:9Þ
0
Si tenga presente che, essendo f ðtÞ periodica, potrebbe risultare più conveniente eseguire gli integrali appena visti sull’intervallo tra T =2 e T =2, o in generale su un intervallo
compreso tra t0 e t0 þ T , invece che da 0 a T . Il risultato sarà ovviamente lo stesso.
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3
4
Capitolo 18 – Serie di Fourier
Una forma alternativa della (18.3) è la forma ampiezza-fase
f ðtÞ ¼ a0 þ
1
X
An cos ðn!0 t þ n Þ
ð18:10Þ
n¼1
È possibile utilizzare le (9.11) e (9.12) per mettere in relazione la (18.3) con la
(18.10), oppure si può applicare l’identità trigonometrica
cos ð þ Þ ¼ cos cos sin sin ð18:11Þ
ai termini sinusoidali della (18.10), cosı̀ che
a0 þ
1
X
An cos ðn!0 t þ n Þ ¼a0 þ
n¼1
1
X
ðAn cos n Þ cos n!0 t
ð18:12Þ
n¼1
ðAn sin n Þ sin n!0 t
Eguagliando i coefficienti della espansione in serie nella (18.3) e nella (18.12) si vede
che
bn ¼ An sin n
ð18:13aÞ
an ¼ An cos n ,
oppure
An ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a2n þ b2n ,
n ¼ tan1
bn
an
ð18:13bÞ
Per evitare confusioni nella determinazione di n , può risultare più conveniente scrivere quest’ultima relazione in forma complessa
ﬀ
An n ¼ an jbn
ð18:14Þ
L’utilità di questa equazione risulterà evidente nel Paragrafo 18.6. Il grafico della ampiezza An delle armoniche al variare di n!0 si chiama spettro di ampiezza di f ðtÞ; il
grafico della fase n rispetto a n!0 è lo spettro di fase di f ðtÞ. Lo spettro di ampiezza
e quello di fase insieme costituiscono lo spettro di f ðtÞ 2 .
Lo spettro di un segnale è composto dal diagramma delle ampiezze e da quello delle fasi
delle armoniche in funzione della frequenza.
L’analisi di Fourier costituisce quindi lo strumento matematico per determinare lo
spettro di un segnale periodico. Nel Paragrafo 18.6 si approfondirà ulteriormente il
concetto di spettro di un segnale. Per calcolare i coefficienti di Fourier a0 , an e bn , è
spesso necessario fare uso delle seguenti identità:
Z
1
cos at dt ¼
sin at
ð18:15aÞ
a
Z
1
sin at dt ¼ cos at
ð18:15bÞ
a
Z
1
1
ð18:15cÞ
t cos at dt ¼ 2 cos at þ t sin at
a
a
Z
1
1
t sin at dt ¼ 2 sin at t cos at
ð18:15dÞ
a
a
2
Lo spettro è anche noto come spettro a righe per la presenza di componenti a frequenze discrete.
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18.2 Serie di Fourier in forma trigonometrica
5
È anche utile avere presenti i valori assunti dalle funzioni coseno, seno ed esponenziale per valori multipli interi di . Questi sono riassunti nella Tabella 18.1, per n intero.
Tabella 18.1
Valori delle funzioni coseno, seno ed
esponenziale per argomenti multipli interi di .
Funzione
Valore
cos 2n
1
sin 2n
0
cos n
ð1Þn
sin n
0
(
n
2
cos
sin
(
n
2
ð1Þn=2 ,
0,
ð1Þðn1Þ=2 , n ¼ dispari
0,
n ¼ pari
e j 2n
1
e jn
ð1Þn
(
ð1Þn=2 ,
e jn=2
n ¼ pari
n ¼ dispari
n ¼ pari
jð1Þðn1Þ=2 ,
n ¼ dispari
Esempio 18.1
Ottenere la serie di Fourier della forma d’onda mostrata in Figura 18.1. Determinare gli spettri di
ampiezza e di fase.
Soluzione: La serie di Fourier è espressa dalla (18.3),
1
X
ðan cos n!0 t þ bn sin n!0 tÞ
f ðtÞ ¼ a0 þ
ð18:1:1Þ
n¼1
Figura 18.1
Per l’Esempio 18.1; onda quadra.
Si vogliono determinare i coefficienti di Fourier a0 , an e bn usando le (18.6), (18.8) e (18.9). Come
primo passo, si descrive la forma d’onda come
1, 0 < t < 1
ð18:1:2Þ
f ðtÞ ¼
0, 1 < t < 2
e inoltre f ðtÞ ¼ f ðt þ T Þ. Poiché T ¼ 2, !0 ¼ 2=T ¼ . Perciò,
a0 ¼
1
T
Z
T
f ðtÞ dt ¼
0
1
2
Z
Z
1
1 dt þ
0
2
1
1
1 1
0 dt ¼ t ¼
2 0 2
ð18:1:3Þ
Usando la (18.8), assieme alla (18.15a),
an ¼
¼
¼
2
T
2
2
Z
T
f ðtÞ cos n!0 t dt
0
Z
1
1 cos nt dt þ
0
Z
2
0 cos nt dt
ð18:1:4Þ
1
1
1
1
sin nt ¼
sin n ¼ 0
n
n
0
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Capitolo 18 – Serie di Fourier
Dalla (18.9), facendo uso della (18.15b),
Z
2 T
f ðtÞ sin n!0 t dt
bn ¼
T 0
Z 1
Z 2
2
¼
1 sin nt dt þ
0 sin nt dt
2 0
1
1
1
¼
cos nt n
0
ð18:1:5Þ
1
ð cos n 1Þ;
cos n ¼ ð1Þn
n
8
< 2
1
, n ¼ dispari
¼
½1 ð1Þn ¼
n
:
n
0,
n ¼ pari
¼
Sostituendo i coefficienti di Fourier delle Equazioni da (18.1.3) a (18.1.5) nella (18.1.1) si ottiene la
serie di Fourier
f ðtÞ ¼
1
2
2
2
þ
sin t þ
sin 3t þ
sin 5t þ 2
3
5
ð18:1:6Þ
Poiché f ðtÞ contiene soltanto la componente costante e i termini in seno nella componente fondamentale e nelle armoniche dispari, essa può essere scritta come
f ðtÞ ¼
1
1
2X
1
þ
sin nt;
2
k¼1 n
n ¼ 2k 1
ð18:1:7Þ
Sommando i termini uno per uno, come mostra la Figura 18.2, si nota come la sovrapposizione dei
termini porti gradualmente all’onda quadra originale. Mano a mano che vengono aggiunte componenti di Fourier, la somma si avvicina sempre di più all’onda quadra. Non è tuttavia possibile, in pratica, sommare la serie nella (18.1.6) o (18.1.7) fino all’infinito, ma si può eseguirne soltanto una
somma parziale (n ¼ 1, 2, 3, . . . , N, con N finito).
Figura 18.2
Evoluzione di un’onda quadra
dalle sue componenti di Fourier.
Se si traccia il grafico della somma parziale (o serie troncata) su un periodo, per valori elevati di N,
come in Figura 18.3, si nota che la somma parziale oscilla al di sopra e al di sotto del valore reale di
f ðtÞ. In prossimità dei punti di discontinuità ðx ¼ 0, 1, 2, . . .Þ, si ha una sovraelongazione e poi delCharles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
18.2 Serie di Fourier in forma trigonometrica
7
le oscillazioni smorzate. Infatti, una sovraelongazione di circa il 9 percento rispetto al valore di picco risulta sempre presente, indipendentemente dal numero di termini che sono stati utilizzati per approssimare f ðtÞ. Quest’ultimo risultato è chiamato fenomeno di Gibbs.
Figura 18.3
Troncamento della serie
di Fourier a N ¼ 11;
fenomeno di Gibbs.
Si ottengono infine gli spettri di ampiezza e fase per il segnale in Figura 18.1. Essendo an ¼ 0,
8
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
< 2
, n ¼ dispari
2
2
ð18:1:8Þ
An ¼ an þ bn ¼ jbn j ¼
n
:
0,
n ¼ pari
e
n ¼ tan1
bn
¼
an
90 , n ¼ dispari
0, n ¼ pari
ð18:1:9Þ
I grafici di An e n per diversi valori di n!0 ¼ n costituiscono gli spettri di ampiezza e di fase in
Figura 18.4. Si noti che le ampiezze delle armoniche decrescono molto rapidamente al crescere della
frequenza.
Figura 18.4
Per l’Esempio 18.1:
(a) spettro di ampiezza
(b) spettro di fase della funzione
mostrata in Figura 18.1.
n Esercizio 18.1 Determinare la serie di Fourier per l’onda quadra in Figura 18.5. Tracciare
gli spettri di ampiezza e di fase.
Figura 18.5
Per l’Esercizio 18.1.
Risposta f ðtÞ ¼
1
4X
1
sin nt; n ¼ 2k 1. Si vedano gli spettri in Figura 18.6.
k¼1 n
n
Figura 18.6
Per l’Esercizio 18.1:
spettri di ampiezza e di fase
per la funzione mostrata
in Figura 18.5.
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8
Capitolo 18 – Serie di Fourier
Esempio 18.2
Ottenere la serie di Fourier per la funzione periodica di Figura 18.7 e tracciare gli spettri di ampiezza
e di fase.
Soluzione: La funzione può essere descritta come
f ðtÞ ¼
t,
0,
0<t<1
1<t<2
Figura 18.7
Per l’Esempio 18.2.
Poiché T ¼ 2, !0 ¼ 2=T ¼ . Allora,
a0 ¼
1
T
Z
T
1
2
f ðtÞ dt ¼
0
Z
1
t dt þ
Z
0
1 t 2 1 1
0 dt ¼
¼
2 2 0 4
2
1
ð18:2:1Þ
Per calcolare an e bn , sono necessari gli integrali nella (18.15):
Z
2
T
an ¼
f ðtÞ cos n!0 t dt
0
Z
2
2
¼
T
1
t cos nt dt þ
Z
0
2
0 cos nt dt
1
ð18:2:2Þ
1
1
t
sin nt ¼ 2 2 cos nt þ
n n
0
¼
1
ð cos n 1Þ þ 0 ¼
n2 2
ð1Þn 1
n2 2
essendo cos n ¼ ð1Þn ; inoltre,
bn ¼
¼
2
T
2
2
Z
T
f ðtÞ sin n!0 t dt
0
Z
1
t sin nt dt þ
0
Z
2
0 sin nt dt
1
1
1
t
cos nt ¼ 2 2 sin nt n n
0
¼0
ð18:2:3Þ
cos n
ð1Þnþ1
¼
n
n
Sostituendo i coefficienti di Fourier appena trovati nella (18.3), si ottiene
"
#
1
1 X
½ð1Þn 1
ð1Þnþ1
sin nt
cos nt þ
f ðtÞ ¼ þ
n
4
ðnÞ2
n¼1
Per tracciare gli spettri di ampiezza e di fase si nota che, per le armoniche pari, an ¼ 0, bn ¼ 1=n,
cosı̀ che
1
ð18:2:4Þ
An n ¼ an jbn ¼ 0 þ j
n
ﬀ
Allora,
An ¼ jbn j ¼
1
,
n
n ¼ 90 ,
n ¼ 2; 4; . . .
ð18:2:5Þ
n ¼ 2; 4; . . .
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18.3 Simmetria
Per le armoniche dispari, an ¼ 2=ðn2 2 Þ; bn ¼ 1=ðnÞ cosı̀ che
2
1
An n ¼ an jbn ¼ 2 2 j
n n
ﬀ
Quindi,
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4
1
þ 2 2
An ¼ a2n þ b2n ¼
n4 4
n 1 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
n ¼ 1, 3, . . .
¼ 2 2 4 þ n 2 2 ,
n Dalla (18.2.6), si osserva che sta nel terzo quadrante, cosı̀ che
n
n ¼ 180 þ tan1
,
n ¼ 1, 3, . . .
2
9
ð18:2:6Þ
ð18:2:7Þ
ð18:2:8Þ
Dalle (18.2.5), (18.2.7) e (18.2.8) si tracciano An e n per diversi valori di n!0 ¼ n per ottenere lo
spettro di ampiezza e lo spettro di fase, come mostrato in Figura 18.8.
Figura 18.8
Per l’Esempio 18.2: (a) spettro di
ampiezza, (b) spettro di fase.
n Esercizio 18.2 Determinare la serie di Fourier della forma d’onda a dente di sega in Figura 18.9.
Figura 18.9
Per l’Esercizio 18.2.
1
2
Risposta f ðtÞ ¼ 1
1X
1
sin 2nt.
n¼1 n
n
18.3 SIMMETRIA
Si è visto che la serie di Fourier dell’Esempio 18.1 consisteva di soli temini seno. Ci
si può chiedere se non esista un metodo che consente di conoscere a priori che alcuni
coefficienti di Fourier sono nulli, in modo da evitare l’inutile e oneroso lavoro di calcolo degli integrali per ottenerli. Un simile metodo esiste, e si basa sul riconoscimento
dell’esistenza di simmetrie nella funzione. Verranno qui discussi tre tipi di simmetria:
(1) simmetria pari, (2) simmetria dispari, (3) simmetria di semionda.
18.3.1
Simmetria pari
Una funzione f ðtÞ si dice pari se il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’asse verticale, cioè
f ðtÞ ¼ f ðtÞ
ð18:16Þ
Esempi di funzioni pari sono t 2 ; t4 e cos t. La Figura 18.10 mostra altri esempi di funzioni periodiche pari. Si osservi che tutti questi esempi soddisfano la (18.16). Una importante proprietà di una funzione pari fe ðtÞ è:
Z T =2
Z T =2
fe ðtÞ dt ¼ 2
fe ðtÞ dt
ð18:17Þ
T =2
0
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10
Capitolo 18 – Serie di Fourier
perché integrare da T=2 fino a 0 è lo stesso che integrare da 0 a T =2. Grazie a questa proprietà, i coefficienti di Fourier per una funzione pari diventano
2
a0 ¼
T
4
an ¼
T
Z
T=2
f ðtÞ dt
0
Z
T=2
f ðtÞ cos n!0 t dt
ð18:18Þ
0
bn ¼ 0
Essendo bn ¼ 0, la (18.3) diventa una serie di Fourier in coseno. Ciò è ragionevole,
essendo il coseno una funzione pari. È inoltre sensato che, intuitivamente, una funzione pari non contenga termini in seno, essendo il seno una funzione dispari.
Figura 18.10
Esempi di funzioni
periodiche pari.
Per confermare quantitativamente la (18.18), si applica la proprietà (18.17) di una funzione pari al calcolo dei coefficienti di Fourier nelle (18.6), (18.8) e (18.9). In ciascuno dei tre casi risulta più conveniente integrare sull’intervallo T =2 < t < T =2, che è
simmetrico rispetto all’origine:
"Z
#
Z
Z T=2
0
1 T =2
1
a0 ¼
f ðtÞ dt ¼
f ðtÞ dt þ
f ðtÞ dt
ð18:19Þ
T T =2
T
T=2
0
Si effettua un cambio di variabili per l’integrale sull’intervallo T =2 < t < 0 ponendo t ¼ x, cosı̀ che dt ¼ dx, f ðtÞ ¼ f ðtÞ ¼ f ðxÞ, perché f ðtÞ è una funzione pari,
e quando t ¼ T =2; x ¼ T =2. Allora,
"Z
#
"Z
#
Z T=2
Z T =2
0
T =2
1
1
a0 ¼
f ðxÞðdxÞþ
f ðtÞdt ¼
f ðxÞdxþ
f ðtÞdt ð18:20Þ
T
T
T =2
0
0
0
che mostra come i due integrali sano uguali. Di qui,
Z
2 T =2
a0 ¼
f ðtÞ dt
T 0
come ci si attendeva. In maniera simile, dalla (18.8),
"Z
#
Z T =2
0
2
f ðtÞ cos n!0 t dt þ
f ðtÞ cos n!0 t dt
an ¼
T
T=2
0
ð18:21Þ
ð18:22Þ
Si opera lo stesso cambio di variabili che ha portato alla (18.20) e si nota che sia f ðtÞ
che cos n!0 t sono funzioni pari, il che implica f ðtÞ ¼ f ðtÞ e cos ðn!0 tÞ ¼
¼ cos n!0 t. La (18.22) diventa
"Z
#
Z T =2
0
2
f ðxÞ cos ðn!0 xÞðdxÞ þ
f ðtÞ cos n!0 t dt
an ¼
T
T =2
0
"Z
#
Z T =2
0
2
¼
ð18:23aÞ
f ðxÞ cos ðn!0 xÞðdxÞ þ
f ðtÞ cos n!0 t dt
T
T =2
0
"Z
#
Z T =2
T=2
2
¼
f ðxÞ cos ðn!0 xÞ dx þ
f ðtÞ cos n!0 t dt
T
0
0
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
18.3 Simmetria
e quindi
an ¼
4
T
Z
11
T =2
f ðtÞ cos n!0 t dt
ð18:23bÞ
0
come ci si attendeva. Per i coefficienti bn , si applica la (18.9),
"Z
#
Z T =2
0
2
f ðtÞ sin n!0 t dt þ
f ðtÞ sin n!0 t dt
bn ¼
T
T=2
0
ð18:24Þ
Operando lo stesso cambio di variabili, tenendo presente che ancora f ðtÞ ¼ f ðtÞ ma
sin ðn!0 tÞ ¼ sin n!0 t, la (18.24) fornisce
"Z
#
Z T =2
0
2
f ðxÞ sin ðn!0 xÞðdxÞ þ
f ðtÞ sin n!0 t dt
bn ¼
T
T=2
0
"Z
#
Z T =2
0
2
¼
f ðxÞ sin n!0 x dx þ
f ðtÞ sin n!0 t dt
T
ð18:25Þ
T=2
0
" Z
#
Z T=2
T =2
2
f ðxÞ sin ðn!0 xÞ dx þ
f ðtÞ sin n!0 t dt
¼
T
0
0
¼0
che conferma la (18.18).
18.3.2
Simmetria dispari
Una funzione f ðtÞ si dice dispari se il suo grafico è antisimmetrico rispetto all’asse
verticale:
f ðtÞ ¼ f ðtÞ
ð18:26Þ
Esempi di funzioni dispari sono t, t3 e sin t. La Figura 18.11 presenta altri esempi di
funzioni periodiche dispari. Tutti quanti gli esempi soddisfano la (18.26). Una funzione dispari fo ðtÞ possiede la seguente importante caratteristica:
Z T=2
fo ðtÞ dt ¼ 0
ð18:27Þ
T=2
perché il risultato dell’integrazione da T =2 a 0 è l’opposto di quello dell’integrazione da 0 a T =2. Grazie a questa proprietà, i coefficienti di Fourier per una funzione dispari diventano
a0 ¼ 0,
an ¼ 0
Z T =2
4
f ðtÞ sin n!0 t dt
bn ¼
T 0
ð18:28Þ
e danno luogo quindi a una serie di Fourier in seno. Anche qui, il risultato è ragionevole, essendo la funzione seno una funzione dispari. Si noti inoltre che non esiste termine costante nell’espansione in serie di Fourier di una funzione dispari.
Figura 18.11
Esempi di funzioni periodiche
dispari.
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
12
Capitolo 18 – Serie di Fourier
La dimostrazione della (18.28) segue lo stesso procedimento usato per dimostrare la
(18.18), fatta eccezione per il fatto che f ðtÞ è ora dispari, e quindi f ðtÞ ¼ f ðtÞ. Per
questa semplice ma fondamentale differenza, è facile convincersi che a0 ¼ 0 nella
(18.20), an ¼ 0 nella (18.23a) e bn nella (18.24) diventa
"Z
#
Z T =2
0
2
bn ¼
f ðxÞ sin ðn!0 xÞðdxÞ þ
f ðtÞ sin n!0 t dt
T
T=2
0
" Z
#
Z T =2
0
2
¼
f ðxÞ sin n!0 x dx þ
f ðtÞ sin n!0 t dt
T
T =2
0
"Z
#
Z T=2
T =2
2
f ðxÞ sin ðn!0 xÞ dx þ
f ðtÞ sin n!0 t dt
¼
T
0
0
4
bn ¼
T
Z
T =2
f ðtÞ sin n!0 t dt
ð18:29Þ
0
come ci si attendeva.
È interessante notare che qualunque funzione periodica f ðtÞ senza simmetria pari
né dispari può essere decomposta in una parte pari e una dispari. Usando le proprietà
delle funzioni pari e dispari delle (18.16) e (18.26), si può scrivere
f ðtÞ ¼
1
1
½ f ðtÞ þ f ðtÞ þ ½ f ðtÞ f ðtÞ ¼ fe ðtÞ þ fo ðtÞ
2
2
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ} |ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ
ﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
pari
ð18:30Þ
dispari
Si noti che fe ðtÞ ¼ 12 ½ f ðtÞ þ f ðtÞ soddisfa la definizione di funzione pari della
(18.16), mentre fo ðtÞ ¼ 12 ½ f ðtÞ f ðtÞ soddisfa la definizione di funzione dispari
della (18.26). Il fatto che fe ðtÞ contenga soltanto il termine costante e i termini coseno,
mentre fo ðtÞ soltanto i termini in seno può essere sfruttato per raggruppare i termini
della espansione in serie di Fourier di f ðtÞ come
f ðtÞ ¼ a0 þ
1
X
an cos n!0 t þ
n¼1
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
pari
1
X
bn sin n!0 t ¼ fe ðtÞ þ fo ðtÞ
ð18:31Þ
n¼1
|ﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ{zﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄﬄ}
dispari
Consegue direttamente dalla (18.31) che quando f ðtÞ è pari, bn ¼ 0, e quando f ðtÞ è
dispari, a0 ¼ 0 ¼ an . Si osservino inoltre le seguenti proprietà delle funzioni dispari e
pari:
1. Il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari.
2. Il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari.
3. Il prodotto di una funzione pari per una funzione dispari è una funzione dispari.
4. La somma (o la differenza) di due funzioni pari è una funzione pari.
5. La somma (o la differenza) di due funzioni dispari è una funzione dispari.
6. La funzione somma (o differenza) di una funzione pari e di una dispari non è
né pari né dispari.
Tutte queste proprietà possono essere dimostrate facilmente usando le (18.16) e
(18.26).
18.3.3
Simmetria di semionda
Una funzione possiede simmetria (dispari) di semionda se
T
f t
¼ f ðtÞ
2
ð18:32Þ
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18.3 Simmetria
13
Figura 18.12
Esempi di funzioni periodiche a
simmetria di semionda.
il che significa che ciascun mezzo ciclo è l’immagine speculare del successivo mezzo
ciclo. Si noti che le funzioni cos n!0 t e sin n!0 t soddisfano la (18.32) per valori dispari di n, e quindi possiedono simmetria di semionda quando n è dispari. La Figura
18.12 mostra altri esempi di funzioni con simmetria di semionda. Anche le funzioni
delle Figure 18.11(a) e 18.11(b) hanno simmetria di semionda. Si noti che, in ciascuna di queste funzioni, un qualunque mezzo ciclo è la versione invertita del mezzo ciclo adiacente. I coefficienti di Fourier diventano
a0 ¼ 0
8 Z
T =2
>
< 4
f ðtÞ cos n!0 t dt, per n dispari
T 0
an ¼
>
:
0,
per n pari
8 Z T =2
< 4
f ðtÞ sin n!0 t dt, per n dispari
bn ¼
T 0
:
0,
per n pari
ð18:33Þ
e quindi la serie di Fourier di una funzione avente simmetria di semionda contiene soltanto armoniche dispari. Per dimostrare la (18.33), si applica la proprietà delle funzioni con simmetria di semionda (18.32) al calcolo dei coefficienti di Fourier nelle
(18.6), (18.8) e (18.9).
"Z
#
Z T =2
Z
0
1 T =2
1
f ðtÞ dt ¼
f ðtÞ dt þ
f ðtÞ dt
ð18:34Þ
a0 ¼
T T =2
T
T =2
0
Si opera un cambio di variabili per l’integrale sull’intervallo T =2 < t < 0 ponendo
x ¼ t þ T =2, cosı̀ che dx ¼ dt; quando t ¼ T =2; x ¼ 0, e quando t ¼ 0; x ¼ T =2. Si
tiene presente inoltre la (18.32), cioè f ðx T =2Þ ¼ f ðxÞ. Allora,
"Z
#
Z T=2
T =2 1
T
a0 ¼
f x
f ðtÞ dt
dx þ
T
2
0
0
ð18:35Þ
" Z
#
Z T=2
T=2
1
¼
f ðxÞ dx þ
f ðtÞ dt ¼ 0
T
0
0
che conferma l’espressione per a0 della (18.33). In maniera simile,
"Z
#
Z T =2
0
2
f ðtÞ cos n!0 t dt þ
f ðtÞ cos n!0 t dt
an ¼
T
T =2
0
ð18:36Þ
Si opera ora lo stesso cambio di variabili che ha portato alla (18.35), e la (18.36) diventa
"Z
Z T =2
T =2 2
T
T
f x
f ðtÞ cos n!0 t dt ð18:37Þ
cos n!0 x dx: þ
an ¼
T
2
2
0
0
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14
Capitolo 18 – Serie di Fourier
Poiché f ðx T =2Þ ¼ f ðxÞ, e inoltre
T
cos n!0 x ¼ cos ðn!0 t nÞ
2
¼ cos n!0 t cos n þ sin n!0 t sin n
ð18:38Þ
¼ ð1Þn cos n!0 t
sostituendo tutto ciò nella (18.37) si perviene a
Z T =2
2
an ¼
f ðtÞ cos n!0 t dt
½1 ð1Þn T
0
8 Z T=2
< 4
f ðtÞ cos n!0 t dt, per n dispari
¼
T 0
:
0,
per n pari
ð18:39Þ
che conferma la (18.33). Seguendo un procedimento simile è possibile dimostrare l’espressione di bn nella (18.33).
La Tabella 18.2 riassume gli effetti delle simmetrie fin qui trattate sui coefficienti di
Fourier.
Tabella 18.2
Effetti della simmetria sui coefficienti di Fourier.
Simmetria
a0
an
bn
Note
Pari
a0 6¼ 0
an 6¼ 0
bn ¼ 0
Integrare su T/2 e moltiplicare
per 2 per ottenere i coefficienti.
Dispari
a0 ¼ 0
an ¼ 0
bn 6¼ 0
Integrare su T/2 e moltiplicare
per 2 per ottenere i coefficienti.
Semionda
a0 ¼ 0
a2n ¼ 0
a2nþ1 6¼ 0
b2n ¼ 0
b2nþ1 6¼ 0
Integrare su T/2 e moltiplicare
per 2 per ottenere i coefficienti.
La Tabella 18.3 fornisce invece le serie di Fourier per alcune funzioni periodiche di
uso comune.
Tabella 18.3
Funzione
Serie di Fourier di alcune funzioni di uso comune.
Serie di Fourier
1. Onda quadra
fðtÞ ¼
1
4A X
1
sin ð2n 1Þ!0 t
n¼1 2n 1
fðtÞ ¼
1
A 2A X
1
n
þ
sin
cos n!0 t
T
T n¼1 n
T
fðtÞ ¼
1
A AX
sin n!0 t
2 n¼1
n
2. Treno di impulsi rettangolari
3. Dente di sega
(segue)
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18.3 Simmetria
15
(seguito)
Tabella 18.3
Serie di Fourier di alcune funzioni di uso comune.
Funzione
Serie di Fourier
4. Onda triangolare
fðtÞ ¼
1
A 4A X
1
cos ð2n 1Þ!0 t
2
2 n¼1 ð2n þ 1Þ2
fðtÞ ¼
1
A A
2A X
1
cos 2n!0 t
þ sin !0 t 2
n¼1 4n2 1
fðtÞ ¼
1
2A 4A X
1
cos n!0 t
n¼1 4n2 1
5. Sinusoide raddrizzata a semionda
6. Sinusoide raddrizzata a onda intera
Esempio 18.3
Calcolare l’espansione in serie di Fourier della funzione f ðtÞ rappresentata nella Figura 18.13.
Soluzione: La funzione f ðtÞ è una funzione dispari, e quindi a0 ¼ 0 ¼ an . Il periodo è T ¼ 4; e
!0 ¼ 2=T ¼ =2, cosı̀ che
bn ¼
¼
4
T
4
4
¼
Z
T=2
f ðtÞ sin n!0 t dt
0
Z
1
1 sin
0
n
t dt þ
2
Z
1
2
0 sin
n
t dt
2
2
nt 1
2 n ¼
cos
1
cos
n
2 0 n
2
Figura 18.13
Per l’Esempio 18.3.
Quindi,
f ðtÞ ¼
1
2X
1
n n
1 cos
sin
t
n¼1 n
2
2
che è una serie di Fourier in seno.
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16
Capitolo 18 – Serie di Fourier
n Esercizio 18.3 Determinare la serie di Fourier per la funzione fðtÞ in Figura 18.14.
Figura 18.14
Per l’Esercizio 18.3.
Risposta f ðtÞ ¼ 1
4X
1
sin nt, n ¼ 2k 1.
k¼1 n
n
Esempio 18.4
Determinare la serie di Fourier per la funzione coseno raddrizzata a semionda mostrata in Figura
18.15.
Figura 18.15
Funzione coseno raddrizzata a
semionda; per l’Esempio 18.4.
Soluzione: Si tratta di una funzione pari, e quindi bn ¼ 0. Inoltre, T ¼ 4, !0 ¼ 2=T ¼ =2. In
un periodo,
8
0,
>
>
<
f ðtÞ ¼ cos
t,
>
2
>
:
0,
a0 ¼
¼
an ¼
Ma cos A cos B ¼
1
2
4
T
Z
Z
2
T
T =2
f ðtÞ dt ¼
0
2
4
2 < t < 1
1 < t < 1
1<t<2
Z
1
cos
0
t dt þ
2
Z
2
0 dt
1
1 2
1 1
sin
t ¼
2 2 0 T=2
f ðtÞ cos n!0 t dt ¼
0
4
4
Z
1
cos
0
nt
t cos
dt þ 0
2
2
½ cos ðA þ BÞ þ cos ðA BÞ. Allora,
an ¼
1
2
Z 1h
0
cos
i
ðn þ 1Þt þ cos
ðn 1Þt dt
2
2
Per n ¼ 1,
a1 ¼
1
2
Z
0
1
½ cos t þ 1 dt ¼
1
2
1
sin t
1
þ t ¼
2
0
Per n > 1,
an ¼
1
1
sin
ðn þ 1Þ þ
sin
ðn 1Þ
ðn þ 1Þ
2
ðn 1Þ
2
Per n ¼ dispari (n ¼ 1, 3, 5, . . .Þ; ðn þ 1Þ e ðn 1Þ sono entrambi pari, perciò
sin
ðn þ 1Þ ¼ 0 ¼ sin
ðn 1Þ,
2
2
n ¼ dispari
Per n ¼ pari (n ¼ 2, 4, 6, . . .Þ, ðn þ 1Þ e ðn 1Þ sono entrambi dispari. Inoltre,
sin
n
ðn þ 1Þ ¼ sin
ðn 1Þ ¼ cos
¼ ð1Þn=2 ,
2
2
2
n ¼ pari
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18.3 Simmetria
17
Quindi,
an ¼
ð1Þn=2
ð1Þn=2
2ð1Þn=2
þ
¼
,
ðn þ 1Þ
ðn 1Þ
ðn2 1Þ
n ¼ pari
In conclusione,
f ðtÞ ¼
1
1
1
2 X
ð1Þn=2
n
cos
þ
cos
t
t
2
2
n¼pari ðn2 1Þ
2
Per evitare di usare n ¼ 2, 4, 6, . . . e inoltre per semplificare i calcoli si può sostituire n con 2k, con
k ¼ 1, 2, 3, . . . ottenendo
f ðtÞ ¼
1
1
1
2X
ð1Þk
cos kt
þ
cos
t
2
2
k¼1 ð4k 2 1Þ
che è una serie di Fourier in coseno.
n Esercizio 18.4 Determinare l’espansione in serie di Fourier della funzione in Figura 18.16.
Figura 18.16
Per l’Esercizio 18.4.
1
2
Risposta f ðtÞ ¼ 1
4 X
1
cos nt, n ¼ 2k 1.
2
k¼1 n2
n
Esempio 18.5
Calcolare la serie di Fourier per la funzione in Figura 18.17.
Figura 18.17
Per l’Esempio 18.5.
Soluzione: La funzione in Figura 18.17 è a simmetria dispari di semionda, e perciò a0 ¼ 0 ¼ an .
In un semiperiodo essa è descritta da
f ðtÞ ¼ t,
T ¼ 4, !0 ¼ 2=T ¼ =2. Quindi,
bn ¼
4
T
Z
1<t <1
T=2
f ðtÞ sin n!0 t dt
0
Invece di integrare f ðtÞ da 0 a 2, è più conveniente integrarla da 1 a 1. Applicando la (18.15d),
1
Z
4 1
nt
sin nt=2
t cos nt=2 t sin
dt ¼
bn ¼
4 1
2
n2 2 =4
n=2
1
¼
n i
n i
4 h
n
2 h
n
sin
sin
cos
þ
cos
n2 2
2
2
n
2
2
¼
8
n
4
n
sin
cos
n2 2
2
n
2
perché sin ðxÞ ¼ sin x essendo il seno una funzione dispari, mentre cos ðxÞ ¼ cos x essendo il
coseno una funzione pari. Facendo uso delle identità per sin n=2 e cos n=2 della Tabella 18.1,
8 8
ðn1Þ=2
>
, n ¼ dispari ¼ 1, 3, 5, . . .
< 2 2 ð1Þ
n
bn ¼
>
: 4 ð1Þðnþ2Þ=2 ,
n ¼ pari ¼ 2, 4, 6, . . .
n
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18
Capitolo 18 – Serie di Fourier
In conclusione,
f ðtÞ ¼
1
X
bn sin
n¼1
n
t
2
in cui bn ha l’espressione vista sopra.
n Esercizio 18.5 Determinare la serie di Fourier per la funzione in Figura 18.12(a). Si ponga
A ¼ 1 e T ¼ 2.
Risposta f ðtÞ ¼
1 2X
2
1
cos
nt
þ
sin
nt
, n ¼ 2k 1.
k¼1 n2 n
n
18.4 APPLICAZIONE AI CIRCUITI
Come è noto, nelle applicazioni pratiche molto spesso i circuiti vengono pilotati da generatori la cui forma d’onda è periodica ma non sinusoidale. La determinazione della
risposta a regime di un circuito a una eccitazione periodica non sinusoidale richiede
l’applicazione della serie di Fourier e del principio di sovrapposizione. Il procedimento consiste solitamente di quattro fasi.
Procedimento per l’applicazione della serie di Fourier:
1. Esprimere l’eccitazione in serie di Fourier.
2. Trasformare il circuito dal dominio del tempo al dominio delle frequenze.
3. Determinare le risposte alle componenti costante e AC della serie di Fourier.
4. Sommare le singole risposte (costante e AC) usando il principio di sovrapposizione.
Figura 18.18
(a) Rete lineare eccitata da un generatore di tensione periodico, (b) rappresentazione in serie di
Fourier (dominio del tempo).
La prima fase consiste nel determinare l’espansione in serie di Fourier della eccitazione. Per il generatore di tensione periodico in Figura 18.18(a), per esempio, la serie di
Fourier si esprime nella forma
vðtÞ ¼ V0 þ
1
X
Vn cos ðn!0 t þ n Þ
ð18:40Þ
n¼1
(Analogamente si potrebbe fare per un generatore di corrente periodico). La (18.40)
mostra che vðtÞ consiste di due parti: la componente continua V0 e la componente AC
formata da numerose armoniche Vn ¼ Vn n .
La rappresentazione in serie di Fourier può essere interpretata come un insieme di
generatori sinusoidali collegati in serie, ciascuno con la sua ampiezza e frequenza, come mostrato in Figura 18.18(b).
La seconda fase richiede di calcolare la risposta a ciascuno dei termini della serie di
Fourier. La risposta alla componente continua può essere ottenuta nel dominio della
frequenza ponendo n ¼ 0, oppure ! ¼ 0, come in Figura 18.19(a), oppure nel domi-
ﬀ
Figura 18.19
Risposte a regime:
(a) componente continua,
(b) componente AC
(dominio delle frequenze).
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18.4 Applicazione ai circuiti
19
nio del tempo, sostituendo tutti gli induttori con dei corti circuiti e tutti i condensatori
con dei circuiti aperti. La risposta alle componenti AC si ottiene invece con il metodo
dei fasori visto nel Capitolo 9, come mostrato in Figura 18.19(b). La rete viene rappresentata tramite la sua impedenza Zðn!0 Þ o ammettenza Yðn!0 Þ. Zðn!0 Þ è l’impedenza di ingresso vista dal generatore quando ! viene sostituita con n!0 in tutte le sue occorrenze, e Yðn!0 Þ è il reciproco di Zðn!0 Þ.
Infine, applicando il principio di sovrapposizione, si sommano tutte le diverse risposte. Per il caso mostrato in Figura 18.19,
iðtÞ ¼ i0 ðtÞ þ i1 ðtÞ þ i2 ðtÞ þ ¼ I0 þ
1
X
jIn j cos ðn!0 t þ
ð18:41Þ
nÞ
n¼1
in cui ciascuna componente In di frequenza n!0 è stata ritrasformata al dominio del
tempo ottenendo in ðtÞ, e n è l’argomento di In .
Esempio 18.6
Si supponga che la funzione f ðtÞ dell’Esempio 18.1 rappresenti la forma d’onda del generatore di
tensione vs ðtÞ nel circuito di Figura 18.20. Si determini la risposta vo ðtÞ del circuito.
Soluzione: Dall’Esempio 18.1,
vs ðtÞ ¼
1
1
2X
1
þ
sin nt,
2
k¼1 n
n ¼ 2k 1
con !n ¼ n!0 ¼ n rad/s. Utilizzando i fasori, la risposta Vo del circuito in Figura 18.20 si ottiene
con il partitore di tensione:
j!n L
j 2n
Vs ¼
Vs
Vo ¼
R þ j!n L
5 þ j 2n
Figura 18.20
Per l’Esempio 18.6.
Per la componente in continua (!n ¼ 0 o n ¼ 0)
Vs ¼
1
2
¼)
Vo ¼ 0
Questo risultato era atteso, perché l’induttore si comporta come un corto circuito in regime stazionario. L’n-esima armonica è
2
90
ð18:6:1Þ
Vs ¼
n
e la risposta corrispondente
2n 90
2
Vo ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
90
25 þ 4n2 2 tan1 2n=5 n
ð18:6:2Þ
4 tan1 2n=5
¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
25 þ 4n2 2
Nel dominio del tempo,
ﬀ
ﬀ
ﬀ
ﬀ
ﬀ
vo ðtÞ ¼
1
X
k¼1
4
2n
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos nt tan1
,
5
25 þ 4n2 2
n ¼ 2k 1
I primi tre termini (k ¼ 1, 2, 3 o n ¼ 1, 3, 5) delle armoniche dispari nella somma forniscono
vo ðtÞ ¼ 0:4981 cos ðt 51:49 Þ þ 0:2051 cos ð3t 75:14 Þ
þ 0:1257 cos ð5t 80:96 Þ þ V
La Figura 18.21 mostra lo spettro di ampiezza per la tensione di uscita vo ðtÞ, mentre quello della tensione di ingresso vs ðtÞ si trova in Figura 18.4(a). Si noti che i due spettri sono molto simili. Si osserva infatti che il circuito in Figura 18.20 è un filtro passa alto con frequenza di taglio
!c ¼ R=L ¼ 2:5 rad/s, che è inferiore alla frequenza fondamentale !0 ¼ rad/s. La componente costante non riesce a passare e la prima armonica viene leggermente attenuata, ma le armoniche superiori vengono lasciate passare invariate. Infatti, dalle (18.6.1) e (18.6.2), Vo è identica a Vs per n
grande, comportamento caratteristico di un filtro passa-alto.
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20
Capitolo 18 – Serie di Fourier
Figura 18.21
Per l’Esempio 18.6: spettro di
ampiezza della tensione di uscita.
n Esercizio 18.6 Se la forma d’onda a dente di sega in Figura 18.9 (si veda l’Esercizio 18.2)
rappresenta la tensione del generatore vs ðtÞ nel circuito di Figura 18.22, calcolare la risposta vo ðtÞ.
Figura 18.22
Per l’Esercizio 18.6.
1
2
Risposta vo ðtÞ ¼ 1
1X
sin ð2nt tan1 4nÞ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
V.
n¼1
n 1 þ 16n2 2
n
Esempio 18.7
Determinare la risposta io ðtÞ nel circuito di Figura 18.23 se la tensione di ingresso vðtÞ ha la seguente espansione in serie di Fourier
vðtÞ ¼ 1 þ
1
X
2ð1Þn
ð cos nt n sin nt Þ
1 þ n2
n¼1
Figura 18.23
Per l’Esempio 18.7.
Soluzione: Usando la (18.13), è possibile esprimere la tensione di ingresso come
vðtÞ ¼1 þ
1
X
2ð1Þn
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos ðnt þ tan1 nÞ
1 þ n2
n¼1
¼1 1:414 cos ðt þ 45 Þ þ 0:8944 cos ð2t þ 63:45 Þ
0:6345 cos ð3t þ 71:56 Þ 0:4851 cos ð4t þ 78:7 Þ þ Si nota che !0 ¼ 1, !n ¼ n rad/s. L’impedenza vista dal generatore è
Z ¼ 4 þ j!n 2 k 4 ¼ 4 þ
La corrente di ingresso è
I¼
j!n 8
8 þ j!n 8
¼
4 þ j!n 2
2 þ j!n
V
2 þ j!n
V
¼
8 þ j!n 8
Z
dove V è il fasore della tensione vðtÞ del generatore. Per il partitore di corrente,
Io ¼
4
V
I¼
4 þ j!n 2
4 þ j!n 4
Essendo !n ¼ n, Io può essere espressa come
V
Io ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4 1 þ n2 tan1 n
ﬀ
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18.5 Potenza media e valori RMS
21
Per la componente costante (!n ¼ 0 o n ¼ 0)
V¼1
¼)
Io ¼
V
1
¼
4
4
Per la n-esima armonica,
2ð1Þn
V ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ n2
ﬀ tan
1
n
cosı̀ che
1
2ð1Þn
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Io ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4 1 þ n2 tan1 n 1 þ n2
ﬀ
ﬀ tan
1
n¼
ð1Þn
2ð1 þ n2 Þ
Nel dominio del tempo,
io ðtÞ ¼
1
1 X
ð1Þn
cos ntA
þ
2ð1 þ n2 Þ
4
n¼1
n Esercizio 18.7 Se la tensione di ingresso nel circuito di Figura 18.24 è
vðtÞ ¼
1 1
1 X
1
cos
nt
þ 2
sin
nt
V
3
n¼1 n2
n
determinare la risposta io ðtÞ.
Figura 18.24
Per l’Esercizio 18.7.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
1 X
2n
1 þ n2 2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ cos nt tan1 þ tan1 n A.
Risposta þ
9 n¼1 n2 2 9 þ 4n2
3
n
18.5 POTENZA MEDIA E VALORI RMS
Vengono ora ripresi in esame i concetti di potenza media e valore efficace di un segnale periodico di cui si è parlato nel Capitolo 11. Per calcolare la potenza media assorbita da un circuito soggetto a una eccitazione periodica, se ne scrivono la tensione
e la corrente nella forma ampiezza-fase [si veda la 18.10]
vðtÞ ¼ Vdc þ
1
X
Vn cos ðn!0 t n Þ
ð18:42Þ
Im cos ðm!0 t m Þ
ð18:43Þ
n¼1
iðtÞ ¼ Idc þ
1
X
m¼1
Secondo la convenzione degli utilizzatori (Figura 18.25), la potenza media è
Z
1 T
P¼
vi dt
ð18:44Þ
T 0
Figura 18.25
Direzioni di riferimento della
tensione e della corrente.
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22
Capitolo 18 – Serie di Fourier
Sostituendo le (18.42) e (18.43) nella (18.44) si ottiene
P¼
1
T
Z
T
Vdc Idc dt þ
0
Z
1
X
Im Vdc T
cos ðm!0 t m Þ dt
T
0
m¼1
Z
1
X
Vn Idc T
cos ðn!0 t n Þ dt
þ
T
0
n¼1
ð18:45Þ
Z
1 X
1
X
Vn Im T
þ
cos ðn!0 t n Þ cos ðm!0 t m Þ dt
T
0
m¼1 n¼1
Il secondo e il terzo integrale si annullano, trattandosi di integrali di funzioni coseno
effettuati su un periodo. Secondo la (18.4e), tutti i termini nel quarto integrale sono
nulli quando m 6¼ n. Calcolando il primo integrale e applicando la (18.4g) al quarto integrale per il caso m ¼ n, si ottiene
P ¼ Vdc Idc þ
1
1X
Vn In cos ðn n Þ
2 n¼1
ð18:46Þ
Questa equazione mostra che nel calcolo della potenza media in presenza di tensioni e
di correnti periodiche, la potenza media totale risulta pari alla somma delle potenze
medie relative alla tensione e corrente di ciascuna armonica. Data una funzione periodica f ðtÞ, il suo valore efficace (o rms) è dato da 3
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Z
1 T 2
Frms ¼
f ðtÞ dt
ð18:47Þ
T 0
Sostituendo f ðtÞ della (18.10) nella (18.47) e ricordando che ða þ bÞ2 ¼
¼ a2 þ 2ab þ b2 , si ottiene
Z T"
1
X
1
2
Frms
¼
a20 þ 2
a0 An cos ðn!0 t þ n Þ
T 0
n¼1
#
1 X
1
X
þ
An Am cos ðn!0 t þ n Þ cos ðm!0 t þ m Þ dt
n¼1 m¼1
¼
1
T
Z
T
0
a20 dt þ 2
1 X
1
X
1
X
a0 An
n¼1
1
þ
An Am
T
n¼1 m¼1
Z
1
T
ð18:48Þ
Z
T
cos ðn!0 t þ n Þ dt
0
T
cos ðn!0 t þ n Þ cos ðm!0 t þ m Þ dt
0
Sono stati introdotti indici interi diversi n e m per indicare il prodotto di due serie.
Con lo stesso ragionamento fatto prima, si ottiene
2
¼ a20 þ
Frms
e quindi
Frms
1
1X
A2
2 n¼1 n
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
1X
¼ a20 þ
A2
2 n¼1 n
ð18:49Þ
3
In questo capitolo verrà utilizzato di preferenza il pedice ‘‘rms’’ invece di quello ‘‘eff’’ utilizzato nel
Capitolo 11 e più diffuso nella letteratura di lingua italiana sui circuiti in regime sinusoidale.
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18.5 Potenza media e valori RMS
23
In termini di coefficienti di Fourier an e bn , la (18.49) può essere scritta come
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
1X
Frms ¼ a20 þ
ða2 þ b2n Þ
ð18:50Þ
2 n¼1 n
Se f ðtÞ è la corrente che attraversa un resistore R, la potenza dissipata nel resistore è
allora
2
ð18:51Þ
P ¼ RFrms
Se invece f ðtÞ è la tensione sul resistore R, la potenza dissipata vale
P¼
2
Frms
R
ð18:52Þ
È possibile evitare di specificare la natura del segnale scegliendo una resistenza da
1 . La potenza dissipata nella resistenza da 1 è
1
1X
ða2 þ b2n Þ
2 n¼1 n
2
P1 ¼ Frms
¼ a20 þ
ð18:53Þ
Questo risultato è noto come teorema di Parseval. Si noti che a20 è la potenza dovuta
alla componente continua, mentre 1=2ða2n þ b2n Þ è la potenza AC della n-esima armonica. Il teorema di Parseval afferma perciò che la potenza media in un segnale periodico è la somma della potenza media nella sua componente costante e delle potenze medie dovute alle singole armoniche.
Esempio 18.8
Determinare la potenza media fornita al circuito in Figura 18.26 se iðtÞ ¼ 2 þ 10 cos ðt þ 10 Þþ
þ6 cos ð3t þ 45 Þ A.
Figura 18.26
Per l’Esempio 18.8.
Soluzione: L’impedenza di ingresso del circuito è
1
10ð1=j 2!Þ
10
Z ¼ 10
j 2! ¼ 10 þ 1=j 2! ¼ 1 þ j 20!
Perciò,
10I
V ¼ IZ ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ 400!2 tan1 20!
ﬀ
Per la componente costante, ! ¼ 0,
I ¼ 2A
¼)
V ¼ 10ð2Þ ¼ 20V
Questo è un risultato atteso, perché il condensatore agisce come un circuito aperto per le correnti costanti e l’intera corrente di 2A scorre nel resistore. Per ! ¼ 1 rad/s,
ﬀ
I ¼ 10 10
¼)
ﬀ
ﬀ
10ð10 10 Þ
V ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ 400 tan1 20
ﬀ
¼5 77:14
Per ! ¼ 3 rad/s,
ﬀ
I ¼ 6 35
¼)
ﬀ
ﬀ
10ð6 35 Þ
V ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ 3600 tan1 60
ﬀ
¼1 54:04
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24
Capitolo 18 – Serie di Fourier
Nel dominio del tempo, allora
vðtÞ ¼ 20 þ 5 cos ðt 77:14 Þ þ 1 cos ð3t 54:04 ÞV
La potenza media fornita al circuito si ottiene applicando la (18.46),
P ¼ Vdc Idc þ
1
1X
Vn In cos ðn n Þ
2 n¼1
Per determinare i segni corretti di n e n , è necessario confrontare v e i in questo esempio con le
(18.42) e (18.43). Ne segue,
P ¼ 20ð2Þ þ
þ
1
ð5Þð10Þ cos ½77:14 ð10 Þ
2
1
ð1Þð6Þ cos ½44:05 ð35 Þ
2
¼ 40 þ 1:247 þ 0:05 ¼ 41:5 W
In alternativa, si può determinare la potenza media assorbita dal resistore come
P¼
1
2
Vdc
1X
jVn j2
202
1 52
1 12
þ
¼
þ þ R
10
2 n¼1 R
2 10
2 10
¼ 40 þ 1:25 þ 0:05 ¼ 41:5 W
che coincide con la potenza calcolata prima, perché il condensatore non assorbe alcuna potenza media.
n Esercizio 18.8 La tensione e la corrente ai terminali di un circuito sono
vðtÞ ¼ 80 þ 120 cos 120t þ 60 cos ð360t 30 Þ
iðtÞ ¼ 5 cos ð120t 10 Þ þ 2 cos ð360t 60 Þ
Determinare la potenza media assorbita dal circuito.
Risposta 347.4 W.
n
Esempio 18.9
Ottenere una stima del valore rms della tensione dell’Esempio 18.7.
Soluzione: Dall’Esempio 18.7, vðtÞ si esprime come
vðtÞ ¼ 1 1:414 cos ðt þ 45 Þ þ 0:8944 cos ð2t þ 63:45 Þ
0:6345 cos ð3t þ 71:56 Þ
0:4851 cos ð4t þ 78:7 Þ þ V
Usando la (18.49),
Vrms ¼
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
1X
a20 þ
A2
2 n¼1 n
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
iﬃ
1h
12 þ
ð1:414Þ2 þ ð0:8944Þ2 þ ð0:6345Þ2 þ ð0:4851Þ2 þ 2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ 2:7186 ¼ 1:649 V
¼
Questo è semplicemente un valore approssimato, essendo stati tenuti in conto soltanto pochi termini
della serie. L’effettiva funzione rappresentata dalla serie di Fourier è
vðtÞ ¼
e t
,
sinh <t <
con vðtÞ ¼ vðt þ T Þ: Il suo valore rms è 1.776 V.
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18.6 Serie di Fourier in forma esponenziale
n Esercizio 18.9 Calcolare il valore rms della corrente periodica
iðtÞ ¼ 8 þ 30 cos 2t 20 sin 2t þ 15 cos 4t 10 sin 4t A
Risposta 29.61 A.
n
18.6 SERIE DI FOURIER IN FORMA ESPONENZIALE
Una maniera particolarmente compatta di esprimere la serie di Fourier nella (18.3) è la
cosiddetta forma esponenziale. Essa richiede che i termini in seno e coseno vengano
rappresentati in forma esponenziale usando l’identità di Eulero:
1 jn!0 t
þ ejn!0 t ½e
2
1 jn!0 t
sin n!0 t ¼
ejn!0 t ½e
2j
cos n!0 t ¼
ð18:54aÞ
ð18:54bÞ
Sostituendo la (18.54) nella (18.3) e raccogliendo i termini, si ottiene
f ðtÞ ¼ a0 þ
1
1X
½ðan jbn Þe jn!0 t þ ðan þ jbn Þejn!0 t 2 n¼1
ð18:55Þ
Definendo un nuovo coefficiente cn tale che
c0 ¼ a0 ,
cn ¼
ðan jbn Þ
,
2
cn ¼ cn ¼
ðan þ jbn Þ
2
ð18:56Þ
f ðtÞ diventa allora
f ðtÞ ¼ c0 þ
1
X
ðcn e jn!0 t þ cn ejn!0 t Þ
ð18:57Þ
n¼1
o anche
1
X
f ðtÞ ¼
cn e jn!0 t
ð18:58Þ
n¼1
Quest’ultima è la rappresentazione di f ðtÞ in serie di Fourier complessa o esponenziale. Si noti come questa forma esponenziale risulta più compatta della forma seno-coseno della (18.3). Benché i coefficienti cn della serie di Fourier esponenziale possano essere ottenuti a partire da an e bn usando la (18.56), essi possono anche essere ricavati
direttamente da f ðtÞ come
1
cn ¼
T
Z
T
f ðtÞejn!0 t dt
ð18:59Þ
0
con !0 ¼ 2=T , come sempre. I grafici di modulo e fase di cn in funzione di n!0 sono
detti spettro di ampiezza complesso e spettro di fase complesso di f ðtÞ, rispettivamente. I due spettri formano assieme lo spettro complesso di f ðtÞ.
La serie di Fourier esponenziale di una funzione periodica f ðtÞ descrive lo spettro di f ðtÞ in termini
di ampiezza e angolo di fase delle componenti AC alle frequenze armoniche positive e negative.
I coefficienti delle tre forme della serie di Fourier (forma seno-coseno, forma ampiezza-fase, forma esponenziale) sono legati da
ﬀ
An n ¼ an jbn ¼ 2cn
ð18:60Þ
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25
26
Capitolo 18 – Serie di Fourier
o anche
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a2n þ b2n
cn ¼ jcn j n ¼
2
ﬀ
ﬀ tan
1
ð18:61Þ
bn =an
se solo an > 0.
Si noti che la fase n di cn è uguale a n .
In termini di coefficienti complessi di Fourier cn , il valore rms di un segnale periodico f ðtÞ può essere espresso da
"
#
Z
Z
1
X
1 T 2
1 T
2
jn!t
f ðtÞ dt ¼
f ðtÞ
cn e
Frms ¼
dt
T 0
T 0
n¼1
¼
1
X
cn
1
T
n¼1
¼
1
X
Z
f ðtÞe
jn!dt
ð18:62Þ
0
1
X
cn cn ¼
n¼1
T
jcn j2
n¼1
oppure anche
Frms
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
X
¼
jcn j2
ð18:63Þ
n¼1
La (18.62) può essere scritta come
2
Frms
¼ jc0 j2 þ 2
1
X
jcn j2
ð18:64Þ
n¼1
Anche qui, la potenza dissipata da una resistenza da 1 è
2
¼
P1 ¼ Frms
1
X
jcn j2
ð18:65Þ
n¼1
che riafferma il teorema di Parseval. Lo spettro di potenza del segnale f ðtÞ è costituito
dal grafico di jcn j2 in funzione di n!0 . Se f ðtÞ è la tensione su un resistore R, la poten2
=R; se f ðtÞ è la corrente che attraversa R, la poza media assorbita dal resistore è Frms
2
tenza è Frms R.
Figura 18.27
Treno di impulsi periodico.
Come esempio, si consideri il treno di impulsi periodico di Figura 18.27. Si vogliono
ottenere lo spettro di ampiezza e quello di fase. Il periodo del treno di impulsi è
T ¼ 10, cosı̀ che !0 ¼ 2=T ¼ =5. Usando la (18.59),
Z
Z 1
1 T =2
1
jn!0 t
f ðtÞe
dt ¼
10ejn!0 t dt
cn ¼
T T =2
10 1
1
1
1
jn!0 t ¼
e
¼
ðejn!0 e jn!0 Þ
jn!0
jn!
0
1
ð18:66Þ
¼
2 e jn!0 ejn!0
sin n!0
¼2
,
2j
n!0
n!0
¼2
!0 ¼
5
sin n=5
n=5
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18.6 Serie di Fourier in forma esponenziale
e
f ðtÞ ¼ 2
1
X
sin n=5 jnt=5
e
n=5
n¼1
27
ð18:67Þ
Si noti dalla (18.66) che cn è il prodotto di 2 e di una funzione della forma sin x=x.
Questa funzione è nota anche come funzione sinc; la si può scrivere come
sincðxÞ ¼
sin x
x
ð18:68Þ
Alcune proprietà della funzione sinc sono particolarmente interessanti. Quando l’argomento è zero, il valore della funzione sinc è unitario,
sincð0Þ ¼ 1
ð18:69Þ
Ciò si ottiene applicando la regola di De l’Hospital alla (18.68). Per valori multipli di
, il valore della funzione sinc è zero,
sincðnÞ ¼ 0,
n ¼ 1, 2, 3, . . .
ð18:70Þ
Figura 18.28
Spettro di ampiezza di un treno di
impulsi periodico.
Inoltre, la funzione sinc ha simmetria pari. Tenendo presente tutto ciò, è possibile ottenere gli spettri di ampiezza e di fase di f ðtÞ. Per la (18.66), il modulo è
sin n=5 ð18:71Þ
jcn j ¼ 2
n=5 mentre la fase è
n ¼
8
>
< 0 ,
>
: 180 ,
n
>0
5
n
sin
<0
5
sin
ð18:72Þ
La Figura 18.28 mostra il grafico di jcn j in funzione di n per n variabile da 10 a 10,
dove n ¼ !=!0 è la frequenza normalizzata. La Figura 18.29 mostra il grafico di n in
funzione di n. Lo spettro di ampiezza e quello di fase sono entrambi detti spettri a righe, perché i valori di jcn j e n si hanno soltanto per valori discreti delle frequenze. La
distanza tra le righe è !0 . Si può inoltre tracciare il grafico dello spettro di potenza,
che è la rappresentazione di jcn j2 in funzione di n!0 . Si noti inoltre che la funzione
sinc rappresenta l’inviluppo dello spettro di ampiezza.
Figura 18.29
Spettro di fase di un treno di
impulsi periodico.
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28
Capitolo 18 – Serie di Fourier
Esempio 18.10
Determinare l’espansione in serie di Fourier in forma esponenziale della funzione periodica
f ðtÞ ¼ et , 0 < t < 2 con f ðt þ 2Þ ¼ f ðtÞ.
Soluzione: Poiché T ¼ 2, !0 ¼ 2=T ¼ 1. Quindi,
cn ¼
1
T
Z
T
f ðtÞejn!0 t dt ¼
0
1
2
Z
2
et ejnt dt
0
2
1
1
1
ð1jnÞt 2 j 2n
1
e
¼
¼ 2ð1 jnÞ ½e e
2 1 jn
0
Ma per l’identità di Eulero,
ej 2n ¼ cos 2n j sin 2n ¼ 1 j 0 ¼ 1
Perciò,
cn ¼
1
85
½e2 1 ¼
2ð1 jnÞ
1 jn
La serie di Fourier complessa è
f ðtÞ ¼
1
X
n¼1
85
e jnt
1 jn
ﬀ
È possibile visualizzare in grafico lo spettro complesso di f ðtÞ. Ponendo cn ¼ jcn j n ,
85
jcn j ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ ;
1 þ n2
n ¼ tan1 n
Inserendo i valori negativi e positivi di n, si ottengono i grafici di ampiezza e fase di cn in funzione
di n!0 ¼ n, come in Figura 18.30.
Figura 18.30
Spettro complesso della funzione nell’Esempio 18.10: (a) spettro di ampiezza, (b) spettro di fase.
n Esercizio 18.10 Ottenere la serie di Fourier complessa della funzione in Figura 18.1.
1
2
Risposta f ðtÞ ¼ 1
X
n¼1
n6¼0
n¼dispari
j jnt
e .
n
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
n
18.6 Serie di Fourier in forma esponenziale
Esempio 18.11
Determinare la serie di Fourier complessa della forma d’onda a dente di sega in Figura 18.9.
Tracciare gli spettri di ampiezza e fase.
Soluzione: Dalla Figura 18.9, f ðtÞ ¼ t; 0 < t < 1, T ¼ 1 cosı̀ che !0 ¼ 2=T ¼ 2: Quindi,
cn ¼
1
T
Z
T
f ðtÞejn!0 t dt ¼
0
1
1
Z
1
tej 2nt dt
ð18:11:1Þ
0
Ma
Z
teat dt ¼
eat
ðat 1Þ þ C
a2
Applicando questo risultato alla (18.11.1) si ha
cn ¼
¼
ej 2nt
ðj 2nÞ2
e
j 2n
1
ðj 2nt 1Þ
0
ð18:11:2Þ
ðj 2n 1Þ þ 1
4n2 2
Inoltre,
ej 2n ¼ cos 2n j sin 2n ¼ 1 j 0 ¼ 1
cosı̀ che la (18.11.2) diventa
cn ¼
j 2n
j
¼
4n2 2
2n
ð18:11:3Þ
Questa espressione non comprende il caso di n ¼ 0. Quando n ¼ 0,
c0 ¼
1
T
Z
T
f ðtÞ dt ¼
0
1
1
Z
1
t dt ¼
0
1
t2 ¼ 0:5
2 0
ð18:11:4Þ
In conclusione,
f ðtÞ ¼ 0:5 þ
1
X
n¼1
n6¼0
j
e j 2nt
2n
ð18:11:5Þ
e
jcn j ¼
8
<
1
, n 6¼ 0
2jnj
,
:
0:5,
n¼0
n ¼ 90 , n 6¼ 0
ð18:11:6Þ
Rappresentando jcn j e n per diversi valori di n, si ottengono gli spettri di ampiezza e di fase mostrati in Figura 18.31.
Figura 18.31
Per l’Esempio 18.11: (a) spettro di ampiezza, (b) spettro di fase.
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29
30
Capitolo 18 – Serie di Fourier
n Esercizio 18.11 Ottenere l’espansione in serie di Fourier complessa di fðtÞ in Figura 18.17.
Tracciare gli spettri di ampiezza e fase.
Risposta f ðtÞ ¼ 1
X
jð1Þn jnt
e . Si vedano gli spettri in Figura 18.32.
n
n¼1
n6¼0
Figura 18.32
n
Per l’Esercizio 18.11: (a) spettro di ampiezza, (b) spettro di fase.
18.7 ANALISI DI FOURIER CON PSPICE
Nel programma PSpice l’analisi di Fourier è associata alla analisi in transitorio. È necessario quindi eseguire una analisi in transitorio prima di eseguire una analisi di
Fourier.
Per ottenere l’analisi di Fourier di una forma d’onda, è necessario un circuito il cui
ingresso sia la forma d’onda da analizzare e la cui uscita sia costituita dalla decomposizione in serie di Fourier. Un possibile circuito è un generatore di corrente (o di tensione) in serie a un resistore da 1 , come mostrato in Figura 18.33. La forma d’onda
viene descritta come vs ðtÞ mediante una VPULSE per un impulso di forma varia o una
VSIN per una sinusoide, e ne vengono definiti gli attributi sul periodo T . L’uscita
V(1) del nodo 1 è costituita dal valore costante (a0 ) e dalle prime nove armoniche (An )
con le relative fasi n ; cioè,
vo ðtÞ ¼ a0 þ
9
X
An sin ðn!0 t þ
nÞ
ð18:73Þ
n¼1
dove
An ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a2n þ b2n ,
n
¼ n ,
2
n ¼ tan1
bn
an
ð18:74Þ
Figura 18.33
Analisi di Fourier con PSpice
usando: (a) un generatore di
corrente, (b) un generatore di
tensione.
Si noti dalla (18.74) che l’uscita fornita da PSpice è in forma seno e non nella forma
coseno della (18.10). L’uscita di PSpice contiene anche i coefficienti di Fourier normalizzati: ciascun coefficiente an viene normalizzato dividendolo per il modulo della
fondamentale a1 , e quindi la componente normalizzata vale an =a1 ; la corrispondente
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18.7 Analisi di Fourier con PSpice
31
fase n viene normalizzata sottraendole la fase 1 della fondamentale, ottenendo cosı̀
la fase normalizzata n 1 .
PSpice for Windows permette di eseguire due tipi di analisi di Fourier: la Discrete
Fourier Transform (DFT, traformata di Fourier discreta), che viene eseguita dal programma PSpice stesso, e la Fast Fourier Transform (FFT, trasformata di Fourier veloce) eseguita dal programma PSpice A/D. La DFT costituisce una approssimazione della serie di Fourier in forma esponenziale, mentre la FFT è un algoritmo per il calcolo
numerico rapido ed efficiente della DFT. Una trattazione completa di DFT e FFT va
comunque al di là degli scopi di questo testo.
18.7.1
Trasformata di Fourier discreta
Il programma PSpice è in grado di eseguire una trasformata di Fourier discreta (DFT),
fornendo una rappresentazione tabulare delle armoniche nel file di uscita. Per abilitare
l’analisi di Fourier, selezionare Analysis/Setup/Transient e attivare la finestra di dialogo Transient, mostrata in Figura 18.34.
Il parametro Print Step deve essere una frazione piccola del periodo, mentre Final
Time può essere, per esempio, 6T . Center Frequency è la frequenza fondamentale
f0 ¼ 1=T . La variabile della quale si desidera ottenere la DFT, V(1) in Figura 18.34,
viene specificata nella casella Output Vars. Oltre a riempire i campi della finestra di
dialogo Transient, è necessario fare DCLICK su Enable Fourier. Con l’analisi di
Fourier abilitata e lo schematico salvato, si fa eseguire PSpice selezionando, come di
consueto, Analysis/Simulate. Il programma esegue una decomposizione armonica
nelle componenti di Fourier del risultato della analisi in transitorio. I risultati vengono
scritti nel file di uscita, che può essere visualizzato selezionando Analysis/Examine
Output. Il file di uscita contiene il valore costante e, per default, le prime nove armoniche, ma è possibile specificarne un numero superiore nella casella Number of harmonics (si veda la Figura 18.34).
Figura 18.34
Finestra di dialogo Transient.
18.7.2
Fast Fourier Transform
Il programma PSpice A/D è in grado di eseguire una trasformata di Fourier veloce
(FFT), per poi rappresentare lo spettro completo di un’espressione contenente i risultati di una analisi in transitorio. Come si è già visto, si costruisce dapprima lo schematico di Figura 18.33(b) e si scelgono gli attributi della forma d’onda. È anche necessario scegliere un Print Step e il Final Time nella finestra di dialogo Transient. Una volta preparato lo schematico, è possibile ottenere la FFT della forma d’onda in due modi. Il primo metodo consiste nell’inserire un marker di tensione al nodo 1 nello schematico di Figura 18.33(b). Dopo aver salvato lo schematico e selezionato Analysis/
Simulate, la forma d’onda V(1) verrà visualizzata nella finestra PSpice A/D. A questo
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32
Capitolo 18 – Serie di Fourier
punto, con un doppio clic sull’icona FFT nel menu PSpice A/D si farà scomparire la
forma d’onda sostituendola con la sua FFT. Dal grafico del risultato della FFT si possono ottenere le armoniche. Nel caso in cui il grafico della FFT risulti troppo poco dettagliato, si può selezionare manualmente un intervallo User Defined specificandone
uno più limitato (si veda la Figura 18.35).
Un altro modo per ottenere la FFT di V(1) consiste nel non inserire il marker di tensione al nodo 1 dello schematico. Dopo aver selezionato Analysis/Simulate, comparirà la finestra PSpice A/D senza alcun grafico visualizzato. Selezionando Trace/Add
e scrivendo V(1) nella opzione Trace Command, con un DCLICKL OK, e attivando la finestra di dialogo X Axis Settings mostrata in Figura 18.35 (tramite il comando
Plot/X-Axis Settings), e poi selezionando Fourier/OK, si otterrà la visualizzazione
della FFT della traccia (o delle tracce) selezionata. Questo procedimento consente di
ottenere la FFT di una qualunque traccia associata al circuito.
Un importante vantaggio della FFT sulla DFT è che di essa è molto facile ottenere
la rappresentazione grafica; lo svantaggio è invece che alcune delle armoniche potrebbero risultare praticamente invisibili nella rappresentazione grafica. Sia per la DFT
che per la FFT, è bene lasciare che la simulazione venga eseguita su un numero elevato di cicli o periodi del circuito, utilizzando inoltre un valore piccolo per lo Step
Ceiling (nella finestra di dialogo Transient) in modo da avere la garanzia della accuratezza dei risultati. È bene che Final Time, nella finestra di dialogo Transient, venga
scelto di un valore almeno cinque volte il periodo del segnale, per permettere alla simulazione di raggiungere la condizione di regime.
Figura 18.35
Finestra di dialogo
per l’asse X .
Esempio 18.12
Determinare con PSpice i coefficienti di Fourier del segnale in Figura 18.1.
Soluzione: In Figura 18.36 è mostrato lo schematico che serve per ottenere i coefficienti di
Fourier. Ricordando il segnale di Figura 18.1, si scelgono gli attributi del generatore di tensione
VPULSE come mostrato in Figura 18.36. L’esempio verrà risolto sia con il metodo della DFT che
con quello della FFT.
Figura 18.36
Schematico per l’Esempio 18.12.
METODO 1
Uso della DFT: (Il marker di tensione in Figura 18.36 non è necessario per questo metodo). Dalla
Figura 18.1, risulta evidente che T ¼ 2 s,
f0 ¼
1
1
¼ ¼ 0:5 Hz
T
2
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18.7 Analisi di Fourier con PSpice
33
Nella finestra di dialogo per l’analisi in transitorio si seleziona allora Final Time pari a 6T = 12 s,
Print Step a 0.01 s, Step Ceiling a 10 ms, Center Frequency a 0.5 Hz e la variabile di uscita V(1).
(Si veda la Figura 18.34, che contiene le opzioni scelte per questo esempio). Dopo aver eseguito
PSpice, il file di uscita contiene i risultati seguenti.
FOURIER COEFFICIENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(1)
DC COMPONENT = 4.989950E-01
HARMONIC
NO
FREQUENCY
(HZ)
FOURIER
COMPONENT
NORMALIZED
COMPONENT
PHASE
(DEG)
NORMALIZED
PHASE (DEG)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5.000E-01
1.000E+00
1.500E+00
2.000E+00
2.500E+00
3.000E+00
3.500E+00
4.000E+00
4.500E+00
6.366E-01
2.012E-03
2.122E-01
2.016E-03
1.273E-01
2.024E-03
9.088E-02
2.035E-03
7.065E-02
1.000E+00
3.160E-03
3.333E-01
3.167E-03
1.999E-01
3.180E-03
1.427E-01
3.197E-03
1.110E-01
-1.809E-01
-9.226E+01
-5.427E-01
-9.451E+01
-9.048E-01
-9.676E+01
-1.267E+00
-9.898E+01
-1.630E+00
0.000E+00
-9.208E+01
-3.619E-01
-9.433E+01
-7.239E-01
-9.658E+01
-1.086E+00
-9.880E+01
-1.449E+00
Confrontando i risultati con la (18.1.7) (si veda l’Esempio 18.1) o con gli spettri in Figura 18.4, si
nota un buon accordo. Dalla (18.1.7), la componente costante è 0.5 mentre PSpice fornisce
0.498995. Inoltre, il segnale possiede soltanto armoniche dispari con fase n ¼ 90 , mentre
PSpice sembrerebbe indicare che il segnale possiede anche armoniche pari, pur se con ampiezze
molto piccole.
METODO 2
Uso della FFT: Con il marker di tensione in Figura 18.36 posizionato, si esegue PSpice e si ottiene
la forma d’onda V(1) mostrata in Figura 18.37(a) nella finestra PSpice A/D. Con un doppio clic sull’icona FFT nel menu PSpice A/D, e dopo aver modificato gli estremi dell’asse X in 0 e 10 Hz, si ottiene la FFT di V(1) mostrata in Figura 18.37(b).
Il grafico della FFT contiene la componente costante e le armoniche comprese nell’intervallo di
frequenza selezionato. Si noti che le ampiezze e le frequenze delle armoniche sono in accordo con i
valori della tabella prodotta dall’analisi DFT.
Figura 18.37
(a) Forma d’onda originale
di Figura 18.1,
(b) FFT della forma d’onda.
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34
Capitolo 18 – Serie di Fourier
n Esercizio 18.12 Ricavare i coefficienti di Fourier della funzione di Figura 18.7 usando PSpice.
Risposta:
FOURIER COEFFICIENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(1)
DC COMPONENT = 4.950000E-01
HARMONIC
NO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
FREQUENCY
(HZ)
FOURIER
COMPONENT
NORMALIZED
COMPONENT
PHASE
(DEG)
NORMALIZED
PHASE (DEG)
1.000E+00
2.000E+00
3.000E+00
4.000E+00
5.000E+00
6.000E+00
7.000E+00
8.000E+00
9.000E+00
3.184E-01
1.593E-01
1.063E-01
7.979E-02
6.392E-01
5.337E-02
4.584E-02
4.021E-02
3.584E-02
1.000E+00
5.002E-01
3.338E-01
2.506E-03
2.008E-01
1.676E-03
1.440E-01
1.263E-01
1.126E-01
-1.782E+02
-1.764E+02
-1.746E+02
-1.728E+02
-1.710E+02
-1.692E+02
-1.674E+02
-1.656E+02
-1.638E+02
0.000E+00
1.800E+00
3.600E+00
5.400E+00
7.200E+00
9.000E+00
1.080E+01
1.260E+01
1.440E+01
n
Esempio 18.13
Se vs nel circuito di Figura 18.38 è un generatore di tensione sinusoidale di ampiezza 12 V e frequenza 100 Hz, determinare la corrente iðtÞ.
Figura 18.38
Per l’Esempio 18.13.
Soluzione: Lo schematico è mostrato in Figura 18.39. Si può fare uso dell’analisi DFT per ottenere i coefficienti di Fourier di iðtÞ. Poiché il periodo della forma d’onda di ingresso è T ¼ 1=100 ¼
10 ms, nella finestra di dialogo Transient si seleziona Print Step: 0.1 ms, Final Time: 100 ms,
Center Frequency: 100 Hz, Number of harmonics: 4 e Output Vars: I(L1). Dopo che il circuito è
stato simulato, il file di uscita contiene i risultati seguenti:
FOURIER COEFFICIENTS OF TRANSIENT RESPONSE I(VD)
DC COMPONENT = 8.583269E-03
HARMONIC
NO
FREQUENCY
(HZ)
FOURIER
COMPONENT
NORMALIZED
COMPONENT
PHASE
(DEG)
NORMALIZED
PHASE (DEG)
1
2
3
4
1.000E+02
2.000E+02
3.000E+02
4.000E+02
8.730E-03
1.017E-04
6.811E-05
4.403E-05
1.000E+00
1.165E-02
7.802E-03
5.044E-03
-8.984E+01
-8.306E+01
-8.235E+01
-8.943E+01
0.000E+00
6.783E+00
7.490E+00
4.054E+00
Noti i coefficienti di Fourier, la serie di Fourier che descrive la corrente iðtÞ può essere ottenuta usando la (18.73):
iðtÞ ¼ 8:5833 þ 8:73 sin ð2 100t 89:84 Þ
þ 0:1017 sin ð2 200t 83:06 Þ
þ 0:068 sin ð2 300t 82:35 Þ þ mA
Si può anche fare uso della FFT per verificare i risultati ottenuti. Viene inserito un marker di corrente al pin 1 dell’induttore come mostrato in Figura 18.39.
Figura 18.39
Schematico del circuito
in Figura 18.38.
R1
1
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18.8 Applicazioni
L’esecuzione di PSpice produrrà automaticamente il grafico di I(L1) nella finestra PSpice A/D, come mostrato in Figura 18.40(a). Con un doppio clic sull’icona FFT, selezionando l’intervallo dell’asse X da 0 a 200 Hz, viene generata la FFT di I(L1) mostrata in Figura 18.40(b). Risulta chiaro dal
grafico prodotto dalla FFT che soltanto la componente costante e la prima armonica risultano visibili. Le armoniche superiori sono invece trascurabili.
35
Figura 18.40
Per l’Esempio 18.13:
(a) grafico di iðtÞ, (b) FFT di iðtÞ.
n Esercizio 18.13 Un generatore di corrente sinusoidale di ampiezza 4 A e frequenza 2 kHz
viene applicato al circuito in Figura 18.41. Utilizzare PSpice per determinare vðtÞ.
Figura 18.41
Per l’Esercizio 18.14.
Risposta: vðtÞ ¼ 150:72 þ 145:5 sin ð4 103 t þ 90 Þ þ V: Le componenti di Fourier
sono mostrate qui sotto.
FOURIER COEFFICIENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(R1:1)
DC COMPONENT = -1.507169E-04
HARMONIC
NO
FREQUENCY
(HZ)
FOURIER
COMPONENT
NORMALIZED
COMPONENT
PHASE
(DEG)
NORMALIZED
PHASE (DEG)
1
2
3
4
2.000E+03
4.000E+03
6.000E+03
8.000E+03
1.455E-04
1.851E-06
1.406E-06
1.010E-06
1.000E+00
1.273E-02
9.662E-03
6.946E-02
9.006E+01
9.597E+01
9.323E+01
8.077E+01
0.000E+00
5.910E+00
3.167E+00
-9.292E+00
n
18.8 APPLICAZIONI y
Si è visto al Paragrafo 18.4 che l’espansione in serie di Fourier consente di applicare il
metodo dei fasori, che è stato introdotto per analizzare circuiti in regime sinusoidale, a
circuiti aventi eccitazioni periodiche non sinusoidali. La serie di Fourier ha molte altre
applicazioni, in particolare nelle telecomunicazioni e nella elaborazione dei segnali.
Tra le applicazioni tipiche si ricordano l’analisi spettrale, il filtraggio, i raddrizzatori e
il calcolo della distorsione armonica. Di queste ne verranno qui presentate due: gli
analizzatori di spettro e i filtri.
Tabella 18.4
Intervalli di frequenza di alcuni segnali tipici.
Segnali
Banda di frequenza
Suoni udibili
Radio AM
Radio a onde corte
Segnali video (Standard USA)
Televisione VHF, radio FM
Televisione UHF
Telefonia cellulare
Microonde
Luce visibile
Raggi X
da 20 Hz a 15 kHz
540-1600 kHz
3-36 MHz
da 0 a 4.2 MHz
54-216 MHz
470-806 MHz
824-891.5 MHz
2.4-300 GHz
105 -106 GHz
108 -109 GHz
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36
Capitolo 18 – Serie di Fourier
18.8.1
Analizzatori di spettro
La serie di Fourier fornisce lo spettro di un segnale. Come si è visto, lo spettro consiste di ampiezze e fasi delle armoniche in funzione della frequenza. Mediante lo spettro di un segnale f ðtÞ, la serie di Fourier permette di identificare molte importanti proprietà del segnale. Mostra, per esempio, quali frequenze giocano un ruolo importante
nella determinazione della forma dell’uscita e quali invece non la influenzano. Per
esempio, i segnali dello spettro udibile possiedono componenti significative nella banda di frequenze da 20 Hz a 15 kHz, mentre i segnali della luce visibile spaziano da
105 GHz a 106 GHz. La Tabella 18.4 presenta altri tipi di segnali, assieme alle rispettive bande di frequenza delle loro componenti. Una funzione periodica è detta a banda
limitata se il suo spettro di ampiezza contiene soltanto un numero finito di coefficienti
An o cn . In questo caso, la serie di Fourier diventa
f ðtÞ ¼
N
X
n¼N
cn e jn!0 t ¼ a0 þ
N
X
An cos ðn!0 t þ n Þ
ð18:75Þ
n¼1
Questa equazione mostra che sono necessari soltanto 2N þ 1 termini (precisamente,
a0 , A1 , A2 , . . . , AN , 1 , 2 , . . . , N ) per specificare completamente f ðtÞ se !0 è nota. Ne consegue il cosiddetto teorema del campionamento: una funzione periodica a
banda limitata la cui serie di Fourier contiene N armoniche viene completamente specificata dai valori che essa assume in 2N þ 1 istanti di un periodo.
Un analizzatore di spettro è uno strumento che visualizza l’ampiezza delle componenti di un segnale in funzione della frequenza, mostrando le varie componenti alle diverse frequenze (linee spettrali) che indicano la quantità di energia relativa a ciascuna
frequenza. In questo senso esso si differenzia dall’oscilloscopio, che visualizza invece
l’intero segnale (tutte le componenti) in funzione del tempo. Un oscilloscopio mostra
il segnale nel dominio del tempo, mentre un analizzatore di spettro lo presenta nel dominio delle frequenze. Non esiste probabilmente uno strumento più utile dell’analizzatore di spettro. Esso è in grado di eseguire analisi del rumore e dei segnali parassiti,
verificare le fasi, controllare interferenze elettromagnetiche ed eseguire verifiche sui
filtri, misurare vibrazioni, misurare segnali radar e molte altre operazioni. Gli analizzatori di spettro sono reperibili in commercio in varie forme e dimensioni: un esempio tipico è mostrato in Figura 18.42.
Figura 18.42
Un tipico analizzatore di spettro.
(Courtesy of Hewlett-Packard.)
18.8.2
Filtri
I filtri costituiscono una classe di componenti molto importante nei sistemi elettronici
e per le telecomunicazioni. Nel Capitolo 14 è stata fatta una presentazione dettagliata
sui filtri passivi e attivi. Si vedrà ora come è possibile progettare filtri in grado di selezionare la sola componente fondamentale (o una qualsiasi armonica) di un segnale di
ingresso, bloccando invece le armoniche rimanenti. Un simile processo di filtraggio
non è attuabile senza l’espansione in serie di Fourier del segnale di ingresso. A scopo
di esempio, verranno considerati due casi: quello di un filtro passa-basso e quello di
un passa-banda. Nell’Esempio 18.6 è già stato presentato un filtro RL passa-alto.
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18.8 Applicazioni
37
Figura 18.43
(a) Spettri di ingresso e di uscita
di un filtro passa-basso, (b) il
filtro passa-basso lascia passare
soltanto la componente continua
quando !c !0 .
L’uscita di un filtro passa-basso dipende dal segnale di ingresso, dalla funzione di trasferimento Hð!Þ del filtro e dalla frequenza di taglio o frequenza di metà potenza !c .
Si ricordi che !c ¼ 1=RC per un filtro RC passivo. Come si vede in Figura 18.43(a),
il filtro passa-basso lascia passare la componente costante e quelle a bassa frequenza,
e blocca invece quelle ad alta frequenza. Facendo !c sufficientemente grande
(!c !0 , per esempio scegliendo C piccolo), può essere lasciato passare un numero
elevato di armoniche. Al contrario, rendendo !c abbastanza piccola (!c !0 ), si possono bloccare tutte le componenti AC e lasciar passare soltanto la componente continua, come mostrato in Figura 18.43(b). (Si veda la Figura 18.2(a) per l’espansione in
serie di Fourier dell’onda quadra).
In maniera simile, l’uscita di un filtro passa-banda dipende dal segnale di ingresso,
dalla funzione di trasferimento del filtro Hð!Þ, dalla larghezza di banda e dalla frequenza centrale !c 4 . Come illustra la Figura 18.44(a), il filtro lascia passare tutte le armoniche del segnale di ingresso comprese entro una banda di frequenze (!1 < ! < !2 ) centrata attorno a !c . Si è supposto che !0 , 2!0 e 3!0 cadano all’interno della banda. Se il
filtro viene reso altamente selettivo (B !0 ) e !c ¼ !0 , dove !0 è la frequenza fondamentale del segnale di ingresso, il filtro lascerà passare la sola componente fondamentale (n ¼ 1) dell’ingresso e bloccherà tutte le armoniche superiori. Come si vede in
Figura 18.44(b), con un’onda quadra in ingresso si otterrà in uscita una sinusoide della
stessa frequenza (si faccia di nuovo riferimento alla Figura 18.2(a)).
Figura 18.44
(a) Spettri di ingresso e di uscita
di un filtro passa-banda, (b) il
filtro passa-banda lascia passare
soltanto la componente
fondamentale quando B !0 .
4
In questo paragrafo si è indicata con !c la frequenza centrale del filtro passa-banda, invece di !0 come
nel Capitolo 14, per evitare di confondere !0 con la frequenza fondamentale del segnale di ingresso.
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38
Capitolo 18 – Serie di Fourier
Esempio 18.14
Se la forma d’onda a dente di sega in Fig. 18.45(a) viene applicata a un filtro passa-basso ideale con
funzione di trasferimento mostrata in Figura 18.45(b), calcolare l’uscita del filtro.
Soluzione: Il segnale di ingresso in Figura 18.45(a) coincide con il segnale di Figura 18.9.
Dall’Esercizio 18.2, si sa che la sua espansione in serie di Fourier è
xðtÞ ¼
1
1
1
1
sin !0 t sin 2!0 t sin 3!0 t 2
2
3
in cui il periodo è T ¼ 1 s e la frequenza fondamentale è !0 ¼ 2 rad/s. Poiché la frequenza di taglio del filtro è !c ¼ 10 rad/s, verranno lasciate passare soltanto la componente costante e le armoniche aventi n!0 < 10. Per n ¼ 2, n!0 ¼ 4 ¼ 12:566 rad/s, che è maggiore di 10 rad/s; la seconda
armonica e le armoniche superiori verranno perciò arrestate, e verranno lasciate passare soltanto la
componente costante e la fondamentale. L’uscita del filtro è quindi
yðtÞ ¼
1
1
sin 2t
2
Figura 18.85
Per l’Esempio 18.14.
n Esercizio 18.14 Ripetere l’Esempio 18.14 con il filtro passa-basso sostituito dal filtro passabanda ideale mostrato in Figura 18.46.
Figura 18.86
Per l’Esercizio 18.14.
Risposta yðtÞ ¼ 1
1
1
sin 3!0 t sin 4!0 t sin 5!0 t.
3
4
5
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n
DOMANDE DI RIEPILOGO
39
DOMANDE DI RIEPILOGO
18.1
Quale delle seguenti espressioni non può essere una serie
di Fourier?
t2
t3
t4
t5
þ
þ
2
3
4
5
(b) 5 sin t þ 3 sin 2t 2 sin 3t þ sin 4t
(c) sin t 2 cos 3t þ 4 sin 4t þ cos 4t
(d) sin t þ 3 sin 2:7t cos t þ 2 tan t
ej2t
ej3t
þ
(e) 1 þ ejt þ
2
3
18.6
(a) 12
(d) 6
(a) t 18.2
18.3
(b) 2
(d) 2
(c) et
2
(b) t sin t
(d) t 3 cos t
(c) 9
La funzione in Figura 18.14 possiede simmetria di
semionda.
(b) Falso
Il grafico di jcn j in funzione di n!0 è detto:
(a) spettro complesso
(b) spettro di ampiezza complesso
(c) spettro di fase complesso
18.9
Quando la tensione periodica 2 þ 6 sin !0 t viene
applicata ad un resistore da 1, l’intero più vicino al
valore della potenza (in watt) dissipata nel resistore è:
(a) 5
(d) 22
Quali delle seguenti funzioni sono funzioni dispari?
(a) sin t þ cos t
(c) t ln t
(e) sinh t
18.5
18.8
(c) (b) t 2 cos t
(e) sinh t
(b) 11
(e) 1
(a) Vero
Quali delle seguenti funzioni sono funzioni pari?
(a) t þ t 2
(d) t 2 þ t 4
18.4
18.7
Se f ðtÞ ¼ t, 0 < t < , f ðt þ nÞ ¼ f ðtÞ, il valore di !0 è
(a) 1
Se f ðtÞ ¼ 10 þ 8 cos t þ 4 cos 3t þ 2 cos 5t þ , la
frequenza angolare della 6.a armonica è
(b) 8
(e) 40
(c) 20
18.10 Lo strumento che visualizza lo spettro di un segnale è
chiamato:
Se f ðtÞ ¼ 10 þ 8 cos t þ 4 cos 3t þ 2 cos 5t þ ,
l’ampiezza della componente costante è:
(a) oscilloscopio
(c) analizzatore di spettro
(a) 10
(d) 2
Risposte: 18.1a,d, 18.2b, 18.3b,c,d, 18.4d,e, 18.5a,
18.6d, 18.7a, 18.8b, 18.9d ,18.10c.
(b) 8
(e) 0
(c) 4
(b) spettrogramma
(d) spettrometro di Fourier
PROBLEMI
Paragrafo 18.2
18.1
10
Per ciascuna delle seguenti funzioni, dire se è periodica
e, in tal caso, calcolarne il periodo.
(a) f ðtÞ ¼ cos t þ 2 cos 3t þ 3 cos 5t
(b) yðtÞ ¼ sin t þ 4 cos 2t
(c) gðtÞ ¼ sin 3t cos 4t
(d) hðtÞ ¼ cos 2 t
(e) zðtÞ ¼ 4:2 sin ð0:4t þ 10 Þ
þ0:8 sin ð0:6t þ 50 Þ
(f) pðtÞ ¼ 10
(g) qðtÞ ¼ et
18.2
g(t)
Serie di Fourier in forma
trigonometrica
5
– 4 –3 –2 –1
Figura 18.47
18.4
Determinare i coefficienti di Fourier a0 , an e bn della
forma d’onda in Figura 18.47. Tracciare gli spettri di
ampiezza e di fase.
1
2
3
4
5
6 t
Per il Problema 18.3.
Calcolare l’espansione in serie di Fourier della forma
d’onda a dente di sega rovesciato di Figura 18.48.
Determinare gli spettri di ampiezza e di fase.
f (t)
Determinare il periodo delle seguenti funzioni
periodiche:
10
(a) f1 ðtÞ ¼ 4 sin 5t þ 3 sin 6t
(b) f2 ðtÞ ¼ 12 þ 5 cos 2t þ 2 cos ð4t þ 45 Þ
(c) f3 ðtÞ ¼ 4 sin2 600t
(d) f4 ðtÞ ¼ e j10t
18.3
0
–4
–2
Figura 18.48
18.5
0
2
4
6 t
Per i Problemi 18.4 e 18.66.
Ricavare l’espansione in serie di Fourier per la forma
d’onda mostrata in Figura 18.49.
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40
Capitolo 18 – Serie di Fourier
18.10 Determinare la serie di Fourier in forma esponenziale per
la funzione periodica mostrata in Figura 18.54.
z(t)
1
−π
h (t)
π
0
2π
3π
4
t
−2
Figura 18.49
18.6
−1
Per il Problema 18.5.
Figura 18.54
Determinare l’espansione in serie di Fourier della forma
d’onda periodica mostrata in Figura 18.50.
y(t)
0
−2
1
2
3
t
Per il Problema 18.10.
18.11 Calcolare la serie di Fourier in forma esponenziale per il
segnale in Figura 18.55.
y (t)
1
4
2
−2 −1
Figura 18.50
18.7
0
−1
1
2
3
4
5
Figura 18.55
t
Per il Problema 18.6.
2
3
4
5
t
Per il Problema 18.11.
vðtÞ ¼ tð2 tÞV ,
0 < t < 2
Determinare la serie di Fourier per la tensione.
f (t)
18.13 Una funzione periodica è definita su un periodo da
10 sin t,
0<t<
hðtÞ ¼
20 sin ðt Þ, < t < 2
10
0
2
10
4
t
Figura 18.51
Determinare la serie di Fourier per hðtÞ.
18.14 Determinare la forma in quadratura (coseni e seni) della
serie di Fourier
1
X
10
n f ðtÞ ¼ 2 þ
cos
2nt
þ
n3 þ 1
4
n¼1
−10
18.8
1
*18.12 Un generatore di tensione ha una forma d’onda periodica
definita su un periodo da
Calcolare la serie di Fourier per la funzione in
Figura 18.51.
−2
0
Per il Problema 18.7.
Determinare la serie di Fourier del segnale in
Figura 18.52.
18.15 Esprimere la serie di Fourier
f (t)
4
f ðtÞ ¼ 10 þ
1
X
n¼1
−1
0
1
Figura 18.52
18.9
2
3
4
5
t
Per il Problema 18.8.
Determinare i coefficienti di Fourier an e bn per le prime
tre armoniche della forma d’onda coseno raddrizzato di
Figura 18.53.
f (t)
Figura 18.53
(a) in forma coseno e angolo,
(b) in forma seno e angolo.
18.16 La forma d’onda in Figura 18.56(a) ha la seguente serie
di Fourier:
1
4
1
v1 ðtÞ ¼ 2 cos t þ cos 3t
2
9
1
þ
cos 5t þ V
25
Determinare la serie di Fourier per v2 ðtÞ in
Figura 18.56(b).
10
−2
4
1
cos 10nt þ 3 sin 10nt
n2 þ 1
n
0
2
4
6
8
10
v1(t)
t
1
Per il Problema 18.9.
–2
* L’asterisco denota un problema di difficoltà superiore alla media.
–1
0
1
2
3
4 t
(a)
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PROBLEMI
41
18.20 Determinare la serie di Fourier per il segnale in
Figura 18.59. Calcolare f ðtÞ per t ¼ 2 usando le prime
tre armoniche non nulle.
v2(t)
1
f (t)
–2
–1
0
1
2
3
4 t
4
–1
(b)
Figura 18.56
–4
Figura 18.59
Per i Problemi 18.16 e 18.69.
Paragrafo 18.3
–2
0
4
6
8 t
Per i Problemi 18.20 e 18.67.
18.21 Determinare la serie di Fourier in forma trigonometrica
del segnale in Figura 18.60.
Simmetria
18.17 Determinare se le seguenti funzioni sono pari, dispari, o
nessuna delle due.
(b) t 2 1
(e) et
(a) 1 þ t
(d) sin2 t
2
f (t)
2
(c) cos nt sin nt
18.18 Determinare la frequenza fondamentale e specificare il
tipo di simmetria presente nelle funzioni di Figura 18.57.
f1(t)
–5 – 4 –3 –2 –1
Figura 18.60
0
1
2
3
4
5 t
Per il Problema 18.21.
18.22 Calcolare i coefficienti di Fourier per la funzione in
Figura 18.61.
2
f (t)
–2
–1
0
1
2
4
t
3
–2
–5 – 4 –3 –2 –1
(a)
Figura 18.61
f2(t)
1
2
3
4
5 t
Per il Problema 18.22.
18.23 Determinare la serie di Fourier per la funzione mostrata
in Figura 18.62.
2
1
–2 –1
0
f (t)
0
1
2
3
4
1
t
5
(b)
–2
–1
0
f3(t)
Figura 18.62
1
0
–1
–2
2
t
4
–2
(c)
Figura 18.57
Per i Problemi 18.18 e 18.63.
f (t)
2
1
1
–1
0
1
2
3
t
–2π
–π
–1
Figura 18.58
Per il Problema 18.23.
1
1
1
1
1
1
¼ þ þ þ 4
1
3
5
7
9
11
f (t)
–2
3 t
18.24 Per la funzione periodica di Figura 18.63,
(a) determinare i coefficienti a2 e b2 della serie di Fourier
in forma trigonometrica,
(b) calcolare modulo e fase della componente di f ðtÞ che
ha !n ¼ 10 rad/s,
(c) utilizzare i primi quattro termini non nulli per stimare
il valore di f ð=2Þ,
(d) mostrare che
18.19 Calcolare l’espansione in serie di Fourier della funzione
in Figura 18.58.
–3
2
–1
2
–4
1
Per il Problema 18.19.
–1
0
π
2π
3π
–2
Figura 18.63
Per il Problema 18.24.
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
4π
t
42
Capitolo 18 – Serie di Fourier
18.30 (a) Se f ðtÞ è una funzione pari, mostrare che
Z
2 T=2
f ðtÞ cos n!o t dt
cn ¼
T 0
18.25 Determinare la rappresentazione in serie di Fourier della
funzione in Figura 18.64.
f (t)
(b) Se f ðtÞ è una funzione dispari, mostrare che
Z
j2 T=2
f ðtÞ sin n!o t dt
cn ¼ T 0
1
–4
–2
0
2
4
t
–1
Figura 18.64
18.31 Siano an e bn i coefficienti della serie di Fourier di f ðtÞ e
sia !o la sua frequenza fondamentale. Si supponga che
f ðtÞ venga scalata nel tempo ottenendo hðtÞ ¼ f ðtÞ. Si
esprimano gli a0n , b0n e !0o di hðtÞ in termini di an , bn e !o
di f ðtÞ.
Per il Problema 18.25.
18.26 Determinare la rappresentazione in serie di Fourier del
segnale mostrato in Figura 18.65.
f(t)
10
Paragrafo 18.4
5
Applicazione ai circuiti
18.32 Determinare iðtÞ nel circuito di Figura 18.69 data
0
– 4 –3 –2 –1
1
Figura 18.65
2
3
4
5
6
7
8
9
t(s)
is ðtÞ ¼ 1 þ
Per il Problema 18.26.
1
X
1
cos 3nt A
2
n
n¼1
18.27 Per la forma d’onda mostrata in Figura 18.66,
2Ω
(a) specificare il tipo di simmetria posseduta,
(b) calcolare a3 e b3 ,
(c) determinare il valore RMS usando le prime cinque
armoniche non nulle.
i(t)
1Ω
is
2H
18.28 Calcolare la serie di Fourier in forma trigonometrica per
la forma d’onda di tensione mostrata in Figura 18.67.
Figura 18.69
v(t)
2
–3
–1
18.33 Nel circuito mostrato in Figura 18.70, l’espansione in
serie di Fourier di vs ðtÞ è
0
1
2
3
4 t
vs ðtÞ ¼ 3 þ
–2
Figura 18.67
Per il Problema 18.32.
1
4X
1
sin ðntÞ
n¼1 n
Determinare vo ðtÞ.
Per il Problema 18.28.
10 Ω
18.29 Determinare l’espansione in serie di Fourier della
funzione a dente di sega in Figura 18.68.
f (t)
vs (t)
+
−
1
4
2H
F
π
Figura 18.70
–2π
–π
π
0
2π
t
Per il Problema 18.33.
18.34 Calcolare vo ðtÞ nella rete di Figura 18.71 se
1
X
10
n vðtÞ ¼
cos nt þ
V
2
n
4
n¼1
–π
Figura 18.68
+
vo(t)
−
Per il Problema 18.29.
f (t)
1
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
t
–1
Figura 18.66
Per il Problema 17.27.
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
PROBLEMI
2Ω
1H
v(t) +
−
43
vs (t) V
+
vo(t)
−
0.5 F
1
0
Figura 18.71
1Ω
3
2
(a)
Per il Problema 18.34.
t
1Ω
18.35 Se vs nel circuito di Figura 18.72 è lo stesso della
funzione f2 ðtÞ in Figura 18.57(b), determinare la
componente costante e le prime tre armoniche non nulle
di vo ðtÞ.
+
−
vs
1H
+
vo
−
1H
(b)
vs +
−
+
vo
−
1Ω
1F
Figura 18.72
1
Figura 18.75
Per il Problema 18.38.
18.39 Se la tensione periodica di Figura 18.76(a) viene
applicata al circuito in Figura 18.76(b), determinare io ðtÞ.
Per il Problema 18.35.
vs(t)
7.5
18.36 Determinare io ðtÞ nel circuito di Figura 18.73 se
1 X
1
n
3
vs ðtÞ ¼
sin
cos nt þ
sin nt
n
2
n
n¼1
2.5
n¼dispari
1Ω
0
1
2
io(t)
vs +
−
3
t
(a)
1Ω
20 Ω
2H
40 Ω
io(t)
Figura 18.73
vs +
−
Per il Problema 18.36.
18.37 La forma d’onda periodica di tensione in Figura 18.74(a)
è applicata al circuito in Figura 18.74(b). Determinare la
tensione vo ðtÞ sul condensatore.
vs(t)
100 mH
50 mF
(b)
Figura 18.76
Per il Problema 18.39.
18.40 Il segnale in Figura 18.77(a) è applicato al circuito in
Figura 18.77(b). Determinare vo ðtÞ.
10
vs(t)
2
–2
–1
0
1
(a)
3 t
2
20 Ω
0
1
2
3
4
5
t
(a)
+
vo
−
vs +
−
10 mF
(b)
Figura 18.74
Per il Problema 18.37.
18.38 Se l’onda quadra mostrata in Figura 18.75(a) viene
applicata al circuito in Figura 18.75(b), determinare la
serie di Fourier per vo ðtÞ.
2vx
1Ω
vs +
−
−+
+
vx
−
0.25 F
3Ω
+
vo
−
(b)
Figura 18.77
Per il Problema 18.40.
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44
Capitolo 18 – Serie di Fourier
18.41 La tensione sinusoidale raddrizzata a onda intera di
Figura 18.78(a) è applicata al filtro passa-basso di
Figura 18.78(b). Calcolare la tensione di uscita vo ðtÞ del
filtro.
vin(t)
π
0
2π t
2H
vin(t)
+
vo
−
10 Ω
0.1 F
(b)
Figura 18.78
(a) Determinare la potenza media trasferita all’elemento.
(b) Tracciare lo spettro di potenza.
18.45 Un circuito RLC serie ha R ¼ 10 , L ¼ 2 mH e
C ¼ 40 F. Determinare la corrente efficace e la potenza
media assorbita quando la tensione applicata è
(a)
+
−
18.44 La tensione e la corrente in un elemento sono,
rispettivamente,
vðtÞ ¼ 30 cos ðt þ 25 Þ þ 10 cos ð2t þ 35 Þþ
4 cos ð3t 10 Þ V
iðtÞ ¼ 2 cos t þ cos ð2t 10 Þ A
1
–π
(b) il valore RMS della corrente,
(c) la potenza media assorbita dal circuito.
Per il Problema 18.41.
18.42 L’onda quadra di Figura 18.79(a) è applicata al circuito
in Figura 18.79(b). Determinare la serie di Fourier per
vo ðtÞ.
vðtÞ ¼ 100 cos 1000t þ 50 cos 2000t
þ 25 cos 3000t V
18.46 Si consideri il segnale periodico in Figura 18.41.
(a) Determinare il valore RMS effettivo di f ðtÞ.
(b) Utilizzare le prime cinque armoniche non nulle della
serie di Fourier per ottenere una stima del valore RMS.
18.47 Calcolare la potenza media dissipata dal resistore da 10 nel circuito di Figura 18.80 se
is ðtÞ ¼ 3 þ 2 cos ð50t 60 Þ
þ 0:5 cos ð100t 120 Þ A
vs (t) V
10
0
80 mH
1
2
3
5Ω
is(t)
t
10 Ω
−10
Figura 18.80
(a)
18.48 Nel circuito in Figura 18.81,
40 nF
10 kΩ
vs
+
−
iðtÞ ¼ 20 þ 16 cos ð10t þ 45 Þ
þ 12 cos ð20t 60 Þ mA
vo
+
−
(a) determinare vðtÞ
(b) calcolare la potenza media dissipata nel resistore.
i(t)
(b)
Figura 18.79
Paragrafo 18.5
Per il Problema 18.42.
Potenza media e valori RMS
18.43 La tensione ai terminali di un circuito è
vðtÞ ¼ 30 þ 20 cos ð60t þ 45 Þ
þ 10 cos ð60t 45 Þ V
Se la corrente che entra dal terminale a potenziale più
alto è
iðtÞ ¼ 6 þ 4 cos ð60t þ 10 Þ
2 cos ð120t 60 Þ A
determinare:
(a) il valore RMS della tensione,
Per il Problema 18.47.
Figura 18.81
100 µF
2 kΩ
+
v(t)
−
Per il Problema 18.48.
18.49 (a) Determinare il valore RMS della forma d’onda
periodica del Problema 18.5.
(b) Utilizzare i primi cinque termini armonici della serie
di Fourier del Problema 18.5 per determinare il valore
efficace del segnale.
(c) Calcolare l’errore percentuale nel valore RMS stimato
di zðtÞ se
valore stimato
errore % ¼
1 100
valore esatto
Paragrafo 18.6
Serie di Fourier in forma esponenziale
18.50 Calcolare la serie di Fourier in forma esponenziale per
f ðtÞ ¼ t, 1 < t < 1, con f ðt þ 2nÞ ¼ f ðtÞ.
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
PROBLEMI
Determinare la serie di Fourier in forma complessa della
funzione hðtÞ in Figura 18.84(b).
18.51 Data la funzione periodica
f ðtÞ ¼ t2 ,
45
0<t<T
f (t)
ottenere la serie di Fourier in forma esponenziale per il
caso T ¼ 2.
1
18.52 Calcolare la serie di Fourier in forma complessa per
f ðtÞ ¼ e t , < t < , con f ðt þ 2nÞ ¼ f ðtÞ.
18.53 Determinare la serie di Fourier in forma complessa per
f ðtÞ ¼ et , 0 < t < 1, con f ðt þ nÞ ¼ f ðtÞ.
–2π
–π
π
0
2π
3π t
2
3
(a)
18.54 Determinare la serie di Fourier in forma esponenziale per
la funzione in Figura 18.82.
h(t)
f (t)
2
2
–2
1
–1
0
1
t
–2
–4
–3
–1
0
1
2
3
4
5
6
t
(b)
–1
Figura 18.82
Figura 18.84
Per il Problema 18.54.
18.55 Calcolare l’espansione in serie di Fourier in forma
esponenziale della corrente sinusoidale raddrizzata a
semionda di Figura 18.83.
i(t)
sin t
1
Per il Problema 18.59.
18.60 Calcolare i coefficienti complessi di Fourier del segnale
in Figura 18.63.
18.61 Gli spettri della serie di Fourier di una funzione sono
mostrati in Figura 18.85. (a) Calcolare la serie di Fourier
in forma trigonometrica. (b) Calcolare il valore RMS
della funzione.
An
–2π
–π
Figura 18.83
0
π
2π
3π t
6
Per il Problema 18.55.
4
18.56 La rappresentazione in serie di Fourier trigonometrica di
una funzione periodica è
1 X
1
n
f ðtÞ ¼ 10 þ
cos
nt
þ
sin
nt
n2 þ 1
n2 þ 1
n¼1
2
Determinare la rappresentazione in serie di Fourier in
forma esponenziale di f ðtÞ.
18.57 I coefficienti della rappresentazione in serie di Fourier
trigonometrica di un funzione sono:
bn ¼ 0,
an ¼
6
,
n3 2
0
1
2
3
4
1
2
3
4
bn ¼
ð1Þn
,
n
ωn (rad/s)
φn
ωn (rad/s)
0
18.58 Determinare la serie di Fourier in forma esponenziale di
una funzione che ha i seguenti coefficienti della forma
trigonometrica
,
4
1
2
n ¼ 0, 1, 2, . . .
Se !n ¼ 50n, calcolare la serie di Fourier in forma
esponenziale per la funzione.
a0 ¼
1
an ¼
−25°
−35°
ð1Þn 1
n2
−50°
Si ponga T ¼ 2.
18.59 La serie di Fourier in forma complessa della funzione in
Figura 18.84(a) è
1
X
1
jejð2nþ1Þt
f ðtÞ ¼ 2 n¼1 ð2n þ 1Þ
−20°
Figura 18.85
Per il Problema 18.61.
18.62 Una certa funzione periodica f ðtÞ è rappresentata da una
serie di Fourier con un numero limitato di termini. Lo
spettro a linee discrete per la funzione p
periodica
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃè
illustrato in Figura 18.86, in cui An ¼ a2n þ b2n .
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46
Capitolo 18 – Serie di Fourier
(a) Determinare il periodo di f ðtÞ.
(b) Calcolare la serie di Fourier in forma trigonometrica
per f ðtÞ.
An
5.1
18.69 Utilizzare PSpice per ottenere i coefficienti di Fourier
della forma d’onda in Figura 18.56(a).
18.70 Ripetere il Problema 18.40 usando PSpice.
18.71 Utilizzare PSpice per risolvere il Problema 18.39.
4
Paragrafo 18.8
3
2.7
Applicazioni
18.72 Il segnale visualizzato da un dispositivo medico può
essere approssimato dalla forma d’onda mostrata in
Figura 18.87. Determinare la rappresentazione in serie di
Fourier del segnale.
1.8
f (t)
0
20
40
60
80
ω (rad/s)
10
φn
90°
–6
–4
–2
2
0
6 t
4
–10
Figura 18.87
0
20
40
Figura 18.86
60
80
ω (rad/s)
Per il Problema 18.62.
18.63 Tracciare lo spettro di ampiezza per il segnale f2 ðtÞ in
Figura 18.57(b). Considerare i primi cinque termini.
18.64 Data
vðtÞ ¼
10
1
2
1 þ cos 2t þ cos 4t
2
3
2
cos 6t þ 15
tracciare gli spettri di ampiezza e fase per vðtÞ.
18.65 Data
1 X
20
3
cos
2nt
sin
2nt
f ðtÞ ¼
n2 2
n
n¼1
n¼dispari
tracciare i primi cinque termini degli spettri di ampiezza e
fase per la funzione.
Paragrafo 18.7
Analisi di Fourier con PSpice
18.66 Determinare i coefficienti di Fourier per la forma d’onda
in Figura 18.48 usando PSpice.
18.67 Calcolare i coefficienti di Fourier del segnale in
Figura 18.59 usando PSpice.
18.68 Utilizzare PSpice per calcolare la serie di Fourier per la
forma d’onda del Problema 18.8.
Per il Problema 18.72.
18.73 Un analizzatore di spettro indica che un segnale è
costituito da tre sole componenti: 640 kHz a 2 V,
644 kHz a 1 V, 636 kHz a 1 V. Se il segnale è applicato
ad un resistore da 10 , quale è la potenza media
assorbita dal resistore?
18.74 Un certa corrente periodica a banda limitata ha soltanto
tre frequenze nella sua rappresentazione in serie di
Fourier: costante, 50 Hz e 100 Hz. La corrente può
essere rappresentata nella forma
iðtÞ ¼ 4 þ 6 sin 100t þ 8 cos 100t
3 sin 200t 4 cos 200t A
(a) Esprimere iðtÞ nella forma ampiezza-fase.
(b) Se iðtÞ scorre in un resistore da 2 , quanti watt di
potenza media vengono dissipati?
18.75 Progettare un filtro RC passa-basso con resistenza
R ¼ 2 k. L’ingresso del filtro è un treno di impulsi
rettangolari periodico (si veda la Tabella 18.3) con
A ¼ 1V ; T ¼ 10 ms e ¼ 1 ms. Si scelga C in modo
che la componente costante dell’uscita sia 50 volte la
componente fondamentale dell’uscita stessa.
18.76 Il segnale in Figura 18.74(a) è applicato al filtro passaalto in Figura 18.88. Determinare il valore di R in modo
che il segnale di uscita vo ðtÞ abbia una potenza media
pari almeno al 70 percento della potenza media del
segnale di ingresso.
1H
Vs
Figura 18.88
+
−
10 Ω
R
+
Vo
−
Per il Problema 18.76.
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PROBLEMI DI RIEPILOGO
47
PROBLEMI DI RIEPILOGO
18.77 La tensione su un dispositivo è data da
vðtÞ ¼ 2 þ 10 cos 4t þ 8 cos 6t þ 6 cos 8t
5 sin 4t 3 sin 6t sin 8t V
Determinare:
(a) il periodo di vðtÞ,
(b) il valore medio di vðtÞ,
(c) il valore efficace di vðtÞ.
18.78 Una tensione periodica a banda limitata ha soltanto tre
armoniche nella sua rappresentazione in serie di Fourier.
Le armoniche hanno i seguenti valori RMS:
fondamentale 40 V, terza armonica 20 V, quinta
armonica 10 V.
(a) Se la tensione è applicata ad un resistore da 5 ,
determinare la potenza media dissipata dal resistore.
(b) Se viene aggiunta una componente costante alla
tensione periodica, e la potenza dissipata misurata
aumenta del 5 percento, determinare il valore della
componente costante aggiunta.
18.79 Scrivere un programma che calcoli i coefficienti di
Fourier (fino alla decima armonica) dell’onda quadra in
Tabella 18.3 con A ¼ 10 e T ¼ 2.
18.80 Scrivere un programma per calcolare la serie di Fourier
in forma esponenziale della corrente sinusoidale
raddrizzata a semionda di Figura 18.83. Considerare i
termini fino alla decima armonica.
18.81 Si consideri la corrente sinusoidale raddrizzata ad onda
intera in Tabella 18.3. Si supponga che la corrente passi
attraverso un resistore da 1 .
(a) Determinare la potenza media assorbita dal resistore.
(b) Calcolare cn per n ¼ 1, 2, 3 e 4.
(c) Quale frazione della potenza totale è contenuta nella
componente costante?
(d) Quale frazione della potenza totale è contenuta nella
seconda armonica (n ¼ 2)?
18.82 Un segnale di tensione a banda limitata ha i coefficienti
complessi di Fourier elencati nella tabella che segue.
Calcolare la potenza media che il segnale fornirebbe ad
un resistore da 4 .
n!0
jcn j
n
0
!
2!
3!
4!
5!
10.0
8.5
4.2
2.1
0.5
0.2
0
15
30
45
60
75
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