Prog.16_17

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA
ANNO ACCADEMICO 2016-2017
Programma di COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA
per gli studenti del corso di laurea in Matematica
(Prof. Salvatore A. Marano)
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1. Serie di Fourier. Funzioni periodiche, continue a tratti e regolari a tratti. Serie
trigonometriche. Sviluppi in serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Convergenza
puntuale e convergenza uniforme. Integrazione termine a termine. Applicazioni delle
serie di Fourier al calcolo delle somme di serie numeriche convergenti.
2. Elementi di teoria delle funzioni di una variabile complessa. Derivazione e
integrazione nel campo complesso. Teorema di Cauchy-Goursat. Formule di Cauchy.
Teorema di Liouville e dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra. Serie di
potenze nel campo complesso. Sviluppabilità in serie di Taylor e di Mac-Laurin delle
funzioni olomorfe. Teorema di Hermite. Teorema di Laurent sulla sviluppabilità in
serie bilatere di potenze delle funzioni olomorfe. Classificazione e caratterizzazioni
dei punti singolari isolati. Calcolo dei residui nei poli. Teorema dei residui e sue
applicazioni.
3. Trasformazione di Fourier. Definizione e proprietà fondamentali. Trasformate
delle funzioni rect(x), exp(-ax2) ed exp(-a|x|) con a>0, 1/(1+x2). Derivata e trasformata. Formule di inversione. Convoluzioni e loro trasformate. Teorema di Young.
Applicazioni alle equazioni integrali di Fredholm e al problema di Cauchy per
l’equazione del calore nel semipiano.
4. Trasformazione di Laplace. Definizione e proprietà fondamentali. Trasformate
delle funzioni H(t), exp(at), sin(ωt), cos(ωt), [t], tn. Trasformate delle funzioni
periodiche. Derivata e trasformata, teorema del valore finale. Convoluzioni e loro
trasformate. Formula di inversione. Applicazioni ai sistemi di equazioni differenziali
ordinarie, lineari e a coefficienti costanti e alle equazioni integrali di Volterra.
5. Cenni sulle distribuzioni. Spazio delle funzioni test. Distribuzioni. Spazio
L1loc(R). Distribuzioni funzioni. Delta di Dirac. Successioni di distribuzioni.
Operazioni. Derivata di una distribuzione. Casi particolari notevoli. Spazio di
Schwartz. Distribuzioni temperate. Funzioni a crescita lenta e distribuzioni associate.
Trasformata di Fourier di una distribuzione temperata.
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Testi consigliati:
N. FUSCO, P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica due,
Liguori, Napoli, 2001.
G. DI FAZIO, M. FRASCA, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi, Bologna, 2003.
G. C. BAROZZI, Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione, Zanichelli, Bologna, 2003.