1/a - Don Gnocchi

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Corso di Laurea in
Tecniche di Neurofisiopatologia
Appunti di Analisi Matematica
Anno Accademico 2014-2015
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Numero
Numeri Naturali
La classe dei numeri naturali è indicata col simbolo N. Essa contiene numeri quali “uno”, “due”,
“tre” ecc. E’ la prima classe di numeri che sia mai stata usata, molto probabilmente già in epoca
neolitica1. Il numero “zero” originariamente non era incluso in questa classe. I filosofi Greci
conoscevano lo zero, ma non lo consideravano appartenente ai numeri naturali: infatti, se i numeri
servono a contare gli elementi che costituiscono un gruppo di cose, consideravano assurdo contare
gli elementi che costituiscono il “nulla”. L’uso dello zero come numero vero e proprio lo si deve
agli indiani, ed è stato introdotto in Europa in periodo medioevale attraverso testi di matematici
arabi. Nella matematica moderna lo zero è generalmente incluso tra i numeri naturali
I numeri negativi NON fanno parte della classe dei numeri naturali.
I numeri naturali sono un insieme chiuso nei confronti di addizione e moltiplicazione. Infatti se a e
b sono numeri naturali, allora anche c= a + b e d= a × b sono numeri naturali.
L’insieme N non è invece chiuso nei confronti di sottrazione e divisione.Ad esempio, se a=3 e b=5
sia a-b che a/b non sono numeri naturali.
Addizione e moltiplicazione hanno altre importanti proprietà.
Se a, b, e c sono numeri naturali, allora valgono le proprietà:
associativa
a+(b+c)=(a+b)+c
a× (b×c)=(a×b)×c
commutativa
a+b=b+a
a×b=b×a
distributiva
a× (b+c)=(a×b)+(a×c)
(a+b)×c=(a×c)+(b×c)
Nonostante siano stati i primi numeri ad essere usati, la loro definizione rigorosa è recente, ed è
dovuta al matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932): I numeri naturali sono definiti da 5
assiomi:
Assiomi di Peano
1. Esiste un numero naturale, 0
2. Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3. Numeri diversi hanno successori diversi
4. 0 non è il successore di alcun numero naturale
5. Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio
elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
1
In Africa è stato rinvenuto un manico in osso, detto Osso d'Ishango, risalente a circa ventimila anni fa, che presenta
incisioni interpretate come gruppi di numeri naturali.
3
Curiosità
I numeri naturali rappresentano probabilmente concetti “innati” nelle strutture cognitive non solo umane, ma anche di
alcuni animali. A questo proposito, il naturalista John Lubbock ebbe l’evidenza che una cornacchia sapeva contare fino
a 4 (aneddoto riferito da G. Masini in “Storia della Matematica” (SEI 1997)”.
John Lubbock raccontò infatti di aver conosciuto il proprietario di un casale nel cui sottotetto abitava una cornacchia. Il
proprietario voleva scacciare la cornacchia. Ma ogni volta che andava nel sottotetto per catturarla, quella volava via e
rientrava solo quando lui lasciava il sottotetto. Per ingannare la cornacchia, il proprietario decise allora di andare nel
sottotetto con un aiutante. Dopo un po' il proprietario se ne andò e rimase solo il suo compagno, ma non servì a nulla
perché la cornacchia tornò solo quando anche l’aiutante se ne andò via. Provarono allora in 3 e poi in 4 ma inutilmente,
perché la cornacchia era riuscita a contare il numero esatto di persone entrate nel sottotetto. Solo quando entrarono in 5
ed uscirono in 4 la cornacchia tornò nel sottotetto e poté essere catturata: aveva perso il conto delle persone che erano
entrate.
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Numeri Interi
L’insieme dei numeri interi viene indicato con la lettera Z. L’insieme Z include tutti i numeri
naturali e, oltre a questi, anche tutti i negativi dei numeri naturali. Z è quindi composto dai numeri:
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…ecc
Il concetto di numero negativo è stato accettato dai matematici solo con una certa difficoltà. Ancora
nel XVI secolo molti matematici ritenevano che un numero non potesse essere negativo, rifiutando
di accettare l’esistenza di concetti come “tre mele negative”.
Z è chiuso non solo nei confronti di addizione e moltiplicazione (come N) ma anche nei confronti
della sottrazione. Z non è invece chiuso nei confronti della divisione.
Valgono le proprietà associativa, commutativa e distributiva per addizione e moltiplicazione.
Rappresentazione di un numero intero.
Siamo abituati a rappresentare numeri usando una base decimale, composta cioè da 10 simboli, tra 0
e 9. Questo non è ovviamente l’unico modo di rappresentazione. In informatica sono molto in uso
anche la base binaria (2 soli simboli: 0 e 1), la base 8 (8 simboli, tra 0 e 7) e la base 16 (i simboli
sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
BASE 2
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
…
BASE 8
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
…
10000
20
110010
…
1111101000
62
…
1750
BASE 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
…
50
…
1000
BASE 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
32
…
3E8
La calcolatrice di Windows, se visualizzata in modalità scientifica, permette di convertire numeri
tra basi diverse. Si seleziona la base cliccando sull’opzione Dec (per la base decimale) oppure su
Hex, Oct o Bin per le basi 16, 8 o 2. Ad esempio, scritta la cifra “20” in Dec, questa verrà convertita
in 14, 24 o 10100 selezionando le altre basi.
5
6
Curiosità
La numerazione in base 10 non è l’unica usata tra le varie culture umane. La numerazione in base 2 è stata adottata dal
popolo Kiwai di Papua Nuova Guinea che utilizza solo la cifra “uno” (detta nau) e “due” (detta netewa). Pertanto
indicano il “tre” come
netewa-nau, il “quattro” come netewa-netewa, il “cinque” come netewa-netewa-nau.
Ovviamente questo sistema non consente di contare con facilità quantità superiori al cinque.
Sempre in Papua Nuova Guinea, un’altra popolazione, i Kewa, ha adottato un sistema di conteggio a base 41. Come il
sistema decimale (basato sul conteggio delle 10 dita delle mani), anch’esso è basato sul conteggio di parti del corpo,
secondo lo schema indicato in figura.
Altri sistemi di numerazione usati in passato sono quelli a base 12 e a base 60. Del sistema a base 12 è rimasta traccia
nel modo di contare le ore e nel termine “grossa”, unità commerciale che indica 12 dozzine. Del sistema a base 60,
usato dai Babilonesi, è rimasta traccia nel modo di contare secondi e minuti nell’ora.
(Georges Ifrah, Histoire Universelle des Chiffres, 1981)
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Numeri Razionali
E’ l’insieme di tutti i numeri espressi come quoziente tra due interi, a/b, dove b≠0. Questa classe di
numeri è indicata con la lettera Q. Nel caso b=1, otteniamo il numero intero a e quindi l’insieme Z è
contenuto in Q. A differenza di Z, l’insieme Q è chiuso anche nei confronti della divisione. Dati
due numeri razionali a/b e c/d abbiamo:
Somma:
a c ad  bc
 
b d
bd
Differenza:
a c ad  bc
 
b d
bd
Prodotto:
a c ac
 
b d bd
Divisione:
a c a d ad
   
b d b c bc
Alternativamente, un numero razionale può essere espresso in forma decimale utilizzando una
virgola. Ad esempio, ¼= 0,25; ½ = 0,5; 2/3 = 0,6666…
Si può dimostrare che le cifre dopo la virgola o si interrompono (come in 0,25), o continuano
all’infinito ripetendosi periodicamente ( come in 1/7= 0,142857 142857 142857 142857…)
Dato che Z è contenuto in Q, allora i numeri razionali comprendono tutti i numeri interi. Inoltre, tra
due numeri razionali qualsiasi, come 6,3 e 8,4, sono compresi un numero finito di interi (in questo
caso solo 7 ed 8) ma un numero infinito di numeri razionali. Questo fa pensare che l’insieme dei
numeri razionali sia molto più grande di quello degli interi. Ma paradossalmente, NON E’ COSI’.
Georg Cantor (1845 – 1918) ha infatti dimostrato che è possibile associare un numero NATURALE
ad ogni numero razionale costruendo il diagramma in figura. Con questa costruzione, vengono via
via generati tutti i possibili infiniti numeri razionali, e con una corrispondenza biunivoca (definita
dal percorso seguito dalle frecce) si può associare ad ognuno degli infiniti numeri razionali un
numero naturale. Ad esempio, possiamo associare il numero “1” ad “1/1”, il “2” a “2/1”, il “3” a
“1/2”, il “4” a “1/3” ecc. ecc. Se quindi per ogni numero razionale possiamo associare uno ed un
solo numero naturale, gli infiniti numeri razionali non sono più numerosi degli infiniti numeri
naturali. Questa proprietà si indica dicendo che è Q numerabile.
Da: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Diagonal_argument.svg
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Esercizi
Esercizio 1. Siete proprietari di tre quinti di un terreno quando ne ricevete un altro sesto in eredità
da vostra zia. A questo punto decidete di dividere la quota in vostro possesso tra i vostri quattro figli
(tre femmine ed un maschio) in parti uguali. Quale frazione del terreno finisce in proprietà alle
vostre figlie?
Diventano esse proprietarie della maggior parte del terreno?
Esercizio 2. Tre fratelli dovevano dividersi la mandria di 35 cavalli lasciata in eredità dal padre. Le
disposizioni testamentarie indicavano che metà dei cavalli doveva andare al primo fratello, un terzo
al secondo, un nono al terzo. Ma i fratelli non sapevano come dividersi i cavalli dal momento che
queste frazioni di eredità non sono numeri interi.
In quel momento arriva un viaggiatore a cavallo che propone di risolvere la questione. Con
generosità aggiunge il suo cavallo alla mandria del padre e dice ai tre fratelli:
“Ora la divisione sarà giusta ed esatta. Al primo fratello andranno la metà di 36 cavalli: sono 18
cavalli. Al secondo ne andrà un terzo, e cioè 12 cavalli. L’ultimo fratello ne riceverà un nono, e
cioè 4 cavalli. Dovete essere tutti soddisfatti. Ognuno ha ricevuto più di quanto gli sarebbe
aspettato se fosse stato possibile dividere un cavallo in frazioni! Io ora me ne vado, e mi riprendo il
mio cavallo insieme a quest’altro che alla fine della divisione è rimasto qui senza padrone.”
Ed il viaggiatore si allontana con due cavalli.
Come ha fatto a guadagnare un cavallo?
Soluzione
Esercizio 1
Quota in vostro possesso: 3/5.
Quota in vostro possesso dopo aver ricevuto l’eredità: 3/5+1/6.
Quota per ciascun figlio: (3/5+1/6)x(1/4)
Quota assegnata alle figlie:
(3/5+1/6)x3/4 =
=[(18+5)/30]x3/4=
=[23/30]x(3/4)=
=23/40=
=0,575
Questa quota corrisponde al 57.5% del totale.
Esercizio 2.
Nel testamento, il padre aveva dato disposizioni solo per ½ + 1/3 + 1/9=17/18 della mandria. Il testamento quindi non riguardava
l’intera mandria perché la somma delle tre frazioni è minore di 1. Quando il viaggiatore ha aggiunto il proprio cavallo alla mandria
del padre, la parte in eredità ai tre figli è diventata di 36 x 17/18 = 34 cavalli.
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Numeri Irrazionali
Già ai tempi di Pitagora (575 AC- 495 AC) ci si accorse che esistevano numeri, come
, che non
potevano essere razionali. Questo era stato dimostrato per assurdo da un allievo di Pitagora (Ippaso
di Metaponto).
è la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti lunghi 1
(Teorema di Pitagora).
Se
fosse razionale, potrebbe essere espresso come rapporto a/b, con a e b numeri interi.
Sicuramente a e b non potranno essere ENTRAMBI NUMERI PARI: se lo fossero, si
semplificherebbe il fattore 2 comune nel rapporto. Quindi almeno uno dei due numeri DEVE
ESSERE DISPARI.
Se quindi
fosse razionale:
=a/b
elevando a quadrato avremmo:
2=a2/ b2
2b2=a2
Questo implica che a² è pari, e quindi anche a è pari. Pertanto deve esistere un numero k intero tale
che a=2k. Sostituendo abbiamo
2b2=4k2
E cioè
b2=2k2
Quindi anche b è pari.
Ma ciò non può essere perché a e b non possono essere entrambi pari!
Quindi è impossibile che
possa essere un numero razionale.
Altri numeri irrazionali “famosi” sono:
 : è definito come rapporto tra perimetro e diametro di una circonferenza.
Lo sviluppo decimale è il seguente:  = 3.1415 926 535 8979 3234…
e (costante di Eulero): è definita dalla sommatoria infinita:
1 1
1
1
e  1 


 ...
1 1 2 1  2  3 1  2  3  4
Il prodotto 1×2×3×4…×n si indica col simbolo n! che si legge “n fattoriale”. Si definisce 0!=1. La
definizione di e può essere riscritta in modo compatto come:

1
e
n 0 n !
Lo sviluppo decimale è e= 2,71828 18284 59045 23536…
A differenza dei numeri razionali, gli sviluppi di questi numeri razionali non presentano alcuna
periodicità.
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Numeri Reali
E’ l’insieme dei numeri razionali ed irrazionali. Viene indicato con R. I numeri reali possono essere
messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.
Da: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Real_number_line.svg
A differenza di Q, R non è numerabile. Questo vuol dire che gli infiniti numeri reali sono molto più
fitti dei numeri razionali, e non è possibile associarli in modo biunivoco ai numeri interi.
Anche la prova della non numerabilità di R fu fornita da Cantor. La prova è “per assurdo”. Infatti
egli ipotizzò che l’insieme dei numeri reali tra 0 e 1 fosse numerabile. Se così fosse, si potrebbe
costruire una sequenza infinita ma numerabile di numeri che rappresentino tutti i numeri reali tra 0 e
1: ad esempio, una infinita sequenza di numeri sk come la seguente (su usa la notazione binaria per
impiegare solo due simboli, 0 e 1)
s1 = 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
s2 = 0, 1 1 1 1 1 1 1 1...
s3 = 0, 1 0 0 0 0 0 0 0...
s4 = 0, 0 1 1 1 1 1 1 1...
s5 = 0, 0 1 0 0 0 0 0 0 ...
s6 = 0, 1 0 1 1 1 1 1 1...
s7 = 0, 1 1 0 0 0 0 0 0...
s8 = 0, 0 0 1 1 1 1 1 1...
...
Concentriamoci ora sulla cifra in posizione decimale k del numero k-esimo (è sottolineata).
Potremmo costruire un numero la cui cifra k-esima è ottenuta prendendo la cifra k-esima del
numero sK , e cambiandola in 0 se fosse =1 ed in 1 se fosse =0.
s0 = 0, 1 0 1 0 1 0 1 0 ...
Questo numero NON PUO’ APPARTENERE alla serie numerabile sK perché diverso, per almeno
una cifra, da ogni numero della serie. Ma è sempre un numero compreso tra 0 e 1. Quindi l’insieme
dei numeri reali compresi tra 0 e 1 è più “denso” di un insieme infinito numerabile.
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Numeri Immaginari e Numeri Complessi
Per risolvere problemi legati al calcolo di radici di polinomi, alcuni matematici del XVI secolo,
quali Girolamo Cardano, introdussero l’uso di radici quadrate di numeri negativi come “scorciatoie”
per arrivare alla soluzione del problema. Dal momento che il quadrato di tali numeri è un numero
reale negativo e che nessun numero reale, se elevato al quadrato, può essere negativo, essi non
venivano considerati “veri” numeri, ma solo un trucco per facilitare il calcolo. Per questo vennero
chiamati “numeri immaginari”. L’importanza dei numeri immaginari è stata apprezzata solo
successivamente, coi lavori di Eulero (1707–1783) e Gauss (1777–1855).
Un numero immaginario è ottenuto come multiplo della “unità immaginaria”, indicata con la lettera
i. Essa è definita da:
i 2 = −1.
Combinando l’unità reale (=1) con l’unità immaginaria (=i) si è ottenuta una nuova classe di
numeri, i numeri complessi C, caratterizzati dall’essere composti da una parte puramente reale ed
una parte puramente immaginaria. Se z è un numero complesso, lo si rappresenta come:
z=a+ib
con a e b numeri reali.
Somma:
(a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)
Differenza:
(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)
Prodotto:
(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(bc+ad)
Rapporto:
a  ib a  ib c  id



c  id c  id c  id
 a  ib    c  id  

2
c 2   id 

 a  ib    c  id 
c2  d 2
Esempio Calcolare il rapporto dei numeri a=3+5i e b=2-4i.
a 3  5i


b 2  4i
3  5i 2  4i 3  5i 2  4i 




2  4i 2  4i
2 2  (4i ) 2
6  12i  10i  20   14  22i  

2 2  (4i ) 2
4  16
7 11
  i
10 10
12
I numeri complessi possono essere rappresentati graficamente
in un piano definito da due assi cartesiani. L’asse orizzontale
rappresenta la parte reale, l’asse verticale rappresenta la parte
immaginaria. Il generico numero complesso x+iy è quindi
indicato da un vettore (si veda il paragrafo sui vettori) che
collega l’origine (0,0) col punto di coordinate (x,y). Come ogni
vettore, il numero complesso può quindi essere rappresentato
anche da un modulo
r=(x2 +y2)1/2
e da una fase , definita da:
tg y/x.
La somma di numeri complessi può essere ottenuta quindi anche come somma di vettori.
Sommario
Nota: I Quaternioni
Una ulteriore estensione del concetto di numero è stata proposta dal matematico Hamilton nel 1843
introducendo, oltre all’unità reale 1 e immaginaria i, altre due unità j e k con la proprietà:
i2=j2=k2=ijk=-1
Questo insieme numerico, detto H, include al suo interno C. Ma per i quaternioni non vale la
proprietà commutativa del prodotto perché risulta che ij=k ma ji=-k
Questi numeri trovano applicazioni in alcune branche della fisica.
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Esponenti
Elevamento a Potenza
Se il numero a viene moltiplicato per se stesso n volte, il risultato si scrive an.
Ad esempio, 2×2×2×2=24
Si lascia come esercizio di dimostrare che:
n
a × am= an+m
Da questa relazione otteniamo in particolare:
n
a × a0= an
dal che si deduce che
a0=1
Inoltre otteniamo anche
an × a-n= a0
poiché a0=1 ricaviamo
a-n= 1/an
Esempio:
10-2=1/102=1/100=0.01
Esercizio.
Dimostrare che:
(an ) m= an×m
e che:
(an ) (bn ) = (ab)n
(an )/(bn ) = (a/b)n
Esempi:
(10-2)3=10-6
(5)3(2)3=(10)3=
=1’000
(4)3(2)3=(8)3=
=(23)3=29
(4)3(2)-3=(4/2)3=
=23
14
Estrazione di Radice
Se l’esponente è una frazione, allora abbiamo a che fare con una radice. Infatti consideriamo che:
a1=a1/2×a1/2
a=(a1/2)2
Quindi:
cioè
a1/2= a
In generale:
a1/ m  m a
an / m  m an
e
Esempio:
272/3=(271/3)2=

3

2
27 =32=9
Prodotti Notevoli
Si può facilmente verificare che:
2
2
2
(a+b) =a +2ab+b
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b) (a-b) =a2-b2
Inoltre
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
15
Compito
Esercizio 1
Dati z1=5+i8; z2=-3+i4; z3=1+i
Calcolare: z1-2z2;
(z3)3;
(z1+ z2)/ z3;
Esercizio 2
Dati z1 e z2 dell’esercizio precedente, rappresentare nel piano complesso z1 e (-2z2);
Esercizio 3
Dato z1 = 2+ i rappresentate graficamente i 5 numeri: z1 ; z1×i; z1×i2; z1×i3; z1×i4;
Esercizio 4
Indicare il valore di:
1000106
41/2
(2/3)3-2
(777)-1/4