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PAS 2014
GEOMETRIA
Programma di massima:
Elementi di logica elementare. La geometria degli Elementi di Euclide. De…nizioni,
assiomi e postulati. La geometria del triangolo. Criteri di uguaglianza. Teorema
di Pitagora. Teorema di Talete. Similitudine e criteri di similitudine tra …gure piane. La geometria del cerchio. Costruzioni con riga e compasso. Aree di poligoni,
e di …gure curve. Il numero . Geometria solida. Aree e volumi. Principio di
Cavalieri. Volumi di cilindri, coni, sfere. Calcolo approssimato di aree e volumi.
Poliedri. Formula di Eulero. Trasformazioni geometriche e simmetrie.
Bibliogra…a:
Euclide “Elementi”.
F.Enriques U.Amaldi “Elementi di Geometria”.
A.P.Kiselev “Geometry: Plenimetry”, “Geometry: Stereometry”.
E.Moise “Elementary Geometry from an Advanced Standpoint”.
D.Hilbert “Fondamenti della Geometria”.
Gli Elementi di Euclide sono stati la didattica della Matematica per più di
2000 anni. I libri di Enriques Amaldi, Kiselev, Moise, sono classici testi scolastici
italiani, russi, americani. In…ne, il libro di Hilbert è per chi vuole approfondire
l’assiomatizzazione della Geometria Euclidea.
Esame: Il programma ministeriale è anche programma d’esame. Si consulti
anche il quadro di riferimento delle prove INVALSI. Per quanto riguarda il programma del corso, sono richieste le de…nizioni e gli enunciati delle proposizioni
sotto enunciate. Delle proposizioni contrassegnate con un asterisco (*) sono richieste anche le dimostrazioni, non necessariamente quelle negli Elementi di Euclide.
Elementi di Euclide. Libro I. Geometria del triangolo.
De…nizioni. Assiomi. Postulati.
(*) Proposizione 4: Primo criterio di uguaglianza di triangoli. Lato-AngoloLato.
(*) Proposizioni 5 e 6 (Pons asinorum): Un triangolo con due lati uguali ha
anche due angoli uguali, e viceversa.
(*) Proposizioni 7 e 8: Terzo criterio di uguaglianza di triangoli. Lato-LatoLato.
(*) Proposizione 15: Angoli opposti al vertice sono uguali.
(*) Proposizione 16: In un triangolo un angolo esterno è maggiore degli angoli
interni non adiacenti.
Proposizioni 18 e 19: In un triangolo il lato maggiore sottende l’angolo maggiore, e viceversa.
Proposizione 20: In un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo
lato.
(*) Proposizione 26: Secondo criterio di uguaglianza di triangoli. Angolo-LatoAngolo e Angolo-Angolo-Lato.
(*) Proposizione 27: Se una trasversale taglia due rette con angoli uguali, le
due rette sono parallele.
(*) Proposizione 29: Una trasversale taglia due rette parallele con angoli
uguali. È la prima proposizione che utilizza il V postulato! Postulato equivalente: Per un punto c’è una sola parallela ad una retta.
(*) Proposizione 32: La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a
due angoli retti.
(*) Proposizion1 33 e 34: I lati opposti di un parallelogrammo sono uguali, gli
angoli opposti sono uguali, e le diagonali si tagliano a metà.
(*) Proposizione 35: Parallelogrammi con stessa base e stessa altezza hanno
la stessa area. In particolare, l’area di un parallelogrammo è base per altezza.
(*) Proposizioni 37, 38, 41: Un triangolo ha la metà area di un parallelogrammo
con la stessa base e stessa altezza. In particolare, l’area di un triangolo è base per
altezza diviso due.
(*) Proposizioni 47 e 48: In un triangolo rettangolo il quadrato sull’ipotenusa
è la somma dei quadrati sui cateti. Viceversa, se il quadrato su un lato è la somma
dei quadrati sugli altri due, il triangolo è rettangolo. Il teorema di Pitagora!
Elementi di Euclide. Libro II. Algebra Geometrica.
Proposizione 4: (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 .
2
Proposizioni 5, 6: (x + y) (x
y) = x2
y2.
Elementi di Euclide. Libro III. Geometria del cerchio.
Proposizione 20: In un cerchio l’angolo al centro è doppio di un angolo alla
circonferenza.
Elementi di Euclide. Libro IV. Costruzione con riga e compasso di poligoni
regolari con 3, 4, 5, 6, 15 lati.
Elementi di Euclide. Libro V. Rapporti e proporzioni.
De…nizione 5: : = : se e solo se m = n implica m = n e viceversa,
m > n implica m > n e viceversa, m < n implica m < n e viceversa.
Elementi di Euclide. Libro VI. Figure simili.
De…nizione 1: Figure piane simili sono quelle che hanno angoli uguali e lati
corrispondenti in proporzione.
Proposizione 1: Triangoli e parallelogrammmi con la stessa altezza sono proporzionali alle basi.
(*) Proposizione 2: Una retta parallela ad un lato di un triangolo taglia gli altri
due lati in proporzione. Viceversa, una retta che taglia due lati in proporzione è
parallela al terzo lato. Il teorema di Talete!
(*) Proposizione 4: Due triangoli con angoli uguali hanno lati corrispondenti
in proporzione.
(*) Proposizione 5: Due triangoli con lati in proporzione hanno angoli uguali.
(*) Proposizione 6: Se due triangoli hanno un angolo uguale e i lati adiacenti
in proporzione, allora tutti gli angoli sono uguali e tutti i lati sono in proporzione.
(*) Proposizione 8: L’altezza relativa all’ipotenusa divide un triangolo rettangolo in due triangoli simili a quello di partenza. Corollario: L’altezza relativa
all’ipotenusa è media proporzionale alla proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Proposizioni 19 e 20: I rapporti tra le aree di triangoli o poligoni simili sono
uguali ai rapporti tra i quadrati dei lati.
(*) Proposizione 31: In un triangolo rettangolo una …gura costruita sull’ipotenusa
è la somma di …gure simili costruite sui cateti. Il teorema di Pitagora!
Elementi di Euclide.
Libro I Proposizione
Libro I Proposizione
Libro I Proposizione
Costruzioni con riga e compasso.
1: Triangolo equilatero.
9: Bisettrice di un angolo.
10: Punto medio di un segmento.
3
Libro I Proposizioni 11 e 12: Perpendicolare ad una retta per un punto.
Libro I Proposizioni 21 e 31: Trasporto di un angolo, e parallela ad una retta
per un punto.
Libro III Proposizione 1: Trovare il centro di un cerchio.
Libro VI Proposizione 12: Trovare il quarto proporzionale tra tre segmenti.
Libro VI Proposizione 13: Trovare il medio proporzionale tra due segmenti.
In particolare, con riga e compasso si possono e¤ettuare somme, sottrazioni,
prodotti, divisioni, estrazioni di radici quadrate. Cioè, si possono risolvere le
equazioni di primo e secondo grado.
Elementi di Euclide. Libro XII. Aree e volumi.
Proposizione 7: Un prisma con base triangolare può essere diviso in tre piramidi con basi triangolari di ugual volume. In particolare, una piramide è la
terza parte di un prisma con la stessa base e la stessa alteza.
Principio di Cavalieri: Se le lunghezze delle sezioni di due …gure piane tagliate
da rette parallele hanno tutte un dato rapporto, anche le aree delle …gure hanno
lo stesso rapporto. Se le aree delle sezioni di due solidi tagliate da piani paralleli
hanno tutte un dato rapporto, anche i volumi dei solidi hanno lo stesso rapporto.
(*) Un prisma ha lo stesso volume di un parallelepipedo con stessa area di base
e stessa altezza. Il volume di un prisma o di un cilindro è area di base per altezza.
(*) Il volume di un tetraedro, piramide, o cono, è un terzo dell’area di base
per l’altezza.
Circonf erenza
:
Diametro
La Misura del cerchio di Archimede:
(*) Un cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo con un cateto uguale al
raggio e l’altro cateto uguale alla circonferenza.
(*) La circonferenza di un cerchio è tripla del diametro e lo supera ancora di
meno di un settimo del diametro e di più di dieci settantunesimi. 3 + 10=71 <
< 3 + 1=7.
=
4
Lati
6
12
24
48
96
Semiperimetro
3
p
p
6q 2
3 = 3; 105:::
p
p
12
2
2
+
3 = 3; 132:::
r
q
p
p
2
2 + 2 + 3 = 3; 139:::
24
s
r
q
p
p
48
2
2 + 2 + 2 + 3 = 3; 141:::
Il Cilindro e la Sfera di Archimede:
(*) Un cilindro con base il cerchio massimo della sfera e altezza il diametro è
una volta e mezza la sfera, e la super…cie, comprese le basi, è una volta e mezza
4 3
R e l’area
la super…cie della sfera. Cioè, il volume di una sfera di raggio R è
3
2
è4 R .
La formula di Eulero per poliedri: Vertici - Lati + Facce = 2.
La formula di Eulero per gra… planari: Vertici - Lati + Facce = 2.
Poliedri Platonici, con tutte le facce uguali e tutti i vertici uguali: Tetraedro,
Esaedro, Ottaedro, Dodecaedro, Icosaedro.
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