Rotazione in due dimensioni
Cinematica rotazionale_
Le leggi cinematiche relative ai moti valgono anche per il moto rotatorio, però sono scomode e
poco efficaci nel rappresentarlo.
Ricordiamo che l’efficacia di una legge fisica sta nell’esprimere il maggior numero di situazioni
possibili e possibilmente in modo semplice.
Infatti consideriamo di avere un disco perfettamente circolare di raggio R; è chiaro che la velocità
istantanea di rotazione di un punto P (qualunque sia il moto rotatorio del cerchio) varia al variare
della sua distanza dal centro.
Per dimostrare ciò ragioniamo in questo modo:
dati due punti P1 e P2 dei quali il primo si trova sul bordo del disco (che ruota con velocità in
modulo costante) e quindi dista dal centro di una grandezza pari a R, mentre il secondo ne dista di
una grandezza r (r<R) e che si trovano allineati rispetto al centro del disco; nel momento in cui P 1
avrà compiuto un giro completo lo stesso avrà fatto P2. Indichiamo con T il tempo nel quale i due
punti hanno compiuto tale giro e calcoliamone le velocità lineari (o meglio dette tangenziali):
2R
s1
ma s1=2πR cosicché v1 
T
T
2
r
s
v2  2 ma s2=2πr cosicché v 2  T
T
da ciò risulta che le due velocità tangenziali sono diverse anche tenendo invariato l’intervallo di
tempo; non ci resta che trovare un modo di esprimere la variazione di posizione in funzione del
tempo cosicché la costante che la fa variare (un altro tipo di velocità) sia uguale per ogni singolo
punto del disco.
Per fare ciò bisogna focalizzare la nostra attenzione su cosa faceva cambiare la velocità: quel
qualcosa era la distanza dei due punti che di conseguenza influiva sullo spazio percorso.
Quindi occorre trovare un qualcosa che individui la posizione dei punti in modo che non sia in
funzione del raggio.
Questo qualcosa è l’angolo spazzato dalla retta che congiunge i due punti con il centro, in
particolare dato un qualsiasi punto distante dal centro di una grandezza r che percorre un angolo θ r
(r sta per radianti) il suo spostamento lineare sarà, per la geometria euclidea s= rθr
Quindi la velocità tangenziale può essere espressa come
lim s
lim  r
v
r
t  0 t
t  0 t
Ma essendo il nostro moto con velocità costante possiamo scrivere:
 r
vr
t
Per i diversi punti del disco  r t è costante e questa grandezza è chiamata velocità angolare ω
quindi:
v1 
v  r
La velocità angolare è la variazione dell’ampiezza dell’angolo spazzato nell’intervallo di tempo. In
generale se il moto è vario abbiamo che:
r
ist 
lim 
t  0 t
Ora consideriamo il caso in cui il disco si muova con accelerazione lineare costante.
In questo caso dimostriamo che la velocità angolare aumenta in funzione del tempo:
  kt
La costante k è definita come l’accelerazione angolare α che in generale per un moto vario si
esprime come:
 ist 
lim 
t  0 t
Quindi essendo ω=v/r:
 ist
Quindi:
lim  v r 1 lim v a



t  0 t
r t  0 t r
a  r
Da queste relazioni abbiamo le corrispettive equazioni rotazionali dei moti a velocità e
accelerazione costante:
 A velocità costante

  t  0
Ad accelerazione costante
  t  0
t 2

 0t   0
2
 2f  i2  2
Dinamica rotazionale_
Abbiamo prima descritto le leggi della cinematica relative ai moti rotatori, ora occorre passare
all’analisi della dinamica.
Per la seconda legge di Newton:
F  ma  mr
Da ciò risulta che l’accelerazione angolare di un corpo (prendiamo in considera una particella di
massa m che è costretta a ruotare intorno ad un asse) non dipende solamente da due fattori come per
i moti lineari ma da tre, tra i quali il raggio, cioè la distanza della forza tra l’asse e la particella in
cui essa viene applicata.
Quindi data una forza F, l’accelerazione da essa generata può variare a seconda del raggio; ciò
rende notevolmente scomodo l’utilizzo delle forze nelle rotazioni.
Occorre pertanto trovare una grandezza per la quale l’accelerazione sia costante indipendentemente
dal raggio, quindi moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione della dinamica per r:
rF  mr 2
abbiamo così trovato la nostra grandezza rF che i fisici chiamano momento di una forza (M).
I momenti hanno un’importante proprietà: dato il vettore spostamento che va da un qualsiasi punto
scelto arbitrariamente al punto di applicazione della forza, per trovare il momento relativo si fa il
prodotto della forza per la sola componente perpendicolare a questa; questo è dimostrabile dato che
l’accelerazione tangenziale è sempre perpendicolare al vettore che va dal centro al punto in cui è
applicata la forza che genera l’accelerazione e che pertanto ha la sua stessa direzione e verso.
Quindi il momento di una forza è espresso come il prodotto vettoriale tra la forza e lo spostamento:

 
M  Fs
Ora non ci resta che definire la grandezza mr2: essa è chiamata momento di inerzia (I).
Il momento di inerzia è definito come la misura dell’opposizione alla variazione di velocità
angolare di un corpo.
Sfortunatamente per noi il momento di inerzia è complicato da calcolare, infatti mr2 vale solo per un
corpo identificato come un punto materiale o con buona approssimazione ad una particella.
In generale per calcolare il momento di inerzia di un corpo esteso rigido occorre suddividerlo in
parti infinitesimale di massa diciamo mi e calcolare il rispettivo momento con la formula
precedente, infine sommare i rispettivi momenti.
I   mi ri 2
i
Per calcolare i momenti di inerzia relativi ai vari solidi regolari è necessario applicare nozioni di
calcolo infinitesimali (per i momenti di inerzia di alcuni solidi vedi p. 177 del Tipler).
Possiamo vedere rispettivamente i momenti delle forze e i momenti di inerzia come i rispettivi
rotazionali della forze e delle masse, da cui:
M  I
Energia rotazionale_
Consideriamo ora un disco di massa m ruotante attorno ad un asse con velocità angolare costante.
Ne risulta che la sua energia cinetica è data dalla somma di tutte le rispettive infinitesime particelle
di massa mi che lo compongono:
m v2
Ec   i i
2
i
Tanto per cambiare in questa equazione troviamo subito un problema: precedentemente abbiamo
visto che la velocità tangenziale di una particella in un disco varia rispetto al raggio e quindi ne
varia anche la sua energia cinetica e ciò, indovinate!!!, è estremamente scomodo.
Quindi facciamo una prova, proviamo ad esprimere tale energia in funzione della velocità angolare
e vediamo quel che ne viene fuori:
m v2
m r 2 2 1
Ec   i i   i i i   2  mi ri 2
2
2
2
i
i
i
Da cui:
I 2
Ec 
2
Se noi applichiamo un momento ad un disco questo inizia ad accelerare quindi la sua energia
cinetica aumenta, come per i moti lineari possiamo definire ciò che fa variare l’energia cinetica in
un disco come il lavoro compiuto dalla forza agente su esso.
Per le leggi della cinematica rotazionale: 2
2
 f  i
2
 
moltiplicando entrambi i membri per il momento di inerzia abbiamo che:
1 2 1 2
I f  Ii  I  M
2
2
quindi ne risulta che:
T  M
nei moti rotatori il lavoro è espresso come MΔθ, infatti M=Fr e rΔθ=Δs quindi F Δs= MΔθ; in
questo caso conoscendo il momento è inutile indicare il lavoro come prodotto scalare perché il
momento e lo spostamento saranno nella stessa direzione.
L’equazione precedente rappresenta l’equivalente rotazionale del teorema dell’energia cinetica.
Ora scriviamo l’espressione della quantità di moto riferita alla rotazione per una particella di massa
m e distante dal centro di r:
  mv  mr
Si noti che p varia in funzione del raggio quindi conviene moltiplicare entrambi i membri per r
ottenendo:
2
r  mr 
La grandezza rp è chiamata momento della quantità di moto o momento angolare (L), in generale
per un qualunque corpo abbiamo:
L    mi ri 2  I
i
Il momento angolare di un corpo, come la quantità di moto, rimane costante se la risultante dei
momenti esterni agenti su di esso è nulla.
Da ciò risulta che se il raggio del corpo diminuisce, la sua velocità angolare aumenta per mantenere
costante il momento angolare.
Questo è ciò che succede ad una stella quando collassa o in una nana bianca o in una stella di
neutroni: infatti durante questo processo la massa persa dalla stella è bassa in confronto alla
diminuzione drastica del suo raggio; di conseguenza la velocità angolare della stella aumenta per
mantenere costante il suddetto momento della quantità di moto.
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