CORSO ABILITANTE SPECIALE CLASSE 59 A
Incontro del 17-02-07 coordinato da Donata Toma
Dalle Indicazioni Nazionali per il biennio:
“Ripresa complessiva dei numeri e dell’aritmetica della Scuola
Primaria”
I multipli e i divisori di un numero
- Definizione di multiplo di un numero e osservazione della tabella della
moltiplicazione per la visualizzazione dei multipli di un numero
Su ogni riga è possibile leggere gli (infiniti) multipli di ogni numero naturale diverso da 0.
Lo 0 compare nella prima casella di ciascuna riga per cui è multiplo di qualunque altro
numero.
Lo 0 ha un solo multiplo perché nelle caselle della prima riga compare solo lo 0.
- Definizione di divisore di un numero e osservazione della tabella della divisione
per la visualizzazione dei divisori di un numero
Ogni numero diverso da 0 ammette come divisore se stesso e l’unità, quindi l’insieme dei
divisori di un numero non è mai vuoto.
Dalla prima riga della tabella è possibile leggere che lo 0 ammette infiniti divisori.
Dalla prima colonna della tabella è evidente che lo 0 non è divisore di alcun numero.
- E’ divisore, è multiplo, è divisibile, è sottomultiplo…
Far osservare le espressioni che hanno lo stesso significato con l’aiuto di un grafo a frecce.
“a è multiplo di b” e “a è divisibile per b” oppure “b è divisore di a”, “b è sottomultiplo di
a” e “ b divide a” sono espressioni che hanno lo stesso significato.
- “Regole valide nella divisibilità”
a) Se i numeri a e b (con a > b) sono divisibili per c allora sono divisibili per c anche
i numeri a + b e a – b
E’ utile per giusticare i criteri di divisibilità e per individuare alcuni divisori di un numero.
Se a e b sono divisibili per c allora a = h·c e b = k·c; a + b = h·c + k·c = (h + k)·c quindi il
numero a + b è divisibile per c. Analogamente a - b = h·c - k·c = (h - k)·c (se a > b allora
h > k). E’ utile rappresentare graficamente qualche esempio. Se a = 6, b = 4 e c = 2:
2
c=2
2
a=6
2
2
2
2
2
2
b=4
2
2
2
a + b = 10
2
a-b=2
b) Se un numero a è divisibile per b e b è divisibile per c allora a è divisibile per c
(proprietà transitiva della relazione di divisibilità)
E’ utile nella ricerca dei divisori di un numero (es. se un numero è divisibile per 8 allora
sarà divisibile anche per 4 e per 2). Se a è divisibile per b allora a = h·b e se b è divisibile
per c allora b = k·c quindi a = h·b = (h·k)·c (il numero a è divisibile per c). Graficamente
se a = 8, b = 4 e c = 2
4
4
a=8
4
Se un numero a è divisibile per b ….
b=4
2
2
b=4
2
…. e b è divisibile per c ….
c=2
2
2
2
2
a=8
2
c=2
…. allora a è divisibile per c
- Introdurre la relazione di divisibilità come una relazione di ordine?
In genere i libri di testo non lo fanno. Introdurre la proprietà riflessiva della divisibilità non
presenta difficoltà per i ragazzi, forse è un po’ più difficile introdurre la proprietà
antisimmetrica.
- I criteri di divisibilità
Tutti i libri di testo riportano i criteri di divisibilità ma pochi li giustificano. Non dovrebbe
essere difficile per i ragazzi.
Criterio di divisibilità per 2: il numero 148 scritto in forma polinomiale è la somma di tre
addendi 148 = 1· 100 + 4 · 10 + 8 = 100 + 40 + 8; migliaia, centinaia e decine sono
divisibili per 2, le unità sono divisibili per 2 solo se la cifra delle unità è pari. Analogamente
si procede per i criteri di divisibilità per 5 e per 10.
Criterio di divisibilità per 4: il ruolo più importante è giocato dalle due ultime cifre a destra
del numero; 1732 = 1· 1000 + 7· 100 + 32; migliaia e centinaia sono divisibili per 4, il
numero 32, formato dalle decine e dalle unità, è divisibile per 4 quindi 1732 è divisibile per
4; 842 = 8· 100 + 42; le centinaia sono divisibili per 4 ma non il numero 42, formato dalle
decine e dalle unità quindi 842 non è divisibile per 4. Analogamente si procede per il
criterio di divisibilità per 25.
Criterio di divisibilità per 3 e per 9: anche in questo caso si ricorre alla scrittura polinomiale
dei numeri e alle proprietà delle operazioni:
2724 = 2· 1000 + 7· 100 + 2 · 10 + 4 = 2· (999 + 1) + 7· (99 + 1) + 2 · (9 + 1) + 4 =
= (2· 999) + (2· 1) + (7· 99) + (7· 1) + (2 · 9) + (2 · 1) + 4 =
= (2· 999) + (7· 99) + (2 · 9) + 2 + 7 + 2 + 4
Poiché 9, 99 e 999 sono divisibili per 9 e quindi anche per 3, il numero di partenza è
divisibile per 3 o per 9 solo se è divisibile per 3 o per 9 la somma delle sue cifre.
- Proposta di esercizi
1) Compila la tabella dei divisori e dei quozienti dei numeri 12, 17, 18, 23, 27
2) Cerca di rispondere senza fare calcoli:
- Se 3 è divisore di 9 e 9 è divisore di 18 allora 3 è divisore di 18?
(proprietà transitiva)
- Il numero 7 è divisore del numero che si ottiene sottraendo da 140 il numero 35?
(prima regola valida nella divisibilità)
- Il numero 5 è divisore del numero che si ottiene addizionando 105 e 34?
(prima regola valida nella divisibilità)
- Il numero 5 è divisore del prodotto 3·7·11?
- Il numero 5 è divisore del prodotto 9·5·11?
- Il numero 5 è divisore del prodotto 20·10·5?
- Il numero 5 è divisore del prodotto 13·5·11?
- Il numero 5 è divisore del prodotto 18·19·20?
(5 deve essere divisore di almeno uno dei fattori)
3) Completa le seguenti uguaglianze. E’ necessario eseguire tutti i calcoli indicati?
- 3·8·14 = x ·6·8
- 16·6·10 = 8 ·x·20
- 20·2·15 = 10 ·2·x
(si vuole spingere gli alunni a scomporre e ricomporre i numeri in modo da rendere vera
l’uguaglianza)
4) Vero o falso?
- Se un numero è divisibile per 25 allora è divisibile per 5
- Se un numero è divisibile per 5 allora è divisibile per 25
(non vale la proprietà simmetrica per la relazione di divisibilità)
- Se un numero è divisibile per 12 allora è divisibile per 4 e per 3
- Se un numero è divisibile per 4 e per 3 allora è divisibile per 12
- Se un numero è divisibile per 8 allora è divisibile per 2 e per 4
- Se un numero è divisibile per 2 e per 4 allora è divisibile per 8
(apparentemente la relazione sembra invertibile, in realtà è possibile solo quando i due numeri
sono primi tra loro)
 I numeri primi
- Definizione di numero primo
Gli alunni la ricordano dalla scuola elementare, possono individuare i numeri primi sulla
tabella della divisione, concordano sul fatto che 0 e 1 non sono considerati numeri primi.
- Il crivello di Eratostene
I ragazzi trovano divertente la procedura. Una volta scritta alla lavagna la sequenza dei
numeri primi ottenuta con il metodo di Eratostene, gli alunni sono indotti a osservare la
distribuzione dei numeri primi: osservano che i numeri primi si distanziano sempre di più,
osservano i numeri primi gemelli e fanno delle supposizioni su presunte regolarità che dopo
verificano sulle tavole allegate ai libri di testo. Si può parlare loro della congettura sui
numeri primi gemelli.
- I numeri composti e la scomposizione di un numero
Scomposizione di un numero con un grafo o con successive moltiplicazioni fino ad ottenere
il prodotto di fattori primi
- Proposta di esercizi
1) Compila la tabella dei divisori e dei quozienti dei numeri 12, 4, 18, 25, 27, 36, 49, 64. Quali
sono i numeri che hanno esattamente 3 divisori? Descrivi la caratteristica di questi numeri.
(sono i quadrati dei numeri primi)
2) E’ sempre possibile?
- Il numero naturale 5 si può scrivere come somma di due numeri primi: 2 + 3. Scrivi i numeri dal
4 al 10 come somma di due numeri primi.
- Scrivi ciascun numero pari dal 12 al 20 come somma di due numeri primi.
- Scrivi ciascun numero pari dal 22 al 40 come somma di due numeri primi.
- Sarà sempre possibile scrivere la somma di due numeri pari maggiori di 2 come somma di due
numeri primi?
(La congettura di Goldbach: ogni numero pari maggiore di 2 si può scrivere come somma di 2
numeri primi)
3) Sono dati i numeri 12, 16, 20 e 24.
a) Scomponili in tutti i modi possibili nel prodotto di due fattori
b) Scomponi nel prodotto di fattori primi ciascuno dei precedenti numeri.
(ci possono essere varie scomposizioni nel prodotto di più fattori ma la scomposizione in fattori
primi è unica)
4) Scomponi in fattori primi il numero 210 per mezzo di due diversi grafi ad albero
- Il teorema fondamentale dell’aritmetica
Dopo la risoluzione da parte dei ragazzi di esercizi tipo i precedenti si può arrivare a
enunciare il teorema (ogni numero maggiore di 1 o è primo o è il prodotto, in un solo modo,
di numeri primi) e a dimostrare che i numeri primi sono infiniti (leggere la scheda storica a
pag.58 del testo Emma Castelnuovo, “La matematica – Numeri A”, La Nuova Italia).
Le operazioni di massimo comun divisore e minimo comune
multiplo
- M.C.D. e m.c.m. come operazioni binarie interne nell’insieme N dei numeri
naturali maggiori di 0.
- Il metodo di Euclide per la determinazione del M.C.D.
Si può applicare questo metodo per trovare il massimo comun divisore, ad esempio, tra 27
e 12 accompagnandolo con una rappresentazione grafica analoga a quella che serve a
intuire la “regola” a) sulla divisibilità e poi far notare i vantaggi che comporta quando i
numeri sono di difficile scomposizione. Questo metodo non è più riportato dalla nuova
edizione del mio libro di testo.
Resto 12
15
27 : 15 = 1 con resto 12
Resto 3
12
15 : 12 = 1 con resto 3
12 : 3 = 4 con resto 0
quindi M.C.D.(27;15) = 3
- Proposta di esercizi
Completa la seguente tabella:
a
b
6
12
24
2·3
3·n
15
16
72
22·3
23·n
a·b
M.C.D.
(a;b)
m.c.m.
(a;b)
M.C.D.·
m.c.m.
a·b:
M.C.D.
m.c.m.:
M.C.D.
La tabella potrebbe suggerire un metodo rapido per calcolare il minimo comune multiplo: basta
dividere il prodotto dei due numeri per il loro massimo comun divisore.
Mettere in evidenza la uguaglianza: M.C.D.(a;b)x m.c.m.(a;b) = axb
Dalle Indicazioni Nazionali per la classe terza:
“Elementi fondamentali di calcolo algebrico – Uso delle lettere
come generalizzazione dei numeri in casi semplici”
L’insieme Z
- Valore assoluto e opposto di un numero relativo
Perché si può parlare di opposto. Come si indica l’opposto. (I libri di testo parlano di
opposto prima di aver definito l’operazione di addizione)
Come si indica il valore assoluto. Come si calcola il valore assoluto di un numero.
- Confronto tra numeri interi relativi. L’ordinamento in Z
Si esaminano i vari casi: coppie di numeri concordi e positivi, di numeri discordi, di numeri
concordi e negativi .
- Le operazioni in Z. La regola dei segni
Definizione delle operazioni in Z. Le convenzioni di scrittura e l’uso delle parentesi nel
calcolo algebrico. La giustificazione della regola dei segni (per giustificare, ad esempio,
(+4) ∙ (-3) = -12 e (-4) ∙ (-3) = +12 imporre la validità della proprietà distributiva).
- Segni di operazione, segni dei numeri relativi, segni che si possono sottindere….
E’ complicato per i ragazzi alla fine della scuola media gestire le convenzioni algebriche.
Ritengo che, soprattutto all’inizio, sia necessario farli riflettere sul tipo di operazione che
stanno eseguendo, su ciò che si può sottindere nella scrittura, su ciò che va esplicitato. Si
può fare ciò anche facendo eseguire banali espressioni (in rosso sono indicati i segni di
operazione, in nero i segni dei numeri relativi):
(+5) + (–3) – (–7) – (–2) – (+3)=
= (+5) + (–3) + (+7) + (+2) + (–3)=
= 5 – 3 + 7 + 2 – 3= 8
–7∙ {– [– 5 ∙(– 18 + 26 – 5) + 11∙ (+2)] – (–7)} =
= –7∙ {– [– 5 ∙( + 3 ) + 11∙ (+2)] – (–7)} =
= –7∙ {– [– 15 + 22] – (–7)} =
= –7∙ {– [ + 7] – (–7)} =
= –7∙ {+ [– 7] + (+7)} =
= –7∙ {–7 + 7} =
= –7∙ 0 = 0
- Proposta di esercizi
1) Calcola:
| (+5) + (+5) | =
| +5 | + | +5 | =
| (+5) - (+5) | =
| +5 | - | -5 | =
| -5 | - | +5 | =
| -5 | + | -5 | =
(può aiutare i ragazzi a capire quando va calcolato il valore assoluto rispetto alle altre operazioni
indicate)
2) Completa le seguenti tabelle:
a
-a
a2
a3
1
a
-a2
(-a)2
-a3
_1
a
2
-2
1
3
_1
3
(Associare la corretta terminologia a quanto scritto in forma simbolica nella prima casella di
ciascuna colonna)
3)
a)
b)
c)
d)
Rispondi Vero o Falso motivando la risposta (a e b sono due numeri interi relativi):
a - b = - (b – a)
a - b = a- b
a - b = b - a
a - b = b -a
4)
a)
b)
c)
d)
Stabilsci se ognuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa motivando la risposta:
Se aZ allora a2 ≥ 0
Se aZ allora a3 ≥ 0
Se aZ allora 2a ≥ 0
Se aZ e a0 allora a2 ≤ a
5)
a)
b)
c)
d)
a e b sono due interi relativi (aZ e bZ). Considera i seguenti casi:
se a 0 , – a sarà positivo o negativo? Perché?
se a b è vero che risulta sempre a2 b2? Perché?
se a b è vero che risulta sempre a3 b3? Perché?
se a+b 0 e a.b 0 cosa puoi dire del segno di a e b? Perché?
6)
a)
b)
c)
d)
Indica se le seguenti uguaglianze sono vere o false motivando la risposta:
a – 5 = – 5a
3x – 5 = – (5 – 3x)
–a∙(7 – 3b) = – 7a – 3b
2x∙(x – 3) = 2x2 + (–3)∙(2x)
7) Considera un generico numero intero positivo n, il suo precedente n-1 e il suo successivo n+1.
Verifica che la differenza tra i quadrati del successivo e del precedente è sempre il quadruplo di
n. (Per dimostrarlo è necessario conoscere semplici elementi di calcolo letterale)
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Ripresa complessiva dei numeri e dell`aritmetica della Scuola Primaria