Corso di Laurea in Matematica Docente: Claudia Anedda Prova

Corso di Laurea in Matematica
Docente: Claudia Anedda
Prova scritta di ANALISI 4
19/02/2015
1) Calcolare l’integrale, lungo la curva γ di parametrizzazione r(t) = (t, t2 , t3 ), t ∈ [1, 2],
della forma differenziale lineare ω il cui campo vettoriale associato F ha componenti
2xz
2yz
1 + x2 + y 2 + z 2
F1 = − 2
. Tale campo vettoriale è
,
F
=
−
,
F
=
2
3
(x + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )(1 + z 2 )
irrotazionale? (8 punti).
1
Σ y4
RR
dσ, dove Σ è la superficie che si ottiene facen1
do ruotare la curva di equazione cartesiana y = , x ∈ [2, 3], attorno all’asse y (7 punti).
x
2) Calcolare l’integrale superficiale
3) Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie:
∞
X
2
4n + 3
1 − cos
(x − 1)n
n + n2
5
n
n=1
α
(suggerimento: ricordare la formula 1 − cos α = 2 sin2 ) (7 punti).
2
4) Sia f (x) il prolungamento periodico in R della funzione
(
x
se x ∈ [0, π]
π
se x ∈ (π, 2π).
Disegnare il grafico di tale funzione in R e trovare, se possibile, la serie di Fourier
associata, studiandone la convergenza puntuale e uniforme (8 punti).