probabilità oggettiva - Università degli Studi Mediterranea

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI
“MEDITERRANEA” DI REGGIO CALABRIA
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
LAUREA MAGISTRALE
INGEGNERIA CIVILE
Corso di
PROGETTO E GESTIONE
DELLE INFRASTRUTTURE VIARIE
LECTURE 04 – ELEMENTI DI RISK ANALYSIS – CONCETTI DI
PROBABILITA’, FREQUENZA, MAGNITUDO
Docente: Marinella Giunta
Corso di progetto e gestione delle infrastrutture viarie
Docente Ing. Marinella Giunta
DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 1/4
Per certi eventi che investono la collettività e possono
provocare gravi danni sia immediati che ritardati alle persone o
alle cose si definisce:
Rischio =
Frequenza
prevista per
l’evento
x
Magnitudo
delle
conseguenze
R = F x M
Determinare la frequenza prevista per l’accadimento dell’evento
ipotizzato e la gravità delle conseguenze significa con una
espressione tecnica effettuare una valutazione probabilistica del
rischio.
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DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 2/4
La valutazione del rischio si articola in tre studi:
1. Individuazione degli eventi che possono
dar luogo ad un incidente rilevante
2. Determinazione della frequenza di
accadimento dell’evento
2. Analisi delle conseguenze
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DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 3/4
La definizione del rischio come prodotto della
frequenza di accadimento dell’evento per la
magnitudo delle conseguente ha l’enorme
vantaggio di consentire una valutazione
quantitativa del rischio ed abbandonare il
significato vago che il termine rischio ha nel
linguaggio comune.
Con i numeri è più facile effettuare confronti e
stabilire graduatorie!
Frequenza prevista
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DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 4/4
R1 > R2 > R3
Protezione
R1
R2
Prevenzione
R3
Magnitudo delle conseguenze
Nel caso in cui il rischio
non venga considerato
tollerabile si potrà ridurre
operando sulla frequenza
di accadimento (azione di
prevenzione) o sulla
magnitudo delle
conseguenze (azione di
protezione)
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 1/21
Esistono due definizioni di probabilità:
probabilità oggettiva (o classica)
probabilità soggettiva
PROBABILITA’ OGGETTIVA
La definizione di probabilità oggettiva, introdotta da Pascal nel XVII
secolo è la seguente:
Dati N eventi che hanno uguale possibilità di verificarsi, la probabilità di
accadimento dell’evento A, vale:
Numero di eventi A
P(A) =
Numero totale di eventi
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 2/21
PROBABILITA’ OGGETTIVA
ESEMPI
Nel lancio di un dado:
P(uscita del 2) = 1/6
Nel lancio di una moneta:
P(TESTA) = 1/2
CONSIDERAZIONI
La definizione presuppone il conteggio di tutti gli eventi ugualmente
possibili e questo è fattibile nel caso di giochi con carte, monete, dadi,
al lotto, alla roulette.
Questa probabilità si può anche chiamare “teorica”, nel senso che
può essere valutata a tavolino, una volta nota la situazione.
Nei casi reali il conteggio di tutti gli eventi non è sempre possibile e
spesso non ha addirittura alcun significato. Gli eventi possibili
possono non essere equiprobabili.
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 3/21
PROBABILITA’ OGGETTIVA
VANTAGGI
A. Permette di stabilire alcune relazioni matematiche relative alla
probabilità
B. Costituisce una scala di riferimento per la probabilità soggettiva
A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA’
La definizione classica ci dice che la probabilità è un numero puro e
può variare dallo zero (per un evento impossibile) all’unità (per un
evento certo), cioè:
0≤P≤1
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 4/21
PROBABILITA’ OGGETTIVA
A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA’
Si può affermare che il verificarsi dell’evento A e il non verificarsi (che
indichiamo con not A) soddisfano alla relazione:
P(A) + P(not A) = 1
……. considerando il caso in cui un evento possa verificarsi in
relazione all’accadimento di altri, questi ultimi fra di loro
indipendenti, si possono avere due casi:
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 5/21
PROBABILITA’ OGGETTIVA
A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA’
(I)
L’evento H capita quando si verifica l’evento A oppure l’evento B
oppure entrambi, e si scrive simbolicamente:
H = A or B
La formula del calcolo delle probabilità per l’evento H è la seguente:
P(H) = P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B)
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 6/21
PROBABILITA’ OGGETTIVA
A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA’
(II)
L’evento K capita quando si verifica l’evento C e l’evento D; si
scrive simbolicamente:
K = C and D
La formula del calcolo delle probabilità per l’evento K è la seguente:
P(K) = P(C and D) = P(C) . P(D)
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 7/21
PROBABILITA’ OGGETTIVA
A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA’
ESEMPI:
Si lancino due dadi. Le coppie di valori possibili sono in numero di 36:
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
P(5 sul primo dado or sul secondo) = 11/36 = 0,305
Lo stesso risultato si può trovare così:
P(5 or 5) = 1/6 + 1/6 – 1/6.1/6 = 11/36 = 0,305
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 8/21
PROBABILITA’ OGGETTIVA
B. SCALA DI RIFERIMENTO DELLE PROBABILITA’
Ritornando al gioco di TESTA o CROCE, si lancino due monete. La
probabilità di avere tutte TESTE è 1/4, valutabile dal fatto che l’evento
favorevole è uno dei 4 eventi possibili: T.T, T.C, C.T, C.C o anche
ricorrendo alla formula del calcolo delle probabilità
P (Tand T) = 1/2.1/2 =1/4
Se si lanciano 3 monete la probabilità di avere TESTA SU tutte si
calcola con una generalizzazione della formula:
P (Tand T) = (1/2)3 = 1/8 = 0,125
e lanciando N monete:
P (Tand Tand Tand Tand T…) = (1/2)N
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 9/21
PROBABILITA’ OGGETTIVA
B. SCALA DI RIFERIMENTO DELLE PROBABILITA’
Alcune potenze di 1/2 per una scala di riferimento:
esponente
N
1
2
3
6
10
13
16
20
valore
di (1/2)N
0,5
0,25
0,125
0,015625
0,00097
0,00012
0,000015
0,00000095
valore
approssimato
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 10/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
Un altro punto di vista diverso, chiamato soggettivista o neobayesiano è importante per la maggior parte dei problemi.
Si tenga presente che “soggettivo” non vuol dire arbitrario, ma
semplicemente legato alle conoscenze del soggetto (De Finetti).
A questa definizione si è costretti a ricorrere quando, volendo
determinare il valore di una probabilità, non sono valide le condizioni
discusse per la probabilità oggettiva.
Il dominio di definizione della probabilità soggettiva comprende eventi
unici, rari o capitati più volte nel passato in circostanze che non si
ritengono più valide per il futuro. Rientrano in queste situazioni, per
cu si può definire solo una probabilità soggettiva, terremoti, alluvioni
avvenimenti sportivi, caduta di un aereo, ecc..
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 11/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
A. Valutazione frequentistica
B. Valutazione tramite i bookmakers
C. Metodo della decomposizione
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 12/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
A. Valutazione frequentistica
Tale valutazione si basa sul teorema di von Mises che afferma:
In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle
stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con
una frequenza relativa che è pressappoco uguale alla sua
probabilità. L’approssimazione cresce ordinariamente con il
crescere del numero delle prove.
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 13/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
A. Valutazione frequentistica
Esempio: sono indicati i risultati di 10, 20, ….10.000 lanci di
monete
numero
di lanci
10
20
50
100
500
1.000
10.000
numero
di TESTE
rapporto
TESTE/lanci
6
13
26
52
247
506
5.032
0,6
0,65
0,52
0,52
0,494
0,506
0,5032
Il rapporto tra il numero delle volte che è apparso TESTA ed il numero
totale dei lanci “tende” al valore “teorico” 0,5.
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 14/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
A. Valutazione frequentistica
I risultati confermano la validità della legge dei grandi numeri e
la disuguaglianza di Cebysev, che affermano che “su un gran
numero di prove è quasi certo che la frequenza coincide con la
probabilità e che gli scarti hanno tendenza a compensarsi”.
ATTENZIONE
Non dare a questo risultato interpretazioni eccessive e
manifestamente assurde: non si pensi ad esempio che tale
avvicinamento alla probabilità faccia attendere con maggiore
facilità l’apparizione di un evento in ritardo!
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 15/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
B. Valutazione tramite i bookmakers
Per prevedere ad esempio il risultato di una corsa di cavalli si
può studiare attentamente il lotto dei partenti, esaminare i
risultati delle corse precedenti, tenendo conto della lunghezza
del percorso, dello stato del terreno…., e cercare di avere
qualche confidenza dagli stallieri.
E’ però più facile riferirsi alle poste dei bookmakers.
Un cavallo dato “S a T” ha la probabilità
P = S/(S+T)
di vincere in un gioco equo.
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 16/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
B. Valutazione tramite i bookmakers
La quota della posta “S a T” significa che si è disposti a
ricevere T in caso di successo e dare S in caso di insuccesso.
I bookmakers di Londra sono famosi in tutto il mondo ed
accettano scommesse su tutto, ma anche loro incorrono in
previsioni clamorosamente errate. Ai mondiali di calcio dell’82
la squadra azzurra, prima dell’inizio delle gare, era data 1 a 20,
il Cardinale Luciani non era neppure quotato dopo la morte di
Papa Paolo VI!
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 17/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
C. Metodo della decomposizione
Il metodo della decomposizione è importante per la valutazione
della probabilità soggettiva riferita ad eventi rari o unici.
Consiste nel considerare che un evento finale H o K può
accadere per l’avverarsi di eventi A, B, C, D, …. indipendenti tra
loro, secondo una delle relazioni logiche:
H = A or B
K = C and D
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 18/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
C. Metodo della decomposizione
ESEMPIO
Un treno non si arresta davanti ad un ostacolo per due motivi: la
segnalazione luminosa è errata oppure il macchinista non avverte
l’indicazione o per entrambi i motivi. Naturalmente potrebbero essere
considerati altri motivi, come il non funzionamento dei freni.
Si ponga
H = il treno non si arresta
A = la segnalazione luminosa è errata
B = il macchinista non avverte l’indicazione
Si può scrivere:
H = A or B
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 19/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
C. Metodo della decomposizione
ESEMPIO
Se sappiamo in base all’esperienza passata (cioè mediante una
valutazione di probabilità tramite frequenza) che:
P(A) = 1/100 (segnalazione luminosa errata)
P(B) = 1/10 (errore umano)
P(H) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) = 1/100 + 1/10 - 1/100 .1/10 =1/10
L’evento indesiderato è legato essenzialmente all’errore umano.
…………….ALTRI ESEMPI SU INCIDENTI STRADALI
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 20/21
PROBABILITA’ SOGGETTIVA
METODI DI VALUTAZIONE:
C. Metodo della decomposizione
ESEMPIO
Un reattore chimico può esplodere perché si è formata una miscela
esplosiva e c’e un innesco per lo scoppio. Siano:
K = esplosione del reattore
C = presenza di miscela esplosiva
D = presenza di innesco
Si può scrivere
K = C and D
P(K) = P(C).P(D)
Se P(C) = 1/100 e P(D) = 1/10 la probabilità che accada l’esplosione è
P(K) = P(C) .P(D) = 1/100 .1/10 =1/1000
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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 21/21
VARIABILE O NUMERO ALEATORIO
Una variabile aleatoria o numero aleatorio ha un valore non noto a
priori e può essere valutato attraverso una stima più o meno
affidabile.
ESEMPIO
Numeri di incidenti con sversamento di materiali pericolosi che si
verificano in una tratta autostradale in un anno;
Talvolta, per convenienza, anche fenomeni e grandezze prevedibili
empiricamente sulla base di modelli fisici sono interpretati nel senso
di variabili aleatorie, rinunciando ad analizzare la complessità dei
fenomeni e studiando solo la “statistica” delle sue manifestazioni.
La serie storica dei valori assunti da una variabile aleatoria costituisce
il campione o spazio campione e definisce i “limiti conoscitivi” o lo
“stato di conoscenza.
La variabile aleatoria nelle sue realizzazioni storiche si definisce
variabile campionaria.
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 1/13
Dopo avere richiamato i concetti di base della probabilità,
definiamo il rischio ed esaminiamo come valutare in modo
quantitativo i due fattori che entrano in gioco: la frequenza e la
magnitudo.
Indice
=
di
Rischio
Frequenza
prevista per
l’evento
x
Magnitudo
delle
conseguenze
R=FxM
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 2/13
Nella formula di calcolo dell’indice di rischio, o semplicemente
rischio, è insita la circostanza che risulta lo stesso rischio per
un sistema che si prevede provochi 1 vittima all’anno e per
quello che ne provoca 25 in un evento che si prevede ogni 25
anni.
In generale, noi siamo colpiti più dalla magnitudo delle
conseguenze che dalla frequenza dell’evento.
Relativamente al calcolo delle frequenze abbiano richiamato il
problema del giudizio “soggettivo” e quello delle frequenze
estremamente basse. Si approfondisce adesso il carattere di
“accidentalità” dell’evento.
Mentre alcuni eventi (caduta di un oggetto, ritorno di una
cometa) sono previsti da leggi deterministiche, per altri eventi
non è possibile formulare una previsione (scoppio di un
pneumatico di un’automobile, scontro tra due treni.)
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 3/13
Gli eventi “accidentali” possono essere di due tipi:
- Eventi casuali uniformi nel tempo;
- Eventi casuali non uniformi nel tempo.
Eventi casuali uniformi nel tempo
Si consideri un avvenimento che si verifica a ripetizione nel
tempo.
L’evento è detto periodico se è costante l’intervallo di tempo
fra due accadimenti successivi: questo intervallo è detto
periodo o tempo di ritorno (ed è indicato comunemente con
T). La frequenza ν ne è l’inverso.
Nell’ingegneria della sicurezza interessano prevalentemente
eventi non periodici, e fra questi, quelli che accadono nel
tempo secondo una legge casuale uniforme.
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 4/13
Eventi casuali uniformi nel tempo
Per gli eventi casuali uniformi nel tempo detto N il numero di
accadimenti nell’intervallo complessivo considerato,
possono essere definiti:
-
la frequenza ν;
-
l’intervallo medio di tempo fra un accadimento ed il
successivo:
Tmedio = Σi ti/N
avendo indicato con ti l’intervallo generico fra due eventi
successivi.
L’intervello tmedio vale approssimativamente l’inverso di ν.
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 5/13
Eventi casuali uniformi nel tempo
ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI
UNIFORMI
Esperimento:
Si facciano estrazioni successive da un’urna contenente
gettoni marcati 0, 1, 2, … 9 in numero estremamente grande. I
gettoni delle diverse cifre sono in numero uguale e pertanto da
questa popolazione avente distribuzione rigorosamente
uniforme c’è da aspettarsi che un campione di 2.000 estrazioni
(con reimbussolamento) presenti una distribuzione pressoché
uniforme della 10 cifre. L’aver effettuato estrazioni assicura
che il processo è casuale.
In pratica si utilizza una serie di numeri casuali uniformi
ottenuti da un computer.
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 6/13
Eventi casuali uniformi nel tempo
ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI
UNIFORMI
Esperimento:
Si sostituisce SI allo zero e NO alle altre cifre e si considerino il SI e
il NO come l’etichetta attribuita ad ognuno dei 2.000 anni, a seconda
che si sia o no verificato un certo avvenimento nell’anno.
L’anno di accadimento è casuale: ci aspettiamo di trovare nell’intera
storia degli ultimi 2.000 anni circa 200 anni marcati SI.
Nell’esperimento si sono avuti 198 SI.
La frequenza dell’evento è quindi:
ν = 198/2.000 ~ 0,1/ anno
e conseguentemente:
tmedio = 1/ν =~ 10/ anni
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 7/13
Eventi casuali uniformi nel tempo
ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI
UNIFORMI
a) Distribuzione delle frequenze
Prendendo in considerazione intervalli di osservazione abbastanza
lunghi si trovano valori delle frequenze dei SI con una distribuzione
a campana, attorno al valore della moda (valore dell’ascissa di
maggior frequenza della funzione di distribuzione).
(a)
NUMERO
DI EVENTI
0-2 3-5
15-17 18-20
(b)
NUMERO
DI EVENTI
1-4 5-8
33-36 37-40
L’istogramma (a) è stato ricavato sperimentalmente: in ascissa è
riportato il numero X di SI per secolo (e la frequenza corrispondente), in
ordinata il numero di secoli caratterizzati dal valore X.
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 8/13
Eventi casuali uniformi nel tempo
ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI
UNIFORMI
b) Distribuzione degli intervalli di tempo
E’ stato ricavato tmedio dall’inverso della frequenza. Lo stesso valore si
trova facendo la somma degli intervallo di tempo t1, t2, …t198 fra un
evento SI ed il successivo e dividendola per il numero di eventi.
Essendo tmedio un valore medio, gli intervalli siano disposti attorno a
questo, ancora secondo una distribuzione simmetrica: nel caso
considerato si potrebbero aspettare molti intervalli di 10 anni, un po’
meno di 9 e 11, ancor meno di 8 e 12, e così via.
La legge afferma invece che la distribuzione degli intervalli di tempo è
una funzione decrescente.
In effetti la distribuzione del numero degli intervalli non può essere
simmetrica, ma decrescente: essendo fissato tmedio, per ogni ti >> tmedio
devono esserci più valori con ti < tmedio.
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 9/13
Eventi casuali uniformi nel tempo
Le due leggi sono ben note nel calcolo delle
probabilità: se l’apparizione degli eventi è casuale
uniforme la distribuzione delle frequenze è data
da una funzione poissoniana e quella degli
intervalli di tempo fra un evento ed il successivo
da una funzione esponenziale negativa.
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 10/13
Eventi casuali non uniformi nel tempo
La maggior parte dei sistemi e dei componenti tecnici mostrano
durante certi periodi della loro vita ratei variabili: si hanno ancora
eventi accidentali, guasti per esempio, ma con rateo o decrescente o
crescente con l’età.
E’ molto comune per auto, televisori, sistemi di allarme … un
andamento del rateo di guasto che mostra un tratto che scende
rapidamente, più piatto, poi in salita sempre più accentuata. Agli
intervalli corrispondono:
I. il rodaggio
II. la vita utile
III. l’usura
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 11/13
OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO
La valutazione dei danni, sia a priori sia a posteriori, è attuata nel
campo assicurativo attraverso criteri prefissati di monetizzazione. I
rischi facilmente assicurabili non sono quelli che si verificano
raramente, perché questi mettono in gioco grandi valori
concentrati su un mercato ristretto: essi impediscono il
funzionamento della legge dei grandi numeri.
Nella nostra trattazione interessano gli eventi che si verificano
raramente: i problemi sono numerosi, e tra questi:
a. Misurare la magnitudo scegliendo come unità di misura una vittima
b. Ambiguità di considerare insieme, e con la stessa unità di misura,
effetti immediati e a lungo termine
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 12/13
OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO
a.
Nella valutazione probabilistica del rischio la magnitudo deve essere
determinata per un avvenimento previsto futuro, necessariamente
affetto da incertezze.
Accanto a questa difficoltà di principio, ne esiste un’altra, presente
anche per un evento già accaduto, relativa al problema di “pesare” le
diverse conseguenze (feriti, morti, distruzione di cose) per attribuire
un valore numerico alla magnitudo. Vi sono poi danni difficilmente
valutabili, ma spesso gravi (disagio dello sfollamento, sospensione di
attività). Entrano in gioco anche fattori psicologici.
Per questo motivo spesso non c’è accordo nello stabilire una
graduatoria si magnitudo delle conseguenze.
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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 13/13
OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO
b.
Le due affermazioni:
Il terremoto uccide 10.000 persone
Il fumo ha ucciso 50.000 persone
Nel primo caso un terremoto ha causato in una zona abitata un gran
numero di vittime: ci saranno anche case distrutte, servizi interrotti
ecc…
La seconda affermazione evidenzia un fenomeno del tutto diverso:
non si è mai visto stramazzare a terra nessuno perché avena una
sigaretta in bocca. Semmai l’abuso di tabacco provoca una riduzione
della speranza di vita.