Introduction

GRUNDTVIG BERNIE PROJECT
LESSON PLAN TEMPLATE
1. Background Information
Topic
Matematica
Title of Lesson
Uso di equazioni e sistemi di equazioni di
primo grado per la soluzione di problemi
pratici.
Lesson Number
2 di 2 ore ciascuna
Level of Students
Studenti di livello intermedio.
(beginners, intermediate,
advanced, mixed ability)
Aims of Lesson
1.Sviluppare le capacità di analizzare un
testo.
2.Distinguere i dati, cioè, le informazioni,
dalle richieste di un problema.
3.Sviluppare la capacità di costruire
relazioni
matematiche
partendo
da
situazioni concrete.
4.Sviluppare le capacità e i processi
intellettivi che consentono di correlare le
conoscenze acquisite con la realtà.
Objectives of Lesson
1.Saper matematizzare un problema di
primo grado e saperlo risolvere.
2.Acquisire le abilità e le
tecniche
algebriche
per
la
risoluzione
di
un’equazione e di un sistema di equazioni
di primo grado.
3.Saper riconoscere un problema di primo
grado e individuarne il metodo per la
soluzione.
Length of Lesson
4 ore
Resources (e.g. books, maps,
handouts)
1.Appunti dalle lezioni.
2.Fotocopie riportanti,
proposte di problemi.
esempi
svolti
e
3. Testi dalla biblioteca.
2. Lesson Plan
Introduction
L’argomento
viene
introdotto
dall’
insegnante spiegando come, attraverso l’uso
del ragionamento, semplici problemi di tipo
pratico possono essere risolti mediante
l’impostazione e la soluzione di equazioni e
sistemi di equazioni
Activities
1.Distribuzione di fotocopie riportanti
nozioni teoriche e problemi svolti (All.1)
2. Svolgimento e spiegazione alla lavagna
da parte dell’insegnante dei problemi svolti
riportati sulle fotocopie.
3. L’insegnante suddivide gli studenti in
gruppi di due e propone di svolgere in
classe, senza accedere alle soluzioni, alcuni
problemi risolubili attraverso l’impostazione
di una equazione o di un sistema di primo
grado. (All. 2)
4. Svolgimento dei problemi alla lavagna da
parte degli studenti e chiarimenti da parte
dell’insegnante. Accesso ed esposizione delle
soluzioni in all.2.
5.Proposta di problemi simili da svolgere in
cella (All. 3)
Conclusion to Lesson/
Summation
Argomentazione
e
discussione
delle
difficoltà incontrate per la comprensione e
lo svolgimento dei problemi.
Esposizione delle curiosità
problemi hanno suscitato.
Homework
che
alcuni
Lettura e studio delle fotocopie distribuite e
svolgimento di alcuni problemi scelti a
piacere tra quelli proposti nell’allegato 3.
Mode of Assessment of Students
L’insegnante
valuta la
partecipazione
Testing during Class
all’argomento
attraverso
l’interesse
mostrato in classe e l’impegno per lo studio
autonomo proposto.
Student Evaluation of Session
Gli studenti valutano insieme all’insegnante
l’intero percorso dell’Unità didattica. Tutti
apprezzano
l’applicazione
del
metodo
matematico alla risoluzione di semplici
problemi pratici.
Final Evaluation
Compito in classe su problemi del tipo
contenuto in All. 3.
Teacher’s Comments
La classe ha mostrato notevole interesse per l’argomento ma ha mostrato
qualche difficoltà nell’impostazione dei problemi, cioè nella traduzione dei
dati del problema in relazioni matematiche. Non ha avuto invece difficoltà
nello svolgimento di esercizi già impostati. Ciò si spiega per il fatto che la
risoluzione delle equazioni e dei sistemi è un procedimento abbastanza
meccanico che non presenta particolari difficoltà, mentre la traduzione di un
problema nell’impostazione di un’equazione o di un sistema richiede
maggiori abilità ed elasticità che si acquisiscono con l’esercizio e il tempo. In
compenso, però, l’argomento ha destato molto interesse per la praticità
dell’applicazione e la curiosità delle domande dei problemi.
All 1
Problemi pratici che si risolvono con un’equazione
1. In una famiglia di 4 persone il padre e la madre hanno la stessa età, che è tripla di quella del figlio; la
sorellina è nata 5 anni dopo il figlio, determinare le età attuali dei componenti della famiglia sapendo che
fra due anni la somma delle loro età sarà 83 anni.
chiamo x l'eta' del figlio
l'eta' della figlia sara' x-5
allora l'eta' del padre (ed anche della madre) sara' 3x
fra due anni tutti avranno l'eta' aumentata di due cioe'
il figlio x + 2
la figlia x - 5 + 2 = x - 3
il padre 3x + 2
la madre 3x + 2
sommando tutte queste eta' dovro' ottenere 83 quindi
x + 2 + x - 3 + 3x + 2 + 3x + 2 = 83
8x + 3 = 83
8x = 83 - 3
8x = 80
Per il secondo principio divido per 10
x = 10
L'eta' del figlio (x) e' 10 anni
L'eta' della figlia (x-5) e' 5 anni
L'eta' del padre (3x) e' 30 anni
L'eta' della madre (3x) e' 30 anni
2. In un cortile ci sono polli e conigli: in totale ci sono 40 teste e 130 zampe. Quanti sono i polli e quanti
i conigli?
Poiche' ogni animale ha una testa sola avremo in tutto 40 animali quindi chiamo x il numero dei polli
il numero dei conigli sara' 40 - x
poiche' i polli hanno due zampe tutte le zampe dei polli saranno 2x
i conigli hanno quattro zampe quindi tutte le zampe dei conigli saranno
4( 40 - x)
sommando le zampe dei polli e dei conigli dovro' ottenere 130 quindi
2x + 4(40 - x) = 130
2x + 160 - 4x = 130
2x - 4x = 130 - 160
- 2x = - 30
Per il secondo principio divido per - 2
x = 15
Il numero di polli (x) e' 15
Il numero di conigli (40 - x) e' 25
Problema che si risolve mediante un sistema
1. Determinare due numeri sapendo che il minore supera di 6 la meta' del maggiore e che la somma dei
2/5 del maggiore e di 1/4 del minore e' 12.
La prima frase mi dice che devo determinare due numeri quindi uno lo chiamo x e l'altro y
1° Numero = x (maggiore)
2° Numero = y (minore)
La prima relazione da scrivere è:
il numero minore
y
supera di 6
= 6+
la metà del maggiore
La seconda relazione da scrivere è:
la somma de
di
del maggiore e
del minore
è 12
x+
y
=12
Raccogliendo le due relazioni ottengo il sistema
Faccio il minimo comune multiplo
Elimino i denominatori
Porto le x e le y prima dell’uguale ed i numeri dopo l’uguale
Cambio di segno la prima equazione ( di solito si vuole la x positiva)
Risolvo per sostituzione: ricavo la x dalla prima equazione e sostituisco il valore trovato nella seconda
Eseguo i calcoli
Separo le y ed i numeri
Sommo
Sostituisco 16 al posto di y
Risposta: i due numeri cercati sono x=20 e y=16.
All. 2
Problemi proposti in classe
Problema 1
Policrate, tiranno di Samo, avendo chiesto a Pitagora quanti alunni avesse, ebbe questa risposta:
"Meta' studia la matematica, la quarta parte studia i fenomeni della natura e la settima parte
medita
in
silenzio,
inoltre
vi
sono
tre
donne".
Quanti erano gli allievi?
(x=28)
Soluzione
Chiamo x il numero degli allievi
ora imposto l'equazione:
il numero totale degli allievi x
sara' dato =
dalle meta'che studia matematica 1/2 x
piu' +
la quarta parte che studia la natura 1/4 x
piu' +
la settima parte che medita in silenzio 1/7 x
piu' +
tre donne 3
quindi ho l'equazione
minimo comune multiplo 28
28 x = 14 x + 7 x + 4 x + 84
28 x - 14 x - 7 x - 4 x = 84
3x = 84
x = 28
Il numero (x) degli allievi di Pitagora era 28
Problema 2
Determinare due numeri sapendo che la somma di 1/4 del maggiore e della metà del minore è
12 e che dividendoli fra loro si ottiene come quoziente 2 e come resto 8.
( x=28, y=10)
Soluzione
1° Numero = x (maggiore)
2° Numero = y (minore)
la prima relazione da scrivere
la somma di ¼ del maggiore
1/4x+
e della metà del monore
1/2y
è 12
Dividendo = divisore per quoziente piu' resto; cioe'
maggiore = minore · quoziente + resto
x = y ·2 + 8
Raccogliendo le due relazioni ottengo il sistema
Faccio il minimo comune multiplo
Elimino i denominatori
Risolvo per sostituzione:
Risposta: i due numeri cercati sono x=28 ed y=10
=12
All. 3
Problemi
1. In un numero di due cifre la cifra delle decine supera di 2 il doppio della cifra delle unità.
Scambiando le cifre fra loro si ottiene un numero inferiore di 36 al numero dato. Trovare il
numero.
( x=2, y=6; il numero cercato è 62)
2. Dobbiamo ripartire la somma di 2000 euro fra tre persone in modo che la prima abbia 100 euro
.
piu' della seconda e la seconda 200 euro piu' della terza. Trova le tre somme
(la somma spettante alla prima persona è x+100=800
la somma spettante alla seconda persona è x=700
la somma spettante alla seconda persona è x-200=500 )
3. In un salvadanaio ci sono 20 monete alcune da un euro ed alcune da due euro; se ci fossero
quattro monete da un euro in piu' il valore delle monete da un euro sarebbe lo stesso di quello
delle monete da due euro. Quante sono le monete da un euro e da due euro?
(il numero delle monete da 1 euro è x=12
Il numero delle monete da due euro è 20-x=8 )
4. In un numero di tre cifre la cifra delle unita' e' uguale a quella delle centinaia; scambiando tra
loro la cifra delle unita' e quella delle decine si ottiene un numero che supera di 27 quello di
partenza. Trovare il numero sapendo che la somma delle sue cifre e' 12
( x=5, y=2; il numero cercato è 525)