Analisi del moto di un cilindro lungo un piano inclinato

Analisi del moto di rotolamento di un corpo rigido:
il cilindro
F. Annese (2061981) M. Bassani (2086894)
R. Brienza (2088378)
codice gruppo: 20703822088378
22 Maggio 2023
Abstract
In questo esperimento misuriamo il valore dell’accelerazione di gravità g, studiando il moto di rotolamento di
un sistema rigido, formato da un cilindro metallico cavo in cui è inserito uno Smartphone. Usiamo il giroscopio
del telefono con l’app Phyphox per misurare la velocità angolare ω(t) del sistema, facendolo rotolare (senza
strisciare) per angoli di inclinazione θi crescenti ed equidistanti lungo un piano inclinato. Eseguiamo per ogni
θi un fit lineare sui dati di ω in funzione del tempo t e calcoliamo l’accelerazione angolare α del sistema a
partire dalla pendenza della retta di fit. Mediante un ulteriore fit lineare sui dati delle accelerazioni angolari
αi in funzione del seno degli angoli sin(θi ), ricaviamo la pendenza della retta di regressione lineare del fit.
Conoscendo questo parametro e il momento d’inerzia del sistema cilindro-smartphone I = (24.7 ± 1.1) kg · m2 ,
ricaviamo l’accelerazione di gravità g = (9.7 ± 0.2) m/s2 , che risulta compatibile con il valore misurato dal
Bureau Gravitometrique International gb = 9.804 m/s2 in un intervallo di confidenza di ± 1σ.
1
Introduzione
Il moto di un corpo rigido non approssimabile a punto materiale lungo un piano inclinato, risulta differente
rispetto al caso ideale. Ciò accade perché in generale l’energia del sistema rigido si ripartisce in modo non
uniforme tra le sue parti e dunque l’energia potenziale V non è sufficiente a far variare quella cinetica K.
In questo esperimento studiamo quindi il moto di rotolamento di un corpo rigido lungo un piano inclinato
per mezzo di un cilindro metallico cavo e di uno Smartphone, inserito al suo interno.
Figure 1: Schema del piano inclinato usato nell’esperimento. Il sistema di riferimento ha l’origine nel centro di massa
del sistema rigido ed è diretto lungo il piano.
Sul sistema, posto sulla sommità del piano e lasciato libero di muoversi, agiscono la componente parallela al
piano della forza peso F∥ e la forza d’attrito dinamico FA,d , che permette al corpo di rotolare e non strisciare.
1
Mediante la seconda legge della dinamica, ricaviamo che il momento d’inerzia del sistema rigido, approssimando il cilindro come omogeneo e il telefono come un rettangolo, e trascurando eventuali altri contributi,
è
I = Mc r 2 +
ms 2
r ,
3
(1)
con Mc e ms , rispettivamente, la massa del cilindro e del telefono. Ricordando che nel moto di puro rotolamento
la velocità di un corpo è data da v = ωr, otteniamo la relazione che lega l’accelerazione angolare α all’angolo
di inclinazione del piano θ
α=
dω
M gr
=
sin(θ).
dt
M r2 + I
(2)
Calcoliamo l’accelerazione angolare α mediante un fit lineare sui dati delle velocità angolari ωi (t), misurate
con il giroscopio del telefono per angoli θi crescenti ed equidistanti. Eseguendo un ulteriore fit ai dati di α in
funzione del seno dell’angolo di inclinazione sin(θ), calcoliamo il valore dell’accelerazione di gravità g, che dall’
eq. (2) risulta essere
g=
α(M r2 + I)
,
M r sin(θ)
(3)
dove M è la massa totale del sistema e r il raggio del cilindro.
2
Apparato sperimentale
L’apparato sperimentale usato per misurare la velocità angolare ω(t) è composto da:
(1) Piano inclinato in alluminio di
lunghezza ℓ = (2.33 ± 0.01) m e inclinazione regolabile mediante supporti posti
al di sotto del piano. Il piano è graduato mediante un metro con precisione
σp = 1 mm;
(2) Smartphone su cui è installata l’app
Phyphox;
Figure 2: Piano inclinato usato nell’esperimento.
(3) Cilindro di alluminio costruito su
misura per lo Smartphone, in modo
tale da mantenere il centro di massa
del sistema rigido nel baricentro del
corpo;
(4) Bilancia digitale con precisione σb =
1 g;
(5) Calibro ventesimale con precisione
σcal = 0.05 mm;
(6) Spugna fissata alla fine del piano inclinato per impedire al cilindro di cadere a
fine corsa;
Figure 3: Cilindro in alluminio usato nell’esperimento.
Osservazione:
Siccome la cover del telefono è realizzata in gomma, questa può muoversi nel cilindro durante le misurazioni. A
tal fine inseriamo nel cilindro uno strato di plastica per imballaggi. In questo modo, lo spessore della plastica e
le bolle d’aria, impediscono al telefono di compiere oscillazioni indesiderate nel corso dell’esperimento.
2
3
3.1
Misure
Misure dell’apparato sperimentale
Mediante una bilancia digitale misuriamo la massa del cilindro con la plastica per imballaggi Mc = (1.201 ± 0.003) kg
e la massa
√ del telefono ms = (0.227 ± 0.003) kg. L’incertezza sulle misure della massa è calcolata come
σM = 1/ 12 = 0.003 kg. Con il calibro ventesimale misuriamo il diametro del cilindro d = (8.82 ± 0.05) · 10−2 m,
da cui ricaviamo il raggio del r = d/2 = (4.41 ± 0.02) · 10−2 m, dove l’incertezza su questa misura è calcolata
come σr = σd /2 = 0.02 · 10−2 m.
Usiamo lo strumento Inclinazione di Phyphox, che mediante l’accelerometro restituisce la misura dell’inclinazione
dello Smartphone. Impostiamo l’inclinazione iniziale pari θ0 = (3.11 ± 0.05)◦ = (0.052 ± 0.004) rad, dove
l’incertezza sull’angolo è calcolata usando la propagazione degli errori
v
u
u
σθ = t
"
2 #
a
1
σ2 +
σg2 ,
g 2 − a2 a
g
(4)
in cui σa è la deviazione standard sulle misure dell’accelerazione del telefono e σg la deviazione standard sulle
misure dell’accelerazione di gravità.
Misuriamo 4 ulteriori angoli di inclinazione del piano, quindi θ1 = (0.069 ± 0.007) rad, θ2 = (0.087 ± 0.004) rad,
θ3 = (0.104 ± 0.002) rad, θ4 = (0.122 ± 0.005) rad.
3.2
Misure della velocità angolare ω(t) del sistema cilindro-telefono
Portiamo il sistema cilindro-telefono sulla sommità del piano con inclinazione iniziale θ0 = (3.11 ± 0.05)◦ e
controlliamo l’acquisizione dati del giroscopio dello Smartphone in accesso remoto da Phyphox. Impostiamo la
partenza ritardata ∆ ≃ 5.0 s e la durata dell’esperimento ∆t = 5.0 s. Alla fine del countdown lasciamo andare
il sistema, che si metterà in moto per effetto della forza peso, e misuriamo la velocità angolare ω in funzione
del tempo t. Ripetiamo le misure per tutti gli angoli θi ∈ [θ0 , θ4 ]. Di seguito riportiamo l’andamento di ω in
funzione del tempo t per θ0 = (3.11 ± 0.05)◦ e θ4 = (7.13 ± 0.12)◦
Figure 4: Velocità angolare ω in funzione di t per θ0 =
Figure 5: Velocità angolare ω in funzione di t per θ4 =
(3.11 ± 0.05)◦ .
(7.13 ± 0.12)◦ .
3
4
4.1
Analisi dati
Calcolo delle accelerazioni angolari α del sistema rigido
Dai graficio in Fig. 4 e 5 notiamo una rapida decrescita il basso delle velocità angolari ω(t). Ciò è dovuto all’urto
del sistema rigido contro la spugna a fine corsa, infatti in questo istante il corpo viene frena bruscamente. A
tal fine per eseguire un’analisi dati migliore, isoliamo solo gli istanti in cui le velocità angolari ω(t) aumentano
nel tempo e trascuriamo le restanti parti dei grafici.
Dalla Fig. 4 osserviamo, inoltre, che l’andamento della velocità angolare ω rispetto al tempo t non è lineare, mentre nel grafico in Fig. 5 notiamo che tale andamento assume la forma di una retta. Dalla teoria ci
aspettiamo infatti che l’accelerazione angolare α con cui il sistema accelera sia costante, ovvero
dω
= cost.
dt
Possiamo giustificare la non linearità di ω(t) in Fig. 4 osservando che il rapporto
α=
ω=
dθ
dt
(5)
(6)
per angoli piccoli θ < 5◦ cresce molto lentamente. Pertanto, al fine di ottenere un andamento rettilineo (come
quello atteso), risulta necessario eseguire misurazioni di ω(t) per angoli θ sufficientemente grandi, in modo tale
che ω aumenti rapidamente nel tempo, come nel caso in Fig. 5.
Possiamo osservare ancora meglio quanto detto, eseguendo un fit lineare senza errori del tipo y = Bt+A sui dati
di ω(t) in cui il cilindro rotola lungo il piano, e stimiamo l’accelerazione angolare α del sistema rigido a partire
dal valore del coefficiente angolare della retta. Di seguito riportiamo il fit eseguito per θ = 3.11◦ e θ = 7.13◦
Figure 6: Fit della velocità angolare ω in funzione di t per
Figure 7: Fit della velocità angolare ω in funzione di t per
θ0 = 3.11◦ .
θ4 = 7.13◦ .
Dai quali ricaviamo pendenza B e intercetta A delle rette di regressione lineare. Per θ = 3.11◦ abbiamo
B0 = (3.52 ± 0.02) s−2 ,
A0 = (−0.3 ± 0.1) s−2 ,
(7)
dove le incertezze le stimiamo a partire dalla matrice di covarianza del fit, quindi
σ B0 =
p
Cov(0, 0) = 0.02 s−2 ,
σ A0 =
p
Cov(1, 1) = 0.1 s−2 .
(8)
Mentre per θ = 7.13◦ abbiamo
B4 = (11.66 ± 0.02) s−2 ,
A4 = (−5.54 ± 0.05) s−2 ,
4
(9)
dove le incertezze le stimiamo sempre a partire dalla matrice di covarianza del fit, quindi
σB4 =
p
Cov(0, 0) = 0.02 s−2 ,
σA4 =
p
Cov(1, 1) = 0.05 s−2 .
(10)
Ricaviamo a questo punto l’accelerazione angolare α = dω/dt e la sua incertezza dalla pendenza della retta di
regressione lineare. Quindi per θ0 abbiamo
α0 = (B0 ± σB0 ) s−2 = (3.52 ± 0.02) s−2 ,
(11)
α4 = (B4 ± σB4 ) s−2 = (11.66 ± 0.02) s−2 ,
(12)
mentre per θ4 otteniamo
A supporto di quanto detto all’inizio del paragrafo, possiamo calcolare il χ2 dei due fit eseguiti e confrontarli
con il loro valore atteso. Per θ0 otteniamo
χ2θ0
2
N X
(ω0i − Bt − A)
=
= 766,
σi
i=1
(13)
mentre il valore attesto E[χ2 ] è
E[χ2 ] = [(N − ν) ±
√
2ν] = 404 ± 28.
(14)
Il valore assunto dal χ2θ0 risulta non compatibile con il valore atteso, infatti
t=
|χ2θ0 − E[χ2 ]|
√
= 13,
2ν
(15)
per cui il valore calcolato della distribuzione χ2 rientra in un intervallo di confidenza di ± 13σ rispetto al valore
atteso. Quindi come già discusso in precedenza, risulta che il modello scelto per il fit non è adatto a rappresentare i dati sperimentali di Fig. 6 e ciò è dovuto alla piccola ampiezza dell’angolo θ0 .
Infatti il χ2 per θ4 = 7.13◦ è invece
χ2θ0 =
2
N X
(ω4i − Bt − A)
= 227,
σi
i=1
(16)
e il valore attesto E[χ2 ] è
E[χ2 ] = [(N − ν) ±
√
2ν] = 249 ± 23.
(17)
Notiamo come in questo caso i valori del χ2 risultano compatibili, infatti
t=
|χ2θ0 − E[χ2 ]|
√
= 0.96,
2ν
(18)
per cui il valore calcolato della distribuzione χ2 rientra in un intervallo di confidenza di ± 1σ rispetto al valore
atteso. Notiamo come i valori di χ2 per θ4 risultano compatibili e questo è dovuto all’ampiezza della angolo e
al conseguente aumento rapido di ω(t)
Dimostriamo che la teoria è corretta, quindi che l’andamento di ω(t) è lineare, eseguendo i fit lineari degli altri
dati di ω(t) per i restanti angoli e osserviamo come la distribuzione χ2 per θ < 5◦ assume valori che non sono
compatibili rispetto alle attese.
Per θ1 = 0.069 rad ≃ 4◦ e θ2 = 0.087 rad ≃ 5◦ , otteniamo come valori di χ2 , rispettivamente, χ2θ2 = 295
che rientra in un intervallo di ± 2σ rispetto al valore atteso E[χ2 ] = (345 ± 26) e χ2θ2 = 148 che rientra
5
in un intervallo di ± 6σ rispetto al valore atteso E[χ2 ] = (304 ± 25). Per θ3 = 0.104 rad ≃ 6◦ otteniamo
invece χ2θ3 = 278 che rientra in un intervallo di ± 0.3σ rispetto al valore atteso E[χ2 ] = (269 ± 23). Per cui
la teoria è confermata e per ottenere misure compatibili con le attese è necessario porre il piano ad angoli θi > 5◦ .
Dai fit eseguiti, ricaviamo le accelerazioni angolari rispetto ai restanti angoli e otteniamo i seguenti valori
α [s−2 ]
θ1
3.52 ± 0.02
θ2
5.61 ± 0.04
θ3
7.11 ± 0.16
θ4
9.36 ± 0.02
θ5
11.66 ± 0.02
Tabella 1: Accelerazioni angolari α calcolate dai fit.
4.2
Calcolo dell’accelerazione di gravità g
Riportiamo le accelerazioni angolari α in funzione del seno degli angoli sin(θi ) in un grafico Fig. 9
Figure 9: Andamento dell’accelerazione angolare α in
funzione di sin(θ).
Dal grafico in Fig. 9 notiamo che l’andamento di α in funzione di sin(θ) è approssimabile a lineare, pertanto
possiamo eseguire un fit lineare sui dati e ottenere pendenza B e intercetta A della retta di regressione lineare.
La funzione usata per eseguire il fit è della forma
y = B sin(t) + A,
di seguito riportiamo il fit eseguito
6
(19)
Figure 10: Fit lineare delle accelerazioni angolari α in funzione di sin(θ).
Da cui ricaviamo che
A = (−2.56 ± 0.04) s−2 ,
B = (116.0 ± 0.4) s−2 .
(20)
A questo punto, dal valore assunto dal coefficiente angolare B della retta di regressione lineare, possiamo
ricavare, a partire dall’eq. (2) il valore dell’accelerazione di gravità g sapendo che
B=
α
,
sin(θ)
(21)
e che il momento d’inerzia del sistema cilindro-telefono è
I = Mc r 2 +
ms 2
r = (24.7 ± 1.1) · 10−4 kg · m2 ,
3
(22)
la cui incertezza la ricaviamo a partire dalla propagazione degli errori come
s
σI =
2
(r2 σMc ) +
2 2
2
2
r
2Mc r + ms σr +
σm s
= 1.1 · 10−4 kg · m2 ,
3
3
(23)
quindi il valore dell’accelerazione di gravità g è
g=
B(M r2 + I)
= (9.7 ± 0.2) m/s2 ,
Mr
(24)
l’incertezza la ricaviamo a partire dalla propagazione degli errori, quindi
s
σg =
M r2 + I
σB
Mr
2
+
BM r2 + I
σr
M r2
2
+
B
σI
Mr
2
+
BI
σM
M 2r
2
= 0.20 m/s2 .
(25)
Il valore cosı̀ calcolato di g risulta compatibile con il valore misurato dal Bureau Gravitometrique International
gb = 9.804 m/s2 , infatti
t=
|g − gb |
= 0.7,
σg
(26)
quindi il valore trovato dell’accelerazione di gravità g rientra in un intervallo di confidenza di ± 1σ rispetto al
valore gb .
7
5
Conclusioni
In questo esperimento abbiamo fatto rotolare un cilindro cavo in alluminio in cui è inserito uno Smartphone
lungo un piano inclinato con inclinazione iniziale θ0 . Con Phyphox accediamo al giroscopio del telefono con il
quale prendiamo le misure della velocità angolare ω in funzione del tempo t. Ripetiamo le misure per altri 4
angoli equidistanti e analizziamo l’andamento di ω in funzione del tempo t. Mediante un fit lineare sui dati di
ω(t) ricaviamo le accelerazioni angolari α a partire dalla pendenza B della retta di regressione lineare, da cui
α = B. Riportiamo in seguito le accelerazioni α rispetto al seno degli angoli sin(θi ) su un grafico e mediante un
ulteriore fit lineare ricaviamo la pendenza B della retta di regressione lineare. Da quest’ultimo valore e sapendo
il momento d’inerzia del sistema rigido cilindro-telefono, otteniamo il valore dell’accelerazione di gravità come
g = B(M r2 + I)/M r = (9.7 ± 0.2) m/s2 dove M è la massa totale del sistema e r il raggio del cilindro-telefono.
Confrontiamo questo valore con quello del Bureau Gravitometrique International gb = 9.804 m/s2 e troviamo
che le misure sono compatibili in un intervallo di ± 1σ.
8