TEORIE STRUTTURALI
Il principio dei lavori virtuali (PLV) e’ indicato nelle applicazioni che coinvolgono le travi. Le relazioni
numeriche sono molto semplici per travi ad asse rettilineo.
Pur essendo a tutti gli effetti un continuo, la trave e’ una struttura, in cui la dimensione dell’asse e’
predominante sulle dimensioni della sezione trasversale. A causa di questa sua caratteristica e’ possibile
introdurre una trattazione semplificata del suo comportamento meccanico.
Le teorie semplificate che sfruttano le caratteristiche geometriche di una struttura vengono chiamate
teorie strutturali. Le teorie strutturali possono essere sviluppate per travi, lastre, piastre e gusci. Oltre al
vantaggio operativo, le teorie strutturali sono convenienti concettualmente perche’ sono di facile
comprensione. La loro caratteristica e’ quella di sostituire le grandezze sforzo e deformazione del
continuo con grandezze statiche e cinematiche generalizzate o globali (mediate su una porzione di
volume o di superficie) che includono le dimensioni ridotte della struttura. Per le grandezze
generalizzate e’ possibile definire le equazioni di statica, di cinematica e di legame costitutivo, in
parallelo a con quanto fatto per il continuo. La corretta definzione delle variabili generalizzate si basa sul
PLV, scritto in modo adeguato per la struttura in esame.
In base al modello strutturale scelto, si introducono le forze esterne generalizzate π‘ƒπ‘ƒπ‘˜π‘˜ , gli spostamenti
generalizzati π‘ˆπ‘ˆπ‘˜π‘˜ , gli sforzi interni generalizzati π‘„π‘„π‘˜π‘˜ e le deformazioni generalizzate π‘žπ‘žπ‘˜π‘˜ .
Indicando con Δ𝑉𝑉 e Δ𝑆𝑆 le porzioni di volume e di superficie dove sono mediate le grandezze
generalizzate, le espressioni del lavoro interno ed esterno si possono scrivere in termini di prodotti
scalari tra vettori delle grandezze generalizzate:
1
2
ℒ𝑒𝑒 = οΏ½ 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 + οΏ½ 𝑑𝑑𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ π‘ƒπ‘ƒπ‘˜π‘˜ π‘ˆπ‘ˆπ‘˜π‘˜ ,
π›₯π›₯π›₯π›₯
π›₯π›₯𝑆𝑆𝑑𝑑
π‘˜π‘˜
ℒ𝑖𝑖 = οΏ½ πœŽπœŽπ‘–π‘–π‘–π‘– πœ€πœ€π‘–π‘–π‘–π‘– 𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ π‘„π‘„π‘˜π‘˜ π‘žπ‘žπ‘˜π‘˜ ,
π›₯π›₯π›₯π›₯
π‘˜π‘˜
dove 𝑏𝑏𝑗𝑗 e 𝑑𝑑𝑗𝑗 sono le forze di volume e le trazioni superficiali definite nella teoria del continuo. Il
procedimento piu’ spontaneo per costruire un modello strutturale per le travi parte da ipotesi di natura
geometrica. Per tipologie strutturali diverse dalle travi, l’uso di un procedimento basato su ipotesi
geometriche puo’ essere meno intuitivo e puo’ introdurre difficolta’ nella scrittura delle equazioni di
equilibrio. In questi casi si usa direttamente il PLV come condizione sufficiente per l’equilibrio.
1
TEORIE STRUTTURALI PER TRAVE AD ASSE RETTILINEO
La trave e’ un solido che puo’ pensarsi generato da una sezione trasversale che trasla mantenendosi
ortogonale alla traiettoria (asse geometrico) seguita dal suo baricentro. La lunghezza della linea d’asse e
la sua curvatura devono essere grandi rispetto al diametro (massima dimensione trasversale) della
sezione. Si lavora sempre nell’ambito di piccoli spostamenti e piccole deformazioni.
La trave e’ detta piana se la sua linea d’asse e’ contenuta in un piano (ad esempio π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧, Figura 1) e i
carichi applicati sono tali da definire un problema piano negli sforzi. Come caso particolare si
considerano le travi ad asse rettilineo, e si assume l’asse π‘₯π‘₯ coincidente con l’asse della trave. In un
problema piano nessuna variabile e’ funzione della coordinata 𝑦𝑦.
Figura 1: Geometria della trave, con indicazione della lunghezza e dell'area della sezione retta.
Le grandezze cinematiche coinvolte nel problema piano, per comodita’ raccolte in vettori, sono le due
componenti di spostamento nel piano e le tre componenti piane del tensore delle piccole deformazioni:
𝑠𝑠 (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧)
𝒔𝒔(π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) = οΏ½ π‘₯π‘₯
οΏ½,
𝑠𝑠𝑧𝑧 (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧)
πœ€πœ€π‘₯π‘₯ (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧)
𝜺𝜺(π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) = οΏ½ πœ€πœ€π‘§π‘§ (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) οΏ½ .
𝛾𝛾π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧)
Ovviamente devono valere le equazioni di congruenza che legano spostamenti e deformazioni. Le
grandezze statiche significative sono le tre componenti del tensore di sforzo, anch’esse raccolte in un
vettore:
𝜎𝜎π‘₯π‘₯ (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧)
𝝈𝝈(π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) = οΏ½ πœŽπœŽπ‘§π‘§ (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) οΏ½,
𝜏𝜏π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧)
e di equilibrio con le forze esterne applicate.
Nel seguito si introducono alcune teorie strutturali della trave basate su assunzioni di tipo cinematico.
2
MODELLO CINEMATICO
In un problema piano, la deformata della linea d’asse di una trave rimane nel piano π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧. Alla base del
modello cinematico qui presentato c’e’ l’ipotesi che le sezioni si mantengano piane nel processo
deformativo (ipotesi di Bernoulli). La traccia della sezione nel piano, segmento rettilineo ortogonale alla
linea d’asse nella geometria indeformata, si mantiene rettilinea anche a deformazione avvenuta, anche
se ruotata rispetto alla geometria indeformata. La posizione della sezione nella configurazione
cdeformata e’ individuata da due componenti di spostamento 𝑒𝑒(π‘₯π‘₯) e 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) e da una rotazione πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯)
misurata rispetto alla direzione verticale originaria (Figura 2).
Figura 2: Spostamenti generalizzati della trave conseguenti all'ipotesi di planarita' delle sezioni a deformazione avvenuta.
Indicazione delle componenti si spostamento di un generico punto di coordinate (x,z).
Lo spostamento di un generico punto di coordinate (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) non appartenente all’asse e’ definito da:
𝑠𝑠π‘₯π‘₯ (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) = 𝑒𝑒(π‘₯π‘₯) + 𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯) ≅ 𝑒𝑒(π‘₯π‘₯) + 𝑧𝑧 πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯),
𝑠𝑠𝑧𝑧 (π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) = 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) − 𝑧𝑧 +𝑧𝑧 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯) ≅ 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯).
dove si usano approssimazioni consentite dalla piccolezza degli spostamenti (sin πœ‘πœ‘ ≅ πœ‘πœ‘ e cos πœ‘πœ‘ ≅ 1). In
forma matriciale si puo’ scrivere:
𝒔𝒔(π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) = 𝑡𝑡(𝑧𝑧)𝑼𝑼(π‘₯π‘₯),
1 0 𝑧𝑧
οΏ½,
𝑡𝑡(𝑧𝑧) = οΏ½
0 1 0
𝑒𝑒(π‘₯π‘₯)
𝑼𝑼(π‘₯π‘₯) = �𝑀𝑀(π‘₯π‘₯)οΏ½ .
πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯)
Queste equazioni definiscono il modello di spostamento per la sezione di trave, governato dal vettore
𝑼𝑼(π‘₯π‘₯) (vettore degli spostamenti generalizzati), che dipende solo dalla coordinata π‘₯π‘₯,attraverso la matrice
𝑡𝑡(𝑧𝑧) (corrisponde alla matrice delle funzioni di forma nei metodi di approssimazione), che dipende solo
dalla coordinata 𝑧𝑧.
Dalle equazioni di congruenza esterna si ricavano le deformazioni
πœ€πœ€π‘₯π‘₯ =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑠𝑠π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑
=
+ 𝑧𝑧
= πœ‚πœ‚(π‘₯π‘₯) + 𝑧𝑧𝑧𝑧(π‘₯π‘₯),
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
πœ€πœ€π‘§π‘§ = 0,
3
𝛾𝛾𝑧𝑧𝑧𝑧 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑠𝑠π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑧𝑧
+
= πœ‘πœ‘ +
= 𝑑𝑑(π‘₯π‘₯).
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
che possono essere espresse in funzione delle deformazioni generalizzate: deformazione assiale πœ‚πœ‚(π‘₯π‘₯),
curvatura flessionale πœ’πœ’(π‘₯π‘₯) e deformazione a taglio 𝑑𝑑(π‘₯π‘₯).
Il significato delle deformazioni generalizzate e’ illustrato con l’aiuto di Figura 3.
Figura 3: Significato geometrico delle deformazioni generalizzate, conseguenti all'ipotesi di planarita' delle sezioni.
Deformazione assiale, deformazione flessionale e deformazione tagliante.
La deformazione assiale πœ‚πœ‚(π‘₯π‘₯) misura l’allungamento percentuale della linea d’asse della trave nella
direzione della linea d’asse stessa. La curvatura flessionale πœ’πœ’(π‘₯π‘₯) misura l’inverso del raggio di curvatura
indotto da una rotazione relativa 𝑑𝑑𝑑𝑑 tra le due facce di una porzione di trave di lunghezza 𝑑𝑑𝑑𝑑:
1
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝜌𝜌 =
.
πœ’πœ’
𝑑𝑑𝑑𝑑
L’abbassamento relativo 𝑑𝑑𝑑𝑑 tra le due facce del concio include due contributi: (i) l’innalzamento della
faccia di destra rispetto a quella di sinistra dovuta a una rotazione antioraria dell’asse della trave, πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯),
e (ii) la deformazione al taglio 𝑑𝑑(π‘₯π‘₯) che misura lo spostamento relativo in direzione trasversale tra due
facce poste a distanza unitaria:
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(π‘₯π‘₯)𝑑𝑑𝑑𝑑 − πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯)𝑑𝑑𝑑𝑑.
Da qui si ricava la deformazione a taglio:
𝑑𝑑(π‘₯π‘₯) = πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯) +
𝑑𝑑𝑑𝑑
.
𝑑𝑑𝑑𝑑
Escludendo la deformazione πœ€πœ€π‘§π‘§ che e’ nulla, si puo’ introdurre una forma matriciale anche per le
deformazioni, raccogliendo le deformazioni generalizzate nel vettore 𝒒𝒒(π‘₯π‘₯) ed introducendo la matrice
𝑩𝑩(𝑧𝑧) (matrice spostamenti-deformazioni o matrice di congruenza):
𝜺𝜺(π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧) = 𝑩𝑩(𝑧𝑧)𝒒𝒒(π‘₯π‘₯),
1 𝑧𝑧 0
οΏ½,
𝑩𝑩(𝑧𝑧) = οΏ½
0 0 1
πœ‚πœ‚(π‘₯π‘₯)
𝒒𝒒(π‘₯π‘₯) = οΏ½πœ’πœ’(π‘₯π‘₯)οΏ½.
𝑑𝑑(π‘₯π‘₯)
4
La cinematica e’ completata dalle condizioni di congruenza al contorno, che si traducono nelle
imposizoni dei vincoli (spostamenti e rotazioni) alle estremita’ π‘₯π‘₯ = 0 e π‘₯π‘₯ = 𝐿𝐿, rispettivamente:
𝑒𝑒 = 𝑒𝑒0 ,
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀0 ,
πœ‘πœ‘ = πœ‘πœ‘0 ,
𝑒𝑒 = 𝑒𝑒𝐿𝐿 , 𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝐿𝐿 , πœ‘πœ‘ = πœ‘πœ‘πΏπΏ
VARIABILI STATICHE GENERALIZZATE
Figura 4: Definizione delle forze generalizzate (per unita' di lunghezza) a partire dalle forze di volume dei continui.
Le variabili statiche generalizzate sono definite da una condizione di equivalenza in termini di lavori
virtuali, riferendosi a un concio di trave di lunghezza 𝑑𝑑𝑑𝑑. Il volume del concio e’ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑, dove 𝐴𝐴 e’
l’area della sezione, Figura 4. Su di esso agiscono le forze di volume:
𝒃𝒃 = οΏ½
𝑏𝑏π‘₯π‘₯
οΏ½.
𝑏𝑏𝑧𝑧
Il lavoro esterno (si veda Eq. 1) per il concio e’ dato da:
𝑑𝑑ℒ𝑒𝑒 = οΏ½ 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ (𝑏𝑏π‘₯π‘₯ 𝑠𝑠π‘₯π‘₯ + 𝑏𝑏𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑧𝑧 )𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑,
𝐴𝐴
𝐴𝐴
che, per unita’ di lunghezza di trave (lavoro esterno specifico), si scrive:
𝑑𝑑ℒ𝑒𝑒
= οΏ½ (𝑏𝑏π‘₯π‘₯ 𝑠𝑠π‘₯π‘₯ + 𝑏𝑏𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑧𝑧 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ [𝑏𝑏π‘₯π‘₯ 𝑒𝑒(π‘₯π‘₯) + 𝑧𝑧𝑏𝑏π‘₯π‘₯ πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯) + 𝑏𝑏𝑧𝑧 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯)]𝑑𝑑𝑑𝑑,
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝑑𝑑ℒ𝑒𝑒
= οΏ½οΏ½ 𝑏𝑏π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑒𝑒(π‘₯π‘₯) + οΏ½οΏ½ 𝑏𝑏𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) + οΏ½οΏ½ 𝑧𝑧𝑧𝑧π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑� πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯).
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
Per esprimere in forma matriciale il lavoro esterno specifico si riutilizza la matrice delle funzioni di forma
𝑡𝑡(𝑧𝑧), in modo da ottenere un’espressione compatta:
𝑑𝑑ℒ𝑒𝑒
= οΏ½οΏ½ 𝑡𝑡𝑇𝑇 (𝑧𝑧)𝑭𝑭(π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑� βˆ™ 𝑼𝑼(π‘₯π‘₯) = 𝑷𝑷(π‘₯π‘₯) βˆ™ 𝑼𝑼(π‘₯π‘₯).
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
5
Il vettore 𝑷𝑷(π‘₯π‘₯) rappresenta le forze esterne generalizzate, ossia integrate sulla sezione della trave. Esso
corrisponde ai carichi per unita’ di lunghezza (carico assiale, carico trasversale e momento distribuito)
che appaiono nelle equazioni di equilibrio indefinite per le travi ad asse rettilineo:
⎧ οΏ½ 𝑏𝑏π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⎫
βŽͺ 𝐴𝐴
βŽͺ
βŽͺ
βŽͺ
𝑛𝑛(π‘₯π‘₯)
𝑷𝑷(π‘₯π‘₯) = οΏ½ 𝑝𝑝(π‘₯π‘₯) οΏ½ = οΏ½ 𝑏𝑏𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
⎨ 𝐴𝐴
⎬
π‘šπ‘š(π‘₯π‘₯)
βŽͺ
βŽͺ
βŽͺοΏ½ 𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑βŽͺ
π‘₯π‘₯
⎩ 𝐴𝐴
⎭
Gli sforzi interni generalizzati vengono definiti in modo analogo, partendo dal’ Eq. 2 scritta per il concio
di trave, Figura 5:
Figura 5: Definzione degli sforzi generalizzati a partire dagli sforzi dei continui.
Dato che le deformazioni πœ€πœ€π‘§π‘§ non sono previste dal modello di trave, nel lavoro interno saranno presenti
solo due termini:
𝑑𝑑ℒ𝑖𝑖 = οΏ½ πœŽπœŽπ‘–π‘–π‘–π‘– πœ€πœ€π‘–π‘–π‘–π‘– 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ (𝜎𝜎π‘₯π‘₯ πœ€πœ€π‘₯π‘₯ + 𝜏𝜏π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ 𝛾𝛾π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ )𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑.
𝐴𝐴
𝐴𝐴
Il lavoro interno specifico (per unita’ di lunghezza di trave) si scrive:
𝑑𝑑ℒ𝑖𝑖
= οΏ½ πœŽπœŽπ‘–π‘–π‘–π‘– πœ€πœ€π‘–π‘–π‘–π‘– 𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ (𝜎𝜎π‘₯π‘₯ πœ€πœ€π‘₯π‘₯ + 𝜏𝜏π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ 𝛾𝛾π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ )𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ [𝜎𝜎π‘₯π‘₯ πœ‚πœ‚(π‘₯π‘₯) + π‘§π‘§πœŽπœŽπ‘₯π‘₯ πœ’πœ’(π‘₯π‘₯) + 𝜏𝜏π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑(π‘₯π‘₯)]𝑑𝑑𝑑𝑑 ,
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝑑𝑑ℒ𝑖𝑖
= οΏ½οΏ½ 𝜎𝜎π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑 οΏ½ πœ‚πœ‚(π‘₯π‘₯) + οΏ½οΏ½ π‘§π‘§πœŽπœŽπ‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑� πœ’πœ’(π‘₯π‘₯) + οΏ½οΏ½ 𝜏𝜏π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑 οΏ½ 𝑑𝑑(π‘₯π‘₯).
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
Per esprimere in forma matriciale il lavoro interno specifico si riutilizza la matrice spostamentideformazioni 𝑩𝑩(𝑧𝑧) e il vettore degli sforzi 𝝈𝝈(π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧), Eq. 3, in cui si tralascia la componente πœŽπœŽπ‘§π‘§ perche’ la
sua presenza non e’ prevista nel modello cinematico adottato:
6
𝑑𝑑ℒ𝑖𝑖
= οΏ½οΏ½ 𝒃𝒃𝑇𝑇 (𝑧𝑧)𝝈𝝈(π‘₯π‘₯, 𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑑𝑑� ⋅ 𝒒𝒒(π‘₯π‘₯) = 𝑸𝑸(π‘₯π‘₯) ⋅ 𝒒𝒒(π‘₯π‘₯).
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
Il vettore 𝑸𝑸(π‘₯π‘₯) rappresenta le forze interne generalizzate, ossia integrate sulla sezione. Esso corrisponde
alle azioni interne (azione assiale, azione tagliante e momento flettente) introdotte nella statica delle
travi rigide:
3
⎧ οΏ½ 𝜎𝜎π‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⎫
βŽͺ 𝐴𝐴
βŽͺ
βŽͺ
βŽͺ
𝑁𝑁(π‘₯π‘₯)
𝑸𝑸(π‘₯π‘₯) = �𝑀𝑀(π‘₯π‘₯)οΏ½ = οΏ½ π‘§π‘§πœŽπœŽπ‘₯π‘₯ 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
⎨ 𝐴𝐴
⎬
𝑇𝑇(π‘₯π‘₯)
βŽͺ
βŽͺ
βŽͺ οΏ½ 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 βŽͺ
π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯
⎩ 𝐴𝐴
⎭
Si afferma che le azioni esterne ed interne generalizzate sono coniugate (nel senso di lavoro virtuale)
alle variabili cinematiche generalizzate che definiscono il modello di trave.
L’EQUILIBRIO ESPRESSO ATTRAVERSO IL PLV
Le equazioni di equilibrio per il modello di trave si ricavano utilizzando il PLV come condizione sufficiente
di equilibrio:
ℒ𝑖𝑖 = ℒ𝑒𝑒 .
Il lavoro virtuale viene scritto utilizzando una cinematica virtuale (cinematica congruente internamente
e rispettosa dei vincoli sulle estremita’ della trave, Figura 6, anche se non necessariamente quella reale)
definita sull’intera trave:
Figura 6: Cinematica virtuale (conguente e rispettosa dei vincoli, ma non necessariamente reale) per una trave.
7
e una statica equilibrata definita sull’intera trave (non necessariamente quella reale), le cui forze esterne
sono riportate in Figura 7:
Figura 7: Statica costituita da forze esterne generalizzate (per unita' di lunghezza di trave) e forze di estremita'. Gli sforzi
interni generalizzati in equlibrio con le forze esterne rispettano il PLV.
Le due espressioni sono:
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
ℒ𝑖𝑖 = οΏ½ 𝑑𝑑ℒ𝑖𝑖 = οΏ½ 𝑸𝑸(π‘₯π‘₯) ⋅ 𝒒𝒒(π‘₯π‘₯) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ (𝑁𝑁(π‘₯π‘₯)πœ‚πœ‚(π‘₯π‘₯) + 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯)πœ’πœ’(π‘₯π‘₯) + 𝑇𝑇(π‘₯π‘₯)𝑑𝑑(π‘₯π‘₯)) 𝑑𝑑𝑑𝑑,
0
𝐿𝐿
0
0
𝐿𝐿
ℒ𝑒𝑒 = οΏ½ 𝑑𝑑ℒ𝑒𝑒 = οΏ½ 𝑷𝑷(π‘₯π‘₯) ⋅ 𝑼𝑼(π‘₯π‘₯) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑷𝑷𝒄𝒄 (π‘₯π‘₯) ⋅ 𝑼𝑼𝒄𝒄 (π‘₯π‘₯) = οΏ½ �𝑛𝑛(π‘₯π‘₯)𝑒𝑒(π‘₯π‘₯) + π‘žπ‘ž(π‘₯π‘₯)𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) + π‘šπ‘š(π‘₯π‘₯)πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯)οΏ½ 𝑑𝑑𝑑𝑑 +
0
0
0
𝐻𝐻0 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉0 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š0 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘ŠπΏπΏ πœ‘πœ‘πΏπΏ
Gli ultimi addendi del lavoro esterno considerano il lavoro compiuto dai carichi esterni conccentrati
applicati all’estremita’ della trave. In ogni estremo sono presenti vincoli o carichi (possibilmente nulli). I
vincoli possono impedire spostamenti o rotazioni. Se i vincoli sono fissi, il corrispondente lavoro e’ nullo.
Se il vincolo ha uno spostamento assegnato, il lavoro e’ dato da tale spostamento per la reazione
vincolare corrispondente. Se su un estremo sono presenti carichi, essi compiono lavoro per lo
spostamento libero del loro punto di applicazione.
Per dimostrare che il PLV e’ equivalente a una condizione di equilibrio, occorre manipolare l’espressione
del lavoro interno introducendo il legame tra deformazioni generalizzate e spostamenti generalizzati ed
integrando per parti:
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ 𝑀𝑀
+ 𝑇𝑇
+ 𝑇𝑇𝑇𝑇� 𝑑𝑑𝑑𝑑,
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
0
0
0
𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
ℒ𝑖𝑖 = [𝑁𝑁𝑁𝑁]𝐿𝐿0 + [𝑀𝑀𝑀𝑀]𝐿𝐿0 + [𝑇𝑇𝑇𝑇]𝐿𝐿0 − οΏ½ οΏ½
𝑒𝑒 +
πœ‘πœ‘ +
𝑀𝑀 − 𝑇𝑇𝑇𝑇� 𝑑𝑑𝑑𝑑.
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
0
ℒ𝑖𝑖 = οΏ½ 𝑑𝑑ℒ𝑖𝑖 = οΏ½ [𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝑇𝑇𝑇𝑇]𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ �𝑁𝑁
Imponendo l’uguaglianza tra lavoro esterno e lavoro interno si ottiene:
8
𝐿𝐿
οΏ½ (𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑀𝑀 + π‘šπ‘šπ‘šπ‘š) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐻𝐻0 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉0 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š0 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘ŠπΏπΏ πœ‘πœ‘πΏπΏ
0
𝐿𝐿
οΏ½ οΏ½
0
= 𝑁𝑁𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 − 𝑁𝑁0 𝑒𝑒0 + 𝑀𝑀𝐿𝐿 πœ‘πœ‘πΏπΏ − π‘€π‘€πœ‘πœ‘0 +𝑇𝑇𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 − 𝑇𝑇0 𝑀𝑀0
𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
−οΏ½ οΏ½
𝑒𝑒 +
πœ‘πœ‘ +
𝑀𝑀 − 𝑇𝑇𝑇𝑇� 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
0
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ 𝑛𝑛� 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 + οΏ½ οΏ½ + π‘žπ‘žοΏ½ 𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑑𝑑 + οΏ½ οΏ½
+ π‘šπ‘š − 𝑇𝑇� πœ‘πœ‘ 𝑑𝑑𝑑𝑑 + (𝐻𝐻0 + 𝑁𝑁0 )𝑒𝑒0 + (𝑉𝑉0 + 𝑇𝑇0 )𝑀𝑀0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
0 𝑑𝑑𝑑𝑑
0
+ (π‘Šπ‘Š0 + 𝑀𝑀0 )πœ‘πœ‘0 + (𝐻𝐻𝐿𝐿 − 𝑁𝑁𝐿𝐿 )𝑒𝑒𝐿𝐿 + (𝑉𝑉𝐿𝐿 − 𝑇𝑇𝐿𝐿 )𝑀𝑀𝐿𝐿 + (π‘Šπ‘ŠπΏπΏ − 𝑀𝑀𝐿𝐿 )πœ‘πœ‘πΏπΏ = 0.
La precedente relazione deve valere per ogni cinematica virtuale e per qualsiasi valore del campo di
spostamenti virtuale. Quindi si richiede che siano soddisfatte le tre equazioni differenziali:
4
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ 𝑛𝑛(π‘₯π‘₯) = 0,
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ π‘žπ‘ž(π‘₯π‘₯) = 0,
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ π‘šπ‘š(π‘₯π‘₯) − 𝑇𝑇 = 0.
𝑑𝑑𝑑𝑑
gia’ incontrate nella statica delle travi rigide, e le sei condizioni al contorno:
𝑁𝑁0 = −𝐻𝐻0 se 𝑒𝑒0 ≠ 0,
𝑁𝑁L = 𝐻𝐻𝐿𝐿 se 𝑒𝑒𝐿𝐿 ≠ 0,
𝑇𝑇0 = −𝑉𝑉0 se 𝑀𝑀0 ≠ 0,
𝑇𝑇L = 𝑉𝑉L se 𝑀𝑀𝐿𝐿 ≠ 0,
𝑀𝑀0 = −π‘Šπ‘Š0 se πœ‘πœ‘0 ≠ 0,
𝑀𝑀L = π‘Šπ‘ŠL se πœ‘πœ‘πΏπΏ ≠ 0.
Le equazioni 4 sono le equazioni indefinite di equilibrio ricavate per travi ad asse rettilineo. Il PLV
permette di ricavare le equazioni di equilibrio anche per problemi in cui queste equazioni non possono
essere ricavate in modo intuitivo come fatto per le travi.
Dato che il PLV coinvolge una statica equilibrata ed una cinematica congruente, ha validita’
indipendentemente dall’esistenza di un rapporto causa-effetto tra la statica e la cinematica, ovvero
indipendentemente dalla natura del materiale di cui e’ costituito il corpo (la trave) in esame. Tuttavia
nelle applicazioni reali non e’ possibile prescindere dall’effettivo comportamento del materiale, su cui
occorre fare un’ipotesi.
IL LEGAME SFORZI-DEFORMAZIONI ELASTICO LINEARE
Limitando l’attenzione a materiali elastici lineari, il legame costitutivo sforzi-deformazioni (legge di
Hooke) si scrive:
5
πœŽπœŽπ‘–π‘–π‘–π‘– = πΆπΆπ‘–π‘–π‘–π‘–β„Žπ‘˜π‘˜ πœ€πœ€β„Žπ‘˜π‘˜ ,
𝝈𝝈 = 𝒄𝒄𝒄𝒄
Nel caso delle travi, il legame si puo’ tradurre in termini di sforzi e deformazioni generalizzate. Il modo di
procedere piu’ spontaneo consiste nell’introdurre la legge di Hooke (5) nella espressione degli sforzi (3):
9
𝑸𝑸 = οΏ½ 𝒃𝒃𝑇𝑇 πˆπˆπ‘‘π‘‘π‘‘π‘‘ = οΏ½ 𝒃𝒃𝑇𝑇 𝒄𝒄𝒄𝒄𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ 𝒃𝒃𝑇𝑇 𝒄𝒄𝒄𝒄𝑑𝑑𝑑𝑑 𝒒𝒒 = 𝑫𝑫𝑫𝑫
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
dove si e’ introdotta la matrice di rigidita’ elastica 𝑫𝑫 della trave:
6
𝑫𝑫 = οΏ½ 𝒃𝒃𝑇𝑇 𝒄𝒄𝒄𝒄𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴
Seguendo questa strada per uno stato di sforzo piano, condizione tipica delle travi, occorrerebbe a
rigore considerare la matrice 𝒄𝒄 del legame costitutivo piano dove si trascurano le componenti nulle del
tensore di sforzo:
𝐸𝐸
𝜎𝜎π‘₯π‘₯
�𝜏𝜏 οΏ½ = οΏ½1 − 𝜈𝜈 2
π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯
0
0 οΏ½ οΏ½ πœ€πœ€π‘₯π‘₯ οΏ½
𝛾𝛾π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯
𝐺𝐺
Usando la (6) e la matrice di congruenza 𝒅𝒅 si arriva alla seguente espressione:
7
𝐸𝐸𝐸𝐸
⎑
2
⎒1 − 𝜈𝜈
𝑫𝑫 = ⎒
⎒ 0
⎣ 0
0
𝐸𝐸𝐸𝐸
1 − 𝜈𝜈 2
0
0⎀
βŽ₯
0 βŽ₯βŽ₯
𝐺𝐺𝐺𝐺⎦
dove 𝐼𝐼 e’ il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse 𝑦𝑦. L’uso diretto della espressione (7) e’
pero’ inappropriato perche’ le rigidezze della sezione vengono sopravvalutate. Si utilizza pertanto una
espressione modificata della 𝑫𝑫 che si ricava direttamente dalla soluzione dei casi di De Saint Venant:
8
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑫𝑫 = οΏ½ 0
0
0
𝐸𝐸𝐸𝐸
0
0
0 οΏ½
𝐺𝐺𝐴𝐴∗
dove 𝐴𝐴∗ e’ l’area di taglio, una misura ridotta dell’area della sezione che tiene conto dell’ingobbamento
indotto dagli sforzi tangenziali. L’espressione classica del legame costitutivo per le travi elastiche
espresso in termini di grandezze generalizzate e’ il seguente:
9
𝑁𝑁 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,
𝑀𝑀 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,
𝑇𝑇 = 𝐺𝐺𝐴𝐴∗ 𝑑𝑑
Per ragioni di completezza, e’ conveniente scrivere anche l’energia di deformazione specifica della trave,
utilizzando le espressioni matriciali degli sforzi e delle deformazioni in funzione delle deformazioni
generalizzate:
10
Ω = οΏ½ πœ”πœ”πœ”πœ”πœ”πœ” =
𝐴𝐴
1
1
1
οΏ½ πœΊπœΊπœΊπœΊπœΊπœΊπ‘‘π‘‘π‘‘π‘‘ = 𝒒𝒒𝑇𝑇 οΏ½ 𝒃𝒃𝑇𝑇 𝒄𝒄𝒄𝒄𝑑𝑑𝑑𝑑 𝒒𝒒 = 𝒒𝒒𝑇𝑇 𝑫𝑫𝑫𝑫.
2 𝐴𝐴
2
2
𝐴𝐴
Sviluppando il prodotto si ottiene l’espressione scalare dell’energia specifica della trave:
Ω=
1
1
1
πΈπΈπΈπΈπœ‚πœ‚2 + πΈπΈπΈπΈπœ’πœ’ 2 + 𝐺𝐺𝐴𝐴∗ 𝑑𝑑 2
2
2
2
LE DEFORMAZIONI ANELASTICHE (DISTORSIONI TERMICHE)
Le deformazioni elastiche (reversibili) sono legate agli sforzi dal legame costitutivo. La cinematica di una
trave puo’ includere anche deformazioni anelastiche che non entrano nel legame costitutivo, ma che
vanno sommate alle deformazioni elastiche per rispettare la congruenza. Le piu’ comuni deformazioni
anelastiche sono le deformazioni termiche, che, nell’ipotesi di piccoli spostamenti e di trave snella,
possono essere distinte in assiali e flessionali. Infatti nelle travi snelle si possono trascurare gli effetti di
dilatazione termica nel piano della sezione.
Figura 8: Deformazioni termiche assiali e flessionali, indotte da una distribuzione di temperature costanti e variabili
linearmente con valore nullo nel baricentro della sezione.
Come visualizzato in Figura 8, se le deformazioni termiche sono originate da un campo di temperature
uniforme sulla sezione, esse inducono una deformazione puramente assiale. Se la distribuzione di
temperatura varia linearmente nella sezione ed e’ nulla nel baricentro, essa induce una deformazione
puramente flessionale. Detto 𝛼𝛼 il coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale, la
deformazione termica assiale e’ esprimibile come:
𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑇𝑇 = 𝛼𝛼Δ𝑇𝑇𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑑𝑑 = πœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑,
πœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 =
𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑇𝑇
= 𝛼𝛼Δ𝑇𝑇𝐺𝐺 .
𝑑𝑑𝑑𝑑
�𝛼𝛼Δ𝑇𝑇sup 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛼𝛼Δ𝑇𝑇inf 𝑑𝑑𝑑𝑑�
= πœ’πœ’π‘‡π‘‡ 𝑑𝑑𝑑𝑑,
β„Ž
πœ’πœ’π‘‡π‘‡ =
1
π‘‘π‘‘πœ‘πœ‘ 𝑇𝑇 𝛼𝛼�Δ𝑇𝑇inf − Δ𝑇𝑇sup οΏ½
.
=
=
β„Ž
πœŒπœŒπ‘‡π‘‡
𝑑𝑑𝑑𝑑
Detta h l’altezza della sezione su cui si sviluppa il gradiente termico, la deformazione termica flessionale
(curvatura flessionale) si valuta come:
π‘‘π‘‘πœ‘πœ‘ 𝑇𝑇 = −
11
Se la distribuzione di temperatura e’ variabile linearmente ma non e’ nulla nel baricentro saranno
presenti entrambi gli effetti. Le deformazioni anelastiche si sommano alle deformazioni elastiche nella
definizione delle deformazioni totali nell’ipotesi di piccoli spostamenti e piccole deformazioni:
10
πœ‚πœ‚ = πœ‚πœ‚π‘’π‘’ + πœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 , πœ’πœ’ = πœ’πœ’π‘’π‘’ + πœ’πœ’π‘‡π‘‡ ,
che devono soddisfare la congruenza. Si ricorda che solo la parte elastica della deformazione entra nel
legame sforzo-deformazione ed e’ legata alla presenza di sforzi generalizzati.
In presenza di distorsioni termiche, le equazioni della linea elastica assumono la forma:
𝑁𝑁 = 𝐸𝐸𝐸𝐸(πœ‚πœ‚ − πœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 ), 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(π‘₯π‘₯) = 𝑁𝑁(π‘₯π‘₯) + πΈπΈπΈπΈπœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 ,
𝑀𝑀 = 𝐸𝐸𝐸𝐸(πœ’πœ’ − πœ’πœ’π‘‡π‘‡ ), 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(π‘₯π‘₯) = 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) + πΈπΈπΈπΈπœ’πœ’π‘‡π‘‡ .
dove la componente di deformazione termica e’ generalmente nota.
12
LINEA ELASTICA - MODELLO DI TRAVE DI TIMOSHENKO
Un metodo di soluzione che si basa sulla teoria strutturale precedentemente descritta e’ noto come
metodo della linea elastica o della deformata elastica. Esso si basa sulle equazioni di equilibrio (4) e del
legame elastico (9), che vengono scritte nella seguente forma:
𝑁𝑁 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸′,
𝑁𝑁 ′ + 𝑛𝑛 = 0,
𝑀𝑀 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸′,
𝑇𝑇 ′ + 𝑝𝑝 = 0,
𝑇𝑇 = 𝐺𝐺𝐴𝐴∗ (πœ‘πœ‘ + 𝑀𝑀′),
𝑀𝑀′ + π‘šπ‘š − 𝑇𝑇 = 0,
e combinate in modo da formare un sistema di equazioni differenziali ordinarie, dette equazioni della
linea elastica di Timoshenko:
(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒′ )′ + 𝑛𝑛 = 0
′
11
�𝐺𝐺𝐴𝐴∗ (πœ‘πœ‘ + 𝑀𝑀 ′ )οΏ½ + 𝑝𝑝 = 0
(πΈπΈπΈπΈπœ‘πœ‘ ′ )′ + π‘šπ‘š − 𝐺𝐺𝐴𝐴∗ (πœ‘πœ‘ + 𝑀𝑀 ′ ) = 0
con c. c. su 𝑒𝑒
con c. c. su 𝑀𝑀
con c. c. su πœ‘πœ‘
oppure su 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒′ = 𝑁𝑁
oppure su 𝐺𝐺𝐴𝐴∗ (πœ‘πœ‘ + 𝑀𝑀 ′ ) = 𝑇𝑇
oppure su πΈπΈπΈπΈπœ‘πœ‘′ = 𝑀𝑀
Le condizioni al contorno che occorre applicare per integrare le equazioni differenziali possono
coinvolgere una componente cinematica (spostamento o rotazione) oppure una componente statica
(azione interna, che a sua volta coinvolge le deformazioni della trave attraverso il legame costitutivo).
Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, le equazioni della linea elastica tengono conto dell’equilibrio e del
legame costitutivo. Le soluzioni delle tre equazioni sono le sono funzioni 𝑒𝑒, 𝑀𝑀 e πœ‘πœ‘ che descrivono la
cinematica della trave. La deformata assiale 𝑒𝑒 e’ disaccoppiata dalla deformata flessionale πœ‘πœ‘ e
trasversale 𝑀𝑀, le quali sono invece intrinsecamente accoppiate.
Questo e’ un risultato generale: nelle travi ad asse rettilineo e
nell’ipotesi di piccoli spostamenti, il problema assiale e quello
flessionale sono disaccoppiati e possono essere risolti in modo
indipendente.
Esempio 1. Linea elastica assiale
Si consideri la seguente colonna compressa, caratterizzata da una
rigidita’ assiale 𝐸𝐸𝐸𝐸 costante, soggetta a un carico distribuito variabile
linearmente.
Equazione differenziale:
(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒 ′ )′ + 𝑛𝑛 = 0
Con condizioni al contorno:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒′ (0) = −𝐹𝐹
𝑒𝑒(𝑏𝑏) = 0
13
Esplicitando l’espressione del carico assiale si ottiene:
(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒′ )′ = −3
Integrando due volte:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑒𝑒′ = −
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = −
𝐹𝐹
𝐹𝐹
π‘₯π‘₯ −
2
𝑏𝑏
𝑏𝑏
3 𝐹𝐹 2 𝐹𝐹
π‘₯π‘₯ − π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢1 = 𝑁𝑁(π‘₯π‘₯)
2 𝑏𝑏 2
𝑏𝑏
1 𝐹𝐹 3 1 𝐹𝐹 2
π‘₯π‘₯ −
π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢1 π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢2
2 𝑏𝑏 2
2 𝑏𝑏
Imponendo le condizioni al contorno si trovano le due costanti 𝐢𝐢1 e 𝐢𝐢2 :
𝑁𝑁(0) = 𝐢𝐢1 = −𝐹𝐹
1
1
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸(𝑏𝑏) = − 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝑏𝑏 + 𝐢𝐢2 = 0,
2
2
La soluzione e’ fornita in termini di spostamenti in direzione assiale:
e di azione assiale:
𝑒𝑒 =
𝐢𝐢2 = 2𝐹𝐹𝐹𝐹
1 𝐹𝐹
1 𝐹𝐹 2
1
οΏ½− 2 π‘₯π‘₯ 3 −
π‘₯π‘₯ − 𝐹𝐹π‘₯π‘₯ + 2𝐹𝐹𝐹𝐹�
2 𝑏𝑏
2 𝑏𝑏
𝐸𝐸𝐸𝐸
3 𝐹𝐹 2
𝐹𝐹
π‘₯π‘₯ − 𝐹𝐹
𝑁𝑁(π‘₯π‘₯) = − π‘₯π‘₯ −
2 𝑏𝑏 2
𝑏𝑏
Nella seguente figura vengono visualizzati il diagramma dell’azione assiale e la deformata assiale in
forma adimensionale.
14
Esempio 2. Linea elastica flessionale
In presenza di una sola forza trasversale non
sono previste deformazioni normali. Nell’ipotesi
che 𝐺𝐺𝐴𝐴∗ = cost e 𝐸𝐸𝐼𝐼 = cost, le equazioni
differenziali della linea elastica diventano:
οΏ½
𝐺𝐺𝐴𝐴∗ (𝑀𝑀 ′′ + πœ‘πœ‘′) = 0
πΈπΈπΈπΈπœ‘πœ‘ ′′ − 𝐺𝐺𝐴𝐴∗ (𝑀𝑀 ′ + πœ‘πœ‘) = 0,
da integrare con le quattro condizioni al contorno:
𝑀𝑀 = 0 in π‘₯π‘₯ = 0,
πΈπΈπΈπΈπœ‘πœ‘ ′ = 0 in π‘₯π‘₯ = 𝑏𝑏,
πœ‘πœ‘ = 0 in π‘₯π‘₯ = 0,
Integrando la prima equazione si ottiene:
οΏ½
Imponendo la quarta cc:
𝐺𝐺𝐴𝐴∗ (𝑀𝑀′ + πœ‘πœ‘) = 𝐹𝐹 in π‘₯π‘₯ = 𝑏𝑏.
𝐺𝐺𝐴𝐴∗ (𝑀𝑀 ′ + πœ‘πœ‘) = 𝐢𝐢1
.
πΈπΈπΈπΈπœ‘πœ‘ ′′ − 𝐢𝐢1 = 0
οΏ½
𝐢𝐢1 = 𝐹𝐹
.
πΈπΈπΈπΈπœ‘πœ‘ ′′ = 𝐹𝐹
Si integra quindi la seconda equazione due volte:
πΈπΈπΈπΈπœ‘πœ‘ ′ = 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐢𝐢2
Si impongono la terza e la seconda cc:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 =
1 2
𝐹𝐹π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢2 π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢3 ,
2
𝐢𝐢2 = −𝐹𝐹𝐹𝐹 ,
da cui risulta:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 =
𝐢𝐢3 = 0 .
1 2
𝐹𝐹π‘₯π‘₯ − 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 .
2
Combinando l’equazione relativa all’abbassamento con l’espressione calcolata di πœ‘πœ‘ si ottiene:
𝐺𝐺𝐴𝐴∗ 𝑀𝑀 ′ = 𝐹𝐹 − 𝐹𝐹
che integrata fornisce la funzione 𝑀𝑀:
𝐺𝐺𝐴𝐴∗ 𝑀𝑀 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹
𝐺𝐺𝐴𝐴∗ 1 2
οΏ½ π‘₯π‘₯ − 𝑏𝑏𝑏𝑏�,
𝐸𝐸𝐸𝐸 2
𝐺𝐺𝐴𝐴∗ 1 3 1 2
οΏ½ π‘₯π‘₯ − 𝑏𝑏π‘₯π‘₯ οΏ½ + 𝐢𝐢4 .
2
𝐸𝐸𝐸𝐸 6
15
La costante 𝐢𝐢4 viene determinata con la prima cc, 𝐢𝐢4 = 0. La soluzione del problema e’:
𝑀𝑀 =
𝐹𝐹 1
1
𝐹𝐹
π‘₯π‘₯ + οΏ½ 𝑏𝑏π‘₯π‘₯ 2 − π‘₯π‘₯ 3 οΏ½ ,
𝐸𝐸𝐸𝐸 2
6
𝐺𝐺𝐴𝐴∗
𝐹𝐹 1 2
πœ‘πœ‘ = οΏ½ π‘₯π‘₯ − 𝑏𝑏𝑏𝑏� .
𝐸𝐸𝐸𝐸 2
La freccia della trave (spostamento trasversale all’estremita’ libera) vale:
𝑓𝑓 = 𝑀𝑀(𝑏𝑏) =
1 𝐹𝐹 3
𝐹𝐹
𝑏𝑏 +
𝑏𝑏 .
3 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐺𝐺𝐴𝐴∗
Nell’espressione della freccia appaiono distintamente i due contributi dovuti alla flessione (termine con
𝐸𝐸𝐸𝐸) e al taglio (termine con 𝐺𝐺𝐴𝐴∗ ). L’influenza dei due contributi sulla deformata trasversale puo’ essere
valutata se e’ nota la geometria della sezione. Si consideri il caso di una sezione rettangolare di base π‘Žπ‘Ž e
di altezza β„Ž. In prima approssimazione possiamo considerare l’area 𝐴𝐴∗ ≅ 𝐴𝐴 = π‘Žπ‘Žβ„Ž. Dalla geometria delle
aree si ottiene l’espressione del momento di inerzia 𝐼𝐼:
𝐼𝐼 =
1
π‘Žπ‘Žβ„Ž3 .
12
In elasticita’ lineare vale inoltre la relazione:
𝐺𝐺 =
𝐸𝐸
.
2(1 + 𝜈𝜈)
Si assuma 𝜈𝜈 = 0.25. L’espressione della freccia puo’ essere manipolata in questo
modo:
In forma adimensionale:
𝑓𝑓 = 𝑓𝑓t + 𝑓𝑓m = 2.5
𝐹𝐹 𝑏𝑏
𝐹𝐹 𝑏𝑏 3 𝐹𝐹𝐹𝐹
𝑏𝑏 2
+4
=
οΏ½2.5
+
4
οΏ½.
πΈπΈπ‘Žπ‘Ž β„Ž
𝐸𝐸𝐸𝐸 β„Ž3 𝐸𝐸𝐴𝐴
β„Ž2
𝐸𝐸𝐴𝐴
𝐸𝐸𝐴𝐴
𝑏𝑏 2
𝐸𝐸𝐴𝐴
𝑓𝑓 =
𝑓𝑓t +
𝑓𝑓m = 2.5 + 4 2 .
𝐹𝐹𝐹𝐹
𝐹𝐹𝐹𝐹
𝐹𝐹𝐹𝐹
β„Ž
Nelle travi snelle, in cui il rapporto tra diametro massimo e lunghezza e’ superiore a 10, il contributo
adimensionale della flessione e’ almeno pari a 400, contro un contributo tagliante pari a 2.5:
𝑓𝑓m
= 160.
𝑓𝑓t
Nelle applicazioni tipiche dell’ingegneria meccanica, dove le travi comunemente impiegate sono snelle,
e’ sensato trascurare il contributo della deformazione tagliante sulla deformazione trasversale della
trave.
16
LINEA ELASTICA - MODELLO DI TRAVE DI EULERO-BERNOULLI
Il modello di linea elastica piu’ usato si basa sull’ipotesi di Eulero-Bernoulli, in cui si ammette che le
sezioni si mantengono ortogonali alla linea d’asse della trave anche a deformazione avvenuta. Cio’
equivale ad ammettere che la deformazione tagliante sia nulla:
𝑑𝑑(π‘₯π‘₯) = πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯) +
𝑑𝑑𝑑𝑑(π‘₯π‘₯)
= 0,
𝑑𝑑𝑑𝑑
→
πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯) = −
𝑑𝑑𝑑𝑑(π‘₯π‘₯)
= −𝑀𝑀 ′ ,
𝑑𝑑𝑑𝑑
L’ipotesi implica che le rotazioni πœ‘πœ‘ corrispondano alle derivate degli spostamenti trasversali 𝑀𝑀. Ne segue
che la curvatura puo’ essere legata direttamente agli spostamenti trasversali attraverso un’equazione di
congruenza che coinvolge le derivate seconde degli spostamenti:
12
πœ’πœ’ =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 2 𝑀𝑀
≅ − 2 = −𝑀𝑀 ′′ .
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑π‘₯π‘₯
Nelle teorie strutturali le equazioni di congruenza sono tipicamente caratterizzate da derivate di ordine
superiore al primo. Inserendo l’equazione di congruenza (12) nell’equazione del legame costitutivo si
ottiene:
13
𝑀𝑀 = −𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′′ .
Questa rappresenta la forma operativa piu’ comune della linea elastica flessionale per la trave di EuleroBernoulli. Tuttavia non e’ l’unica forma possibile, in quanto si usa anche una espressione piu’ generale
che ingloba le equazioni di equilibrio indefinite per il momento e per il taglio.
L’equazione di equilibrio indefinito per il momento flettente (9) puo’ essere scritta come:
e derivata rispetto alla coordinata π‘₯π‘₯:
𝑀𝑀′ = (−𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′′ )′ = 𝑇𝑇 − π‘šπ‘š
(−𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′′ )′′ = 𝑇𝑇 ′ − π‘šπ‘š′ .
Ricordando che 𝑇𝑇 ′ = −𝑝𝑝, si ottiene l’espressione della linea elastica del quarto ordine, che include
congruenza, equilibrio e legame costitutivo:
14
(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′′ )′′ = 𝑝𝑝 + π‘šπ‘š′ .
La forma (13) e’ utilizzata nelle situazioni in cui l’equilibrio sia facimente imponibile. In essa viene infatti
usata un’espressione analitica del momento calcolata con le equazioni di equilibrio. La sua soluzione
richiede l’imposizione di condizioni al contorno di natura cinematica, sugli spostamenti 𝑀𝑀 e sulle
rotazioni πœ‘πœ‘:
17
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀
οΏ½,
πœ‘πœ‘ = πœ‘πœ‘οΏ½.
La forma (14) invece non richiede a priori la conoscenza del momento flettente. E’ pero’ di ordine
superiore, e nella sua integrazione compaiono quattro costanti da determinare non solo con condizioni
di tipo cinematico, ma anche di tipo statico:
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀
οΏ½,
πœ‘πœ‘ = πœ‘πœ‘,
οΏ½
οΏ½οΏ½οΏ½
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′′ = −𝑀𝑀,
(𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′′ )′ = −𝑇𝑇�.
La forma piu’ utilizzata e’ la (13), in quanto si presta bene al calcolo delle reazioni vincolari iperstatiche.
A questa espressione e’ possibile dare un’interpretazione geometrica basata sulla teoria delle linee
piane.
Figura 9: Raggio del cerchio osculatore approssimante la linea elastica nell'intorno del punto considerato.
Il raggio di curvatura di una linea piana e’ definito come l’inverso del raggio del cerchio osculatore, il
cerchio la cui circonferenza meglio approssima la curva 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) in un determinato punto. L’espressione del
raggio di curvatura e’ legata alla geometria della linea:
1
𝑀𝑀′′
οΏ½ = πœ’πœ’.
=οΏ½
𝜌𝜌
οΏ½(1 + 𝑀𝑀′2 )3
Se gli spostamenti sono piccoli, anche le derivate degli spostamenti sono piccole, e i loro quadrati sono
trascurabili rispetto all’unita’. Pertanto il raggio di curvatura si puo’ approssimare come:
1
= πœ’πœ’ ≅ |𝑀𝑀 ′′ |.
𝜌𝜌
Questa approssimazione equivale a dire che la forma della linea d’asse di una trave soggetta a flessione
costante non e’ un arco di circonferenza ma un arco di parabola.
Includendo il legame costitutivo ottenuto dalla soluzione di De Saint Venant:
𝑀𝑀 ′′ = ±
𝑀𝑀
.
𝐸𝐸𝐸𝐸
Il segno ± e’ dettato dalle convenzioni prese nella scrittura dell’equazione del momento.
18
Esercizio 3.
Effetto di elementi ad elasticita’ concentrata. La
struttura e’ vincolata con due vincoli semplici
deformabili. E’ ipostatica, ma le forze non danno
contributo nella direzione del grado di liberta’ residuo
e si puo’ considerare isostatica. Le reazioni vincolari
sono:
𝑉𝑉0 = −𝐹𝐹,
π‘Šπ‘Š0 = −𝐹𝐹𝐹𝐹.
Le reazioni uguali e contrarie applicate alle molle inducono spostamenti e rotazioni che diventano cc nel
primo estremo della trave. Gli spostamenti e le rotazioni sono pari a:
𝑀𝑀0 =
𝐹𝐹 1 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
=
,
π‘˜π‘˜ 4 𝐸𝐸𝐸𝐸
πœ‘πœ‘0 = −𝑀𝑀 ′ (0) = −
𝐹𝐹𝑏𝑏 2
.
𝐸𝐸𝐸𝐸
Il momento flettente, ipotizzato positivo se tende le fibre inferiori della trave, ha equazione:
𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) = 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝐹𝐹.
Essendoci un solo campo di integrazione, l’equazione della linea elastica e’ una sola:
Integrando due volte:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′′ = −𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) = 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝐹𝐹.
1
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′ = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 2 + 𝐢𝐢1 ,
2
Condizioni al contorno:
Soluzione:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 =
1
1
𝐹𝐹𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 2 − 𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 3 + 𝐢𝐢1 π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢2 .
6
2
−πΈπΈπΈπΈπœ‘πœ‘0 = 𝐹𝐹𝑏𝑏 2 = 𝐢𝐢1 ,
𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) =
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀0 =
1 3
𝐹𝐹𝑏𝑏 = 𝐢𝐢2 .
4
1
1
𝐹𝐹 1 3
οΏ½ 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 2 π‘₯π‘₯ + 𝑏𝑏π‘₯π‘₯ 2 − π‘₯π‘₯ 3 οΏ½,
2
6
𝐸𝐸𝐸𝐸 4
con spostamento e rotazione all’estremo:
𝑓𝑓 = 𝑀𝑀(𝑏𝑏) =
19 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
,
12 𝐸𝐸𝐸𝐸
19
1
𝑀𝑀 ′ (𝑏𝑏) = − 𝐹𝐹𝑏𝑏 2 .
2
Esercizio 4.
Calcolo di iperstatiche. Dopo aver tolto i vincoli, si individua
una reazione vincolare come sovrabbondante e la si tratta
come un carico esterno non noto. In questo esempio si puo’
scegliere come iperstatica la reazione verticale del carrello.
La soluzione della linea elastica iperstatica richiede la
determinazione delle due costanti di integrazione e
dell’incognita iperstatica.
Le reazioni vincolari sono:
𝑉𝑉0 = −𝐹𝐹 + 𝑋𝑋,
1
π‘Šπ‘Š0 = − 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝑋𝑋𝑋𝑋.
2
Il momento flettente, ipotizzato positivo se tende le fibre
inferiori della trave, ha equazione:
1
1 𝐹𝐹 2
𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) = − 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑋𝑋𝑋𝑋 −
π‘₯π‘₯ .
2
2 𝑏𝑏
L’equazione della linea elastica diventa:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′′ =
1
1 𝐹𝐹 2
𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑋𝑋𝑋𝑋 − 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝑋𝑋𝑋𝑋 +
π‘₯π‘₯ ,
2
2 𝑏𝑏
da integrare con tre condizioni al contorno (l’ultima ripristina la congruenza del carrello):
𝑀𝑀0 = 𝑀𝑀
οΏ½=
Integrando due volte:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑀𝑀 ′ =
Imponendo le cc:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 =
5 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
,
8 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑀𝑀0′ = −πœ‘πœ‘οΏ½ = −
1 𝐹𝐹𝑏𝑏 2
,
8 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑀𝑀𝐿𝐿 = 0.
1
1
1
1 𝐹𝐹 3
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 − 𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 2 + 𝑋𝑋π‘₯π‘₯ 2 +
π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢1 ,
2
2
2
6 𝑏𝑏
1
1
1
1
1 𝐹𝐹 4
𝐹𝐹𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 2 − 𝑋𝑋𝑋𝑋π‘₯π‘₯ 2 − 𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 3 + 𝑋𝑋π‘₯π‘₯ 3 +
π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢1 π‘₯π‘₯ + 𝐢𝐢2 .
4
2
6
6
24 𝑏𝑏
1
𝐢𝐢1 = − 𝐹𝐹𝑏𝑏 2 ,
8
Si ottiene l’espressione del momento:
𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) =
𝐢𝐢2 =
5 3
15
𝐹𝐹𝑏𝑏 , 𝑋𝑋 =
𝐹𝐹 .
8
8
7
1 𝐹𝐹 2
11
𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝐹𝐹 −
π‘₯π‘₯ ,
8
2 𝑏𝑏
8
20
del taglio:
𝐹𝐹
7
𝑇𝑇(π‘₯π‘₯) = − 𝐹𝐹 − π‘₯π‘₯,
𝑏𝑏
8
e della linea elastica:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 =
7
11
1
5
1 𝐹𝐹 4
π‘₯π‘₯ + 𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 3 − 𝐹𝐹𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 2 − 𝐹𝐹𝑏𝑏 2 π‘₯π‘₯ + 𝐹𝐹𝑏𝑏 3 .
48
16
8
8
24 𝑏𝑏
21
PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
Il metodo noto come principio dei lavori virtuali si basa sull’utilizzo diretto dell’equazione dei lavori
virtuali
ℒ𝑖𝑖 = ℒ𝑒𝑒 .
nella forma precedentemente ricavata per le travi
𝐿𝐿
𝐿𝐿
ℒ𝑖𝑖 = οΏ½ (𝑁𝑁(π‘₯π‘₯)πœ‚πœ‚(π‘₯π‘₯) + 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯)πœ’πœ’(π‘₯π‘₯) + 𝑇𝑇(π‘₯π‘₯)𝑑𝑑(π‘₯π‘₯)) 𝑑𝑑𝑑𝑑,
0
ℒ𝑒𝑒 = οΏ½ �𝑛𝑛(π‘₯π‘₯)𝑒𝑒(π‘₯π‘₯) + π‘žπ‘ž(π‘₯π‘₯)𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) + π‘šπ‘š(π‘₯π‘₯)πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯)οΏ½ 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐻𝐻0 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉0 𝑒𝑒0 + π‘Šπ‘Š0 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + π‘Šπ‘ŠπΏπΏ πœ‘πœ‘πΏπΏ .
0
Nelle applicazioni tipiche della meccanica delle strutture, l’equazione viene utilizzata per imporre una
singola condizione di congruenza, scegliendo in modo opportuno i campi di forze equilibrate e di
spostamenti congruenti. In particolare, e’ comodo definire campi fittizi (virtuali) di forze esterne e sforzi
generalizzati e usare i campi veri (sicuramente congruenti) di spostamenti e deformazioni generalizzati.
La scelta e’ praticamente obbligata, data la necessita’ di fare sparire dall’espressione del lavoro esterno
l’integrale sulle forze distribuite che non puo’ essere integrato: infatti gli spostamenti generalizzati
dell’asse della trave sono incogniti.
La scelta della famiglia di forze fittizie e’ legato al problema che si vuole risolvere. Nella forma indicata, il
PLV ha dei limiti legati al fatto che l’equazione e’ scalare e puo’ servire a calcolare una sola incognita. Se
il problema in esame ha molte incognite (struttura molteplicemente iperstatica), occorre scrivere tante
equazioni del PLV quante sono le incognite da determinare.
In base a quanto discusso nel metodo della linea elastica, quando si applica il PLV su strutture snelle e’
lecito trascurare la deformabilita’ a taglio e quella assiale, salvo quando esplicitamente richiesto.
CALCOLO DI UNA COMPONENTE DI SPOSTAMENTO IN STRUTTURA ISOSTATICA
Si supponga di voler calcolare la componente di spostamento in direzione 𝑗𝑗 di un punto P di una
struttura isostatica. In tal caso, si considera la cinematica ammissibile degli spostamenti reali e delle
deformazioni ad esse associate:
𝑒𝑒(π‘₯π‘₯)
𝑼𝑼(π‘₯π‘₯) = �𝑀𝑀(π‘₯π‘₯)οΏ½ ,
πœ‘πœ‘(π‘₯π‘₯)
𝑑𝑑𝑑𝑑
⎑
⎀
𝑑𝑑𝑑𝑑
⎒
βŽ₯
𝑑𝑑𝑑𝑑 βŽ₯
𝒒𝒒(π‘₯π‘₯) = ⎒
⎒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 βŽ₯
𝑑𝑑𝑑𝑑 βŽ₯
⎒
βŽ£πœ‘πœ‘ + 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⎦
Dato che la cinematica e’ quella vera, essa e’ legata agli sforzi generalizzati dal legame costitutivo, per
cui, invertendo il legame costitutivo generalizzato (8), si esprime la cinematica in funzione della statica
congruente (che sara’ anche equilibrata, ma questo aspetto non e’ considerato nell’applicazione):
22
1
⎑
⎒𝐸𝐸𝐴𝐴
−1
𝒒𝒒 = 𝑫𝑫 𝑸𝑸 = ⎒ 0
⎒
⎒0
⎣
0
1
𝐸𝐸𝐸𝐸
0
𝑁𝑁
⎑
⎀
0 ⎀
βŽ₯ 𝑁𝑁
⎒ 𝐸𝐸𝐸𝐸 βŽ₯
𝑀𝑀
βŽ₯.
0 βŽ₯ �𝑀𝑀� = ⎒
⎒ 𝐸𝐸𝐸𝐸 βŽ₯
βŽ₯ 𝑇𝑇
1 βŽ₯
⎒ 𝑇𝑇 βŽ₯
⎣𝐺𝐺𝐴𝐴∗ ⎦
𝐺𝐺𝐴𝐴∗ ⎦
La statica equilibrata viene scelta in modo da rendere molto semplice l’epressione del lavoro esterno. In
modo ipotetico, sulla struttura in esame si tolgono i carichi reali e si applica un sistema di carichi fittizio
costituito da una sola forza di intensita’ unitaria, applicata nel punto P e con retta d’azione in direzione
𝑗𝑗. Essendo la struttura isostatica, le reazioni vincolari e le azioni interne del sistema fittizio sono ottenute
con le sole equazioni di equilibrio. Indicando con 𝑅𝑅1 le reazioni vincolari che equilibrano la forza unitaria
e con 𝑁𝑁1 , 𝑀𝑀1 e 𝑇𝑇1 le azioni interne corrispondenti, si scrive quindi l’equazione dei lavori virtuali
considerando la statica equilibrata fittizia e la cinematica congruente vera:
𝐿𝐿
οΏ½ (𝑁𝑁1 πœ‚πœ‚ + 𝑀𝑀1 πœ’πœ’ + 𝑇𝑇1 𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1𝑒𝑒𝑗𝑗 + 𝐻𝐻10 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉10 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š10 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻1𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉1𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘Š1𝐿𝐿 πœ‘πœ‘πΏπΏ .
0
Nel lavoro esterno compaiono due tipi di contributi. Il primo e’ quello dei gradi di liberta’ vincolati, dove
le reazioni vincolari fittizie sono accoppiate agli spostamenti noti dei vincoli, classificabili in spostamenti
rigidi (noti) e elastici (connessi a molle e noti). L’altro e’ quello dei gradi di liberta’ non vincolati, che
forniscono lavoro solo se sono presenti forze; l’unico contributo non nullo e’ associato alla forza unitaria
assegnata. L’incognita della equazione e’ lo spostamento 𝑒𝑒𝑗𝑗 cercato, che pertanto puo’ essere
univocamante determinato.
Per travi snelle, e’ lecito scrivere la precedente equazione trascurando πœ‚πœ‚ e 𝑑𝑑:
𝐿𝐿
οΏ½ 𝑀𝑀1 πœ’πœ’ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒𝑗𝑗 + 𝐻𝐻10 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉10 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š10 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻1𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉1𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘Š1𝐿𝐿 πœ‘πœ‘πΏπΏ .
0
In presenza di deformazioni anelastiche, le deformazioni totali che appaiono nel PLV devono includere
anche i contributi anelastici descritti nella (10):
𝐿𝐿
οΏ½ [𝑁𝑁1 (πœ‚πœ‚π‘’π‘’ + πœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 ) + 𝑀𝑀1 (πœ’πœ’π‘’π‘’ + πœ’πœ’π‘‡π‘‡ ) + 𝑇𝑇1 𝑑𝑑] 𝑑𝑑𝑑𝑑
0
= 𝑒𝑒𝑗𝑗 + 𝐻𝐻10 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉10 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š10 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻1𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉1𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘Š1𝐿𝐿 πœ‘πœ‘πΏπΏ .
Anche in questo caso l’unica incognita e’ lo spostamento cercato. Per travi snelle, e’ lecito scrivere la
precedente equazione trascurando πœ‚πœ‚π‘’π‘’ e 𝑑𝑑, ma il contributo anelastico della deformazione anelastica
assiale va comunque incluso perche’ puo’ assumere valori rilevanti:
𝐿𝐿
οΏ½ [𝑁𝑁1 πœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 + 𝑀𝑀1 (πœ’πœ’π‘’π‘’ + πœ’πœ’π‘‡π‘‡ )] 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒𝑗𝑗 + 𝐻𝐻10 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉10 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š10 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻1𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉1𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘Š1𝐿𝐿 πœ‘πœ‘πΏπΏ .
0
23
Nel caso che l’espressione analitica delle azioni interne cambi per la presenza di un carico concentrato,
di un vincolo o di una piegatura dell’asse della struttura, l’integrale relativo al lavoro interno deve essere
scisso nella somma dei contributi dei diversi campi di integrazione.
Esercizio 5.
Si consideri la struttura dell’esercizio 3 e si calcoli lo
spostamento verticale all’estremo libero con il PLV.
Si comincia a costruire la cinematica congruente:
Reazioni vincolari:
Momento flettente:
𝑉𝑉0 = −𝐹𝐹,
π‘Šπ‘Š0 = −𝐹𝐹𝐹𝐹,
𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) = 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝐹𝐹.
Deformazioni flessionali vere:
πœ’πœ’ =
𝑀𝑀 𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝐹𝐹
=
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐸𝐸𝐸𝐸
Spostamenti alle estremita’, di cui due dovuti agli elementi elastici (dall’esercizio 3):
𝑀𝑀0 =
1 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
,
4 𝐸𝐸𝐸𝐸
πœ‘πœ‘0 = −
𝐹𝐹𝑏𝑏 2
, 𝑀𝑀𝐿𝐿 libero,
𝐸𝐸𝐸𝐸
πœ‘πœ‘πΏπΏ libero.
Si costruisce poi una statica equilibrata sostituendo ad F una forza unitaria:
Reazioni vincolari:
Momento flettente:
𝑉𝑉10 = −1,
π‘Šπ‘Š10 = 𝑏𝑏,
𝑀𝑀1 (π‘₯π‘₯) = π‘₯π‘₯ − 𝑏𝑏.
Lavoro interno e lavoro esterno della cinematica congruente per la statica equilibrata:
𝑏𝑏
𝑏𝑏
ℒ𝑖𝑖 = οΏ½ 𝑀𝑀1 πœ’πœ’ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = οΏ½ (π‘₯π‘₯ − 𝑏𝑏)
0
0
(𝐹𝐹𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝐹𝐹)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐸𝐸𝐸𝐸
ℒ𝑒𝑒 = 𝐻𝐻10 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉10 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š10 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻1𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉1𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘Š1𝐿𝐿 πœ‘πœ‘πΏπΏ = −
Equazione dei lavori virtuali:
Da cui:
5 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
𝐹𝐹 𝑏𝑏
οΏ½ (π‘₯π‘₯ − 𝑏𝑏)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
+ 𝑀𝑀𝐿𝐿 .
4 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐸𝐸𝐸𝐸 0
24
1 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
𝐹𝐹𝑏𝑏 2
−b
+ 𝑀𝑀𝐿𝐿 .
4 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑓𝑓 = 𝑀𝑀𝐿𝐿 =
19 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
1 𝐹𝐹𝑏𝑏 3 5 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
+
=
.
4 𝐸𝐸𝐸𝐸
12 𝐸𝐸𝐸𝐸
3 𝐸𝐸𝐸𝐸
CALCOLO DI UNA REAZIONE VINCOLARE IPERSTATICA
Si supponga di voler calcolare la reazione vincolare iperstatica di una struttura una volta iperstatica. Si
procede sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti garantito dalla linerarita’ del problema
(linearita’ geometrica e di materiale). Si rende la struttura isostatica non labile eliminando un vincolo e si
tratta la corrispondente reazione vincolare incognita 𝑋𝑋 come un carico esterno, di cui il valore non e’
noto, ma e’ nota la posizone e la direzione di azione. Ci si riduce pertanto allo studio di una struttura
isostatica, le cui reazioni vincolari ed azioni interne sono calcolabili con le equazioni di equilibrio. Nella
struttura reale, il vincolo rimosso e’ presente ed impone una condizione sullo spostamento
corrispondente.
La statica equilibrata (indicata con le azioni 𝑅𝑅 e 𝑀𝑀, indefinita perche’ la reazione 𝑋𝑋 non e’ nota) della
struttura isostatica e’ la somma della statica dovuta dai carichi esterni effettivamente applicati (struttura
principale isostatica, indicata con indici 0, ad esempio 𝑅𝑅0 e 𝑀𝑀0 ) e della statica dovuta alla sola reazione
iperstatica considerata come unitaria (struttura isostatica di servizio, indicata con indici 1, con 𝑅𝑅1 .e 𝑀𝑀1 )
moltiplicata per l’intensita’ incognita 𝑋𝑋. Si ha:
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅0 + 𝑋𝑋𝑅𝑅1 , 𝑀𝑀(π‘₯π‘₯) = 𝑀𝑀0 (π‘₯π‘₯) + 𝑋𝑋𝑀𝑀1 (π‘₯π‘₯)
La cinematica ottenuta (indefinita perche’ la reazione 𝑋𝑋 non e’ nota) e’ quella vera ed e’ legata agli sforzi
generalizzati dal legame costitutivo:
πœ’πœ’ =
𝑀𝑀0 (π‘₯π‘₯) + 𝑋𝑋𝑀𝑀1 (π‘₯π‘₯)
𝐸𝐸𝐸𝐸
Grazie alla decomposizione precedente, la statica equilibrata piu’ conveniente per l’applicazione del PLV
e’ gia’ disponibile: e’ quella della struttura di servizio. Si scrive quindi l’equazione dei lavori virtuali
considerando la statica equilibrata della struttura isostatica di servizio e la cinematica congruente della
struttura iperstatica vera:
𝐿𝐿
οΏ½ 𝑀𝑀1
0
𝑀𝑀0 + 𝑋𝑋𝑀𝑀1
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐻𝐻10 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉10 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š10 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻1𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉1𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘Š1𝐿𝐿 πœ‘πœ‘πΏπΏ ,
𝐸𝐸𝐸𝐸
che grazie alla linearita’ si puo’ scrivere come:
οΏ½
𝐿𝐿
0
𝐿𝐿 2
𝑀𝑀1 𝑀𝑀0
𝑀𝑀1
𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑋𝑋 οΏ½
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐻𝐻10 𝑒𝑒0 + 𝑉𝑉10 𝑀𝑀0 + π‘Šπ‘Š10 πœ‘πœ‘0 +𝐻𝐻1𝐿𝐿 𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑉𝑉1𝐿𝐿 𝑀𝑀𝐿𝐿 + π‘Šπ‘Š1𝐿𝐿 πœ‘πœ‘πΏπΏ .
𝐸𝐸𝐸𝐸
0 𝐸𝐸𝐸𝐸
Nel lavoro esterno compaiono gli eventuali contributi di cedimenti vincolari noti, rigidi o dovuti ad
elementi a deformabilita’ concentrata presenti nei vincoli. Tra questi c’e’ ancho lo spostamento, noto,
associato al vincolo rimosso. Il lavoro esterno e’ dunque noto, mentre l’incognita 𝑋𝑋 appare nel lavoro
interno. L’equazione dei lavori virtuali nella sola incognita 𝑋𝑋 ha soluzione:
25
𝑋𝑋 =
𝐿𝐿 𝑀𝑀1 𝑀𝑀0
ℒ𝑒𝑒 − ∫0
𝐸𝐸𝐸𝐸
2
𝐿𝐿 𝑀𝑀
∫0 𝐸𝐸𝐸𝐸1 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
.
In presenza di deformazioni anelastiche, le deformazioni totali che appaiono nel PLV devono includere
anche i contributi anelastici, descritti ad esempio nella (10):
𝐿𝐿
e la soluzione diventa:
οΏ½ �𝑁𝑁1 πœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 + 𝑀𝑀1 οΏ½
0
𝑀𝑀0 + 𝑋𝑋𝑀𝑀1
+ πœ’πœ’π‘‡π‘‡ οΏ½οΏ½ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ℒ𝑒𝑒 .
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐿𝐿
𝑀𝑀 𝑀𝑀
ℒ𝑒𝑒 − ∫0 �𝑁𝑁1 πœ‚πœ‚ 𝑇𝑇 + 1 0 + 𝑀𝑀1 πœ’πœ’π‘‡π‘‡ οΏ½ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐸𝐸𝐸𝐸
.
𝑋𝑋 =
2
𝐿𝐿 𝑀𝑀
∫0 𝐸𝐸𝐸𝐸1 𝑑𝑑𝑑𝑑
Nel caso che l’espressione analitica delle azioni interne cambi per la presenza di un carico concentrato,
di un vincolo o di una piegatura dell’asse della struttura, l’integrale relativo al lavoro interno deve essere
decomposto nella somma dei contributi dei diversi campi di integrazione.
Si osservi che, in caso di travi ad asse rettilineo, l’azione assiale e’ sempre disaccoppiata dall’azione
flessionale.
Esercizio 6.
Si risolve l’esercizio 4 con il PLV. Si sceglie come incognita
iperstatica la reazione verticale del carrello che si indica con 𝑋𝑋.
La soluzione della linea elastica iperstatica richiede la
determinazione delle due costanti di integrazione e
dell’incognita iperstatica.
Statica della struttura principale (si assume il momento
positivo se tende le fibre inferiori della trave):
𝑉𝑉00 = −𝐹𝐹,
1
π‘Šπ‘Š00 = − 𝐹𝐹𝐹𝐹,
2
1 𝐹𝐹 2
1
π‘₯π‘₯ .
𝑀𝑀0 (π‘₯π‘₯) = − 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐹𝐹𝐹𝐹 −
2 𝑏𝑏
2
La statica della struttura di servizio costituisce la statica equilibrata:
𝑉𝑉10 = 1,
π‘Šπ‘Š10 = 𝑏𝑏.
𝑀𝑀1 (π‘₯π‘₯) = 𝑏𝑏 − π‘₯π‘₯.
26
La cinematica congruente e’ quella vera della struttura iperstatica ed e’ data dalla deformazione
flessionale:
e dalle condizioni al contorno
L’espressione del PLV e’:
οΏ½
𝑏𝑏 οΏ½−
0
𝑀𝑀0 =
1
1 𝐹𝐹 2
− 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐹𝐹𝐹𝐹 −
π‘₯π‘₯ + 𝑋𝑋(𝑏𝑏 − π‘₯π‘₯)
2
2 𝑏𝑏
πœ’πœ’ =
,
𝐸𝐸𝐸𝐸
5 𝐹𝐹𝑏𝑏 3
,
8 𝐸𝐸𝐸𝐸
πœ‘πœ‘0 = −
1 𝐹𝐹𝑏𝑏 2
,
8 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑀𝑀𝐿𝐿 = 0,
πœ‘πœ‘πΏπΏ libero.
1
1 𝐹𝐹 2
𝑏𝑏 (𝑏𝑏
𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐹𝐹𝐹𝐹 −
π‘₯π‘₯ οΏ½ (𝑏𝑏 − π‘₯π‘₯)
5 𝐹𝐹𝑏𝑏 3 1 𝐹𝐹𝑏𝑏 2
− π‘₯π‘₯)2
2
2 𝑏𝑏
𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑋𝑋 οΏ½
𝑑𝑑𝑑𝑑 =
−
+ 1 βˆ™ 0.
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐸𝐸𝐸𝐸
8 𝐸𝐸𝐸𝐸
8 𝐸𝐸𝐸𝐸
0
Sviluppando i termini si ottiene l’espressione:
𝑏𝑏
Da cui:
οΏ½ οΏ½−𝐹𝐹𝑏𝑏 2 + 3𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 − 3𝐹𝐹π‘₯π‘₯ 2 +
0
𝑏𝑏
𝐹𝐹 3
π‘₯π‘₯ οΏ½ 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 2𝑋𝑋 οΏ½ (𝑏𝑏 2 − 2𝑏𝑏𝑏𝑏 + π‘₯π‘₯ 2 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹𝑏𝑏 3 .
𝑏𝑏
0
𝑋𝑋 =
15
𝐹𝐹.
8
27