Scomposizioni indiziarie

Il matematico impertinente
di Piergiorgio Odifreddi
professore ordinario di logica matematica all’Università di Torino
e visiting professor alla Cornell University di Ithaca (New York)
Scomposizioni indiziarie
Anche il matematico può partire da tracce per poi formare un quadro complesso
dei numeri.
Una prima scomposizione apparentemente banale è quella di 3
come somma di 1 e 2. In realtà, è l’indizio che 3 è numero triangolare, rappresentabile graficamente con tre pallini disposti a triangolo equilatero: uno sopra, e due sotto. E la scomposizione suggerisce che i numeri triangolari si generano sommando via via gli
interi in ordine di grandezza, cioè 1, 2, 3, 4, 5, eccetera, ottenendo
1, 3, 6, 10, 15, eccetera.
Sinteticamente, i numeri triangolari si esprimono mediante la
formula n(n + 1)/2, che calcola da un lato la somma dei numeri da
1 a n, e dall’altro l’area di un triangolo di base n e altezza n + 1. In
particolare, 3 è l’unico numero primo triangolare.
Da un altro punto di vista, la scomposizione di 3 come somma di 1 e 2 è l’indizio che esso è un numero di Fibonacci: cioè,
appartiene alla sequenza che parte dai primi due numeri
interi (1 e 2, appunto, ma volendo anche 0 e 1), e continua sommando ogni volta gli ultimi due numeri ottenuti. I numeri di Fibonacci sono dunque 1, 2, 3,
5, 8, eccetera.
Una seconda scomposizione apparentemente banale è quella di 4 come somma di
1 e 3. In realtà, è l’indizio che 4 è un numero quadrato, rappresentabile con quattro pallini
disposti a quadrato: uno a un vertice, e tre attorno
a squadra. E la scomposizione suggerisce che i numeri quadrati si possono generare sommando via via
un intero ogni due, ossia i numeri dispari: sommando
infatti consecutivamente i numeri 1, 3, 5, 7, 9, eccetera,
si ottengono 1, 4, 9, 16, 25, eccetera.
La stessa scomposizione è anche l’indizio che ogni
numero quadrato è la somma di due numeri triangolari
consecutivi: sommando infatti due a due i numeri 1, 3, 6, 10,
15, eccetera, si ottengono di nuovo 1, 4, 9, 16, 25, eccetera.
Infine, la scomposizione mostra che 4 è la somma dei primi
numeri triangolari, e dunque un numero tetraedrico, scomponibile in una piramide di strati triangolari equilateri. I numeri tetraedrici si ottengono sommando successivamente i numeri triangolari 1, 3, 6, 10, 15, eccetera, e sono 1, 4, 10, 20, 35, eccetera.
Una terza scomposizione apparentemente banale è quella di 5
come somma di 1 e 4. In realtà, è l’indizio che 5 è un numero pentagonale, rappresentabile graficamente con cinque pallini disposti
a pentagono. E la scomposizione suggerisce che i numeri pentagonali si possono generare sommando progressivamente un nu-
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mero intero ogni tre, cioè 4, 7, 10, 13, eccetera, ottenendo via via
1, 5, 12, 22, 35, eccetera.
Sinteticamente, i numeri pentagonali si esprimono mediante la
formula n(3n – 1)/2. La formula può anche essere usata con numeri negativi, nel qual caso genera un’altra serie parallela di numeri: 2, 7, 15, 26, 39, eccetera. Messe insieme le due serie, nel
1740 Eulero ottenne i numeri pentagonali generalizzati: 1, 2, 5,
7, 12, 15, eccetera. E scoprì che servono a generare i numeri delle partizioni degli interi: cioè i numeri di somme distinte in cui si
possono scomporre i vari interi.
La scomposizione di 5 come somma di 1 e 4 mostra anche che
5 è la somma dei primi numeri quadrati, e dunque un numero piramidale
a base quadrata, scomponibile in
una piramide di strati quadrati. I numeri piramidali a base quadrata si ottengono
sommando successivamente i numeri quadrati 1, 4, 9, 16, 25,
eccetera, e sono 1, 5, 14, 30,
55, eccetera.
A questo punto, il gioco può continuare all’infinito. Da un
lato, come sommare un intero dietro l’altro
produce i numeri triangolari, un intero ogni due i
numeri quadrati, e un intero ogni tre i numeri pentagonali,
così sommare un intero ogni quattro produce i numeri esagonali,
un intero ogni cinque i numeri ettagonali, eccetera: cioè, le varie
sottofamiglie della famiglia dei numeri poligonali.
Dall’altro lato, sommare successivamente i numeri triangolari,
quadrati, pentagonali, eccetera, produce i numeri piramidali a base triangolare, quadrata, pentagonale, eccetera. A dimostrazione
che la matematica non ha nulla da invidiare a una detective story,
quanto a uso degli indizi apparentemente banali.
556 dicembre 2014
timquo/Shutterstock
N
ei romanzi polizieschi a volte il detective riesce
a leggere semplici indizi come tracce di avvenimenti complessi. Lo stesso può fare il matematico,
che a volte riesce a leggere semplici scomposizioni aritmetiche come segni di profonde proprietà