1- Regime stazionario

Esercizi di Elettrotecnica
prof. Antonio Maffucci
Università degli Studi di Cassino
Circuiti in regime stazionario
versione 3.1 – ottobre 2007
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
1. Serie, parallelo e partitori.
ES. 1.1 Calcolare la resistenza equivalente vista ai capi del generatore E.
E
+
R1 = 1 Ω R2 = 4 Ω
R3
R1
R3 = 3 Ω R4 = 2 Ω
R4
R2
Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad un
unico resistore attraverso i seguenti passi:
E
+
R1
⇔
RA
R2
R A = R3 + R4 = 5 Ω
E
RB = R A // R2 =
+
R1
RB
⇔
R A R2
= 2.22 Ω
R A + R2
E
+
Req
Req = RB + R1 = 3.22 Ω
ES. 1.2 Calcolare la resistenza equivalente vista dal generatore J.
R3
R4
R1 = R4 = 5 Ω R2 = 3 Ω
J
R1
R5
R2
R3 = R5 = 2 Ω
Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad un
unico resistore attraverso i seguenti passi:
R3
RB
J
R A = R4 + R5 = 7 Ω
RB =
R1 R2
= 1.87 Ω
R1 + R2
versione 3.1 – ottobre 2007
RA
⇔
RC
J
RA
RC = RB + R3 = 3.87 Ω
⇔
Req =
J
Req
R A RC
= 2.49 Ω
R A + RC
2
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 1.3 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
R1
R5
C
A
R2
R6
R3
R4 = 4 Ω R5 = 3 Ω
D
B
R1 = R2 = 5 Ω R3 = 10 Ω
R6 = 2 Ω
R4
Risultato: ReqAB = 7.125 Ω, ReqCD = 1.600 Ω.
ES. 1.4 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
R2
A
R5
C
R1 = R3 = 0.2 Ω R2 = 0.4 Ω
R1
B
R6
R4
R3
R4 = R5 = 1 Ω R6 = 3 Ω
D
Risultato: ReqAB = 0.147 Ω, ReqCD = 0.126 Ω.
ES. 1.5 - Calcolare il valore di R4 tale che ai morsetti A-B si abbia Req = R .
R1
A
R2
R3
B
R4
R1 = R2 = R R3 = R / 2
Risultato: R4 = 2 R.
ES. 1.6 - Calcolare la Req vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.
A
R1
B
C
R4
R3
R5
R2
D
R1 = 2.3 mΩ R2 = 1.4 mΩ
R3 = 1 mΩ, R4 = 3 mΩ, R5 = 0.8 mΩ
Risultato: ReqAB = 0.47 mΩ, ReqCD = 0.63 mΩ.
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3
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 1.7 - Calcolare la tensione v3 usando il partitore di tensione.
+ v3 −
E
+
E = 220 V
R3
R1
R1 = 50 Ω
R2
R2 = R3 = 100 Ω
Il partitore di tensione si applica a due resistori in serie, quindi occorre preliminarmente
ricondursi alla rete equivalente seguente:
R1
+
E
+
v3
RA
R A = R2 // R3 =
−
R3 R2
= 50 Ω
R3 + R2
Applicando ora il partitore di tensione si ha:
v3 = E
RA
= 110 V .
R A + R1
ES. 1.8 - Calcolare la corrente i3 usando il partitore di corrente.
i3
R2
J
R1
J = 10 mA
R1 = R3 = 5 μΩ
R3
R2 = 3 μΩ
Il partitore di corrente si applica a due resistori in parallelo, quindi occorre riferirsi alla rete
equivalente seguente:
i3
J
R1
RA
R A = R2 + R3 = 8 μΩ
Applicando ora il partitore di corrente si ha (tenuto conto dei versi):
R1
= −3.84 mA.
i3 = − J
R A + R1
versione 3.1 – ottobre 2007
4
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 1.9 - Calcolare la potenza erogata dal generatore E e quella assorbita dal resistore R5
iE
E
R3
R1
+
R5
i5
R4
R2
E = 10 V
R1 = 10 Ω R2 = 2 Ω
R3 = 3 Ω R4 = 5 Ω R5 = 2 Ω
Scegliendo le correnti come in figura, le potenze richieste sono date da:
PEerog = Ei E , PR = R5 i52 .
5
La i E si valuta a partire dal calcolo della resistenza equivalente vista ai capi del generatore:
iE
E
+
R A = R4 // R5
⇒
R B = R3 + R A
Req
Req = R1 + RC = 11.36 Ω
⇒
iE =
RC = R B // R2
E
= 0.88 A
Req
da cui si ricava: PEerog = 8.80 W .
Nota la corrente i E , si può ricavare la i5 applicando due volte il partitore di corrente. Dapprima
ricaviamo i3 dalla rete equivalente seguente
i3
iE
E
R1
+
R2
i3 = iE
RB
R2
R2 + RB
quindi ricaviamo i5 ripartendo i3 tra i resistori R4 ed R5 :
i5 = i3
R4
= 0.19A
R4 + R5
⇒
PR5 = 72.20 mW .
ES. 1.10 - Calcolare la potenza erogata dal generatore J e quella assorbita dal resistore R1 .
R3
R4
J =5 A
R1
J
R2
R5
R1 = R4 = 5 Ω R2 = 3 Ω
R3 = R5 = 2 Ω
Risultato: PJerog = 62.25 W , PR1 = 7.25 W .
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A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 1.11 - Calcolare la potenza erogata dal generatore e quella assorbita da ogni resistore.
Verificare la conservazione delle potenze.
J = 10 A
R3
R1
R4
J
R2
R1 = 2 Ω R2 = 10 Ω
R3 = 20 Ω R4 = 15 Ω
Risultato: PJerog = 0.886 kW, PR1 = 0.023 kW, PR2 = 0.004 kW, PR3 = 0.335 kW, PR4 = 0.524 kW.
ES. 1.12 - Calcolare la corrente icc che circola nel corto-circuito.
E
+
R3
R1
R2
E = 220 V
R1 = 10 Ω R2 = 0.1 kΩ
R4
icc
R3 = 25 Ω R4 = 2 kΩ
Risultato: icc = −5.87 A.
ES. 1.13 - Calcolare la tensione v0 sul circuito aperto in figura.
R3
J1 = 1 A
R4
R2
R1
J
R5
R6
R1 = 10 Ω R2 = 10 Ω
R3 = 15 Ω R4 = 5 Ω
R5 = 30 Ω R6 = 25 Ω
v0
Risultato: v 0 = −6.43 V .
ES. 1.14 - Valutare la potenza assorbita dai resistori della rete in figura.
R1
+
R2
E
E = 10 V
R3
R1 = 10 Ω R2 = 1 Ω
R3 = 100 Ω
Risultato: PR1 = PR3 = 0, PR2 = 100 W.
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A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
2. Sovrapposizione degli effetti.
ES. 2.1 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
R2
R1
J
E = 10 V
R4
R3
E
+
J = 20 A
R1 = R2 = 3 Ω
R3 = 2 Ω R4 = 5 Ω
Adottando la convenzione del generatore sui due generatori della rete, la potenza erogata da
ciascuno di essi sarà data da:
PEerog = Ei E , PJerog = Jv J .
La tensione v J e la corrente iE si possono valutare applicando la sovrapposizione degli effetti,
risolvendo i due circuiti ausiliari ottenuti considerando un solo generatore acceso:
iB′′
iE′′
R4
R2
R4
R2
R3
R3
+
J
R1
iE′
E
R1
v ′A
v ′J′
v ′J
Con riferimento al primo circuito ausiliario, il contributo v ′J è ottenuto valutando la resistenza
equivalente vista dal generatore:
Req J = ( R3 // R4 + R2 ) // R1 = 1.79 Ω ⇒ v ′J = Req J J = 35.80V .
Per valutare iE′ si può utilizzare la tensione v ′A sul parallelo R A = R3 // R4 :
RA
v′
⇒ i E′ = − A = −2.31 A
R2 + R A
R4
(nell’ultimo passaggio si è tenuto conto della convenzione adottata su R4 ). Nel secondo circuito
ausiliario, il contributo iE′′ è ottenuto valutando la resistenza equivalente vista dal generatore:
v ′A = v ′J
Req E = ( R1 + R2 ) // R3 + R4 = 6.50 Ω ⇒ iE′′ = E / Req E = 1.54 A.
Per valutare v ′J′ è utile passare attraverso il calcolo della corrente iB′′ della serie RB = R1 + R2 :
i B′′ = i E′′
R3
RB + R3
⇒ v ′J′ = R1i B′′ = 1.14 V .
Se ne conclude che:
PEerog = EiE = E (iE′ + iE′′ ) = −7.70 W , PJerog = Jv J = J ( v ′J + v ′J′ ) = 0.74 kW.
(Si osservi che in questa rete il generatore di tensione sta assorbendo potenza elettrica positiva).
versione 3.1 – ottobre 2007
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A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 2.2 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
E1
R1
+
R1
R2
R1
+
R1
E1 = 10 V, E 2 = 20 V
E2
R1 = 2 Ω, R2 = 1 Ω
Risultato: PEerog = 16.67 W, PEerog = 0.12 kW.
1
2
ES. 2.3 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.
E = 50 V
R4
R2
J
R1
+
R3
E
J = 20 A
R1 = 1 Ω R2 = 5 Ω
R3 = R4 = 10 Ω
Risultato: PEerog = −0.09 kW, PJerog = 1.36 kW.
ES. 2.4 - Calcolare la tensione v1 e la corrente i3.
R2
R3
R1
E1
+
v1
R4
E2
−
+
i3
R1 = R2 = R3 = R4 = 2 Ω
E1 = 5 V, E 2 = 2 V
+
Risultato: v1 = 1.60 V, i 3 = −0.90 A.
ES. 2.5 - Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, dimostrare la Formula di Millmann.
A
R1
+
R3
R2
v AB
+
E1
versione 3.1 – ottobre 2007
+
E2
+
E3
v AB
E1 E 2 E3
+
+
R1 R2 R3
=
1
1
1
+
+
R1 R2 R3
−
B
8
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 2.6 - Determinare la potenza erogata dal generatore E1.
R1
R2
+
E1
+
R3
E1 = 5 V , E 2 = 12 ,
E2
R1 = 3.5 Ω, R2 = 2.3 Ω, R3 = 3.2 Ω.
= −2.05 W.
Risultato: PEerog
1
ES. 2.7 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la tensione v.
v
R1
+
E
E = 5 V , J = 2 mA
R2
R1 = 3 kΩ, R2 = 2.4 kΩ, R3 = 3.2 kΩ
R3
J
Risultato: v = 0.28 V.
ES. 2.8 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la corrente i e
la potenza assorbita da R3
i
R1
J
R2
+
R3
E = 10 V , J = 1 mA
E
R1 = 3.2 kΩ, R2 = 2.2 kΩ, R3 = 3.5 kΩ
Risultato: i = 1.37 mA, P = 6.57 mW.
ES. 2.9 - Valutare la corrente i e la potenza erogata dal generatore E1.
i
R1
E1
+
R3
E1 = 10 V , E 2 = 20 V
R2
+
E2
R1 = 5 Ω,
R 2 = 20 Ω,
R3 = 10 Ω
= −2.86 W.
Risultato: i = −0.86 A, PEerog
1
versione 3.1 – ottobre 2007
9
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
3. Generatori equivalenti di Thévenin e di Norton.
ES. 3.1 - Calcolare l’equivalente di Thévenin visto ai capi dei morsetti a-b.
a
R1
+
E
R2
R3
b
La resistenza equivalente si ottiene spegnendo l’unico generatore, quindi studiando la rete
seguente
a
R1
R2
Req = R2 + R1 // R3 = R2 +
R3
R1R3
.
R1 + R3
b
La tensione a vuoto E0 si ottiene valutando la tensione tra i morsetti aperti. Tenuto conto che in
queste condizioni non circola corrente sul resistore R2 è evidente che la E0 è anche la tensione
su R3 . Poiché R1 ed R3 sono in serie, la tensione E0
i2 = 0
si può ricavare da un semplice partitore di tensione:
a
E0 = E
E
R3
.
R1 + R3
R1
+
R2
R3
E0
E0
b
ES. 3.2 - Calcolare l’equivalente di Norton visto ai capi dei morsetti a-b.
R2
R1
J
a
R3
+
J = 20 A
E = 10 V
R4
R1 = R2 = 2 Ω
b
R3 = R4 = 4 Ω
E
La resistenza equivalente si ottiene spegnendo i generatori:
Req = R4 //[ R3 //( R1 + R2 )] = 1.33 Ω
La corrente I cc è la corrente che circola da a a b quando i due morsetti sono in corto-circuito.
′ dovuto al solo
Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, il contributo I cc
generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di tensione con un corto-circuito e
applicando la formula del partitore di corrente:
versione 3.1 – ottobre 2007
10
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
′ =J
I cc
R1
= 10 A
R1 + R2
′′ dovuto al generatore di tensione si
(si noti che R3 ed R4 sono cortocircuitate). Il contributo I cc
′′ è
valuta sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto. In questo circuito I cc
proprio la corrente che circola nel generatore di tensione (si noti che su tale generatore è fatta la
convenzione dell'utilizzatore):
′′ = −
I cc
E
= −5 A ,
RE
dove R E = ( R1 + R2 ) // R3 = 2 Ω . Pertanto la I cc sarà
′ + I cc
′′ = 5 A .
I cc = I cc
ES. 3.3 - Utilizzando l'equivalente di Norton calcolare la corrente che circola in R4 .
R1
+
E
R2
R3
R4
J
E = 54 V
J = 10 A
R1 = 6 Ω
R2 = R3 = 4 Ω
R4 = 12 Ω
i4
Riducendo la rete vista ai capi di R4 con il teorema di Norton, si ottiene la rete seguente, dalla
quale si evince che
i4
Req
.
i4 = I cc
I cc
Req
Req + R4
R4
I circuiti per valutare i parametri di Norton sono riportati di seguito:
R1
Req
R2
R1
R3
E
+
R2
R3
J
I cc
I cc
Si avrà allora
Req = R1 // R2 + R3 = 6.40 Ω .
La corrente I cc si può valutare applicando il principio di sovrapposizione degli effetti. Il
′ dovuto al solo generatore di corrente si valuta sostituendo il generatore di
contributo I cc
tensione con un corto-circuito e applicando la formula del partitore di corrente:
versione 3.1 – ottobre 2007
11
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
′ = −J
I cc
R3
= −6.250 A
R3 + ( R1 // R2 )
′′ dovuto al generatore di tensione si valuta sostituendo il generatore di corrente
Il contributo I cc
con un circuito aperto. Applicando il partitore di tensione si può ricavare la tensione sul parallelo
R p = R2 // R3 e quindi ricavare la corrente richiesta (che circola in R3 ).
v ′p′ = E
Rp
′′ =
⇒ I cc
R1 + R p
v ′p′
R3
= 3.375 A .
Si ottiene in definitiva
′ + I cc
′′ = −2.875 A
I cc = I cc
⇒
i4 = −1.000 A.
ES. 3.4 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita dal resistore R2 .
R3
R1
E = 1 V J = 2 mA
J
R2
E
R4
+
R1 = R2 = 1 kΩ R3 = 2 kΩ
R4 = 5 kΩ
Risultato: PR2 = 0.85 mW .
ES. 3.5 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la corrente i5 .
R1
+
i5
R3
R2
R4
R5
E = 12 V
R1 = R3 = 0.2 kΩ
R2 = 0.6 kΩ
R4 = R5 = 0.4 kΩ
Risultato: i5 = −18 mA.
versione 3.1 – ottobre 2007
12
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 3.6 - Utilizzando il teorema di Norton calcolare la potenza assorbita dal resistore R3 .
R2
R3
R1
J
R4
E
E = 5V
J = 1 μA
R1 = R3 = 2 MΩ
R2 = 800 kΩ
R4 = 300 kΩ
+
Risultato: PR3 = 0.43 μW .
ES. 3.7 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita da R5 .
R5
J1
J 1 = 2 mA
J2
J 2 = 1 mA
R1 = R2 = 2 kΩ
R1
R3
R4
R2
R3 = R5 = 10 kΩ
R4 = 3 kΩ
Risultato: PR5 = 54.87 μW .
ES. 3.8 - Verificare che il resistore R non è percorso da corrente se tra le resistenze vi è la
seguente relazione (ponte di Wheatstone):
R2
R1
R1 R2
=
R4 R3
R
R4
R3
E
+
(Suggerimento: applicare Norton ai capi di R ed imporre che sia nulla la corrente Icc)
versione 3.1 – ottobre 2007
13
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
4. Metodi generali per l’analisi delle reti in regime stazionario.
ES. 4.1 - Date le seguenti reti di bipoli, scrivere un sistema completo di equazioni di
Kirchhoff indipendenti.
2
1
3
5
2
4
5
1
3
6
6
4
(a)
(b)
Rete (a)
Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibile
sistema completo di equazioni di Kirchhoff è dato da:
⎧− i1 + i2 + i6 = 0
⎪
LKC ⎨− i2 − i3 + i4 = 0
⎪− i + i − i = 0
⎩ 4 5 6
1
3
2
⎧v1 + v 2 − v3 = 0
⎪
LKT ⎨v3 + v4 + v5 = 0
⎪− v − v + v = 0
4
6
⎩ 2
4
5
2
3
4
6
Rete (b)
Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibile
sistema completo di eq. di Kirchhoff è dato da:
⎧− i1 + i2 − i6 = 0
⎪
LKC ⎨− i2 − i3 + i5 = 0
⎪i − i + i = 0
⎩3 4 6
⎧− v1 − v 2 − v5 = 0
⎪
LKT ⎨v 2 + v 4 + v5 + v6 = 0
⎪v + v + v = 0
5
⎩ 3 4
2
2
1
6
5
3
4
5
4
Si osservi che su tutti i bipoli delle reti (a) e (b) è stata adottata la stessa convenzione.
versione 3.1 – ottobre 2007
14
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 4.2 - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali calcolare la corrente nel resistore R4.
R3
J1
i4
R4
J1 = J 2 = 1 A
J2
J3
R1 = 30 Ω R2 = 10 Ω
R2
R1
R5
J3 = 3 A
R3 = 25 Ω R4 = 5 Ω
R5 = 35 Ω R6 = 15 Ω
R6
Si individuino i nodi della rete e si orientino tutte le correnti nei resistori, adottando su di essi la
convenzione normale:
A
i3
i1
R3
J1
R1
i4
R4
i2
J2
J3
R2
C
B
R5
i5
D
R6
i6
Avendo scelto come potenziale di riferimento quello del nodo D, le incognite saranno i
potenziali degli altri tre nodi: e A , eB , eC . Per le convenzioni adottate si ha:
v1 = v 2 = e A , v3 = e A − e B , v 4 = e A − eC , v5 = e B , v6 = eC .
Applicando la LKC ai nodi A, B, C e sostituendo le caratteristiche dei resistori (scritte con
riferimento alle conduttanze) si ottiene il sistema:
⎧i1 + i2 + i3 + i4 = J 1 + J 2
⎪
⎨− i3 + i5 = J 3
⎪− i + i = − J
3
⎩ 4 6
⇒
⎧G1e A + G2 e A + G3 ( e A − eB ) + G4 ( e A − eC ) = J 1 + J 2
⎪
⎨− G3 ( e A − eB ) + G5eB = J 3
⎪− G ( e − e ) + G e = − J
6 C
3
⎩ 4 A C
Si osservi che tale sistema può essere posto nella forma matriciale:
G1 + G2 + G3 + G4
− G3
− G3
− G4
G3 + G5
0
− G4
eA
eB =
0
G4 + G6 eC
J1 + J 2
J3
− J3
Risolvendo tale sistema si ottiene:
e A = 7.500 V ,
da cui:
i4 =
eB = 48.125 V ,
eC = −5.625 V
v4
= G4 ( e A − eC ) = 2.625 A.
R4
versione 3.1 – ottobre 2007
15
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 4.3 - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali modificato calcolare la potenza erogata
dai due generatori e la potenza assorbita dai resistori (verificare la conservazione
delle potenze).
E
+
E = 50 V J = 60 A
R3
R1
R2
R4
J
R1 = 5 Ω R2 = 40 Ω
R3 = 80 Ω R4 = 120 Ω
Si individuino i nodi della rete e si orientino tutte le correnti nei resistori, adottando su di essi la
convenzione normale:
A i1
E
+
i3 C
B
R1
i2 R
3
R2
J
R4
i4
D
Avendo scelto come potenziale di riferimento quello del nodo D, le incognite saranno i
potenziali degli altri tre nodi: e A , eB , eC . Per la presenza del generatore di tensione tra nodo A e
nodo D, si ha banalmente e A = E . Con le convenzioni adottate si ha:
v1 = E − eB , v2 = eB , v3 = eB − eC , v 4 = eC .
Applicando la LKC ai nodi B e C e sostituendo le caratteristiche dei resistori (scritte con
riferimento alle conduttanze) si ottiene il sistema:
⎧− i1 + i2 + i3 = 0
⎨
⎩− i3 + i4 = J
⇒
⎧(G1 + G2 + G3 )eB − G3eC = G1 E
⎨
⎩− G3eB + (G3 + G4 )eC = J
Risolvendo tale sistema si ottiene:
eB = 0.20 kV ,
eC = 3.00 kV .
Adottando la convenzione del generatore sui due generatori si ha:
PEerog = EiE = Ei1 = EG1v1 = EG1 ( E − eB ) = −1.50 kW
PJerog = Jv J = Jv4 = JeC = 180.00 kW
PR1 = G1v12 = G1 ( E − eB ) 2 = 4.50 kW
PR2 = G2 v22 = G2 eB2 = 1.00 kW
PR3 = G3v32 = G3 ( eB − eC ) 2 = 98.00 kW
PR4 = G4 v42 = G4 eC2 = 75.00 kW
È facile verificare che PR1 + PR2 + PR3 + PR4 = PEerog + PJerog .
versione 3.1 – ottobre 2007
16
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 4.4 - Con riferimento alla seguenti reti:
a) scrivere il sistema completo delle equazioni di Kirchhoff e delle equazioni
caratteristiche (utilizzare grafo, albero e co-albero).
b) scrivere il suddetto sistema in forma matriciale, individuando le matrici di
incidenza ridotta e di maglia fondamentale.
R6
J1
R1
J2
R2
R4
R4
R3
R5
R1
R6
E1
R5
R2
+
E1
+
E2
J1
E3
R3
+
+
+
E2
R7
J2
ES. 4.5 - Utilizzando il metodo delle correnti di maglia calcolare la corrente in R2.
R1
R5
R4
J1
J 1 = 10 A
i2
R2
J2 = 5 A
R3
R1 = 2 Ω
J2
R2 = R3 = 3 Ω
R4 = R5 = 5 Ω
Risultato: i2 = 5 A. .
ES. 4.6 - Utilizzando il metodo delle correnti di maglia calcolare la potenza erogata da
ciascun generatore della rete.
R3
J 1 = J 2 = 1 mA, E = 2 mV
J2
J1
R2
R1
E
+
R1 = 0.3 Ω R2 = 0.2 Ω
R3 = 0.4 Ω R4 = 0.5 Ω
R4
Risultato: PEerog = 5.2 μW, PJerog = 3.0 μW, PJerog = 1.6 μW.
1
versione 3.1 – ottobre 2007
2
17
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
5. Analisi di reti con doppi-bipoli resistivi e generatori pilotati
ES. 5.1 - Analizzando i seguenti doppi-bipoli:
i1
i2
+
v1
RA
RB
RC
−
i1
+
v2
+
v1
−
−
R AB
R AC
i2
RBC
+
v2
−
schema a Π (triangolo)
schema a T (stella)
a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice R con le posizioni
seguenti (formule di sintesi): R A = R11 − Rm , RB = R22 − Rm , RC = Rm ;
b) verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni
seguenti (formule di sintesi): G AC = G11 + Gm , GBC = G22 + Gm , G AB = −Gm ;
c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento:
imporre l’equivalenza tra gli schemi a T e a Π):
Y →Δ
Δ →Y
R AB =
R A RB + R A RC + RB RC
RC
RA =
R AC =
R A RB + R A RC + RB RC
RB
RB =
RBC =
R A RB + R A RC + RB RC
RA
RC =
R AB
R AB R AC
+ R AC + RBC
R AB
R AB RBC
+ R AC + RBC
R AB
R AC RBC
+ R AC + RBC
ES. 5.2 - Con riferimento alla seguente rete:
a. caratterizzare attraverso la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi
dei generatori;
b. utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita dal doppio-bipolo;
E1
+
R1
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R1
R2
R1
R1
+
E2
E1 = E 2 = 10 V
R1 = 2 Ω R2 = 1 Ω
18
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
a.) L’elemento G11 è definito come:
i
G11 = 1
v1
R1
R1
R2
R1
v2 = 0
R1
quindi corrisponde alla conduttanza di ingresso della rete descritta in alto. Applicando le regole
di equivalenza serie e parallelo di conduttanze si ottiene:
⎛
2G1G2 ⎞
⎟⎟
G1 ⎜⎜ G1 +
G
+
G
2
1
2 ⎠
= 0.33 S .
G11 = ⎝
2G1G2
2G1 +
2G1 + G2
Per la simmetria della rete rispetto alle due porte, si ha anche G11 = G22 (si provi a dimostrarlo).
L’elemento G12 è definito come:
i1
G12
i
= 2
v1
v2 = 0
v1
ix
R1
+
R1
R2
R1
i2
R1
Il circuito per il calcolo di tale parametro è disegnato in alto. Si osservi che:
G12 =
quindi ci si riporta al calcolo di
i2
v1
v2 = 0
i2
i1
v2 = 0
=
i1
v1
⋅
v2 = 0
i2
i1
= G11 ⋅
v2 = 0
i2
i1
v2 = 0
, che può essere effettuato con l’applicazione reiterata del
partitore di corrente:
i2 − i x / 2
R1
1
=
=−
i1
= −0.25
i1
i1
2i1 R1 + R2 + R1 / 2
da cui: G12 = −0.25 ⋅ G11 = −0.08 S .
Si provi a verificare che G12 = G21 = Gm , proprietà valida per tutti i doppi-bipoli reciproci.
b.) Introdotto il vettore e T = E1
come:
E 2 , la potenza assorbita dal doppio-bipolo è esprimibile
P = e T ⋅ i = e T ⋅ G ⋅ e = G11 E12 + G22 E 22 + 2Gm E1 E 2 = 50 W .
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19
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 5.3 - Con riferimento alla seguente rete:
a) caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei
generatori;
b) utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo;
+
R1
R2
J
E = 50 V
E
R1 = 1 Ω R2 = 5 Ω
R4
R3
J = 20 A
R3 = R4 = 10 Ω
Risultato: a) H 11 = 0.909 Ω, H 22 = 0.073 S , H 12 = − H 21 = 0.045 ; b) P = 0.546 kW .
ES. 5.4 - Con riferimento al seguente doppio-bipolo:
a) caratterizzarlo attraverso la matrice R;
b) sintetizzare un doppio-bipolo equivalente con uno schema a T;
R1
R3
R2
i1
+
v1
R4
−
i2
R5
R6
+
v2
−
R1 = R2 = R3 = R4 = R
1
2
R R6 = R
3
3
R = 24 Ω
R5 =
Risultato: a) R11 = 24 Ω, R22 = 12 Ω, Rm = 8 Ω ; b) R A = 16 Ω, RB = 4 Ω, RC = 8 Ω .
ES. 5.5 - Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'
iR
R
1
E
+
J
βi R (t )
1′
Risultato: V0 = E +
RJ
R
, Req =
.
β −1
1− β
versione 3.1 – ottobre 2007
20
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
Per calcolare V0 basta applicare la LKC e la LKT:
i R − βi R = − J
⇒
iR =
J
,
β −1
V0 = E + Ri R = E +
RJ
β −1
Per calcolare Req occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E e J, e valutare
iR
i
1
i = i R − βi R ⇒ i = (1 − β)i R
+
v
iR =
R
v
R
βi R
−
v
R
Req = =
1′
i 1− β
Per β > 1 si ha Req < 0 , risultato plausibile visto che nella rete è presente un bipolo attivo. Per
β = 1 non esiste il circuito equivalente di Thévenin.
ES. 5.6 - Per il circuito in esame, determinare il valore di R2 che rende massima la potenza
assorbita dallo stesso resistore R2 .
+
E
+
R1
2v 2
R2
+
v2
−
E = 6V
R1 = 6 Ω
La condizione di massimo trasferimento di potenza su R2 si può trovare immediatamente una
volta rappresentata tutta la rete vista ai capi di R2 attraverso il
i2
generatore equivalente di Thévenin: R2 = Req .
Req
Il calcolo di Req può essere effettuato facilmente applicando
Kirchhoff:
Req =
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v2
i2
=
E =0
V0
+
R2
+
v2
−
v2
R
= 1 = 2 Ω.
v 2 + 2v 2
3
R1
21
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 5.7 - Per il circuito Il seguente circuito rappresenta lo schema equivalente di un
amplificatore di tensione. Calcolare:
a) la matrice delle conduttanze del doppio bipolo ai capi dei morsetti 1-1' e 2-2';
b) il guadagno di tensione Av = vU / v S
c) i valori dei parametri Rin ed Rout per cui il guadagno Av è massimo.
iin
RS
+
vin
+
vS
Rout
1
Rin
−
2
+
RU
αvin (t )
−
2′
1′
a) Orientando correnti e tensioni del doppio-bipolo
come nella figura a lato, la matrice delle conduttanze
si valuta applicando la definizione:
i
G11 = 1
v1
G12 =
G21 =
i1
v2
i2
v1
v2 = 0
v1=0
v1
Rin v 2
=−
v2 = 0
Rout
1 i1
+
v1
i
1
;
= 1 =
Rin i1 Rin
=
+
vU
+
Rin
−
αv1 (t )
+
v2
−
2′
1′
= 0;
i2 2
v1=0
αv1
α
;
=−
Rout v1
Rout
G22 =
i2
v2
=
v1= 0
v2
Rout v 2
=
1
.
Rout
Si osservi che G12 ≠ G21 , cioè il doppio-bipolo non è reciproco.
b) analizzando la maglia alla porta 1 e quella alla porta 2 si ottiene:
vin = v s
Rin
,
Rin + RS
vu = αvin
RU
,
Rout + RU
da cui
Av =
vu
Rin
RU
.
=α
vs
Rin + RS Rout + RU
c) Osservando l'espressione di Av è semplice verificare che il massimo è dato da
Av max = α
e si ottiene per Rin → ∞, Rout → 0 .
versione 3.1 – ottobre 2007
22
A. Maffucci, Esercizi di Elettrotecnica - Circuiti in regime stazionario
ES. 5.8 - Calcolare i potenziali di nodo del circuito seguente.
A
−
v1
J
B
+
R1
+
αv1
R2
J =3A
R1 = 4 Ω R2 = 10 Ω
α=4
Indicando con V A , V B i potenziali dei nodi A e B si ha che
V A = −v1
⇒
V A − V B = αv1 = −αV A
⇒
V B = (1 + α)V A .
Applicando il metodo dei potenziali nodali (modificato) si ha:
⎧V A
⎪R −i = J
⎪ 1
⎨
⎪V B + i = 0
⎪⎩ R2
⇒
V A VB
+
=J
R1 R2
V A (1 + α)
+
VA = J
R1
R2
⇒
⇒ VA =
J
= 4V
1 (1 + α)
+
R1
R2
V B = (1 + α)V A = 20 V .
ES. 5.9 - Calcolare la potenza dissipata in R2.
R1
R2
E = 6V
E
+
i
R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω
βi
β=5
Risultato: P2 = 5 W .
ES. 5.10 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l’equivalente di Norton ai capi di
R2 e la corrente i2 circolante in tale resistenza.
i1
E
Risultato: I cc = (1 − β)
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+
R1
R2
βi1
i2
Req
R
E
, Req = 1 , i2 = − I cc
.
1− β
R1
R2 + Req
23