Verifica di fisica su errori area e volume

Compito di Fisica Classe 1C 29/10/2010
Alunno
Rispondi alle seguenti domande:
1) Cosa significa misurare
Misurare vuol dire confrontare una grandezza con un ‘altra grandezza omogenea scelta come unità di misura.
Il risultato dell’operazione di misura è rappresentato da un numero, che esprime il rapporto tra la grandezza
da misurare e quella scelta come unità di misura.
2) Perché non è possibile conoscere, senza incertezze, il valore di una misura?
Non è possibile conoscere senza incertezza un misura perché in ogni misura diretta con uno strumento la
misura dipende dalla sensibilità. Quindi le misure al di sotto della misura minima del mio strumento non
vengono rilevate. In ogni misura si possono presentare errori accidentali o casuali; questi errori li possono
contenere ma mai eliminare del tutto. Invece posso eliminare gli errori sistematici (dello strumento).
3) Come si ottiene al stima migliore del valore esatto di una misura?
Una valore ottimale della misura lo posso ottenere come già accennato nella seconda risposta, dotandomi di
uno strumento con buona sensibilità, eliminando gli errori sistematici, stando attento il più possibile agli
errori accidentali, e ripetendo la misura più volte. Se ripeto la misura N volte prendo come valore la media
aritmetica degli errori, cioè sommando tutte le N misure e dividendo tale somma per il numero N .
xM 
x1  x2  ...  xN
N
Come errore prendo la semidispersione o errore massimo, cioè il valore più grande meno quello più piccolo
diviso 2.
x 
| valoreMax  valoremin |
2
Problema 1
E’ data la seguente tabella a sei rilevazioni sulla durata di alcuni fenomeni:
Scriviamo le formule dirette e inverse che legano l’errore, la misura della grandezza e l’errore relativo:
ER 
x
xM
x  ER  xM
xM 
x
ER
Incertezza x(s)
Valore della grandezza Errore relativo r
xM(s)
Errore relativo
percentuale r%
x
 0,025
xM
2,5%
x
 0,01
xM
1%
x
 40
ER
0,05
5%
x
 125
ER
0,04
4%
5 x  E  x  0,05
R
M
25,00
0,002
0,2%
6 x  E  x  0,001
R
M
0,125
0,008
0,8%
1
0,02
0,80
2
0,1
10,0
3
2
4
5
xM 
xM 
ER 
ER 
a) Completa la tabella.
b) Scrivi le sei misure in modo corretto e in ordine di precisione (dalla meno precisa alla più precisa)
La meno precisa è quella che ha maggiore errore relativo e quindi riscriviamo la tabella:
Incertezza x(s)
Errore relativo r
Valore della
grandezza xM(s)
Errore relativo
percentuale r%
3
2
40
0,05
5%
4
5
125
0,04
4%
1
0,02
0,80
0,025
2,5%
2
0,1
10,0
0,01
1,0%
6
0,001
0,125
0,008
0,8%
5
0,05
25,00
0,002
0,2%
Problema 2
Si vuole determinare la lunghezza. Si esegue allo scopo un serie di 10 misurazioni che forniscono i seguenti risultati:
n.1
n.2
n.3
n.4
n.5
n.6
n.7
14,5
14,5
14,6
14,5
14,7
14,6
14,7
Determinare il valore medio delle misure e la semidispersione e l’errore relativo.
xM 
x1  x2  ...x10 145, 4

 14,54
10
10
x 
| xMax  xMin | |14, 7  14, 4 | 0,3


 0,15
2
2
2
ER 
x 0,15

 0, 01
xM 14,54
n.8
14,4
n.9
14,5
n.10
14,4
Dato che i valori hanno 3 cifre significative: allora xM  (14,5  0, 2)
Problema 3
I lati di un rettangolo valgono rispettivamente (16,0 ± 0,1) cm e (12,0 ± 0,1) cm. Determina la misura completa
(comprensiva di incertezza opportunamente arrotondata)
a)
b)
c)
Del perimetro
Dell’area
Del volume del parallelepipedo che ha come base il rettangolo e l’altezza (15,8 ± 0,2) cm.
P  AB  BC  CD  DA  2a  2b  32  24  56cm
Dato che l’errore di una somma è uguale alla somma degli errori:
P  a  b  a  b  0,1  0,1  0,1  0,1  0, 4
Quindi infine possiamo scrivere la misura
P  (56, 0  0, 4)cm
A  AB  BC  a  b  16 12  192cm 2
Calcoliamo prima l’errore relativo dell’area, dato che in un
prodotto l’errore relativo del prodotto è uguale alla somma degli
errori relativi:
ER ( A) 
A a b 0,1 0,1




 0, 014583  0, 015
A
a
b
12 16
Poi calcolo l’errore assoluto:
A  ER ( A)  A  2,88cm2  2,9cm2  3cm2
E tale risultato può essere scritto come
A  (192  3)cm2
Negli errori in genere si prende la prima cifra significativa. Ecco
perché approssimo tutto all’unità.
V  A  h  a  b  c  16 12 15,8  3033, 6cm3
Dato che ho un prodotto calcolo innanzitutto l’errore relativo:
V a b h 0,1 0,1 0, 2






 0, 027242
V
a
b
h
12 16 15,8
ER (V )  0, 027
ER (V ) 
Poi l’errore assoluto con la formula inversa.
V  ER (V ) V  81,9cm3  82cm3
Infine scrivo il risultato.
V  (3034  83)cm3
In genere per l’errore si prende la prima cifra significativa
approssimata sempre per eccesso. E così anche nel valore.
V  (3030  90)cm3
Problema 4
Date le seguenti grandezze, riguardanti rispettivamente un volume, un’area e una lunghezza.
3
2
V= (29600 ± 400) mm S= (435 ± 5) mm h= (42 ± 1) mm
Determina applicando le leggi di propagazione degli errori, le misure di:
a)
b)
a)
L
Calcolo per prima cosa il Valore L
V 29600

 68, 05  68mm
S
435
Dato che è una divisione calcolo l’errore relativo.
ER ( L ) 
L V S
400
5




 1, 701678  1, 7mm  2mm
L
V
S
29600 435
E poi scrivo il risultato
L  (68  2)mm
b)
Prima eseguo il calcolo della misura.
A  h  S  422  435  1329mm 2
2
Calcolo l’errore della differenza che è uguale alla somma degli errori. Però prima ,
Dato che h
2
è un prodotto, calcolo l’errore relativo e poi il valore assoluto.
ER 
h 2 h h 1
1




 0, 05
h
h
h 42 42
h2  ER h2  0,05  422  84
Allora l’errore di tale operazione è la soma degli errori:
A  h 2  S  84  5  89mm 2  90mm 2
A  (1329  89)mm2
O meglio A  (1330  90)mm
2