ANALISI MATEMATICA I (082740-Ingegneria elettrica, dell’automazione, elettronica, informatica e delle telecomunicazioni) Professoressa Cecilia Rizzi Professori Christian Migliavacca-Alberto Ratti Claris Anno accademico 2020-2021 Insiemi numerici Richiami di insiemistica (insieme, sottoinsieme, inclusione, operazione fra sottoinsiemi) - Sommatoria e sue proprietà Somma di una progressione geometrica - Produttoria e sue proprietà - Numeri naturali e operazioni definite su ℕ - Principio di induzione e principio del minimo intero - Applicazione del principio di induzione - Fattoriale e coefficienti binomiali Formula del binomio di Newton - Relazione d'ordine e relazione di equivalenza - Numeri interi, numeri razionali, numeri reali, con relative operazioni - Rappresentazione decimale di un numero Dimostrazione dell'irrazionalità di radice di 2 - Campo ordinato dei numeri reali - Operazioni definite su ℝ - Assioma di completezza - Identificazione con la retta reale - Intervalli reali Intorno di un punto - Insiemi numerici limitati - Massimo e minimo di un insieme - Maggiorante e minorante di un insieme Estremo superiore ed estremo inferiore - Teorema di esistenza degli estremi superiori e/o inferiori (con dimostrazione) – Numerabilità di ℚ – Non numerabilità di ℝ - Introduzione ai numeri complessi - Costruzione del campo complesso a partire da ℝ𝑥ℝ con somma e prodotto - ℂ estende ℝ - Unità immaginaria e sue proprietà - Forma algebrica di un numero complesso Modulo di un numero complesso - Numero complesso coniugato - Rappresentazione nel piano di Gauss - Proprietà dei moduli e disuguaglianza triangolare (con dimostrazione) - Numeri complessi in forma trigonometrica - Modulo e argomento Potenze di numeri complessi - Formula di De Moivre (con dimostrazione) - Radice n-esima di un numero reale - Radice nesima di un numero complesso - Risoluzione di equazioni di grado 2 a coefficienti complessi - Teorema fondamentale dell'algebra. Successioni Successione numerica reale - Definizione ed esempi - Successione a termini positivi - Successione limitata superiormente e inferiormente - Successione monotona crescente o decrescente Proprietà che definitivamente - Successione convergente Successione divergente a +infinito o a -infinito - Successioni irregolari - Teorema di unicità del limite (con dimostrazione) Una successione convergente è limitata (con dimostrazione) Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (con dimostrazione) - Teorema del confronto (con dimostrazione) Teorema di permanenza del segno (con dimostrazione) - Algebra dei limiti e sue estensioni nel caso di successioni divergenti Forme di indeterminazione e loro risoluzione - Confronti e stime asintotiche - Ordini di infinito e di infinitesimo - Criterio del rapporto ed esempi di applicazioni - Gerarchia degli infiniti - 1 𝑛 Dimostrazione del limite fondamentale lim (1 + 𝑛) - Limiti 𝑛→∞ notevoli deducibili per successioni - Applicazioni. Serie Serie - Somma parziale di serie - Serie convergenti, divergenti irregolari - Serie armonica (con dimostrazione) - Serie di Mengoli – Serie geometrica (con dimostrazione) - Condizione necessaria per la convergenza (con dimostrazione) - Serie armonica generalizzata (con dimostrazione) - Serie a termini positivi Criteri di convergenza per serie a termini positivi - Criterio del confronto (con dimostrazione) - Criterio del confronto asintotico (con dimostrazione) - Criterio del rapporto e della radice (con dimostrazione) - Criterio di sostituzione (o condensazione) per serie a termini positivi Serie a termini non positivi - Convergenza assoluta - Criterio di convergenza assoluta (con dimostrazione) - Criterio di Leibnitz (con dimostrazione). Funzioni Funzioni - Definizione ed esempi - Iniettività - Suriettività Invertibilità - Limitatezza Monotonia - Funzioni elementari (potenza, esponenziale, logaritmo, trigonometriche) e funzioni inverse - Grafici di funzioni elementari e trasformazioni elementari dei grafici - Composizione di funzioni - Domini di funzione - Punto di accumulazione - Limite di una funzione in un punto - Teorema ponte fra funzioni e successioni (con dimostrazione) - Rilettura dei limiti di funzione con le successioni - Teorema di unicità del limite (con dimostrazione) - Teorema del confronto - Calcolo del limite sin 𝑥 lim 𝑥 - Teorema del cambiamento di variabile nei limiti di 𝑥→0 funzioni composte - Limite destro e sinistro - Estensione del concetto di limite - Limite infinito in un punto - Limite per x che 1 𝑥 tende a infinito - Caso (1 + ) - Limiti notevoli riconducibili a 𝑥 1 𝑥 (1 + 𝑥) - Infinitesimi e infiniti - Confronto asintotico - Gerarchie degli infiniti - o-piccolo - Stime asintotiche - Asintoti (orizzontaliverticali-obliqui) – Continuità di una funzione - Tipi di discontinuità - Teorema di continuità di somma, prodotto, quoziente di funzioni continue - Teorema di continuità di funzioni composte e inverse (con dimostrazione) - Teorema di permanenza del segno - Teorema degli zeri (con dimostrazione) Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione) - Immagine di un intervallo mediante una funzione continua. Calcolo differenziale Punti di massimo e di minimo assoluto di funzioni - Teorema di Weierstrass - Derivabilità - Retta tangente in un punto al grafico Differenziabilità - Continuità di funzioni derivabili (con dimostrazione) - Esempi di non derivabilità - Derivate destra e derivate sinistra - Calcolo delle derivate di funzioni elementari Teoremi di derivazione (somma - prodotto - rapporto) - Derivate di funzioni composte - Derivata della funzione inversa Classificazione dei punti di non derivabilità - Punti di massimo e minino relativo - Teorema di Fermat (con dimostrazione) - Teorema di Rolle (con dimostrazione) - Teorema di Lagrange (con dimostrazione) - Test di monotonia (con dimostrazione) Teorema di Cauchy (con dimostrazione) - Teorema di De l'Hopital (con dimostrazione) - Concavità e convessità - Derivata seconda e derivate successive - Relazione fra convessità e f' crescente (con dimostrazione) - Condizione necessaria e sufficiente per la convessità/concavità - Flesso - Determinazione dei flessi Polinomio di Taylor o di Mc Laurin - Formula di Taylor di ordine n (con dimostrazione nel caso svolto a lezione) - Resto di Peano Formula di Taylor con resto di Lagrange (con dimostrazione nel caso svolto a lezione) - Approssimazione e stima dell'errore Applicazioni del polinomio di Taylor. Integrali Problema delle aree - Trapezoide relativo ad una funzione continua - Misura con segno e area Somme superiori e somme inferiori - Integrale definito su un intervallo - Somme di CauchyRiemann - Proprietà dell'integrale definito: linearità - additività rispetto ad un punto dell'intervallo nullità - monotonia - moduli (dimostrazione di tutte queste proprietà) - Determinazione delle aree di trapezoidi e regioni comprese fra due grafici di funzione - Caso funzioni dispari e pari su intervallo simmetrico rispetto all'origine - Interpretazione geometrica e fisica - Teorema della media integrale (con dimostrazione) - Integrale indefinito - Funzione primitiva Proprietà dell'integrale indefinito (con dimostrazione) - Metodi di integrazione (sostituzione, per parti, integrazione delle funzioni razionali fratte) - Funzione integrale - Teoremi fondamentali del calcolo integrale (con dimostrazione) - Integrazioni di funzioni non continue - Integrazioni di funzioni non limitate - Integrazione su domini illimitati - Criterio del confronto e del confronto asintotico (con dimostrazione) 1 Esempio di integrazione di 𝑥 𝑎 su (0,1) e su - Criterio di convergenza assoluta per gli integrali - Integrali generalizzati – Elementi di base dello studio di funzione integrale. Gli argomenti per i quali compare la dicitura “con dimostrazione” sono da studiare con la loro dimostrazione. In aula, è stata fornita una dimostrazione di questi argomenti; ma ovviamente ogni altra dimostrazione diversa, purché ben motivata e coerente, è ugualmente accettata.
