Cloning Parziale e Misure Congiunte in Sistemi di qubit

Cloning Parziale e Misure Congiunte in
Sistemi di qubit
Matteo Galbiati
Introduzione
In questo lavoro di Tesi ho analizzato schemi per misure indirette e misure
congiunte su sistemi di qubit con lo scopo di trovare nuovi apparati di misura
che realizzino il cloning, almeno parziale, dell’informazione trasportata da un
sistema quantistico.
Il problema é di natura fondamentale e nasce dall’impossibilitá, per un segnale quantistico, di essere amplificato e reso disponibile a piú utenti contemporaneamente, come avviene per i segnali classici. Il cosı́ detto ”teorema del
no-cloning”, diretta conseguenza della linearitá della meccanica quantistica,
proibisce infatti la duplicazione dei segnali quantistici, mentre la lettura di
un singolo segnale, da parte di un utente, determina la distruzione dell’informazione trasportata e la conseguente impossibilitá, da parte di un altro
utente, di leggere il segnale.
Nel Capitolo 1 viene introdotto l’apparato teorico dei postulati della Meccanica Quantistica moderna e gli strumenti matematici necessari allo studio
dei sistemi quantistici. I postulati della Meccanica Quantistica sono presentati nella forma canonica e in base alla definizione dell’operatore densitá.
Viene inoltre introdotto l’elemento base della teoria della computazione e
dell’informazione, il qubit, e ne viene descritto lo spazio degli stati secondo
diverse notazioni. Per completare il quadro, viene descritta la teoria generale
delle misure quantistiche, i metodi di misura, a valori di proiettore e a valori
di operatori positivi, e il concetto di mappa quantistica.
Nel Capitolo 2 viene descritto lo schema generale di misura indiretta su
un qubit. Questo schema di misura permette di determinare alcune proprietá
i
Introduzione
di un qubit, senza distruggerlo, per mezzo di una sonda, che interagisca con
esso, attraverso una trasformazione unitaria, e viene poi misurata.
L’evoluzione temporale degli stati dei sistemi quantistici avviene attraverso
operazioni unitarie. Nel ricercare trasformazioni che permettano il cloning
parziale dei qubit risulta imoirtante poter lavorare su una forma del tutto
generale degli operatori di evoluzione. Per questo motivo, nel resto del capitolo, si é proceduto con l’analizzare le caratteristiche principali del gruppo
degli operatori unitari e i metodi di parametrizzazione di tali operatori.
Nel Capitolo 3 é illustrato il ”teorema del no-cloning” per stabilire i limiti
imposti dalla Meccanica Quantistica alla procedura di copia dei qubit.
Nella seconda parte del capitolo si procede con l’individuazione di un’evoluzione del segnale trasmesso che non amplifichi o cloni il segnale, data l’inutilitá
della prima e l’impossibilitá della seconda, ma recuperi informazione senza
operare una variazione, o nei casi piú critici la distruzione, dello stato iniziale
del sistema. In particolare, la trasformazione unitaria opera attraverso un
segnale di controllo e deve permettere la copia di parte dell’informazione su
tale segnale. L’obiettivo consiste nel determinare una trasformazione unitaria
che conservi il valore di aspettazione per un generale operatore di misura o,
almeno, individui una trasformazione che conservi il valore di aspettazione
per una classe ampia di tali operatori.
Il lavoro svolto nel Capitolo 3 permette di stabilire alcuni schemi di copia
dell’informazione. Analizzando tali sistemi, e i risultati delle misure dei diversi sistemi, si osserva la possibilitá di un ulteriore sviluppo degli schemi. Le
caratteristiche generali degli schemi di misura del Capitolo 3 permettono la
suddivisione dell’informazione trasportata dal qubit su due qubit e, attraverso una misura congiunta sui due qubit, nel ricavare una maggior quantitá di
informazione sullo stato iniziale del sistema.
Nel Capitolo 4 é illustrato, nel dettaglio, il sistema di misure congiunte.
Dall’evoluzione dei risultati ottenuti nel precedente capitolo, si procede con
l’individuazione di un nuovo schema di misura.
Il lavoro si concentra su un metodo di misura congiunta che permetta la
ii
conservazione simultanea del valore di aspettazione relativo a operatori non
commutanti. I valori di aspettazione di tali operatori di misura si riferiscono
a parti diverse dell’informazione trasportata dal sistema. In questo modo
é possibile recuperare una maggiore quantitá di informazione rispetto alla
precedente operazione di misura.
Nel Capitolo 5 sono stati elencati e riassunti tutti i risultati ottenuti e
vengono individuati i possibili sviluppi del lavoro svolto.
Questo lavoro di Tesi ha prodotto risultati interessanti riguardo all’obiettivo preposto di ricercare nuovi schemi di misura che realizzino il cloning
parziale dell’informazione trasportata da un sistema quantistico. In particolare possiamo riassumere:
• Sono state individuate le trasformazioni che permettono di conservare,
ciascuna, il valore di aspettazione delle matrici di Pauli
• É stato individuato uno schema di misure congiunte che permette di
conservare il valore di aspettazione di coppie di matrici di Pauli
• É stato stabilito il limite di rumore ammissibile in un canale di trasmis-
sione al fine di non rendere completamente inutile una operazione di
misura per stabilire lo stato di un sistema quantistico
Per alleggerire i capitoli della Tesi, sono state raccolte, in Appendice, le
definizioni del formalismo di Dirac, delle matrici di Pauli e del gruppo delle
trasformazioni unitarie.
iii
Introduzione
iv
Indice
Introduzione
Indice
i
iv
Elenco delle Figure
vii
Elenco delle Tabelle
viii
1 Meccanica Quantistica Moderna
1
1.1
Postulati della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Operatore Densitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Qubit e Matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5
Misure Congiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6
Mappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Misure Indirette
25
2.1
Schema delle Misure Indirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2
Parametrizzazione di Matrici Unitarie . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Ripetizione di un Segnale
3.1
37
Cloning Quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
v
INDICE
3.2 Trasmissione e Condivisione di Segnali Classici Attraverso Segnali Quantistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Accoppiamento “segnale piú sonda” con una traformazione
unitaria generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Cloning Parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Misure Congiunte
59
4.1 Individuazione delle Mappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Individuazione Misure Congiunte . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Schema delle Misure Congiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Conclusioni e Sviluppi
73
A Notazione di Dirac
75
B Matrici di Pauli
79
C Matrici Unitarie
81
vi
Elenco delle figure
1.1
Sfera di Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2
Schema generale di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1
Schema generale di misura indiretta . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1
Schema generale di cloning classico . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2
Psiibile schema di cloning quantistico . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3
Schema di trasmissione di un segnale classico . . . . . . . . . . 41
3.4
Schema di trasmissione di un segnale quantistico . . . . . . . . 41
3.5
Schema di evoluzioni unitarie equivalenti . . . . . . . . . . . . 43
3.6
Ricostruzione dello schema di cloning . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7
Schema dei ripetitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1
Mappe della porta c-not . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2
Schema di misura congiunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
vii
ELENCO DELLE FIGURE
viii
Elenco delle tabelle
2.1
Porta c-not . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1
Cloning parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1
Misure congiunte per la porta c-not . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2
Porta di Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.1 Notazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
B.1 Proprietá dei prodotti fra matrici di Pauli . . . . . . . . . . . 80
C.1 Proprietá delle matrici unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
ix
ELENCO DELLE TABELLE
x
Capitolo
1
Meccanica Quantistica Moderna
In questo capitolo, viene introdotto l’apparato teorico dei Postulati della
Meccanica Quantistica Moderna e gli strumenti matematici necessari allo
studio dei sistemi quantistici. I Postulati della Meccanica Quantistica sono
presentati nella forma canonica e in base alla definizione dell’operatore densitá. Questo capitolo é necessario per definire, e uniformare, il formalismo
adottato nel resto della Tesi.
Viene inoltre introdotto l’elemento base della teoria della computazione e
dell’informazione, il qubit, e ne viene descritto lo spazio degli stati secondo
diverse notazioni. Per completare il quadro, viene descritta la teoria generale
delle misure quantistiche, i metodi di misura, a valori di proiettore e a valori
di operatori positivi, e il concetto di mappa quantistica.
1.1
Postulati della Meccanica Quantistica
La Meccanica Quantistica fornisce una struttura concettuale e matematica
per lo sviluppo delle leggi cui un sistema fisico deve obbedire. La connessione
fra il mondo fisico e il formalismo matematico della Meccanica Quantistica é
garantito da una serie di postulati.
Attraverso il primo postulato si definisce l’ambiente in cui agisce la Meccanica Quantistica.
1
Meccanica Quantistica Moderna
Postulato 1. A ogni sistema fisico isolato é associato uno spazio vettoriale
complesso dotato di prodotto interno (i.e. uno spazio di Hilbert) che prende il
nome di spazio degli stati del sistema. Il sistema é descritto completamente
dal suo vettore di stato, che é un vettore unitario nello spazio degli stati del
sistema.
Il piú semplice sistema fisico della Meccanica Quantistica é il qubit. Ad
un qubit é associato uno spazio degli stati bidimensionale e, supposto che |0i
e |1i formino una base ortonormale per tale spazio degli stati, un arbitrario
vettore di stato puó essere scritto come:
|ψi = a|0i + b|1i
(1.1)
dove a e b sono numeri complessi. Poiché un vettore di stato é, per definizione,
un vettore unitario, si impone la condizione di normalizzazione hψ|ψi = 1
equivalente a imporre |a|2 + |b|2 = 1.
Il secondo postulato fornisce una descrizione di come evolve lo stato di
un sistema nel tempo.
Postulato 2. L’evoluzione di un sistema quantistico chiuso é descritto da
una trasformazione unitaria. Cioé lo stato |ψi del sistema al tempo t1 é
legato allo stato |ψ 0 i del sistema al tempo t2 da un operatore unitario U che
dipende solo dai tempi t1 e t2 :
|ψ 0 i = U|ψi
(1.2)
La richiesta che il sistema fisico descritto sia chiuso significa che non deve
interagire in alcun modo con altri sitemi. In realtá qualsiasi sitema, ad esclusione dell’Universo, interagisce anche solo minimamente con altri sistemi.
Tuttavia diversi sitemi possono essere descritti, in buona approssimazione,
da sistemi chiusi e da evoluzioni unitarie. Inoltre, almeno in principio, ogni sistema aperto puó essere descritto come parte di un sistema chiuso piú
grande (l’Universo) che soddisfa l’evoluzione unitaria.
Il secondo postulato, cosı́ enunciato, definisce l’evoluzione del sistema a
due differenti istanti. É possibile fornire una versione piú raffinata del postulato che descriva l’evoluzione di un sistema quantistico per tempi continui :
2
1.1 Postulati della Meccanica Quantistica
Postulato 2’.(Definizione del Postulato 2 per tempi continui) L’evoluzione
temporale dello stato dei sistemi quantistici chiusi é descritta dall’ equazione
di Schroedinger:
i~
d|ψi
= H|ψi.
dt
(1.3)
dove ~ é la costante di Planck e H é un operatore Hermitiano noto come
Hamiltoniana del sistema chiuso.
La conoscenza dell’Hamiltoniana del sistema permette, in linea di principio, di conoscerne la dinamica. Le Hamiltoniane sono operatori Hermitiani
di cui é possibile fornire una decomposizione spettrale
X
H=
E|Ei,
(1.4)
E
dove E indica l’autovalore corrispondente agli autovettori normalizzati |Ei1 .
E é nota come l’energia dell’autostato dell’energia, o stato stazionario, |Ei.
Il nome stato stazionario deriva dal fatto che, nel tempo, subisce un cambio
di un fattore numerico
|Ei −→ exp
−iEt
~
|Ei.
(1.5)
L’autostato corrispondente al valore piú basso di energia, energia dello stato
fondamentale, é chiamato stato fondamentale.
I postulati 2 e 2’ di evoluzione del sistema per tempi discreti e per tempi
continui, sono collegati fra loro dal fatto che qualunque operatore unitario U
puó essere realizzato attraverso un opportuno operatore Hermitiano H:
−iH(t2 − t1 )
|ψ(t2 )i = exp
|ψ(t1 )i = U(t1 , t2 )|ψ(t1 )i
(1.6)
~
avendo espresso U attraverso
−iH(t2 − t1 )
U(t1 , t2) = exp
.
~
1
(1.7)
Vedi la descrizione in notazione di Dirac in Appendice A a pagina 75
3
Meccanica Quantistica Moderna
In queste definizioni sorge il problema della propretá di chiusura del sistema.
Applicare un operatore unitario a un particolare sistema quantistico significa, in altri termini, che un elemento esterno sta interagendo con il sistema.
Nonostante il sistema non sia piú chiuso, é possibile scrivere un’Hamiltoniana
che descriva il sistema totale contenente i parametri, variabili sperimentalmente, dell’elemento esterno interagente. Quindi il sitema evolve, in buona
approssimazione, secondo l’equazione di Schroedinger con un’Hamiltoniana
variabile nel tempo.
Benché un sistema possa evolvere senza interagire con il resto dell’Universo, l’osservazione del sistema per comprenderne l’evoluzione comporta un’intrusione che disturba il sistema stesso e lo rende non piú chiuso, quindi non
piú necessariamente soggetto a un’evoluzione unitaria. Gli effetti prodotti
da un’operazione di misura su un sistema quantistico sono descritti dal terzo
postulato della Meccanica Quantistica:
Postulato 3. Le misure quantistiche son descritte da un insieme {Mm } di
operatori di misura. Tali operatori agiscono sullo spazio degli stati del sistema
da misurare. L’indice m si riferisce al risultato che puó essere ottenuto con
un esperimento. Se lo stato del sistema quantistico é |ψi immediatamente
prima della misura, la probabilitá di ottenere il risultato m é data da
†
p (m) = hψ|Mm
Mm |ψi,
(1.8)
e lo stato del sistema dopo la misura é
|ψm = q
Mm |ψi
.
(1.9)
†
hψ|Mm
Mm |ψi
Gli operatori di misura soddisfano l’ equazione di completezza
X
†
Mm
Mm = 1
(1.10)
che deriva dalla normalizzazione delle probabilitá
X
X
†
1=
p (m) =
hψ|Mm
Mm |ψi.
(1.11)
m
m
4
m
1.1 Postulati della Meccanica Quantistica
Un esempio di applicazione di questo postulato é fornito dalla misura di
Von Neumann. In questo caso gli operatori di misura Mm sono rappresentati
dai proiettori |φm ihφm |. Dal postulato 3 si ottiene quindi:
Mm = |φm ihφm |
pm = hψ|φmihφm |φm ihφm |ψi = |hφm|ψi|2
|φm ihφm |ψi
|ψm i = p
=|φm i.
|hφm|ψi|2
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Un differente esempio di misura consiste in una misura distruttiva come si ha
con uno schermo per l’individuazione dei fotoni. In questo caso, l’operazione
di misura coinvolge lo stato di vuoto elettromagnetico |0i. Se, come nella
misura di Von Neumann, rappresentiamo gli operatori di misura Mm come i
proiettori sullo stato di vuoto |0ihφm|, otteniamo:
Mm = |0ihφm|
pm = hψ|φm ih0|0ihφm|ψi = |hφm |ψi|2
|0ihφm|ψi
|ψm i = p
=|0i.
|hφm |ψi|2
(1.15)
(1.16)
(1.17)
É interessante osservare come, in questi due casi, le probabilitá di misura
siano esattamente identiche mentre differiscono chiaramente gli stati di uscita. Nel primo caso lo stato iniziale del sistema decade su un autovettore del
proiettore mentre, nel secondo caso, si ha la distruzione dello stato iniziale
che decade nello stato di vuoto elettromagnetico.
L’ultimo postulato si interessa dell’interazione fra piú sistemi quantistici quando essi vanno a formare uno spazio piú ampio.
In particolare
definisce come costruire lo spazio degli stati dagli spazi degli stati dei sistemi
componenti il sistema composto.
Postulato 4. Lo spazio degli stati di un sistema fisico composito é il prodotto
tensore degli spazi degli stati dei sistemi fisici componenti il sistema totale.
Inoltre, se si numerano i sistemi da 1 a n, e il sistema i é preparato nello
stato |ψi i, lo stato completo del sistema totale é |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ · · · ⊗ |ψn i.
5
Meccanica Quantistica Moderna
Attraverso questo postulato, é possibile descrivere rigorosamente la misura,
definita dagli operatori di misura {Mm }, di un sistema quantistico con spazio
degli stati A. A questo scopo si introduce un sistema ancella il cui spazio
degli stati, M, corrisponde ai possibili risultati dell’operazione di misura2 .
Tale sistema ancella é uno strumento matematico che, fisicamente, puó essere
interpretato come un ulteriore sistema quantistico introdotto dalla misura.
Questo completa la formulazione matematica della meccanica quantistica
mostrando due importanti proprietá: l’equazione di Schroedinger é lineare
mentre le equazioni della dinamica classica sono non lineari e si hanno due
modi distinti di evoluzione di un sistema quantstico, l’una deterministica
attraverso un operatore unitario di evoluzione, l’altra probabilistica che assegna solo delle probabilitá, fra varie alternative, ai risultati delle misure.
In effetti la fisica classica puó essere derivata dalla fisica quantistica come
una descrizione approssimativa, valida per ordini di grandezza nella scala dei
tempi, delle dimensioni e delle masse compatibili con il mondo macroscopico
quotidiano. Dall’altra parte, l’impossibilitá di determinare lo stato di un sistema con esattezza risiede nell’impossibilitá di accedere al mondo quantistico
se non indirettamente e in modo imperfetto attraverso procedure invasive che
disturbano lo stato del sistema.
1.2
Operatore Densitá
É possibile fornire una formulazione alternativa, ma matematicamente equivalente, della meccanica quantistica fondata sull’operatore densitá o matrice
densitá. Benché le due formulazione siano del tutto equivalenti, in alcune
circostanze, come in questo lavoro di Tesi, risulta piú conveniente riferirsi
all’una piuttosto che all’altra.
La classe degli operatori che sono operatori densitá é caratterizzata da
due condizioni necessarie e sufficienti:
• (Condizione sulla traccia) ρ ha traccia unitaria
2
6
Vedi Paragrafo 1.4 a pagina 12
1.2 Operatore Densitá
• (Condizione di positivitá) ρ é un operatore positivo.
Supponendo di avere un insieme di stati puri {pi , |ψi i}, dove |ψi i sono gli
stati di un sistema quantistico rispettivamente con probabilitá pi , l’operatore
densitá per il sistema é definito da
X
ρ≡
pi |ρi ihρi |.
(1.18)
i
L’operatore densitá di un sistema in uno stato puro deve soddisfare l’ulteriore
condizione tr(ρ2 ) = 1. Invece, nel caso in cui ρ sia in uno stato misto, cioé
in una mistura di differenti stati puri, l’operatore densitá deve soddisfare la
proprietá tr(ρ2 ) < 1.
Dalla definizione della matrice densitá data in (1.18) si osserva una ulteriore proprietá:
• ρ é autoaggiunto, ρ = ρ† .
Ne consegue che l’operatore densitá é diagonalizzabile con autovalori reali,
non negativi, la cui somma é unitaria.
Poste queste definizioni, é possibile riformulare i postulati della meccanica
quantistica nella visione dell’operatore densitá.
Postulato 1. Ad ogni sistema fisico isolato é associato uno spazio vettoriale
complesso dotato di prodotto interno (i.e. uno spazio di Hilbert) definito
spazio degli stati del sistema. Il sistema é completamente descritto dal suo
operatore densitá, che é un operatore positivo ρ con traccia unitaria agente
sullo spazio degli stati del sistema. Se un sistema quantistico si trova nello
stato ρi con probabilitá pi , l’operatore densitá per il sistema é definito da
X
ρ=
pi ρi .
(1.19)
i
Postulato 2. L’evoluzione di un sistema quantistico chiuso é descritto da
una trasformazione unitaria. Cioé lo stato ρ del sistema al tempo t1 é legato
allo stato ρ0 del sistema al tempo t2 da un operatore unitario U che dipende
solo dai tempi t1 e t2
ρ0 = UρU † .
(1.20)
7
Meccanica Quantistica Moderna
Postulato 3. Le misure quantistiche sono descritte da un insieme {Mm }
di operatori di misura che agiscono sullo spazio degli stati del sistema da
misurare. L’indice m si riferisce al possibile risultato della misura durante
gli esperimenti. Se il sistema si trova nello stato ρ immediatamente prima
della misura, la probabilitá di ottenere un valore m é dato da
†
Mm ρ
p(m) = tr Mm
(1.21)
e il sistema decade nello stato
ρm =
†
Mm ρMm
.
†
tr(Mm
Mm ρ)
(1.22)
Gli operatori di misura soddisfano la relazione di completezza
X
†
Mm = I.
Mm
(1.23)
m
Postulato 4. Lo spazio degli stati di un sistema fisico composto é il prodotto
tensore degli spazi degli stati dei sistemi fisici componenti il sistema. Inoltre,
se si numerano i sistemi da 1 a n, e il sistema i é preparato nello stato ρi ,
lo stato completo del sistema totale é ρ1 ⊗ ρ2 ⊗ · · · ⊗ ρn .
La formulazione della Meccanica Quantistica in termini degli operatori
densitá risulta opportuna nella descrizione di sistemi quantistici il cui stato
non sia conosciuto e nella descrizione di sottosistemi di un sistema quantistico
composto.
La descrizione di un sottosistema é ottenuta attraverso l’operatore densitá
ridotto. Il sottosistema A, di un sistema fisico composto da A e B e descritto
dalla matrice densitá ρAB , é descritto dalla matrice densitá ridotta definita
dalla traccia parziale sul sitema B del sistema completo:
ρA = trB [ρAB ]
dove
trB [|a1 iha2 | ⊗ |b1 ihb2 |] = |a1 iha2 |tr [|b1 ihb2 |] = |a1 iha2 |hb2 |b1 i.
8
(1.24)
(1.25)
1.3 Qubit e Matrici di Pauli
1.3
Qubit e Matrici di Pauli
Il concetto fondamentale della teorie classiche della computazione e dell’informazione é il bit. Le teorie quantistiche della computazione e dell’informazione
sono basate su un analogo concetto: il quantum bit, o qubit.
Avendo descritto la Meccanica Quantistica come una struttura concettuale
e matematica per lo sviluppo delle leggi cui un sistema fisico deve obbedire3 , é utile introdurre i qubit come oggetti matematici e costruire una
teoria generale che non dipenda dal sistema specifico utilizzato per la sua
realizzazione.
Come un bit classico puó trovarsi in uno stato “0” o “1”, anche per
un qubit sono possibli due stati |0i e |1i, secondo la notazione di Dirac4 ,
che corrispondono agli stati “0” e “1” di un bit classico. La fondamentale
differenza fra i due sistemi é che un qubit puó esistere in un continuo di stati
compresi fra |0i e |1i, rappresentabile come una combinazione lineare degli
stati o sovrapposizione:
|ψi = α|0i + β|1i
(1.26)
dove α e β sono numeri complessi5 .
La meccanica quantistica ci assicura che possiamo ricavare informazioni
sullo stato quantitico del qubit attraverso una misura. Nella misura di un
qubit si ottiene il risultato “0” con probabilitá |α|2, il risultato “1” con probabilitá |β|2 e, ovviamente, |α|2 + |β|2 = 1, poiché la probabilitá deve sommarsi
a 1. La corrispondenza fra lo stato dell’osservabile e l’osservazione é indiretta e rende difficile comprendere il comportamento del sistema quantistico,
tuttavia le manipolazioni e trasformazioni dei qubit portano a dei risultati
di misura che dipendono fortemente dalle diverse proprietá dello stato e gli
stati quantistici hanno caratteristiche reali e sperimentalmente verificabili.
Una notazione molto utile, per descrivere un qubit, consiste nell’esplicitare la forma dei vettori della base dello spazio vettoriale dello stato del
3
Vedi sezione 1.1 a pagina 1
Vedi Appendice A a pagina 75
5
Vedi Postulato 1 a pagina 1.
4
9
Meccanica Quantistica Moderna
sistema. Per esempio, una possibile base per lo spazio vettoriale C2 é
" #
" #
1
0
|0i ≡
|1i ≡
(1.27)
0
1
Attraverso questa notazione é possibile sfruttare la rappresentazione matriciale per rappresentare gli operatori lineari che descrivono l’evoluzione di un
sistema quantistico6 . In notazione matriciale, una matrice m×n complessa A
rappresenta un operatore lineare che trasforma vettori dello spazio vettoriale
Cm in vettori dello spazio vettoriale Cn .
Avendo descritto lo spazio vettoriale di un qubit come uno spazio bidimensionale, le operazioni che si possono effettuare su un qubit sono descritte
dalle matrici di Pauli 7 con l’aggiunta dell’identitá: {I, σx , σy , σz }8 :
σx =
"
0 1
1 0
#
σy =
I =
"
"
0 −i
i
0
1 0
0 1
#
#
σz =
"
1
0
0 −1
.
#
(1.28)
(1.29)
Una diversa interessante notazione per descrivere lo stato di un qubit é
di porlo su una sfera tridimensionale chiamata sfera di Bloch. Considerando
che |α|2 + |β|2 = 1, é possibile riscrivere l’equazione (1.26) come
θ
θ
iφ
|ψi = cos |0i + e sin |1i ,
2
2
(1.30)
dove θ e φ sono numeri reali 9 [?].
La rappresentazione del sistema di un qubit sulla sfera di Bloch puó essere
estesa nella formulazione della Meccanica Quantistica attraverso la matrice
6
Vedi Postulato 2 a pagina 2
Vedi Appendice B a pagina 79
8
Una notazione complementare per le matrici di Pauli é: {σ0 , σ1 , σ2 , σ3 }.
9
La scrittura corretta e completa é |ψi = eiγ cos 2θ |0i + eiφ sin 2θ |1i .
7
iγ
Il termine
e , con γ numero reale, é chiamato fattore di fase globale e puó essere omesso
†
poiché non comporta risultati diversi nella statistica della misura: hψ|Mm
Mm |ψi =
†
†
hψ|e−iγ Mm
Mm eigamma |ψi = hψ|Mm
Mm |ψi.
10
1.3 Qubit e Matrici di Pauli
Figura 1.1: Rappresentazione di un qubit sulla sfera di Bloch.
Gli stati puri
corrispondono a punti sulla superficie, gli stati misti a punti interni.
densitá. In questo ambito, lo stato del sistema viene descritto da una matrice 2 × 2 autoaggiunta della forma (1.18). La piú generale matrice 2 × 2
autoaggiunta ha quattro parametri reali10 e puó essere espressa nella base
{σ0 , σ1 , σ2 , σ3 }. Poiché ogni matrice di Pauli ha traccia nulla, il coefficiente
di σ0 deve essere pari a
1
2
nell’espressione della matrice densitá:
1
(σ0 + ~n · ~σ ) =
2
1
(σ0 + n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3 ) =
=
2
!
1
+
n
n
−
in
1
3
1
2
=
.
2 n1 + in2 1 − n3
ρ(~n) =
(1.31)
Poiché tr[ρ] = 1, é condizione necessaria e sufficiente affinché non si abbiano
10
Vedi 2.2 a pagina 31
11
Meccanica Quantistica Moderna
autovalori negativi, che
1
det(ρ) = (1 − |~n|2 ) ≥ 0
4
(1.32)
|~n|2 ≤ 1.
(1.33)
o, equivalentemente,
La condizione (1.33), determina una corrispondenza biunivoca tra le possibili
matrici densitá e i punti di una sfera 0 ≤ |~n| ≤ 1 che é esattamente la sfera
di Bloch.
Il limite superiore |~n| = 1 della sfera consiste in quelle matrici densitá con de-
terminante nullo, quindi con autovalore 0 o 1. Si tratta di proiettori monodimensionali, cioé stati puri. I punti sulla sfera di Bloch, corrispondenti a stati
puri, si trovano sui poli e non possiedono una corrispondenza biunivoca con
una determinata matrice densitá poiché il fattore di fase puó essere del tutto
arbitrario.
Poiché su una sfera esistono infiniti punti, da questa rappresentazione é
possibile comprendere perché, in linea di principio, un singolo qubit puó immagazzinare infinite informazioni attraverso la sua espansione binaria. Tuttavia, una singola misura cambia lo stato del qubit facendolo collassare da
uno stato di sovrapposizione allo stato specifico ottenuto dalla misura. Da
una sola misura si ottiene una sola informazione, occorrerebbero quindi infinite misure per ottenere i valori corretti di α e β per l’equazione (1.26) o di θ
e φ per l’equazione (1.30). Tuttavia, il sistema quantistico chiuso di un qubit,
senza eseguire alcuna misura, evolve mantenendo tutte le continue variabili
che descrivono lo stato e racchiudendo un’enorme quantitá di informazioni.
1.4
Misure
Secondo il postulato 3, le misure quantistiche sono descritte da un insieme
di operatori di misura. Tali operatori, in accordo con il postulato 2, devono essere operatori autoaggiunti. Per il teorema spettrale, un operatore
12
1.4 Misure
autoaggiunto puó essere individuato da un insieme di proiettori. I proiettori
rappresentano una classe speciale di misure che prende il nome di misure
proiettive.
Misure Proiettive. Una misura proiettiva é descritta da un operatore Hermitiano, un osservabile M, sullo spazio degli stati del sistema da osservare.
L’osservabile ha una decomposizione spettrale
X
M=
mPm ,
(1.34)
m
dove Pm rappresenta il proiettore sull’autospazio M con autovalore m. I possibili risultati della misura corrispondono agli autovalori m dell’osservabile.
L’operazione di misura su uno stato |ψi del sistema ha una probabilitá di
ottenere un valore m data da
p(m) = hψ|Pm |ψi
(1.35)
e determina un‘evoluzione del sistema nello stato
Pm |ψi
p
.
p(m)
(1.36)
Nella descrizione delle misure proiettive, viene definita una forma molto
semplice per il valor medio di una misura:
X
hMi =
mp(m)
m
=
X
m
mhψ|Pm |ψi
= hψ|(
X
mPm )|ψi
m
= hψ|M|ψi.
(1.37)
Il valore medio di un osservabile viene quindi descritto come hMi ≡ hψ|M|ψi.
Le misure proiettive possiedono un’importante proprietá che puó essere
definita come ripetibilitá. Osservando la forma dello stato in cui evolve il
sistema in seguito alla misura, dato dalla relazione (1.36), si nota che le
13
Meccanica Quantistica Moderna
misure proiettive sono ripetibili nel senso che, se in seguito a una misura si
ottiene un valore m, le successive misure sul sistema forniscono ancora un
valore m e non cambiano lo stato del sistema:
Pm |ψi
|ψ‘i = p
p(m)
Pm |ψ 0 i
|ψ 00 i = p
= |ψ 0 i
p(m)
p(m) = hψ|Pm|ψi
p(m) = hψ 0 |Pm |ψ 0 i = 1
(1.38)
(1.39)
Non tutte le misure hanno questa proprietá di ripetibilitá. Alcune applicazioni non necessitano nemmeno la conoscenza dello stato del sistema dopo
l’operazione di misura, ad esempio nel caso di uno schermo che, per determinare la posizione di un fotone, distrugge il fotone. In tali applicazioni, in
cui il sistema é misurato solo una volta alla fine dell’epserimento, si utilizza
uno strumento matematico noto come formalismo POVM 11 . Le POVM rappresentano una classe piú generale delle misure proiettive.
Si definisce POVM ogni insieme di operatori {Πm } tali che:
• ogni operatore Πm sia positivo
• sia soddisfatta la relazione di completezza
P
m
Πm = 1
Possiamo ricavare l’espressione degli operatori positivi Πm , detti elementi
della POVM, in maniera operativa.
Se consideriamo uno schema generale di misura, come quello presentato in
figura 1.2, possiamo esprimere l’evoluzione del sistema
U|ψi ⊗ |si =
X
m
Mm |ψi ⊗ |mi.
(1.40)
Per il postulato 2, U deve essere unitaria, quindi conservare la norma
X
m,m0
11
†
hm0 |hψ|Mm
0 Mm |ψi|mi =
X
m
†
hψ|Mm
Mm |ψi = hψ|ψi
(1.41)
L’acronimo POVM sta per Misure a Valore di Operatore Positivo (Positive Operator-
Valued Measure) ed é stato introdotto in meccanica quantistica da Davies e Lewis [?]
14
1.4 Misure
e si ottiene la limitazione
X
†
Mm
Mm = I
(1.42)
m
La probabilitá di ottenere un risultato m dalla misura viene data da
p(m) = trA,M Uρ ⊗ |sihs|U † I ⊗ Pm
X
=
ri trA,M U|ψi ihψi | ⊗ |sihs|U † I ⊗ Pm
i
=
X
ri trA,M
i
=
X
i
"
X
l,l0
Ml |ψi ihψi Ml†0 | ⊗ |lihl0 |I ⊗ Pm
†
ri trA Mm |ψi ihψi Mm
†
= trA Mm ρMm
†
Mm ρ
= trA Mm
#
(1.43)
Quindi, data una misura descritta dagli operatori di misura {Mm }, gli
elementi della POVM sono definiti da
†
Πm ≡ Mm
Mm .
(1.44)
La probabilitá di ottenere un risultato m dalla POVM cosı́ individuata é data
da
p(m) = hψ|Πm |ψi.
(1.45)
Un esempio molto importante per illustrare l’utilitá delle misure proiettive
consiste nella discriminazione fra stati non ortogonali.
Supponiamo di avere un sistema di un qubit che possa essere preparato in
due possibili stati:
|ψ1 i = |0i
1
|ψ2 i = √ (|0i + |1i)
2
(1.46)
(1.47)
Poiché i due stati non sono ortogonali, non é possibile eseguire una misura
che determini perfettamente e senza margine di errore lo stato del qubit.
15
Meccanica Quantistica Moderna
Tuttavia esiste una misura che alcune volte riesce a distinguere lo stato del
qubit e non sbaglia mai la previsione. Tale misura é la POVM cosituita dali
elementi:
√
2
√ |1ih1|
Π1 =
1+ 2
√
2 (|0i − |1i)(h0| − h1|)
√
Π2 =
2
1+ 2
Π3 =I − E1 − E2
(1.48)
(1.49)
(1.50)
Analizzando le probabilitá di misura si ottiene che
hψ1 |Π1 |ψ1 i = 0
(1.51)
hψ2 |Π2 |ψ2 i = 0
(1.52)
Quindi se il risultato della misura é Π1 , si puó affermare con certezza che il
qubit é stato preparato nello stato |ψ2 i, mentre se il risultato della misura é
Π2 , si puó affermare con certezza che il qubit é stato preparato nello stato
|ψ1 i.
Tuttavia vi é anche una probabilitá non nulla che si ottenga un risultato Π3
hψi |Π3 |ψi i =
6 0
i = 1, 2
(1.53)
e in questa occasione non si puó fare alcuna inferenza sullo stato del qubit
poiché la misura non fornisce alcuna informazione.
Come visto nella definizione di POVM, presa una misura proiettiva si puó
sempre definire una POVM. L’operazione opposta, cioé il fatto che data una
POVM si puó sempre definire una misura proiettiva, é garantita dal teorema
di Naimark [?]:
Teorema di Naimark.
Data un POVM Πm di un sistema quantistico
nello stato definito dall’operatore densitá ρ su uno spazio di Hilbert H, es-
istono sempre uno spazio di Hilbert K, un operatore M che agisce sullo spazio
H ⊗ K e un sistema quantistico nello stato σ su K tali che
trH [ρΠm ] = trH,K [ρ ⊗ σPm ] .
16
(1.54)
1.4 Misure
Questo teorema stabilisce una corrispondenza fra le misure proiettive e le
POVM definendo una estensione di Naimark per le POVM
Πm = trK [IH ⊗ σPm ] .
(1.55)
Tali estensioni di Naimark K esistono e sono infinite per ogni POVM.
Poiché gli strumenti di misura sono essi stessi un sistema quantistico, il
sistema da misurare e lo strumento di misura possono essere considerati come
parte di un sistema chiuso piú grande. Per ottenere un sistema quantistico
isolato puó essere necessario includere anche altri sistemi quantistici e, in accordo con il postulato 2, l’evoluzione di questo sistema piú grande deve essere
descritto da un’evoluzione unitaria, ponendo una relazione tra i postulati di
misura e di evoluzione.
In accordo a questo principio, si puó esprimere la misura, descritta dagli operatori di misura {Mm }, su un sistema A, attraverso un sistema ancella, il
cui spazio degli stati M ha una base ortonormale {|mi} corrispondente ai
possibili risultati dell‘operazione di misura.
Figura 1.2: Schema generale di misura
Possiamo considerare un operatore lineare U, definito sul prodotto |ψi|si
degli stati |ψi del sistema A da misurare e di uno stato qualunque |si di M,
dato da
U|ψi|si =
X
m
Mm ⊗ I |ψi ⊗ |mi.
(1.56)
17
Meccanica Quantistica Moderna
Per l‘ortonormalitá degli stati |mi e la relazione di completezza degli opera-
tori di misura, U conserva il prodotto interno:
hφ|hs|U † U|ψi|si =
=
X
m,m0
X
m
†
hφ|Mm
Mm0 |ψihm|m0i
†
hφ|Mm
Mm |ψi
= hφ|ψi.
(1.57)
Trattandosi di un operatore lineare che preserva il prodotto interno per un
sottospazio del sistema totale, puó essere esteso a un operatore unitario su
tutto il sistema A ⊗ M. In questo modo viene definito l’operatore unitario
U di evoluzione del sistema che determina l‘interazione fra il sistema da
misurare e lo strumento di misura.
In questa visione, la probabilitá di ottenere un risultato m viene ottenuta
attraverso il proiettore Pm = IA ⊗ |mihm|:
p(m) = hψ|hs|U † Pm U|ψi|si
X
†
0
00
=
hψ|Mm
0 hm |(IA ⊗ |mihm|)Mm00 |ψi|m i
(1.58)
(1.59)
m0 ,m00
†
= hψ|Mm
Mm |ψi.
(1.60)
Tale definizione della probabilitá di misura risulta in perfetto accordo con il
postulato 3.
Il sistema totale, dopo la misura, viene a trovarsi in uno stato
q
Pm U|ψi|si
=
†
hψ|Mm
Mm |ψi
Mm |ψi|mi
†
hψ|Mm
Mm |ψi
,
(1.61)
che corrisponde a uno stato |mi per il sistema M e ad uno stato
Mm ψ
†
hψ|Mm
Mm |ψi
(1.62)
per il sistema A. Questo risultato va a completare le predizioni del postulato 3.
18
1.5 Misure Congiunte
1.5
Misure Congiunte
Se due matrici M1 e M2 commutano, é possibile trovare almeno una base
in cui entrambe le matrici sono diagonali [?]. In tale base, si ottiene una
misura di entrambi M1 e M2 , cioé due operatori commutanti possono essere
simultaneamente misurati.
É importante sottolineare che, se un operatore M1 commuta sia con M2 sia
con M3 , la misura di M1 non dipende dal contesto, cioé si ottiene lo stesso
risultato se si misura M1 da solo o simultaneamente a M2 o M3 . Un esempio
di questo comportamento si ha nella misura del quadrato del momento angolare di una particella, J 2 ≡ Jx2 + Jy2 + Jz2 , che commuta con le componenti
Jx e Jy della stessa particella: la misura di J 2 fornisce lo stesso risultato se
eseguita da sola o contestualmente a una misura di Jx o di Jy .
Se due operatori commutano, la Meccanica Quantistica permette di misurare non solo entrambi simultaneamente, ma anche una qualunque funzione
di essi. In particolare, si puó mostare che, se il sistema é preparato in uno stato |ψi tale che M1 |ψi = m1 ψ e M2 |ψi = m2 ψ, allora f (M1 , M2 )|ψi = f (m1 , m2 )ψ.
Questa proprietá puó essere estesa anche a due operatori che non commutino,
purché abbiano un autovettore in comune [?].
D’altro canto, se due operatori non commutano, non esiste una base in cui
entrambi sono diagonali e, secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg, le loro misure non possono essere eseguite con precisione arbitraria.
Un esempio fondamentale é rappresentato dalla misura della posizione, x,
e del momento relativo alla stessa coordinata, px , il cui commutatore vale
[b
x, pbx ] = i~.
É possibile spiegare in maniera elegante il principio di indeterminazione
di Heisemberg considerando il valor medio e la deviazione standard di un
osservabile espressi come:
hMi = hψ|M|ψi,
∆(M) = h(M−hMi)2 i = hM 2 i − hMi2 .
(1.63)
(1.64)
Se consideriamo una coppia di osservabili M1 e M2 e un sistema quantistico
19
Meccanica Quantistica Moderna
nello stato |ψi, possiamo scrivere hψ|M1 M2 |ψi = c = x + iy. Da questa
scrittura si osserva che hψ|[M1 , M2 ]|ψi = 2iy e hψ|{M1 , M2 }|ψi = 2x. Questo
implica che:
|hψ|[M1 , M2 ]|ψi|2 + |hψ|{M1, M2 }|ψi|2 = 4|hψ|M1M2 |ψi|2
(1.65)
e, applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
|hψ|M1 M2 |ψi|2 ≤ hψ|M1 |ψihψ|M2|ψi,
(1.66)
si ottiene la relazione
|hψ|[M1 , M2 ]|ψi|2 ≤ 4hψ|M1 |ψihψ|M2 |ψi.
(1.67)
Sostituendo ai valori medi le deviazioni standard, la relazione non cambia e
si ottiene la forma del principio di indeterminazione di Heisenberg:
∆(M1 )∆(M2 ) ≥
|hψ|[M1 , M2 ]|ψi|
.
2
(1.68)
Questo principio afferma che, se si prepara un certa quantitá di sistemi quantistici nello stato |ψi e, su alcuni di essi, si misura M1 , mentre sugli altri si
misura M2 , i valori delle deviazioni standard, ∆(M1 ) di M1 e ∆(M2 ) di M2 ,
devono soddisfare una disuguaglianza del tipo (1.68).
Nel caso ci si stia riferendo a una singola misura simultanea su uno stato
ψ per determinare il valore di due osservabili i cui operatori non commutino,
l’usuale principio di indeterminazione va riformulato nella forma [?]:
1
∆(M1 )2 ∆(M2 )2 ≥ .
2
(1.69)
La derivazione della formula (1.69) puó essere estesa al caso in cui il
commutatore degli operatori degli osservabili non sia un numero immaginario,
bensı́ un nuovo operatore [?]:
[M1 , M2 ] = iM3 ,
(1.70)
come nel caso delle matrici di Pauli.
In questa circostanza, si puó esprimere la varianza sulla misura come:
∆(M1 )2 = hψ|(M1 − hM1 i2 )2 |ψi +
20
hψ|M3 |ψi
.
2
(1.71)
1.6 Mappe
Applicando la regola di indeterminazione si ottiene:
∆(M1 )2 ∆(M2 )2 ≥ (hψ|M3 |ψi)2 = hM3 i2 .
1.6
(1.72)
Mappe
Consideriamo lo schema generale di misura in figura 1.2 e poniamo l’attenzione sull’evoluto dello stato ρ senza preoccuparci dei risultati della misura.
Possiamo ricostruire lo stato del sistema A dopo l’interazione applicando la
traccia parziale sul sistema S
ρ0 = trS [U(ρ ⊗ |sihs|)U]
X
=
hj|U|siρhs|U|ji
(1.73)
j
dove {|ji} rappresenta una base su S 0 .
Se rappresentiamo
Mj = hj|U|si
(1.74)
come un operatore che agisce sul sistema A, si puó riscrivere l’equazione
(1.73) come
ρ0 =
X
Mj ρMj†
(1.75)
j
dove, per l’unitarietá di U, l’operatore Mj soddisfa la condizione di completezza
X
Mj† Mj = 1
(1.76)
j
L’equazione (1.75) definisce una mappa lineare che trasforma operatori lineari
in operatori lineari. Provvista della proprietá di completezza la mappa lineare
prende il nome di superoperatore e l’equazione (1.75) é detta rappresentazione
di Kraus del superoperatore. Tale rappresentazione non é unica, ma dipende
dalla base {|ji} scelta per rappresentare S 0 .
I superoperatori sono mappe che trasformano matrici densitá in matrici
densitá, poiché, se ρ é una matrice densitá, si osservano le proprietá:
21
Meccanica Quantistica Moderna
• ρ0 é Hermitiano, ρ0† =
P
j
Mj ρ† Mj† = ρ
• ρ0 ha traccia unitaria, tr[ρ0 ] =
• ρ0 é positivo, hψ|ρ0 |ψi =
P
P
j
tr[ρMj† Mj ] = tr[ρ] = 1
†
j hψ|Mj ρMj |ψi
≥1
Da questa analisi si ricavano immediatamente le caratteristiche principali
cui deve soddisfare una mappa per trasformare matrici densitá in matrici
densitá:
• conserva l’Hermitianitá
• conserva la traccia
• é positiva
Oltre a queste proprietá, si puó dimostrare12 che una mappa quantistica:
• é lineare
• é completamente positiva13
Una mappa quantistica, a differenza delle evoluzioni unitarie, non é necessariamente unitaria, ma rappresenta una classe piú ampia di operatori di
evoluzione. In particolare, una mappa risulta invertibile solo se é anche
unitaria.
Come descritto nella sezione 1.4, una POVM su un sistema A rappresenta una trasformazione unitaria che lega il sistema A con un sistema S
su cui viene eseguita una misura proiettiva. Nella descrizione delle mappe
quantistiche é possibile costruire la POVM attraverso la rappresentazione di
Kraus.
Se consideriamo l’evoluzione dello stato del sistema |ψi secondo
X
U|ψi|si =
Mm |ψi|mi,
(1.77)
m
12
13
Vedi [?]
Definiamo la completa positivitá secondo [?]: considerando una qualunque possibile
estensione di HA nel prodotto tensore HA ⊗HS , allora una mappa M su A é completamente
positiva se M ⊗ I é positiva per ognuna di queste estensioni.
22
1.6 Mappe
la probabilitá di ottenere un misura proiettiva su S con valore m vale
†
p(m) = hψ|Mm
Mm |ψi.
(1.78)
Esprimendo lo stato del sistema ρ come un insieme di stati puri si ottiene,
senza perdere in generalitá:
†
p(m) = tr[Mm
Mm ρ] = tr[Πm ρ]
dove Πm é positivo e, per la completezza delle misure,
perció realizzata una POVM.
(1.79)
P
m
Πm = 1. Si é
In particolare, la POVM puó essere rappresentata dalla mappa quantistica
√
Πm
Xp
p
ρ −→
Πm ρ Πm
(1.80)
infatti,
√
m
Πm risulta Hermitiano e la condizione di completezza é esatta-
mente la condizione di normalizzazione (1.76) delle mappe. Quindi la POVM
possiede una rappresentazione unitaria U tale che
U|ψi|si =
Xp
m
Πm |ψi|mi.
(1.81)
23
Meccanica Quantistica Moderna
24
Capitolo
2
Misure Indirette
Nella prima parte di questo capitolo, viene descritto uno schema generale per
effettuare misure indirette su un qubit. L’analisi di questo genere di misura
risulta molto interessante per il presente lavoro di Tesi e verrá utilizzato nella
descrizione del clona parziale. Infatti questo schema di misura permette di
determinare alcune proprietá di un qubit, senza distruggerlo, per mezzo di
una sonda che, attraverso una trasformazione unitaria, interagisce con esso
e viene poi misurata. In particolare, in questa sezione, verrá analizzata una
misura indiretta che coinvolge l’operatore σ3 e la trasformazione unitaria cnot, poiché rappresenta una parte importante nello sviluppo del lavoro di
Tesi.
Successivamente, data l’importanza delle trasformazioni unitarie in Meccanica Quantistica, vengono analizzate le caratteristiche di tali trasformazioni
e si definsce un metodo di parametrizzazione generale. L’evoluzione temporale degli stati dei sistemi quantistici avviene attraverso operazioni unitarie.
Nel ricercare trasformazioni che permettano il cloning parziale dei qubit risulta importante poter lavorare su una forma del tutto generale degli operatori
di evoluzione. Per questo motivo, nel resto del capitolo, si é proceduto con
l’analizzare le caratteristiche principali del gruppo degli operatori unitari e i
metodi di parametrizzazione di tali operatori.
25
Misure Indirette
2.1
Schema delle Misure Indirette
Lo schema di misura indiretta consiste in uno strumento di misura quantistico
che interagisce con lo stato del sistema da misurare. Lo strumento di misura
é in uno stato iniziale noto e, dalla misura dello stato dopo l’evoluzione, si
inferisce lo stato del sistema che si intende misurare.
Consideriamo il generico sistema quantistico bistabile di un qubit definito
dallo stato
|ψiA = a|0iA + b|1iA
dove |a|2 + |b|2 = 1.
(2.1)
In termini della matrice densitá, ρ, lo stato del sistema é rappresentato da:
ρA =
X
i,j
rij |iiA hj|
= r00 |0iA h0| + r01 |0iA h1| + r10 |1iA h0| + r11 |1iA h1|
= |a|2 |0iA h0| + ab∗ |0iA h1| + ba∗ |1iA h0| + |b|2 |1iA h1|.
(2.2)
Per le proprietá della matrice densitá, i coefficienti devono soddisfare le
condizioni:
• tr [ρA ] = r00 + r11 = |a|2 + |b|2 = 1
∗
• (ab∗ )∗ = r01
= r10 = ba∗
Figura 2.1: Schema generale di misura indiretta.
L’evoluzione nel tempo del sistema quantistico, determinata dall’interazione con la sonda, é rappresentata da un’operazione unitaria U. Supponi26
2.1 Schema delle Misure Indirette
amo che questa interazione sia determinata dalla porta c-not:

1 0 0 0



 0 1 0 0 
.

U =

0
0
0
1


0 0 1 0
(2.3)
La porta c-not agisce sul bit di sonda |siS , il bit meno significativo, negandone
il valore solo nel caso in cui il bit del sistema iniziale, il bit piú significativo,
sia nello stato |1iA 1 .
U|0iA |0iS = |0iA |0iS
U|0iA |1iS = |0iA |1iS
U|1iA |0iS = |1iA |1iS
U|1iA |1iS = |1iA |0iS
Tabella 2.1: Riassunto dell’evoluzione di un sistema quantistico a opera della porta
c-not con controllo sul bit piú significativo.
Supponiamo di avere una scatola nera quantistica come in figura 2.1, in
cui lo stato iniziale del sistema A da misurare sia ignoto, ma si conosca lo
stato iniziale del sistema S. In uscita si ottiene l’evoluto, secondo la porta
c-not, del sistema A e la misura di σ3 sull’evoluto del sistema S. In questa
circostanza, dalla misura di σ3 sullo stato del sistema S, si ottengono due
possibili risultati, “0” o “1”, ammettendo che S sia sempre e comunque in
uno stato puro. In corrispondenza di questi due risultati si ottengono, sul
sistema A, due possibili evoluzioni, ρ0 e ρ1 .
1
Da cui il nome di porta c-not, i.e. controlled not.
27
Misure Indirette
L’azione dell’operatore U sul sistema totale determina l’evoluzione:
ρ0,1 = UρA ⊗ |0iS h0|U † = UρA ⊗ |0iS h0|U



1 0
1 0 0 0
# 
# "
 "


 0 1 0 0 
 · r00 r01 ⊗ 1 0 ·  0 1
= 



0 0
r10 r11
 0 0
 0 0 0 1 
0 0
0 0 1 0

 
 
1 0 0 0
r00 0 r01 0
1 0 0 0

 
 
 0 1 0 0   0 0 0 0   0 1 0 0
·
·
= 

 
 
 0 0 0 1   r10 0 r11 0   0 0 0 1
0 0 1 0

r00

 0
= 

 0
r10

r00

 0
= 
 0

r10
0
0
0
0 r11
0
0
1 0
 

0 
· 0 1
 
0   0 0
0 0
0

0 r01 0
0
0
 
0 0 r01
0
0 0
0 0 1 0



0 0 


0 1 
1 0







0 0 


0 1 
1 0

0 
.
0 0 0 

0 0 r11
0 0
0 0
(2.4)
La misura definita dall’operatore σ3 sul sistema S é data da:
I ⊗ σ3 =
"

1 0
0 1
#
⊗
1 0 0

 0 −1 0
= 

 0 0 1
0 0 0
"
1
0
0 −1

0

0 


0 
−1
= I ⊗ (|0ih0| − |1ih1|).
#
(2.5)
Al risultato “1” sul sistema S é associata la misura a valori di proiettore
28
2.1 Schema delle Misure Indirette
|1iS h1| e, sul sistema totale, P1 :
P1 = IA ⊗ |1iS h1|
# "
"
1 0
=
⊗
0 1

0 0 0 0

 0 1 0 0
= 

 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0
0 1

#


.


(2.6)
Per il valore “0” si ottiene la misura P0 :
P0 = IA ⊗ |0iS h0|
"
# "
1 0
=
⊗
0 1

1 0 0 0

 0 0 0 0
= 

 0 0 1 0
0 0 0 0
1 0
0 0

#


.


(2.7)
Le probabilitá, sul sistema A, relative a questi due risultati, sul sistema S,
sono date da:
p1 = trAS [ρ0,1 P1 ] = trAS [UρA ⊗ |0iS h0|UIA ⊗ |1iS h1|]
= trA [trS (ρA ⊗ |0iS h0|UIA ⊗ |1iS h1|U)]
= trA [ρA trS (IA ⊗ |0iS h0|UIA ⊗ |1iS h1|U)]
= trA [ρA (S h0|U|1iA h1| ⊗ |1iS h1|U|0iS +S h0|U|0iA h0| ⊗ |1iS h1|U|0iS )]
= trA [ρA (S h0|(|1iAh1| ⊗ |0iS h0|)|0iS +S h0|(|0iA h0| ⊗ |1iS h1|)|0iS )]
= trA [ρA |1iA h1|] = r11
(2.8)
29
Misure Indirette
p0 = trAS [ρ0,1 P0 ] = trAS [UρA ⊗ |0iS h0|UIA ⊗ |0iS h0|]
= trA [trS (ρA ⊗ |0iS h0|UIA ⊗ |0iS h0|U)]
= trA [ρA trS (IA ⊗ |0iS h0|UIA ⊗ |0iS h0|U)]
= trA [ρA (S h0|U|1iA h1| ⊗ |0iS h0|U|0iS +S h0|U|0iA h0| ⊗ |0iS h0|U|0iS )]
= trA [ρA (S h0|(|1iAh1| ⊗ |1iS h1|)|0iS +S h0|(|0iAh0| ⊗ |0iS h0|)|0iS )]
= trA [ρA |0iA h0|] = r00 .
(2.9)
Ottenute queste probabilitá di uscita, il sistema A, dopo l’evoluzione
unitaria U dovuta alla procedura di misura, si trova, con probabilitá p0 = r00
nello stato ρ0 definito da:
ρ0 =
=
=
=
=
30
1
trS [UρA |0iS h0|UIA ⊗ |0iS h0|]
p0

 
r00 0 0 r01
1

 
 0 0 0 0   0
1

·
trS 

 
p0
0
0
0
0

  0
r10 0 0 r11
0


r00 0 0 0


 0 0 0 0 
1

trS 


p0
0
0
0
0


r10 0 0 0
"
#
1 r00 0
p0
0 0
"
#
1 0
= |0ih0|.
0 0
0 0 0



0 0 0 


0 1 0 
0 0 0
(2.10)
2.2 Parametrizzazione di Matrici Unitarie
e, con probabiltá p1 = r11 , nello stato ρ1 definito da:
ρ1 =
=
=
=
=
1
trS [UρA |0iS h0|UIA ⊗ |1iS h1|]
p1

 
r00 0 0 r01
0

 
 0 0 0 0   0
1

·
trS 

 
p1
0
0
0
0

  0
r10 0 0 r11
0


0 0 0 r01


 0 0 0 0 
1

trS 


p1
 0 0 0 0 
0 0 0 r11
"
#
1 0 0
p1 0 r11
#
"
0 0
= |1ih1|.
0 1
0 0 0



1 0 0 


0 0 0 
0 0 1
(2.11)
Ne segue che per la data POVM, si ottengono le mappe quantistiche, sul
sistema A, definite da
M0 =S h0|U|0iS =
M1 =S h1|U|0iS =
"
"
1 0
0 0
0 0
0 1
#
#
(2.12)
,
(2.13)
che trasformano lo stato generico e sconosciuto, ρ, nello stato definito dalla
misura indiretta, ρ0 = M0 ρA M0† + M1 ρA M1† = r00 ρ0 + r11 ρ1 .
2.2
Parametrizzazione di Matrici Unitarie
Le matrici unitarie rappresentano un gruppo molto importante per la Meccanica Quantistica poiché, come determinato dal postulato 2, l’evoluzione
nel tempo dello stato di un sistema quantistico é descritta da una trasfor31
Misure Indirette
mazione unitaria. Per questo motivo, risulta molto utile avere una conveniente parametrizzazione delle matrici unitarie. In questo campo, non esiste
una teoria generale, ma esistono diverse soluzioni possibili: la parametrizzazione di una matrice unitari non é unica, poiché il prodotto di due matrici
unitarie risulta ancora una matrice unitaria, ma la scelta della parametrizzazione dipende dal tipo di problema da risolvere.
Lo spazio degli stati del piú semplice sistema quantistico, un qubit, é costituito da C2 . Una trasformazione lineare da C2 in C2 , puó essere rappresentata da una matrice 2×2. Le trasformazioni unitarie2 , U, sono caratterizzate
dalla proprietá di conservare il prodotto interno h·|·i:
hv|wi = v† w = v1∗ w1 + v2∗ w2
hUv|Uwi = (Uv)† Uw =v† U † Uw = v† w = hv|wi.
(2.14)
(2.15)
Immediatamente, seguono le condizioni:
U †U = I
det(U) = ±1
(U † )ij = (Uji )∗
U −1 = U †
(2.16)
La condizione det(U) = 1 determina il sottogruppo speciale di U(2), SU(2).
Secondo la parametrizzazione di Murnaghan [?] per le matrici unitarie, un’arbitraria matrice unitaria 2×2 puó essere parametrizzata attraverso 4 parametri
reali, o 2 parametri immaginari, come:
#
"
a
b
U=
−b∗ a∗
(2.17)
Lo spazio dei parametri é la superficie della sfera unitaria in 4 dimensioni.
Sfruttando le matrici di Pauli, la generica matrice unitaria puó essere parametrizzata come:
U=
"
a0 + ia3
a2 + ia1
−a2 + ia1 a0 − ia3
U = a0 σ0 + i
3
X
i=1
2
32
Vedi Appendice C a pagina 81
#
ai σi
ai ∈ R
(2.18)
ai ∈ R
(2.19)
2.2 Parametrizzazione di Matrici Unitarie
Applicando la condizione di unitarietá (2.16), é possibile ridurre i parametri
reali {ai } da 4 a 3. Se infatti consideriamo
†
U = a0 σ0 − i
3
X
ai σi
i=1
ai ∈ R,
(2.20)
la condizione di unitarietá si traduce in:
UU † = I
(a0 σ0 + i
(2.21)
3
X
i=1
(a20
+
a21
+
a22
ai σi )(a0 σ0 − i
+
a23 )σ0
= σ0 .
3
X
ai σi ) = σ0
(2.22)
i=1
(2.23)
Si deduce che, al meglio, la fattorizzazione di una generica matrice unitaria per mezzo delle matrici di Pauli necessita di 4 parametri reali con la
condizione:
a20 = 1 − a21 − a22 − a23 .
(2.24)
Si hanno cioé 3 parametri reali liberi.
Consideriamo ora lo spazio C2 ⊗ C2 . Poiché stiamo trattando sistemi
di qubit, questo é esattamente lo spazio di interesse del presente lavoro di
Tesi. Ad ogni modo, le operazioni eseguite su n qubit possono essere sempre
ricondotte a successive operazioni fra coppie di questi qubit e a rotazioni di
singoli qubit[?]. Quindi lo studio delle matrici unitarie sullo spazio C2 ⊗ C2
é esaustivo anche per successive considerazioni su n qubit.
Imporre la condizione det(U) = 1, determina il sottogruppo speciale
SU(4). Ci possiamo riferire a questo sottogruppo senza perdere in generalitá perché la fase, arbitraria, puó essere definita da rotazioni successive sui
singoli qubit.
Ció che si intende fare é parametrizzare la generale matrice unitaria di
SU(4). Una matrice 4 × 4 é costituita da 4 × 4 = 16 parametri. Avendo
imposto al condizione det(U) = 1, per portarci da U(4) a SU(4), rimangono
da determinare 16 − 1 parametri liberi.
Poiché le matrici di Pauli, con l’aggiunta dell’identitá, costituiscono una base
33
Misure Indirette
per gli operatori unitari su di un qubit, possiamo esprimere le matrici di
SU(4) come:
U=
3
X
i,j=0
uij σi ⊗ σj
{σi ⊗ σj } base di C2 ⊗ C2
(2.25)
Definita questa forma per le matrici unitarie, bisogna stabilire le condizioni
sui 16 parametri uij che determinano una generale matrice unitaria U.
Dalla condizione U † U = I, si ottiene
X
X
u∗lk upq σl† σp ⊗ σk† σq =
u∗lk upq σl σp ⊗ σk σq = I,
l,k,p,q
(2.26)
l,k,p,q
poiché le matrici di Pauli hanno la proprietá di essere autoaggiunte, e la
matrice identitá, I, espressa in funzione delle matrici di Pauli, ha la forma:
I = a00 σ0 ⊗ σ0 + a03 σ0 ⊗ σ3 + a30 σ3 ⊗ σ0 + a33 σ3 ⊗ σ3 = σ0 ⊗ σ0
(2.27)
Per ottenere una parametrizzazione rispetto alle matrici di Pauli della generica matrice di SU(4), possiamo risolvere esplicitamente la relazione (2.26)
utilizzando le proprietá dei prodotti fra matrici di Pauli3 .
Il problema é non banale. Rigurado la parametrizzazione delle matrici
uniatrie, non esistendo ancora una soluzione generale, vengono continuamente pubblicati diversi articoli.
Uno degli ultimi risultati ottenuti nella parametrizzazione di matrici unitarie
é contenuto nell’articolo di Diţă [?] [?]. Il risultato del lavoro consiste in
una fattorizzazione delle matrici n × n unitarie come il prodotto di n matrici
diagonali contenenti le fasi e n − 1 matrici ortogonali:
Ogni elemento An ∈ U(n) puó essere fattorizzato in un prodotto ordinato
di 2n − 1 matrici della forma:
1
· · · d2n−2 O2n−1 d1n−1
An = dn On d1n−1 On−1
dove dkn−k sono matrici di fase diagonali e
k
n−k
sono matrici ortogonali le cui
colonne sono generate da vettori unitari reali di dimensione n − k.
3
34
Vedi Appendice B a pagina 79
(2.28)
2.2 Parametrizzazione di Matrici Unitarie
Come esempio, un elemento U4 ∈ U(4) é parametrizzato secondo Diţă come
U4 = d4 O4 d13 O31 d22 O22 d31
(2.29)
dove d4 = (eiφ1 , eiφ2 , eiφ3 , eiφ4 ), d13 = (1, eiφ5 , eiφ6 , eiφ7 ), d22 = (1, 1, eiφ8 , eiφ9 ),
d31 = (1, 1, 1, eiφ10 ), e

cos θ1
− sin θ1
0
0


sin θ1 cos θ2
cos θ1 cos θ2
− sin θ2
0
O4 = 

 sin θ1 sin θ2 cos θ3 cos θ1 sin θ2 cos θ3 cos θ2 cos θ3 − sin θ3
sin θ1 sin θ2 sin θ3 cos θ1 sin θ2 sin θ3 cos θ2 sin θ3 cos θ3

1
0
0
0

 0
cos θ4
− sin θ4
0
O31 = 

 0 sin θ4 cos θ5 cos θ4 cos θ5 − sin θ5
0 sin θ4 sin θ5 cos θ4 sin θ5 cos θ5


1 0
0
0


 0 1

0
0
2

O2 = 


 0 0 cos θ6 − sin θ6 
0 0 sin θ6












(2.30)
(2.31)
(2.32)
cos θ6
Una soluzione al problema, che contempli le matrici di Pauli, potrebbe
essere fornita dallo stesso gruppo SU(2). Se si potesse estendere il gruppo
SU(2) a SU(4) attraverso il semplice prodotto tensore SU(2) ⊗ SU(2), si
avrebbe un’utilissima parametrizzazione. Tuttavia questo procedimento non
é possibile poiché
SU(2) ⊗ SU(2) ⊆ SU(4)
(2.33)
Il fatto che SU(2) ⊗ SU(2) non generi tutto SU(4), puó essere chiaramente
visto considerando il prodotto tensore di due generiche matrici unitarie di
35
Misure Indirette
U(2):
U2 = a0 σ0 + i
3
X
ai σi
U20 = b0 σ0 + i
i=1
U4 = U2 ⊗
U20
= a0 b0 σ0 ⊗ σ0 + i
3
X
bi σi
i=1
3
X
i=1
ai b0 σi ⊗ σ0 + i
3
X
i=1
a0 bi σ0 ⊗ σi −
(2.34)
3
X
i,j=1
ai bj σi ⊗ σj
Dalla relazione (2.34) si ottengono 8 parametri reali per definire una matrice
di U(4), contro i 16 necessari. A questo bisogna aggiungere la condizione
di unitarietá (2.16) che riduce il numero di parametri a 7. Se, inoltre, consideriamo che i parametri a0 e b0 non sono liberi, bensı́ determinati dalla
condizione (2.24), ci si riduce a 5 parametri liberi. Chiaramente questo risultato non coincide col fatto che SU(4) abbia 16 − 1 = 15 parametri liberi,
infatti, come detto, SU(2) ⊗ SU(2) ⊆ SU(4). L’impossibilitá di fattorizzare
una generica matrice di SU(4) attraverso SU(2) ⊗ SU(2) deriva dal fatto
che, banalmente, SU(2) ⊗ SU(2) si riferisce a operazioni unitarie locali sui
singoli spazi dei sistemi e questo preclude la possibilitá di agire sul sistema
di due qubit in maniera da generare un entanglement. L’unica possibilitá di
ottenere una generica matrice di SU(4) attraverso SU(2) ⊗ SU(2) ḿediante
una combinazione lineare di tali matrici. Infatti é possibile ottenere la base
canonica di Gell-Mann per SU(4) da una combinazione del prodotto tensore
delle basi di SU(2) espresse mediante matrici di Pauli[?].
36
Capitolo
3
Ripetizione di un Segnale
In questo capitolo si illustrano parte dei risultati principali di questa Tesi.
Nella prima parte é descritto il ”teorema del no-cloning” che stabilisce i
limiti imposti dalla Meccanica Quantistica alla procedura di copia di un
qubit. Nella seconda parte del capitolo, si procede con l’individuazione di
un’evoluzione del segnale trasmesso che non amplifichi o cloni il segnale,
data l’inutilitá della prima operazione e l’impossibilitá della seconda, ma
recuperi informazione senza operare una variazione, o nei casi piú critici la
distruzione, dello stato iniziale del sistema. In particolare, si considerano
trasformazioni unitarie che accoppiano il segnale ad un qubit di controllo e
che permettono la copia di parte dell’informazione su tale sonda. L’obiettivo
consiste nel determinare una trasformazione unitaria che conservi il valore
di aspettazione per un generale operatore di misura o, almeno, individui una
trasformazione che conservi il valore di aspettazione per una classe ampia di
tali operatori.
3.1
Cloning Quantistico
Nella teoria classica dell’informazione, non ha molta importanza la quantitá
di informazione accessibile attraverso una misura. Per quanto possa essere
difficile, in pratica, distinguere fra due stati classici, in linea di principio, la
37
Ripetizione di un Segnale
distinzione é sempre possibilie. In questo scenario, non vi sono ostacoli alla
possibilitá di ottenere una copia di uno stato. Nel caso di informazione digitale tale copia risulta esatta, mentre per informazione analogica la copia puó
essere generata con approssimazione a piacere. In Meccanica Quantistica, invece, non sempre é possibile distinguere gli stati e non esiste una procedura
per distinguere in modo esatto fra due stati non ortogonali1 . Queste peculiaritá impongono delle limitazioni per la copia dello stato di un sistema quantistico. É possibile evidenziare questa differenza fra informazione classica e
informazione quantistica analizzando le rispettive procedure di copia.
Un dispositivo classico per la copia di un bit puó essere costituito da
una porta c-not classica che abbia in ingresso il bit da copiare e un bit di
sonda inizializzato nello stato “0”, come mostrato in figura 3.1. In uscita si
ottengono due bit nel medesimo stato del bit da copiare.
Figura 3.1: Schema generale di cloning classico di un segnale “x” attraverso una
porta c-not e un segnale di sonda inizializzato a “0”.
Possiamo pensare di procedere e una copia quantistica di un qubit nello
stato generico |ψi = a|0i + b|1i attraverso una porta c-not con un bit di
sonda nello stato di vuoto, |0i. Lo stato iniziale del sistema é rappresentato
da
|Ψi = (a|0i + b|1i)|0i = a|00i + b|10i.
1
38
Vedi sezione 1.4 a pagina 16
(3.1)
3.1 Cloning Quantistico
Figura 3.2: Possibile schema di cloning quantistico, analogo allo schema generale di
cloning classico di figura 3.1, di un segnale |ψi attraverso una porta c-not e un segnale
di sonda inizializzato a |0i.
L’evoluzione descritta dalla porta c-not trasforma lo stato iniziale del
sistema nello stato
|Ψ0i = a|00i + b|11i.
(3.2)
Questo stato risulta differente dallo stato di due qubit |ψi uguali
|ψi|ψi = a2 |00i + ab(|01i + |10i) + b2 |11i
(3.3)
a meno che ab = 0.
L’informazione mancante e l’inaccessibilitá diretta dell’informazione contenuta in uno stato quantistico rispetto ad uno stato classico, si traduce in
quello che prende il nome di teorema del no-cloning [?]. Questo teorema
afferma che la Meccanica Quantistica non permette la copia esatta di stati
quantistici ignoti e pone severe limitazioni sulla possibilitá di ottenere copie
approssimative. Tuttavia, la meccanica classica, vista come un caso limite
della Meccanica Quantistica, permette la copia di uno stato. Questa discrepanza é appianata dal fatto che il teorema del no-cloning non impedisce
la copia di qualsiasi stato, bensı́ afferma che non é possibile ottenere la copia
di due stati non ortogonali. Da questo punto di vista é sufficiente considerare
gli stati classici come stati banalmente ortogonali.
Possiamo esprimere questo concetto del teorema di no-cloning in maniera
operativa. Consideriamo un dispositivo quantistico per la copia dello stato
39
Ripetizione di un Segnale
di un sistema S su di un altro sistema P 2 . Assumiamo che i due sistemi,
all’istante iniziale, siano in uno stato puro in modo che lo stato del sistema
totale sia
|ψiS ⊗ |siP .
(3.4)
Il dispositivo in esame agisce attraverso una trasformazione unitaria per
copiare lo stato del sistema S sul sistema P :
U(|ψiS ⊗ |siP ) = |ψiS ⊗ |ψiP .
(3.5)
Supponendo che la procedura di copia sia valida per almeno due stati |ψi e
|φi, si ottiene
U(|ψiS ⊗ |siP ) = |ψiS ⊗ |ψiP
(3.6)
U(|φiS ⊗ |siP ) = |φiS ⊗ |φiP .
(3.7)
Se eseguiamo il prodotto interno fra questi due stati del sistema totale,
otteniamo:
hφ|ψi = (hφ|ψi)2.
(3.8)
L’equazione ( 3.8) ha solo due soluzioni:
• hφ|ψi = 1, cioé gli stati |ψi e |φi sono uguali.
• hφ|ψi = 0, cioé gli stati |ψi e |φi sono ortogonali.
Perció questo dispositivo, del tutto generale, é in grado di clonare solo
stati che siano ortogonali fra loro e un dispositivo in grado di clonare stati
quantistici scelti in un insieme di stati qualunque é impossibile.
3.2
Trasmissione e Condivisione di Segnali Classici Attraverso Segnali Quantistici
Il problema della trasmissione e condivisione di un segnale classico attraverso un canale quantistico deriva dall’impossibilitá di amplificare e rendere
2
La notazione degli spazi dello stato dei sistemi deriva dai termini inglesi “signal”,
segnale, e “probe”, sonda.
40
3.2 Trasmissione e Condivisione di Segnali Classici Attraverso Segnali Quantistici
disponibile un unico seganle a piú utenti, come avviene per i canali classici,
poiché la Meccanica Quantistica vieta la clonazione di un generico segnale e
la lettura da parte di un utente determina la distruzione del segnale stesso.
Figura 3.3: Schema di trasmissione, e condivisione fra piú utenti, di un segnale
classico attraverso un canale classico.
Nel caso quantistico, possiamo pensare di individuare un’evoluzione della
traccia, ρ, del segnale trasmesso, che permetta di ricavare dell’informazione
senza determinare la distruzione del segnale iniziale. Questa evoluzione, necessariamente unitaria, puó avvalersi di un segnale di controllo ampliando lo
spazio di azione dallo spazio, C2 , di un singolo qubit, allo spazio, C2 ⊗ C2 ,
di due qubit.
Figura 3.4: Schema di trasmissione, e condivisione fra piú utenti, di un segnale
classico attraverso un canale quantistico.
Ció che é necessario ottenere, per non perdere informazione, é che, in
uscita da ciascun blocco unitario, U, il valore di aspettazione del segnale
41
Ripetizione di un Segnale
di interesse resti invariato, pur ricavando informazione per l’utente. Questo
non viola il teorema di no-cloning dato che non viene clonato il segnale ρ,
ma solamente parte dell’informazione trasportata, cioé
hXi = trS [ρS X]
Perché il segnale di aspettazione sia conservato, nello schema in figura 3.4
bisogna avere, sul ramo di trasmissione del segnale,
hXiS = trSP [URU † X ⊗ I]
(3.9)
e, sul ramo verso gli utenti,
hXiP = trSP [URU † I ⊗ X], 3
(3.10)
dove R rappresenta la matrice densitá del sistema “segnale piú sonda” prima
dell’interazione:
R = ρS ⊗ |siP hs|.
(3.11)
Possiamo scegliere come segnale di sonda uno stato puro. Questa scelta
non fa perdere in generalitá, infatti utilizzare uno stato misto significa dovere
eseguire due controlli anziché uno solo. Per semplicitá stabiliamo di eseguire
un solo controllo e poniamo come stato puro di sonda lo stato di vuoto
|0i0. Anche in questo caso si semplificano le operazioni, ma non si perde
in generalitá, rispetto alla scelta di uno stato generico |ψi, poiché uno stato
generico puó essere ottenuto tramite una rotazione dello stato |0i.
L’operatore unitario U deve quindi operare in modo da garantire lo stesso
risultato sui due segnali in uscita, ovvero usando lo schema equivalente in
figura 3.5:
hXiS 0 = tr Uρ ⊗ |0iP h0|U † X ⊗ I
hXiP 0 = tr Uρ ⊗ |0iP h0|U † I ⊗ X ,
(3.12)
(3.13)
dove S 0 e P 0 rappresentano lo spazio degli stati dei qubit dopo l’interazione4 .
3
Nel seguito, verrá omesso il pedice, che indica lo spazio su cui agisce l’operazione di
traccia, quando si intende il sistema totale “segnale piú sonda” se non nei casi in cui possa
generare confusione.
4
Nel seguito verrá omesso l’indice primato se non nei casi in cui possa generare
confusione.
42
3.2 Trasmissione e Condivisione di Segnali Classici Attraverso Segnali Quantistici
Figura 3.5: Schema di due evoluzioni unitarie equivalenti: lo stato del qubit di sonda
|0i viene preparato in uno stato |ψi attraverso una rotazione prima dell’interazione.
Questo schema risulta del tutto equivalente ad uno schema con il qubit di sonda nello
stato |0i e una interazione U che includa la rotazione.
La matrice densitá dello stato del segnale e l’operatore X possono essere
espressi in funzione delle matrici di Pauli:
3
X
1
ρ = (σ0 +
ri σi )
2
i=1
(3.14)
X=
(3.15)
3
X
xj σj
j=0
dove, poiché X é un operatore autoaggiunto deve valere la condizione:
X=
3
X
xj σj =
j=0
3
X
j=0
x∗j σj†
=
3
X
j=0
x∗j σj = X † ⇒ xj = x∗j
i.e. xj ∈ R
(3.16)
Il valore di aspettazione dell’osservabile prima della trasformazione, ovvero
il valore del segnale che si vuole clonare, risulta avere la forma:
3
3
3
X
X
X
1
rk xl tr [σk σl ] =
rk xk = x0 +
rk xk .
hXi =
2
k=0
k=1
k,l=0
(3.17)
Ció che vogliamo fare ora é trovare, se esiste, la matrice unitaria U che conservi il valore di aspettazione hXi per qualunque valore di xk , cioé qualsiasi
operatore X, o almeno per un gruppo ampio di operatori.
43
Ripetizione di un Segnale
3.3
Accoppiamento “segnale piú sonda” con
una traformazione unitaria generica
Ci proponiamo di ricercare condizioni di caratere generale a prescindere dalla forma della matrice unitaria di evoluzione. Consideriamo sempre il bit
di sonda nello stato definito |0i, avendo stabilito l’equivalenza, a meno di
una rotazione, con uno stato generico. Utilizzando la proprietá ciclica della
traccia, possiamo scrivere i valori di aspettazione degli osservabili del sistema
come:
hXiS = tr Uρ ⊗ |0iP h0|U † X ⊗ σ0 = tr ρ ⊗ |0iP h0|U † X ⊗ σ0 U
hXiP = tr Uρ ⊗ |0iP h0|U † σ0 ⊗ X = tr ρ ⊗ |0iP h0|U † σ0 ⊗ XU
(3.18)
(3.19)
Esprimendo anche la matrice unitaria di evoluzione U in funzioni delle matrici
di Pauli attraverso l’equazione (2.25), le misure sul sistema dei due qubit
corrispondono a:
†
U X ⊗ IU =
U † I ⊗ XU =
3 X
3 X
3
X
l,m=0 j=0 p,q=0
3 X
3 X
3
X
l,m=0 j=0 p,q=0
u∗lm xj upq σl σj σp ⊗ σm Iσq
(3.20)
u∗lm xj upq σl Iσp ⊗ σm σj σq
(3.21)
3
3
X
1 X
ρ ⊗ |0iP h0| = (
ri σi ⊗ I +
ri σi ⊗ σ3 )
4 i=0
i=0
44
(3.22)
3.3 Accoppiamento “segnale piú sonda” con una traformazione unitaria generica
dove si é posto r0 = 1 e si é utilizzata l’equivalenza σ0 ≡ I. In questa
notazione, l’evoluzione del sistema dei due qubit assume la forma:
3 X
3 X
3 X
3
X
1 ∗
ri u xj upq σi σl σj σp ⊗ σm σq
ρ ⊗ |0iP h0|U X ⊗ IU =
4 lm
i=0
j=0 p,q=0
†
l,m=0
+
3 X
3 X
3 X
3
X
1 ∗
ri ulm xj upq σi σl σj σp ⊗ σ3 σm σq
4
i=0 l,m=0 j=0 p,q=0
(3.23)
3 X
3 X
3 X
3
X
1 ∗
ρ ⊗ |0iP h0|U I ⊗ XU =
ri u xj upq σi σl σp ⊗ σm σj σq
4 lm
i=0 l,m=0 j=0 p,q=0
†
3 X
3 X
3 X
3
X
1 ∗
ri u xj upq σi σl σp ⊗ σ3 σm σj σq
+
4 lm
i=0 l,m=0 j=0 p,q=0
(3.24)
Queste evoluzioni comportano il prodotto fra piú matrici di Pauli. Possiamo cercare di risolvere questi prodotti sfruttando le proprietá riportate in
tabella B.1 esprimibili anche in forma compatta come:
σi σj = δij σ0 + δi0 σj + δ0j σi − 2δi0 δ0j σ0 + i
3
X
k=0
εijk σk (1 − δk0 )(1 − δi0 )(1 − δj0 ).
(3.25)
Sfruttando in modo ricorsivo questa formula, possiamo ricavare il valore dei
prodotti ottenuti dall’evoluzione del sistema.
Applicando le proprietá del prodotto fra matrici di Pauli otteniamo la
formula per il prodotto di tre matrici di Pauli:
σi σl σp =δil σ0 σp + δi0 σl σp + δl0 σi σp − 2δi0 δl0 σ0 σp
+i
3
X
k=0
εilk σk σp (1 − δk0 )(1 − δi0 )(1 − δl0 )
(3.26)
Applicando nuovamente la proprietá del prodotto fra matrici di Pauli, ricavi45
Ripetizione di un Segnale
amo la soluzione del prodotto di 4 matrici:
σi σl σp σj =δil σp σj + δi0 δlp σ0 σj + δi0 δl0 σp σj + δi0 δp0 σl σj − 2δi0 δl0 δp0 σ0 σj
+i
3
X
εlph σh σj δi0 (1 − δh0 )(1 − δp0 )(1 − δl0 )
3
X
εiph σh σj δl0 (1 − δh0 )(1 − δp0 )(1 − δi0 )
h=0
+ δl0 δip σ0 σj + δl0 δi0 σp σj + δl0 δp0 σi σj − 2δl0 δi δp0 σ0 σj
+i
h=0
− 2δi0 δl0 σp σj + i
+i
−
3
X
3
X
h=0
εilh σh σj δhp (1 − δh0 )(1 − δl0 )(1 − δi0 )
εilh σh σj δp0 (1 − δh0 )(1 − δi0 )(1 − δl0 )
h=0
3 X
3
X
h=1 k=0
σk σj (δip δlk − δik δpl )(1 − δk0 )(1 − δl0 )(1 − δi0 )(1 − δp0 )
(3.27)
dove é stata utilizzata l’uguaglianza
3 X
3
X
εilh εhpk =
h=0 k=0
3 X
3
X
εilh εpkh
h=0 k=0
=
3
X
k=0
(δip δlk − δik δpl )
(3.28)
Secondo la notazione usata, tutte le matrici sono espresse in funzione delle
matrici di Pauli {σ1 , σ2 , σ3 } e dell’identitá σ0 . In questo tipo di notazione,
il calcolo della traccia risulta estremamente semplificato e, per un operatore
P3
della forma A =
i=0 ai σi , si ha tr[A] = dim[A]a0 = 2a0 , poiché per le
proprietá delle matrici di Pauli, tr[σi ] = 0∀i 6= 0, e, per un operatore della
P3
forma A =
i,j=0 aij σi ⊗ σj , si ha tr[A] = 4a00 . Quindi, molti termini
ottenuti dal prodotto di piú matrici di Pauli risultano ininfluenti nel calcolo
delle equazioni (3.18) e (3.19) e vanno considerati i soli termini facenti capo
al prodotto tensore σ0 ⊗ σ0 . Possiamo riscrivere le equazioni (3.23) e (3.24)
46
3.3 Accoppiamento “segnale piú sonda” con una traformazione unitaria generica
con i soli termini rilevanti nel calcolo della traccia, ottenendo:
(σi σl σp )0 = (δi0 δlp + δl0 δip + δp0 δil − 2δi0 δl0 δp0 + i
3
X
εilk δkp )σ0
(3.29)
k=1
(σi σl σp σj )0 = [δil δpj + 2δi0 δl0 δpj + δi0 δj0 δlp − 4δi0 δl0 δp0 δj0 + δl0 δj0 δip
+ δi0 δp0 δlj + δl0 δp0 δij − 2δi0 δl0 δpj
+i
+i
+i
+i
3
X
h=1
3
X
h=1
3
X
h=1
3
X
h=1
+
3
X
h=1
−
3
X
h=1
εlph δi0 δhj (1 − δl0 )(1 − δp0 )
εilh δhj δhp (1 − δi0 )(1 − δl0 )
εilh δhj δp0 (1 − δi0 )(1 − δl0 )
εiph δl0 δhj (1 − δi0 )(1 − δp0 )
δih δlp δhj (1 − δl0 )(1 − δp0 )
δip δlh δhj (1 − δl0 )(1 − δp0 )]σ0 ,
(3.30)
dove (. . .)0 indica i termini del prodotto fra matrici di Pauli che danno come
risultato σ0 .
Otteniamo quindi un numero di termini ridotto, rispetto al prodotto generale. In particolare, considerando tutte le possibili permutazioni del prodotto di 3 matrici, si trovano 11 possibili combinazioni che forniscono come risultato σ0 , in ciascuna delle quali due matrici devono essere uguali fra loro e la
terza deve essere la stessa σ0 . Ad esempio:
σ0 σ1 σ1 = σ0
σ1 σ0 σ1 = σ0
(3.31)
σ0 σ2 σ2 = σ0
σ2 σ0 σ2 = σ0
(3.32)
Considerando, invece, il prodotto di 4 matrici, si ottengono 34 possibili combinazioni in ciascuna delle quali le matrici devono essere a due a due uguali
47
Ripetizione di un Segnale
fra loro. Ad esempio:
σ0 σ1 σ0 σ1 = σ0
σ1 σ2 σ2 σ1 = σ0
(3.33)
σ3 σ2 σ3 σ2 = σ0
σ1 σ2 σ1 σ2 = σ0
(3.34)
In questo scenario, otteniamo ben 11×34 = 370 termini a costituire la traccia
delle evoluzioni del sistema di due qubit. Notiamo peró che tutti i termini
per x0 si annullano allorché si va ad eguagliare la traccia relativa alla misura
della sonda e la traccia relativa alla misura del qubit trasmesso. In questo
modo si eliminano 11 × 11 = 121 termini, rimanendo con 370 − 121 = 249
valori da calcolare. La parte piú cospicua di questi valori é rappresentata dai
termini della matrice unitaria di trasformazione. Una parametrizzazione che
comporti una notevole semplificazione di questi termini sarebbe determinata
dal prodotto tensore fra matrici di Pauli, ma si é stabilito l’impossibilitá
di operare tale fattorizzazione di matrici unitarie5 . Altre fattorizzazioni note
non semplificano in modo consistente le equazioni considerate e l’uguaglianza
fra le equazioni (3.18) e (3.19) dá luogo a un sistema di non banale soluzione.
Per analizzare meglio il problema possiamo pensare di procedere al contrario, partendo cioé dalle misure e cercando di ricostruire la trasformazione
unitaria. Possiamo quindi considerare lo schema in figura 3.6 in cui si hanno
gli operatori di misura X sui due rami di uscita e la matrice densitá totale
dell’evoluzione dei due sistemi iniziali, A. L’evoluzione unitaria che permetta di copiare il valore medio di un qualunque osservabile X é ignota e da
determinare.
Gli operatori di misura, che agiscono ciascuno su un ramo, sono definiti
5
48
Vedi Capitolo 2.2 a pagina 31.
3.3 Accoppiamento “segnale piú sonda” con una traformazione unitaria generica
da

x0 + ix3 ix1 + x2

 ix1 − x2 x0 − ix3
X ⊗I =

0
0

0
0

x0 + ix3
0


0
x0 + ix3
I ⊗X =

0
 ix1 − x2
0
ix1 − x2
0
0
0
0





x0 + ix3 ix1 + x2 
ix1 − x2 x0 − ix3

ix1 + x2
0

0
ix1 + x2 
,

x0 − ix3
0

0
x0 − ix3
(3.35)
(3.36)
Figura 3.6: Ricostruzione dello schema generale di cloning quantistico paziale con
una trasformazione unitaria U? da determinare e operatori di misura X completamente
generici sui segnali in uscita.
La matrice densitá del sistema totale dopo l’interazione, scritta in maniera
del tutto generica, ha la forma:

p0 m0 p0 m1 p1 m0 p1 m1

 p0 m2 p0 m3 p1 m2 p1 m3
A=

 p2 m0 p2 m1 p3 m0 p3 m1
p2 m2 p2 m3 p3 m2 p3 m3






(3.37)
49
Ripetizione di un Segnale
dove lo stato dei singoli qubit é descritto dalle matrici densitá
"
#
p0 p1
|ψihψ| =
p2 p3
"
#
m0 m1
|mihm| =
,
m2 m3
(3.38)
(3.39)
nella base standard {|0i, |1i}. Usando la base delle matrici Pauli avrei, come
nell’equazione (3.14):
|ψihψ| = r0 σ0 + i
3
X
ri σi
(3.40)
i=1
dove:
r0 =
r1 =
p0 +p3
,r3
2
p1 +p2
,r2
2i
=
=
p0 −p3
2i
p1 −p2
2
(3.41)
Per il calcolo della traccia é sufficiente considerare solo i termini dei
prodotti (3.18) e (3.19) presenti sulla diagonale. In particolare otteniamo:
hXiS = p0 m0 (x0 + ix3 ) + p1 m0 (ix1 − x2 ) + p0 m3 (x0 + ix3 ) + p1 m3 (ix1 − x2 )
+ p2 m0 (ix1 + x2 ) + p3 m0 (x0 − ix3 ) + p2 m3 (ix1 + x2 ) + p3 m3 (x0 − ix3 )
(3.42)
hXiP = p0 m0 (x0 + ix3 ) + p0 m1 (ix1 − x2 ) + p0 m2 (ix1 + x2 ) + p0 m3 (x0 − ix3 )
+ p3 m0 (x0 + ix3 ) + p3 m2 (ix1 − x2 ) + p3 m1 (ix1 + x2 ) + p3 m3 (x0 − ix3 )
(3.43)
Uguagliando le due equazioni si ottiene il sistema
(
m0 + m3 = 1
p0 m3 − p3 m0 = p3 m0 − p0 m3
(3.44)
con soluzione
m0 = p0
m3 = p3
50
(3.45)
3.4 Cloning Parziale
e il sistema
(
p1 p0 + p1 p3 + p2 p0 + p2 p3 = p0 m1 + p0 m2 + p3 m2 + p3 m1
−p1 p3 − p1 p0 + p2 p0 + p2 p3 = p0 m2 − p0 m1 + p3 m2 − p3 m1
(3.46)
con soluzione
m1 = p1
m2 = p2
(3.47)
Le soluzioni (3.45) e (3.47) dimostrano che l’unica possibilitá, perché i valori di aspettazione sui due rami siano uguali fra loro per un qualsiasi osservabile X, é che il qubit del segnale sia copiato esattamente sulla sonda.
Questo processo é impedito dal teorema del no-cloning, quindi possiamo affermare che non esiste alcuna trasformazione unitaria U che permetta la copia
dell’informazione di un qualsiasi osservabile per un generico segnale.
3.4
Cloning Parziale
Osservando nuovamente le equazioni (3.42) e (3.43), notiamo che, benché
sia esclusa la copia del valore di aspettazione per un generico osservabile X,
non é preclusa la copia di particolari osservabili. Infatti, a parte l’osservabile
banale x0 σ0 , possiamo individuare la copia degli osservabili x3 σ3 , x1 σ1 e
x2 σ2 separatamente. Per ricavare quali trasformazioni unitarie permettano
la copia di tali osservabili, procediamo come in figura 3.7 considerando le piú
semplici, i cui elementi sono esclusivamente 1 e i.
Consideriamo il ripetitore c-not.
Cerchiamo l’osservabile X per cui valga hXiS = hXiP = hXi, dove:
hXiS = tr[URU † X ⊗ I]
(3.48)
hXiP = tr[URU † I ⊗ X]
(3.49)
hXi = tr[ρX]
(3.50)
51
Ripetizione di un Segnale
Figura 3.7: Schema dei ripetitori che permettono la copia parziale di un qubit.
Lo stato dei sistemi del qubit del segnale e della sonda, sono definiti dalle
matrici densitá:
|ψihψ| =
=
=
|sihs| =
"
"
"
"
cos θ21
eiφ1 sin θ21
cos2
#
h
cos
θ1
2
iφ1
e
sin
θ1
2
i
e−iφ1 sin θ21 cos θ21
θ1
2
eiφ1 sin θ21 cos θ21
c21
e−iφ1 c1 s1
eiφ1 c1 s1
s21
c22
e−iφ2 c2 s2
eiφ2 c2 s2
s22
#
#
sin2
θ1
2
#
(3.51)
(3.52)
dove si é posto ci = cos θ2i e si = sin θ2i e si é considerato anche il qubit
di sonda completamente generale, ovvero non si é inclusa la rotazione nella
trasformazione unitaria U e si é scelta la parametrizzazione (3.38), cioé si
sono descritti i qubit sulla sfera di Bloch.
La matrice densitá per lo stato totale dei due sistemi |ψiS hψ| ⊗ |φiP hφ| é
data dalla matrice densitá R:


e−i(φ1 +φ2 ) c1 s1 c2 s2
e−iφ1 c1 s1 c22
e−iφ2 c21 c2 s2
c21 c22


2
2 2
−i(φ1 −φ2 )
−iφ1
iφ2 2


c
s
s
c
c
s
c
s
e
c
s
c
s
e
e
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2




e−iφ2 s21 c2 s2
ei(φ1 −φ2 ) c1 s1 c2 s2
s21 c22
eiφ1 c1 s1 c22


s21 s22
eiφ2 s21 c2 s2
ei(φ1 +φ2 ) c1 s1 c2 s2
eiφ1 c1 s1 s22
(3.53)
52
3.4 Cloning Parziale
Lo stato del sistema totale, dopo l’evoluzione unitaria U, é descritto dalla
matrice densitá URU † , data da:

c21 c22
e−iφ2 c21 c2 s2


eiφ2 c21 c2 s2
c21 s22

 i(φ1 +φ2 )
c1 s1 c2 s2
eiφ1 c1 s1 c22
 e
eiφ1 c1 s1 c22
e−i(φ1 +φ2 ) c1 s1 c2 s2
e−iφ1 c1 s1 s22
s21 s22
ei(φ1 −φ2) c1 s1 c2 s2
e−iφ2 s21 c2 s2

e−iφ1 c1 s1 c22

e−i(φ1 −φ2 ) c1 s1 c2 s2 


iφ2 2
e s1 c2 s2

2 2
s1 c2
(3.54)
Ponendo X = σ1 otteniamo:

0 1 0 0

 1 0
I ⊗X =

 0 0
0 0

0 0

 0 0
X ⊗I =

 1 0


0 0 


0 1 
1 0

1 0

0 1 


0 0 
0 1 0 0
(3.55)
(3.56)
Per questi operatori di misura si ottengono i valori di aspettazione:
hXiS =c1 s1 c2 s2 (e−i(φ1 +φ2 ) + e−i(φ1 +φ2 ) + ei(φ1 +φ2 ) + ei(φ1 +φ2 ) )
=2c1 s1 c2 s2 [cos(φ1 + φ2 ) + cos(φ1 − φ2 )]
(3.57)
=c2 s2 cos φ2
(3.58)
hXiP =c2 s2 [c21 (eiφ2 + e−iφ2 ) + s21 (eiφ2 + e−iφ2 )]
La condizione di avere lo stesso risultato su entrambi i rami si traduce in:
hXiS = hXiP



 c2 = 0
s2 = 0


 cs = 1
1 1
4 cos φ1
⇒ θ2 = π
⇒ θ2 = 0
⇒ θ1 =
π
3
(3.59)
∧ φ1 =
π
2
Nel caso dell’unica soluzione non banalmente nulla, per garantire che il valore
di aspettazione sui due rami sia lo stesso che si sarebbe ottenuto misurando
53
Ripetizione di un Segnale
il segnale prima della trasformazione unitaria, bisogna imporre la condizione:
hXiS = hXiP = hXi
(3.60)
c2 s2 cos φ2 = 2c1 s1 cos φ1 =
1
2
(3.61)
che fornisce le soluzioni:
φ1 = φ2 =
π
2
∧
θ1 =
π
3
∧
θ2 =
π
2
(3.62)
Ponendo X = σ2 otteniamo:

0 −i 0
0



 i 0 0 0 

I ⊗X =


 0 0 0 −i 
0 0 i 0


0 0 −i 0


 0 0 0 −i 

X ⊗I =


 i 0 0 0 
0 i 0 0
(3.63)
(3.64)
Per questi operatori di misura si ottengono i valori di aspettazione:
hXiS =ic1 s1 c2 s2 (e−i(φ1 +φ2 ) + e−i(φ1 −φ2 ) − ei(φ1 +φ2 ) − ei(φ1 −φ2 ) )
=2c1 s1 c2 s2 [sin(φ1 + φ2 ) + sin(φ1 − φ2 )]
(3.65)
= − 2c2 s2 sin φ2
(3.66)
hXiP =ic2 s2 [c21 (eiφ2 − e−iφ2 ) + s21 (eiφ2 − e−iφ2 )]
La condizione di avere lo stesso risultato su entrambi i rami si traduce in:
hXiS = hXiP
1 tan φ2
c1 s1 = −
2 sinφ1
⇒
θ1 =
π
π
∧ φ1 =
3
2
(3.67)
Dove sono state escluse le soluzioni identicamente nulle. Per garantire che
il valore di aspettazione sui due rami sia lo stesso che si sarebbe ottenuto
54
3.4 Cloning Parziale
misurando il segnale prima della trasformazione unitaria, bisogna imporre la
condizione:
hXiS = hXiP = hXi
(3.68)
tan φ2 = 2c2 s2 sin φ2
1
c2 s2 =
2 cos φ2
(3.69)
(3.70)
che fornisce le soluzioni:
φ2 = 0, π
∧
π 3π
θ2 = ,
2 2
∧
3π
(φ1 = 0 ∧ θ1 =
) ∨ (φ1 6= 0 ∧ θ1 = 0)
2
(3.71)
Ponendo X = σ3 otteniamo:

1

 0
I ⊗X =

 0
0

1

 0
X ⊗I =
 0

0
0
0
0
0
1
0
0


0 


1 1 
0 −1

0
0

0
0 

−1 0 

0 −1
−1 0
0
0
(3.72)
(3.73)
Per questi operatori di misura si ottengono i valori di aspettazione:
hXiS =c21 c22 + c21 s22 − s21 s22 − s21 c22
=c21 − s21
(3.74)
=(c21 − s21 )(c22 − s22 )
(3.75)
hXiP =c21 c22 − c21 s22 + s21 s22 − s21 c22
La condizione di avere lo stesso risultato su entrambi i rami si traduce in:
hXiS = hXiP
c22 − s22 = 1
2s22 = 0
(3.76)
(3.77)
55
Ripetizione di un Segnale
Questa equazione fornisce la soluzione:
θ2 = 0
(3.78)
per cui si ottiene anche hXiS = hXiP = hXi.
Il qubit nello stato |ψiS é generale, percui l’unico possibile controllo sul
sistema é legato al bit di sonda. Per questo motivo, le soluzioni trovate,
che comportano delle condizioni sui valori θ1 e ψ1 del qubit di ingresso, non
devono essere tenute in considerazione. L’unica soluzione valida risulta la
(3.78). Otteniamo, quindi, che la porta c-not risulta un perfetto ripetitore
per tutte le osservabili X che si scrivono
X = x0 σ0 + x3 σ3
(3.79)
purché la sonda sia preparata in uno stato con θ2 = 0.
Si noti che l’osservabile X comprende anche termini in σ0 . Questo deriva
dal fatto che σ0 = I, quindi la trccia per questo osservabile é identica alla
traccia della matrice densitá che, per definizione, vale 1:
hXA i = hXS i = tr[RI ⊗ I] = 1
(3.80)
hXi = tr[ρI] = 1
(3.81)
Utilizzando il metodo ora descritto, si é proceduto ad analizzare altre
trasformazioni untarie, simili alla porta c-not, con l’obiettivo di ricavare le
trasformazioni che garantiscano la ripetizione degli osservabili x1 σ1 .
Osservando la forma delle trasformazioni unitarie che permettono di copiare l’informazione di σ1 , e notando che le matrici σ1 e σ2 differiscono fra
loro principalmente per un valore i, si é provato a cercare le trasformazini che permettono la copia di σ2 partendo proprio da quelle ricavate per
σ1 . Analizzando il comportamento di σ2 , si sono infine trovate le trasformazioni che fungono da ripetitore. Queste risultano identiche, nella forma,
alle trasformazioni relative a σ1 e differiscono da esse proprio per il solo
fattore i.
Le trasformazioni ottenute, e riportate in tabella 3.1, non risultano essere
le sole in grado di copiare l’informazione portata da una matrice di Pauli,
56
3.4 Cloning Parziale
singolarmente. Applicando successivamente, per esempio, la trasformazione
che permette la copia di σ1 a quella di σ3 , si trova una nuova trasformazione


1 0 0 0


 0 0 0 1 

U =
(3.82)


0
1
0
0


0 0 1 0
che é diversa da quelle precedentemente scoperte, ma permette la copia del-
l’informazione di σ3 . In modo analogo, attraverso le trasformazioni relative a
σ1 e σ2 , si é trovata una nuova trasformazione unitaria che risulta un perfetto
ripetitore per σ3

0 0 −1

 0 1
U =

 1 0
0 0
0
0
0

0

0 
,

0 
−1
(3.83)
mentre combinando, in modo diverso, le trasformazioni relative a σ1 e σ3 , si
é ottenuto un ripetitore per σ1 :

1 0 0 0

 0 0 1 0
U =
 0 0 0 1

0 1 0 0



.


(3.84)
Dall’analisi di questo comportamento, si é osservato che l’applicazione successiva delle trasormazioni, in certi casi, puó generare una nuova trasformazione
unitaria che non risulta essere un ripetitore per alcuna matrice di Pauli. Inoltre, come stabilito nel precedente paragrafo, non é possibile trovare una
matrcice che permetta la copia dell’informazione trasportata da piú matrici
contemporaneamente.
57
Ripetizione di un Segnale
Trasformazione


1 0 0 0


 0 0 0 1 


 0 0 1 0 


0 1 0 0


0 0 1 0


 0 1 0 0 


 1 0 0 0 


0 0 0 1


1 0 0 0


 0 0 0 ±i 


 0 0 1 0 


0 ∓i 0 0


0 0 ±i 0


 0 1 0 0 


 ∓i 0 0 0 


0 0 0 1


1 0 0 0


 0 1 0 0 


 0 0 0 1 


0 0 1 0


0 1 0 0


 1 0 0 0 


 0 0 1 0 


0 0 0 1
Sonda
Osservabile Clonabile
|siP =
√1 (|0i
2
+ |1i)
X = x0 σ0 + x1 σ1
|siP =
√1 (|0i
2
+ |1i)
X = x0 σ0 + x1 σ1
|siP =
√1 (|0i
2
+ |1i)
X = x0 σ0 + x2 σ2
|siP =
√1 (|0i
2
+ |1i)
X = x0 σ0 + x2 σ2
|siP = |0ih0|
X = x0 σ0 + x3 σ3
|siP = |1ih1|
X = x0 σ0 + x3 σ3
Tabella 3.1: Raccolta delle trasformazioni unitarie, e delle relative sonde, che
permettono una copia parziale dello stato di un qubit generico.
58
Capitolo
4
Misure Congiunte
Le trasformazioni unitarie trovate nel Capitolo 3 permettono la copia di un
solo tipo di informazione rendendo inutilizzabile, per operazioni di misura con
un’osservabile diversa, i segnali in uscita dalla trasformazione. Con questo
genere di trasformazione, é possible che 2 o piú utenti condividano lo stesso
tipo di informazione. Se si volesse leggere anche il valore di un’altra osservabile, dovremmo procedere con una trasformazione che definisca i segnali in
uscita in modo che ciascuno trasporti l’informazione relativa a una diversa
osservabile.
Il lavoro si concentra su un metodo di misura congiunta che permetta la
conservazione simultanea del valore di aspettazione relativo a operatori non
commutanti. I valori di aspettazione di tali operatori di misura si riferiscono
a parti diverse dell’informazione trasportata dal sistema. In questo modo
é possibile recuperare una maggiore quantitá di informazione rispetto alla
precedente operazione di cloning parziale.
4.1
Individuazione delle Mappe
Individuiamo la mappa che riproduce le matrici densitá del segnale e della
sonda dopo la trasformazione unitaria. Consideriamo la porta c-not che,
59
Misure Congiunte
congiuntamente ad un qubit di sonda inizializzato nello stato |0i, permette
la copia dell’informazione X = x0 σ0 + x3 σ3 .
Se poniamo l’attenzione sugli stati di uscita dei qubit dalla trasformazione
c-not, senza considerare le operazioni di misura, possiamo individuare lo stato
dei qubit attraverso due mappe1 . Se, per comoditá, indichiamo con U la
trasformazione unitaria c-not, otteniamo:
ρS = trP Uρ ⊗ |0ih0|U †
X
†
=
P hi|U|0iP ρ P hP 0|U |iiP
i
=
X
Ai ρA†i
(4.1)
i
ρP = trS Uρ ⊗ |0ih0|U †
X
=
S hi|U|ψiS |0iP h0|
i
=
X
i
S hS ψ|U
†
Bi |0ih0|Bi†
|iiS
(4.2)
Figura 4.1: Schema delle mappe di trasformazione della porta c-not, con segnale generico e sonda inizializzata nello stato |0i, per la copia dell’osservabile
X = x 0 σ 0 + x3 σ 3 .
Abbiamo quindi la definizione delle due mappe:
1
60
Ai = P hi|U|0iP
con i = 0, 1
(4.3)
Bi = S hi|U|ψiS
con i = 0, 1
(4.4)
Vedi sezione 1.6 a pagina 21
4.1 Individuazione delle Mappe
Supponendo il segnale da copiare del tutto generale,
|ψi = cos
θ1
θ1
|0i + e−iφ1 sin
= c1 |0i + e−iφ1 s1 ,
2
2
(4.5)
otteniamo la forma esplicita delle mappe:
A0 = P h0|U|0iP =
"
B0 = S h0|U|ψiS =
"
1 0
0 0
c1
#
0
0 c1
#
A1 = P h1|U|0iP =
"
B1 = S h1|U|ψiS =
"
0 0
0 1
#
0
e−iφ1 s1
e−iφ1 s1
0
#
(4.6)
Le due mappe, {A0 , A1 } e {B0 , B1 }, permettono di ricostruire l’evoluzione
61
Misure Congiunte
del sistema dei due segnali:
ρS =
=
X
"
i
#"
1 0
+
=
Ai ρA†i
=
=
"
0 0
c21
0
+
#
eiφ1 c1 s1
"
#
0 0
i
c1
0
0 c1
"
0
#"
s21
#"
1 0
#
0 0
#"
#
0 0
e−iφ1 c1 s1
s21
0 1
0 s21
0 s21
X
Bi |0iP h0|Bi†
ρP =
+
e−iφ1 c1 s1
0 0
eiφ1 c1 s1
"
#"
0 0
c21
0 1
"
#
c21 0
"
c21
1 0
0 0
(4.7)
#"
c1
0
#
0 c1
#"
#"
1 0
e−iφ1 s1
e−iφ1 s1
0
#
# "
"
0 0
c21 0
+
=
0 s21
0 0
"
#
c21 0
=
0 s21
0 0
0
eiφ1 s1
eiφ1 s1
0
#
(4.8)
Dalle equazioni (4.7) e (4.8) risulta chiaro che, esprimendo ρ come nell’equazione (3.14) e applicando l’operatore di misura X = x0 σ0 + x3 σ3, si
ottiene lo stesso risultato per hXiS , hXiP e hXi.
Consideriamo ora una sonda inizializzata in uno stato generico, secondo
la notazione dell’equazione (4.5),
|si = c2 |0i + e−iφ2 s2
(4.9)
La mappa {B0 , B1 } conserva la forma dell’equazione (4.6), mentre la mappa
62
4.1 Individuazione delle Mappe
{A0 , A1 } assume la forma, dipendente da θ2 e φ2
A0 = P h0|U|siP =
A1 = P h1|U|siP =
"
"
#
0
c2
0 e−iφ2 s2
e−iφ2 s2
0
0
c2
(4.10)
#
(4.11)
Avendo una mappa diversa, {A0 , A1 } agisce in modo differente sul segnale
|ψi e si ottiene:
ρS =
=
X
"
i
+
=
"
+
=
"
Ai ρA†i
0
c2
#"
c21
c2
eiφ1 c1 s1
e−iφ1 c1 s1
0 e−iφ2 s2
eiφ1 c1 s1
#"
"
c21
e−iφ2 s2 0
0
s21
0
c2
#
0 eiφ2 s2
#
#"
eiφ2 s2 0
e−iφ1 c1 s1
s21
c21 c22
e−iφ1 c1 s1 eiφ2 c2 s2
eiφ1 c1 s1 e−iφ2 c2 s2
"
c21 s22
s21 s22
eiφ1 c1 s1 eiφ2 c2 s2
#"
#
e−iφ1 c1 s1 e−iφ2 c2 s2
s21 c22
0
#
c21
2e−iφ1 c1 s1 c2 s2 cos φ2
2eiφ1 c1 s1 c2 s2 cos φ2
s21
#
c2
(4.12)
Anche la trasformazione dovuta alla mappa {B0 , B1 } risulta diversa da (4.8)
63
Misure Congiunte
poiché agisce su un segnale generico |si, diverso da |0i. Si ottiene:
X
ρP =
Bi |siP hs|Bi†
=
"
i
+
=
"
+
=
"
c1
0
0 c1
"
0
#"
c22
e−iφ2 c2 s2
eiφ2 c2 s2
s22
e−iφ1 s1
e−iφ1 s1
0
#"
c21 c22
e−iφ2 c21 c2 s2
eiφ2 c21 c2 s2
"
s21 s22
c21 s22
s21 c22
0
c1
0 c1
#
c22
e−iφ2 c2 s2
eiφ2 c2 s2
#
s22
eiφ2 s21 c2 s2
e−iφ2 s21 c2 s2
#"
#"
#
c21 c22 + s21 s22
c2 s2 [e−iφ2 c21 + eiφ2 s21 ]
c2 s2 [eiφ2 c21 + e−iφ2 s21 ]
c21 s22 + s21 c22
0
eiφ1 s1
eiφ1 s1
0
#
#
(4.13)
Ottenute queste mappe, {A0 , A1 } e {B0 , B1 }, e le relative trasformazioni
generali, ρS e ρP , possiamo considerare le operazioni di misura.
I risultati generali delle misure sul segnale iniziale, prima che avvenga
l’interazione con la sonda, forniscono i valori:
hσ1 i = sin θ1 cos φ1
hσ2 i = sin θ1 sin φ1
(4.14)
hσ3 i = cos θ1
É immediato osservare che la misura di σ3 viene conservata sul qubit ρS ,
mentre per il qubit ρP é necessario imporre la condizione θ2 = 0 giá trovata
nela sezione 3.4. Quindi, chiedere che hσ3 iS = hσ3 iP = hσ3 i equivale ad
imporre
ρS = ρP =
"
c21
0
0
s21
#
.
(4.15)
Tuttavia, si osserva che, senza imporre la restrittiva condizione θ2 = 0, dallo
stato ρS del qubit in uscita é possibile ricavare dell’informazione riguardante
l’osservabile σ1 .
64
4.2 Individuazione Misure Congiunte
4.2
Individuazione Misure Congiunte
Consideriamo lo stato dei segnali in uscita dalla trasformazione c-not cosı́
come sono descritti dalle matrici densitá nelle equazioni (4.12) e (4.13).
Possiamo scrivere i valori dei diversi osservabili:
hσ1 iS = sin θ1 cos φ1 sin θ2 cos φ2
(4.16)
hσ1 iP = sin θ2 cos φ2
(4.17)
hσ2 iS = sin θ1 sin φ1 sin θ2 cos φ2
(4.18)
hσ2 iP = cos θ1 sin θ2 sin φ2
(4.19)
hσ3 iS = cos θ1
(4.20)
hσ3 iP = cos θ1 cos θ2
(4.21)
A differenza di quanto fatto nella sezione 3.4, non poniamo la restrittiva
condizione hXiS = hXiP = hXi, bensı́ andiamo ad osservare che, appli-
cando operatori diversi sui segnali di uscita, possiamo ricavare i valori di
aspettazione per due distinti osservabili.
Analizzando i valori di aspettazione per i diversi osservabili, dopo l’interazione attraverso la porta c-not, possiamo osservare alcune interessanti comportamenti. Innanzitutto i valori di aspettazione per i diversi osservabili sul
sistema S forniscono, ciascuno, un clone per le tre matrici di Pauli mediante
un’opportuna scelta dell’osservabile. I risultati relativi alla trasformazione
unitaria c-not sono raccolti in tabella 4.1.
Nel caso di σ1 , dall’equazione (4.16) si ottiene:
hx1 σ1 iS = x1 (sin θ1 cos φ1 sin θ2 cos φ2 ).
(4.22)
Mediante un’opportuna scelta del valore di x1 , cioé dell’osservabile X, si puó
quindi ottenere il valore di aspettazione di σ1 del segnale originale. Basta
risolvere l’uguaglianza:
sin θ1 cos φ1 = x1 (sin θ1 cos φ1 sin θ2 cos φ2 )
(4.23)
65
Misure Congiunte
che equivale a porre, per qualunque scelta della sonda, un’osservabile sul
sistema S tale che:
x1 =
1
sin θ2 cos φ2
(4.24)
Quindi, misurando X = x0 σ0 +
1
σ
sin θ2 cos φ2 1
sul sistema S si é ottenuta
l’informazione relativa a σ1 .
Nel caso di σ2 , dall’equazione (4.18) si ottiene:
hx2 σ2 iS = x2 (sin θ1 sin φ1 sin θ2 cos φ2 ).
(4.25)
Mediante un’opportuna scelta del valore di x2 , cioé dell’osservabile X, si puó
quindi ottenere il valore di aspettazione di σ2 del segnale originale. Basta
risolvere l’uguaglianza:
sin θ1 sin φ1 = x2 (sin θ1 sin φ1 sin θ2 cos φ2 )
(4.26)
che equivale a porre, per qualunque scelta della sonda, un’osservabile sul
sistema S tale che:
x2 =
Quindi, misurando X = x0 σ0 +
1
sin θ2 cos φ2
1
σ
sin θ2 cos φ2 2
(4.27)
sul sistema S si é ottenuta l’in-
formazione relativa a σ2 . In particolare, osserviamo che il valore x2 dell’osservabile relativo a σ2 é esattamente lo stesso del valore x1 , relativo a σ1 ,
precedentemente trovato.
Nel caso di σ3 , dall’equazione (4.20) si ottiene:
hx3 σ3 iS = x3 cos θ1 .
(4.28)
Risulta quindi immediato porre il valore x3 dell’osservabile X pari a 1 per
ottenere il valore di aspettazione di σ2 del segnale originale. Ovvero, per
qualunque scelta della sonda, misurando X = x0 σ0 + σ3 sul sistema S si
ottiene l’informazione relativa a σ3 .
Con la medesima procedura, analizzando i risultati (4.19) e (4.21), si
osserva che sul sistema P , a differenza di quanto accade per il sistema S,
non vengono conservate le informazioni relative a tutte le matrici di Pauli.
66
4.2 Individuazione Misure Congiunte
Osservabile
Segnale
Sonda
Fattori xi
x1 σ1
x1 =
x2 σ2
x2 =
Osservabile Clonabile
1
sin θ2 cos φ2
1
sin θ2 cos φ2
σ1
σ2
x3 σ3
x3 = 1
σ3
x2 σ2
x2 = sin θ21sin φ2
x3 = cos1θ2
σ3
x3 σ3
σ3
Tabella 4.1: Elenco dei risultati ottenuti per misure congiunte sulla porta c-not.
Infatti, variando opportunamente i valori di xi e operando misure della forma
x2 σ2 o x3 σ3 , viene sempre conservata la sola informazione relativa a σ3 . Un
altro aspetto rilevante é che, per quanto riguarda la misura delle osservabili
della forma x0 σ0 + x1 σ1 , non é possibile ricavare alcun genere di informazione
sullo stato del segnale iniziale quando si operi sul sistema della sonda dopo
che é avvenuta l’interazione.
Questi interessanti risultati non sono esclusivi della trasformazione unitaria c-not, bensı́ possono essere osservati anche nelle altre matrici di trasformazione unitaria raccolte in tabella 3.1. Come per queste matrici, si ottengono risultati analoghi anche quando si considerino due o piú trasformazioni
della tabella 3.1 in cascata. Quindi, si é trovato che, se utilizzate congiuntamente ad una specifica sonda, queste matrici rappresentano dei perfetti ripetitori per una sola matrice di Pauli ciascuno, mentre utilizzandoli con delle
sonde generiche e opportune osservabili, é possibile ottenere informazioni,
sul segnale originale, relative a due ditinte matrici di Pauli.
Possiamo illustrare la possibilitá di clonare osservabili distinte,su un unico
sistema, attraverso la composizione della trasformazione unitaria con la porta
di Hadamard, H:
1
H=√
2
"
1
1
1 −1
#
.
(4.29)
La porta di Hadamard, i cui risultati sono riportati in tabella 4.2, é un’evoluzione
molto usata in meccanica quantistica la cui operazione, se vista su una sfera,
67
Misure Congiunte
é rappresentata da una rotazione di 90o intorno all’asse yb e una riflessione
rispetto al piano x
b − yb.
H|0i =
H|1i =
√1
2
1
√
2
(|0i + |1i)
(|0i − |1i)
Tabella 4.2: Riassunto dell’evoluzione di un sistema quantistico a opera della porta
di Hadamard.
Se consideriamo il ramo di uscita del segnale dalla trasformazione unitaria, come descritto in equazione (4.12), e applichiamo la porta di Hadamard,
otteniamo:
H † ρS H
"
#"
#"
#
c21
2e−iφ1 c1 s1 c2 s2 cos φ2
1 1
1 1 1
=
2 1 −1
2eiφ1 c1 s1 c2 s2 cos φ2
s21
1 −1
#
"
1 + 4c1 s1 c2 s2 cos φ1 cos φ2
s21 − c21 − 4c1 s1 c2 s2 cos φ1 cos φ2
1
.
=
2 c21 − s21 − 4c1 s1 c2 s2 cos φ1 cos φ2
4c1 s1 c2 s2 cos φ1 cos φ2 − 1
(4.30)
Se ora eseguiamo la misura dell’osservabile σ3 su questo stato del sistema del
segnale
hx3 σ3 iS = tr[H † ρS Hx3 σ3 ]
= 4x3 c1 s1 c2 s2 cos φ1 cos φ2
= x3 sin θ1 sin θ2 cos φ1 cos φ2 .
otteniamo, ponendo x3 =
1
,
sin θ2 cos φ2
(4.31)
il valore di aspettazione di σ1 sullo
stato del sistema senza la trasformazione di Hadamard e quindi il valore di
aspettazione di σ1 sul segnale originale.
Infatti, applicando la proprietá di circolaritá della traccia si ottiene
tr[H † ρS Hσ3 ] = tr[ρS Hσ3 H † ]
68
(4.32)
4.3 Schema delle Misure Congiunte
e la trasformazione di Hadamadrd sulla matrice di Pauli σ3 agisce trasformandola nella matrice σ1 :
1
Hσ3 H † =
2
=
1
2
"
"
1
1
1 −1
#
0 2
#"
1
0
0 −1
#"
1
1
1 −1
#
2 0
= σ1 .
4.3
(4.33)
Schema delle Misure Congiunte
Attraverso la trasformazione unitaria c-not, abbiamo osservato come sia possibile suddividere le informazioni relative a σ1 e σ3 su due qubit. Quando si
esegue una misura sui segnali in uscita dalla trasformazione, peró, si ottiene
l’informazione e si distrugge irrimediabilemte lo stato del sistema. Per poter continuare a condividere l’informazione con piú utenti é necessario agire
ulteriormente sui segnali ed eseguire una misura indiretta.
Figura 4.2: Schema generale di misura congiunta dello stato di un qubit relativamente
all’informazione trasportata da σ1 e σ3 . Le trasformazioni unitarie U3 corrispondono
a porte c-not, mentre la trasformazione U1 rappresenta la porta in grado di clonare
l’osservabile σ1 , come da tabella 3.1.
Possiamo considerare uno schema di misure come quello presentato in
figura 4.2, dove, per comoditá, viene indicata con U3 la porta c-not e con U1 la
trasformazione unitaria che permette la copia dell’informazione relativa a σ1 .
69
Misure Congiunte
In questo schema, attraverso una porta c-not e una sonda generica |sihsvert,
le informazioni, relative a σ1 e σ3 del segnale originale |ψihψ|, vengono divise
rispettivamente sul sistema S e P . Infatti, come visto nella sezione 4.2, sui
due segnali in uscita dalla trasformazione U3 , mediante un’opportuna scelta
dell’osservabile é possibile estrarre informazioni circa σ1 e σ3 del segnale
originale.
La successiva operazione consiste nell’applicare la matrice che permette
la copia dell’informazione di σ1 sul ramo S e la matrice che permette la copia
dell’informazione di σ3 sul ramo P . In questo modo, é possibile eseguire
una misura indiretta di entrambe le informazioni. Infatti, sul ramo S, dall’equazione (4.12) e applicando la trasformazione U1 , il sistema é descritto
dalla matrice densitá ρ1 data da:
U1† ρS ⊗ |s1 iP hs1 | U1 ,
dove
|s1 iP hs1 | =
1
2
"
1 1
1 1
#
(4.34)
(4.35)
.
Considerando l’operatore di misura X1 = x1 σ1 , si ottengono i valori di
aspettazione:
hXiS = x1 sin θ1 cos φ1 sin θ2 cos φ2
(4.36)
hXiP = x1 sin θ1 cos φ1 sin θ2 cos φ2
(4.37)
uguali fra di loro. Confrontando questo risultato con il valore di aspettazione
in equazione (4.16) e (4.14), si osserva che ponendo x1 =
1
,
sin θ2 cos φ2
si ottiene
l’informazione relativa a σ1 del segnale originale.
Considerando il ramo P , dall’equazione (4.13) e applicando la trasformazione U3 , il sistema é descritto dalla matrice densitá ρ3 data da:
U3† ρP ⊗ |s3 iP hs3 | U3 ,
dove
|s3 iP hs3 | =
70
"
1 0
0 0
#
.
(4.38)
(4.39)
4.4 Indeterminazione
Considerando l’operatore di misura X3 = x3 σ3 , si ottengono i valori di
aspettazione:
hXiS = x3 cos θ1 cos θ2
(4.40)
hXiP = x3 cos θ1 cos θ2
(4.41)
uguali fra di loro. Confrontando questo risultato con il valore di aspettazione
in equazione (4.21) e (4.14), si osserva che ponendo x3 =
1
,
cos θ2
si ottiene
l’informazione relativa a σ3 del segnale originale.
Questo schema di misura puó essere utilizzato anche sfruttando trasformazioni unitarie diverse da U1 e U3 . Ad esempio, utilizzando una trasformazione unitaria U2 che, unitamente alla sonda specifica |s2 ihs2 |, permette
la copia dell’informazione relativa a σ2 , é possibile ottenere le informazioni
relative a σ3 e σ2 del segnale originale.
Quindi, attraverso questo schema, é possibile raddoppiare la quantitá
di informazione estratta, ma non si é piú in presenza di un ripetitore di
segnale, se per ripetitore di segnale intendiamo uno strumento che estrae
dell’informazione e rimette tale informazione a disposizione su di un canale.
In questo caso, infatti, dopo la procedura di misura, si hanno due canali che
trasportano le due informazioni. Operando su ciascun canale attraverso i
ripetitori di tabella 3.1 si ottengono le informazioni trasportate da σ1 e σ3
del segnale originale, ma sono necessari due canali distinti. Inoltre, su questi
segnali, non si puó applicare il procedimento di misura con l’utilizzo della
porta di Haadamard poiché si fa uso delle sonde specifiche per la clonazione
di un singolo osservabile.
4.4
Indeterminazione
Secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg, le misure simultanee
di due operatori non commutanti non possono essere eseguite con precisione
arbitraria. Nel caso delle misure congiunte analizzate per la porta c-not, gli
operatori in esame non solo non sono commutanti, ma il loro commutatore
71
Misure Congiunte
non é un numero immaginario, bensı́ un nuovo operatore:
[I ⊗ σ3 , σ1 ⊗ I] = σ1 ⊗ σ3 ,
dove

0
0
1
0
(4.42)



 0 0 0 −1 
.
σ1 ⊗ σ3 = 


1
0
0
0


0 −1 0 0
(4.43)
In questa circostanza, dall’equazione (3.54) di evoluzione del sistema attraverso la porta c-not, otteniamo il valore di aspettazione per σ1 ⊗ σ3
hσ1 ⊗ σ3 i = − sin θ1 sin φ1
(4.44)
che risulta pari al valore di aspettazione per σ2 in equazione (4.14). Se applichiamo la definizione del principio di Heisenberg secondo Yuen2 otteniamo:
¯ 2 ∆σ
¯ 2 ≥ hσ2 i2 = sin2 θ1 sin2 φ1 .
∆σ
3
1
(4.45)
da cui si ricava:
(1 − cos2 θ1 )(1 − sin2 θ1 cos2 φ1 ) ≥ sin2 θ1 sin2 φ1
sin2 θ1 (1 − sin2 θ1 cos2 φ1 ) ≥ sin2 θ1 sin2 φ1
1 − sin2 θ1 cos2 φ1 − sin2 φ1 ≥ 0
cos2 φ1 (1 − cos2 θ1 ) ≥ 0eq
cos2 φ1 sin2 θ1 ≥ 0
eq
eq
eq
(4.46)
(4.47)
Quindi la relazione di incertezza, che tiene conto anche delle fluttuazioni
dovute ad una singola misura simultanea di due osservabili non commutanti,
e il cui commutatore é pari ad un operatore, risulta sempre soddisfatta per
qualsiasi segnale |ψihψ|.
2
72
Vedi sezione 1.5 a pagina 19.
Capitolo
5
Conclusioni e Sviluppi
73
Conclusioni e Sviluppi
74
Appendice
A
Notazione di Dirac
Un sistema fisico viene descritto all’interno di uno spazio di Hilbert H in cui,
a meno di isomorfismi, si ha una rappresentazione irriducibile degli operatori
fondamentali. Le espressioni che hanno una interpretazione fisica sono della
forma di prodotti scalari fra due elementi dello spazio di Hilbert H e un
operatore lineare autoaggiunto densamente definito in H.
La notazione di Dirac[?] mette in evidenza gli elementi dello spazio di
Hilbert, tipicamente identificato come autovettori, di un insieme completo di
operatori, relativo a certi autovalori. Gli elementi dello spazio di Hilbert a cui
si fa ricorso ”a destra” nel prodotto scalare vengono indicati con il simbolo
|·i, e prendono il nome di ”ket”, mentre gli elementi ”a sinistra” vengono
indicati con il simbolo h·|, e prendono il nome di ”bra”. Nella notazione di
Dirac un operatore A agisce a destra su un ket |f i trasformandolo nel ket
|f 0 i dove, nella notazione usuale, f 0 = Af oppure agisce a sinistra su un
bra hg| trasformandolo nel bra hg| dove, nella notazione usuale g 0 = A† g.
L’espressione hg|Af i viene quindi riscritta come:
hg|A|f i.
(A.1)
In notazione di Dirac, é interessante considerare gli operatori di proiezione,
P
su un sottospazio S generato da una base {yl }, P f = l yl hyl |f i, che viene
75
Notazione di Dirac
riscritto come:
f0 = Pf =
X
l
P =
|yl ihyl |f i
X
l
|yl ihyl |
(A.2)
(A.3)
Se l’insieme {yl } costituisce un s.o.n.c. dello spazio di Hilbert si ottiene la
relazione di completezza
I=
X
l
|yl ihyl |
(A.4)
e lo sviluppo di |f i sulla base |yl i puó essere scritto mediante l’identitá |f i =
I|f i, dove I é scritto secondo la relazione A.4.
Notazione
Descrizione
|ψi
Vettore. Chiamato anche ket .
hφ|ψi
Prodotto interno di |φi e |ψi .
hψ|
hφ|A|ψi
|φi ⊗ |ψi
|φi|ψi
P
P = l |yl ihyl |
∗
A
Vettore duale di |ψi . Chiamato anche bra .
Prodotto interno tra |φi e A|ψi .
Equivalentemente, prodotto interno tra A† |φi e |ψi .
Prodotto tensore di |φi e |ψi .
Abbreviazione del prodotto tensore di |φi e |ψi .
Proiettore su un sottospazio S generato da una base {yl } .
Complessa coniugata della matrice A .
AT
Trasposta della matrice A .
A†
Hermitiana coniugata o aggiunta della matrice A .
"
#† "
#
∗
∗
a
b
a
c
∗
A† = AT
=
c d
b∗ d∗
Tabella A.1: Raccolta della notazione standard di meccanica quantistica per alcuni
elementi di algebra lineare. Questo stile di notazione é noto come notazione di Dirac.
~ l’auSecondo questa notazione, dato un insieme completo di operatori A,
tovettore comune u~a relativo a un insieme di autovalori ~a viene indicato
76
come
~ ai = ~a|~ai
A|~
(A.5)
~ = ~ah~a|
h~a|A
X
I=
|~aih~a|.
(A.6)
(A.7)
a
Tale formalismo non distingue le autofunzioni proprie da quelle improprie e ,
nel caso di indici continui la somma viene sostituita da un integrale. In questo
~ corrisponde una descrizione
modo, ad ogni insieme completo di operatori A
fondata su ampiezze di probabilitá
ψt (~a) = h~a|ψt i
(A.8)
dove, per la relazione di completezza,
X
X
kψt k2 =
hψt |~aih~a|ψt i =
|ψt (~a)|2 = 1.
~a
(A.9)
~a
~ che, nello spazio di Hilbert, sono stati privilegiati con la
Gli operatori A
scelta della base di riferimento, diventano semplicemente degli operatori di
moltiplicazione per l’autovalore ~a
~ t (~a) = h~a|A|ψ
~ t i = ~ah~a|ψt i = ~aψt (~a),
Aψ
mentre gli altri operatori sono rappresentati da matrici
X
(Cf ) (~a) =
h~a|C~a0 if (~a0 ).
(A.10)
(A.11)
~a0
Il passaggio dalla descrizione in cui la base privilegiata é quella degli operatori
~ a una descrizione che si riferisce a un insieme completo di operatori B
~
A,
viene fatto attraverse la funzione di trasferimeto h~b|~ai costruita per mezzo
dei s.o.n.c. generalizzati |~ai e h~b|.
ψt (~b) = h~b|ψt i =
X
X
h~b|~aih~a|ψt i =
h~b|~aiψt (~a).
~a
(A.12)
~a
La trasformazione inversa si ottiene semplicemente attraverso la funzione di
trasferimento h~a|~bi = h~b|~ai† .
77
Notazione di Dirac
78
Appendice
B
Matrici di Pauli
Le matrici di Pauli sono matrici 2 × 2 complesse, appartenenti al gruppo
delle matrici unitarie1 U (2), che possono essere espresse in diverse notazioni
e hanno la forma:
"
#
0 1
σx ≡ σ1 ≡
1 0
σy ≡ σ2 ≡
"
0 −i
i
0
#
σz ≡ σ3 ≡
"
1
0
0 −1
#
. (B.1)
A queste tre matrici, generalmente, si affianca anche la matrice identitá:
"
#
1 0
I ≡ σ0 ≡
,
(B.2)
0 1
realizzando una base per le matrici 2 × 2 complesse.
Al gruppo delle matrici U (2) corrispondono le trasformazioni lineari su
C2 che conservano il prodotto interno. Dall’appartenenza al gruppo U(2),
discendono importanti proprietá:
• sono unitarie, σi† σi = I
• sono hermitiane, σi∗ = σiT
• hanno traccia nulla, tr[σi ] = 0
• hanno autovalori unitari, λ = ±1
1
Vedi Appendice C a pagina 81
79
Matrici di Pauli
• hanno determinante negativo, det(σi ) = −1.
Queste proprietá risultano molto utili nell’applicazione della Meccanica Quantistca allorché le matrici unitarie di trasformazione per un qubit sono espresse
in funzione delle matrici di Pauli. In tali circostanze, si osservano diverse
semplificazioni nelle formule derivate da prodotti fra matrici di Pauli.
Proprietá
σi σ0 = σi
Prodotto
Traccia del prodotto
Commutatore
Anticommutatore
σ0 σj = σj
P
σi σj = Iδij + i k εijk σk
tr[σi σj ] = 2δij
P
[σi , σj ] = 2i k εijk σk
{σi , σj } = 2Iδij
dove εijk = −εjik é il tensore di Levi-Civita
Tabella B.1: Elenco delle principali proprietá dei prodotti fra matrici di Pauli.
Altra particolaritá delle matrici di Pauli, esse generano un’importante
classe di matrici unitarie quando vengono esponenziate, gli operatori di rotazione attorno agli assi cartesiani, definiti da:
−i θ2 σx
θ
θ
= cos I − i sin σx =
2
2
−i 2θ σy
θ
θ
= cos I − i sin σy =
2
2
−i 2θ σz
θ
θ
= cos I − i sin σz =
2
2
Rx (θ) ≡ e
Ry (θ) ≡ e
Rz (θ) ≡ e
80
"
"
"
cos θ2
−i sin θ2
−i sin 2θ
cos θ2
sin 2θ
θ
e−i 2
0
cos θ2
#
− sin 2θ
cos θ2
#
0
θ
ei 2
#
(B.3)
(B.4)
(B.5)
Appendice
C
Matrici Unitarie
Poniamoci nello spazio lineare Cn , cosituito dai vettori colonna a due componenti complesse

v1



 v2 


v=

 ·· 
vn
vi ∈ C,
(C.1)
e munito del prodotto interno h·|·i definito da
hv|wi = v1∗ w1 + v2∗ w2 + · · · + vn∗ wn .
(C.2)
Il gruppo U(n), delle matrici unitarie, é definito come il gruppo delle
trasformazioni in Cn che conserva il prodotto interno. Quindi, dato un vettore
colonna v, una matrice unitaria agisce secondo:
hUv|Uvi = hv|U ∗ U|vi = hv|vi.
(C.3)
Ne segue che, proprietá fondamentale perché una matrice sia unitaria é che:
U ∗ U = UU ∗ = I,
(C.4)
quindi una matrice unitaria é anche una matrice normale.
Da questa relazione, si puó ricavare una proprietá degli elementi che costituiscono la matrice. In particolare, se consideriamo gli n vettori colonna, ui ,
81
Matrici Unitarie
che formano la matrice unitaria U, perché sia soddisfatta la relazione ( C.4)
di unitarietá, é condizione necessaria e sufficiente che tali vettori siano, a due
a due, ortonormali fra loro:
ui · uj = δij
i, j = 1, 2, . . . , n.
(C.5)
Una caratteristica importante di questo gruppo é che, date due matrici unitarie U e V , se sono dello stesso ordine, e quindi ha senso la scrittura UV ,
la matrice prodotto, UV , é ancora una matrice unitaria.
Dalla relazione (C.4) é possibile ricavare diverse proprietá delle matrici unitarie. Tali proprietá sono riassunte in tabella C.1.
U é unitaria ⇒
U ∗ é unitaria
U −1 = U ∗
det(U) = ±1
(Uv)∗ (Uw) = v∗ w
|Uv| = |v|
v ⊥ w ⇔ Uv ⊥ Uw
Tabella C.1: Elenco delle principali proprietá delle matrici unitarie
Le matrici unitarie hanno la proprietá di digonalizzare le matrici quadrate.
Secondo il Lemma di Schur, data una qualunque matrice quadrata A, esiste
sempre una matrice unitaria U tale che T = U ∗ AU sia una matrice triangolare superiore.
Da questo Lemma e dalle proprietá delle matrici unitarie discende un importante teorema per la Meccanica Quantistica:
Teorema Spettrale. Data una matrice normale N, con autovalori λ1 , λ2 , . . . , λn ,
allora esistono degli autovettori corrispondenti g1 , g2 , . . . , gn , tali che
• gi · gj = δij , i.e. sono, a due a due, ortogonali fra di loro
• la matrice U = [g1 , g2 , . . . , gn ], i cui vettori colonna corrispondono agli
autovettori gn , é una matrice unitaria
82
• la matrice unitaria, U, costituita dagli autovettori di N, diagonalizza
N, U ∗ NU = D = diag(λ1, λ2 , . . . , λn )
83