Short Course on Multibody Dynamics

Meccanica Aerospaziale
Meccanica relativa
In molti problemi meccanici la scelta di un
riferimento non inerziale appare, non solamente la
più spontanea, ma anche la più significativa per
rappresentare le soluzioni.
A titolo d'esempio possiamo citare i problemi di navigazione in cui è
spontaneo utilizzare come indipendenti coordinate che individuino la
posizione relativa rispetto ad un sistema solidale alla terra, perché le
coordinate stesse risultano più immediatamente rappresentative.
Questa scelta dell'uso di coordinate relative, pur rivelandosi più
significativa dell'utilizzo di coordinate assolute, complica leggermente
la scrittura delle equazioni ed impone una più sottile interpretazione
dei contributi inerziali.
La meccanica relativa è implicitamente contemplata dalle equazioni di
Lagrange che dimostrano, quindi, un ulteriore carattere di invarianza.
Esse rimangano formalmente le stesse sia con l'utilizzo di coordinate
assolute, sia con l'impiego di coordinate relative.
Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale
Politecnico di Milano
Meccanica Aerospaziale
Meccanica relativa
Come introduzione alle questioni di
meccanica relativa consideriamo, nello
spazio ordinario tridimensionale, il moto di
un singolo punto descritto da due
osservatori in moto uno rispetto all'altro.
Di questi osservatori, uno verrà indicato
come
osservatore fisso,
l'altro, come
osservatore mobile.
In meccanica classica, si considerano invarianti, rispetto ai due osservatori, gli
intervalli di tempo fra due fenomeni fisici e le distanze fra punti prefissati.
Il tempo, quindi, costituisce una grandezza assoluta per i due osservatori
comunque in moto fra loro, mentre l'invarianza delle distanze fra punti prefissati
impone che il moto dell'osservatore mobile rispetto all'osservatore fisso sia
rigido.
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Meccanica relativa
Cinematica relativa
Meccanica Aerospaziale
coordinate relative
Velocità assoluta
Velocità del polo di riferimento
Formule di Poisson
Velocità di trascinamento
Velocità relativa
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Meccanica relativa
Cinematica relativa
Meccanica Aerospaziale
coordinate relative
il termine vt rappresenta la velocità posseduta dal punto P, qualora fosse
trascinato rigidamente dal riferimento relativo, detta velocità di trascinamento
il termine vr rappresenta la velocità posseduta dal punto P qualora il
riferimento relativo fosse esso stesso fisso e viene detta velocità relativa.
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Meccanica Aerospaziale
Meccanica relativa
Cinematica relativa
sia la velocità assoluta, sia la velocità relativa sono date dalla derivate delle
componenti della posizione moltiplicate per i versori degli assi
la velocità assoluta è espressa dalla somma delle derivate delle componenti
della posizione assoluta, rispetto al riferimento assoluto, ciascuna moltiplicata
per i versori della terna assoluta
la velocità relativa è fornita dalla somma delle derivate delle componenti della
posizione relativa, rispetto al riferimento relativo, ciascuna moltiplicata per i
versori degli assi del riferimento relativo.
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Meccanica Aerospaziale
Meccanica relativa
Cinematica relativa
l'accelerazione relativa può essere interpretata come l'accelerazione giudicata
dall'osservatore mobile
l'accelerazione relativa può essere ottenuta come l'accelerazione del punto P
immaginando di aver congelato la terna di trascinamento
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Meccanica relativa
Cinematica relativa
Meccanica Aerospaziale
raggruppando i termini
i primi tre termini a secondo membro costituiscono l'accelerazione posseduta
dal punto P, qualora fosse trascinato rigidamente dal riferimento relativo, detta
appunto accelerazione di trascinamento
il quinto termine rappresenta l'accelerazione relativa
Il quarto termine rappresenta l’accelerazione complementare
Teorema di Coriolis
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Meccanica relativa
Dinamica relativa
Meccanica Aerospaziale
La forza d'inerzia, data dal prodotto della massa per l'accelerazione,
eguaglia la forza esterna
questa equazione presuppone l'utilizzo di un sistema di riferimento assoluto, cioè
di un sistema di riferimento fisso o in moto rettilineo ed uniforme rispetto a
questo riferimento
nel caso di un riferimento mobile la scrittura dell'equazione della dinamica
richiede l'espressione dell'accelerazione mediante il teorema di Coriolis
forza d’inerzia di
trascinamento
forza d’inerzia di Coriolis
o complementare
La forza d'inerzia relativa, data dal prodotto della massa per l'accelerazione
relativa, eguaglia la forza esterna relativa,
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Meccanica Aerospaziale
Meccanica relativa
Trattazione lagrangiana
Le equazioni di Lagrange sono in grado di considerare la dinamica relativa
senza richiedere alcuna modifica.
Con la trattazione lagrangiana, la dinamica relativa viene implicitamente
considerata nel momento in cui si utilizzano come coordinate libere delle
coordinate relative.
L’unica scelta consiste nell’individuare le coordinate della posizione relativa.
coordinate relative
posizione assoluta
velocità assoluta
sollecitazione attiva
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Meccanica Aerospaziale
Meccanica relativa
Trattazione lagrangiana
velocità assoluta
Proiezione lungo
gli assi rotanti
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Meccanica Aerospaziale
Meccanica relativa
energia cinetica
di trascinamento
Energia cinetica
energia cinetica
relativa
energia cinetica
complementare
energia cinetica di trascinamento
momento statico
tensore d’inerzia
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Meccanica Aerospaziale
Meccanica relativa
Trattazione lagrangiana
energia cinetica relativa
energia cinetica complementare
quantità di moto relativa
momento delle quantità di moto relative
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Meccanica relativa
Trattazione lagrangiana
Meccanica Aerospaziale
energia cinetica del
moto relativo relativa
energia cinetica di trascinamento e complementare al pari di un potenziale generalizzato
Forze d’inerzia apparenti come forze monogeniche dedotte da un potenziale generalizzato
Equazioni di Lagrange per il moto relativo
equvalenti alle equazioni di Lagrange
per il moto assoluto
una volta specificata la scelta delle coordinate libere, le equazioni di Lagrange
sono determinate e non possono mutare, se non per un diverso
raggruppamento ed interpretazione dei vari termini
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Meccanica relativa
per un sistema di punti materiali
Meccanica Aerospaziale
coordinate relative
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Meccanica relativa
per un sistema di punti materiali
Meccanica Aerospaziale
Quantita di moto relativa
Momento delle uantita di moto relativa
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Meccanica relativa
Trattazione lagrangiana
Meccanica Aerospaziale
energia cinetica del moto relativo
Sollecitazioni apparenti come
sollecitazioni monogeniche
Potenziale
generalizzato
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