Soluzioni esercizi sui numeri complessi

Esercizi sui numeri complessi
Corso di Laurea in Informatica A.A.
Docente: Andrea Loi
Correzione 1◦ Esercitazione
1. Trovare parte reale e immaginaria dei numeri complessi:
3+i−
5
2 − 4i
e
1
3+i
−
i
i
Soluzione:
z = 3+i−
segue Re z =
5
(3 + i)(2 − 4i)(2 + 4i) − 5(2 + 4i)
5
=
=
2 − 4i
(2 − 4i)(2 + 4i)
2
5
2
e Im z = 0;
w =
3+i
1
(3 + i)i − i
−
=
= 1 − 2i
i
i
i2
segue Re w = 1 e Im w = −2.
2. Trovare le radici quadrate dei seguenti numeri complessi: 1 , i , −i , −3 .
Soluzione: La rappresentazione trigonometrica di z = 1 è
z = 1(cos 0 + i sin 0)
segue che le sue radici quadrate sono:
z0 = 1(cos 0 + i sin 0) = z
z1 = 1(cos π + i sin π) = −1
1
la rappresentazione trigonometrica di w = i è
w = 1(cos
π
π
+ i sin )
2
2
segue che le sue radici quadrate sono:
1
π
π
1
+ i sin ) = √ + √ i
4
4
2
2
5π
1
5π
1
w1 = 1(cos
+ i sin ) = − √ − √ i
4
4
2
2
w0 = 1(cos
In modo analogo si ottiene che le radici quadrate di u = −i sono:
1
3π
3π
1
+ i sin
= −√ + √ i
4
4
2
2
7π
7π
1
1
u1 = cos
+ i sin
= √ − √ i
4
4
2
2
u0 = cos
mentre le radici quadrate di v = −3 sono:
√
√
π
π
3(cos + i sin ) = 3 i
2
2
√
√
3π
3π
v1 = 3(cos
+ i sin ) = − 3 i
2
2
v0 =
3. Risolvere le seguenti equazioni nel campo complesso:
z 2 + 2z − 1 = 0
z2 + z + 1 = 0
Soluzione: Poniamo z = x + iy, allora z 2 = x2 − y 2 + 2xyi,
sostituendo nell’equazione di partenza si ottiene:
x2 − y 2 + 2xyi + 2x + 2yi = 1
da cui segue
x2 − y 2 + 2x = 1
e
2xy + 2y = 0
2
Da quest’ultima equazione segue che y = 0 oppure x = −1.
Se y = 0, allora
x2 + 2x − 1 = 0 =⇒ x = −1 +
√
√
2 oppure x = −1 − 2
Se x = −1, allora
y 2 = −2 =⇒ nessuna soluzione
In conclusione le soluzioni cercate sono:
z1 = −1 +
√
2
z2 = −1 −
√
2
In modo analogo si ottiene che le soluzioni dell’equazione
z2 + z + 1 = 0
sono:
√
1
3
i
z1 = − +
2
2
√
1
3
z2 = − −
i
2
2
4. Trovare le radici quinte dell’unità.
Soluzione: Poniamo z = 1 = cos 0 + i sin 0, le radici quinte dell’unità sono:
z0 = cos 0 + i sin 0 = 1
2π
5
4π
z2 = cos
5
6π
z3 = cos
5
8π
z4 = cos
5
z1 = cos
3
2π
5
4π
+ i sin
5
6π
+ i sin
5
8π
+ i sin
5
+ i sin
5. Dalla formula
zk =
√
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
n
r(cos(
) + i sin(
)), k = 0, 1, . . . , n − 1 (1)
n
n
si deduce che le radici di un numero complesso z si dispongono nel
piano come i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una
√
circonferenza di raggio n r, dove uno di tali vertici rappresenta il numero complesso di argomento
1
n Arg(z).
Trovare le radici terze, quarte e quinte dei seguenti numeri complessi
−1 , 1 + i , 1 − i
e verificare questo risultato.
Soluzione: Utilizzando la formula (1) si ottengono i seguenti risultati:
• Radici terze di z = −1
z0 = cos
π
π
+ i sin
3
3
z1 = cos π + i sin π
z2 = cos
5π
5π
+ i sin
3
3
Il poligono regolare con vertici z0 , z1 e z2 inscritto in una circonferenza unitaria è rappresentato in Figura 1
• Radici terze di w = 1 + i =
√ ¡
¢
2 cos π4 + i sin π4
³
√
π
π´
6
2 cos
+ i sin
12 ¶
µ 12
√
3π
3π
6
w1 = 2 cos
+ i sin
4
4
µ
¶
√
17π
17π
6
w2 = 2 cos
+ i sin
12
12
w0 =
Il poligono regolare con vertici w0 , w1 e w2 inscritto in una cir√
conferenza di raggio 6 2 è rappresentato in Figura 2
4
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 1: Poligono con vertici z0 , z1 e z2
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 2: Poligono con vertici w0 , w1 e w2
• Radici terze di u = 1 − i =
√ ¡
¢
7π
2 cos 7π
4 + i sin 4
µ
¶
√
7π
7π
6
u0 = 2 cos
+ i sin
12
12
µ
¶
√
5π
5π
6
u1 = 2 cos
+ i sin
4
4
¶
µ
√
23π
23π
6
u2 = 2 cos
+ i sin
12
12
Il poligono regolare con vertici u0 , u1 e u2 inscritto in una circon√
ferenza di raggio 6 2 è rappresentato in Figura 3
5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 3: Poligono con vertici u0 , u1 e u2
• Radici quarte di z = −1
π
π
+ i sin
4
4
3π
3π
z1 = cos
+ i sin
4
4
5π
5π
+ i sin
z2 = cos
4
4
7π
7π
z3 = cos
+ i sin
4
4
z0 = cos
Il poligono regolare con vertici z0 , z1 , z2 e z3 inscritto in una
circonferenza unitaria è rappresentato in Figura 4
• Radici quarte di w = 1 + i =
√ ¡
¢
2 cos π4 + i sin π4
³
√
π
π´
8
2 cos
+ i sin
16 ¶
µ 16
√
9π
9π
8
+ i sin
w1 = 2 cos
16
16
µ
¶
√
17π
17π
8
w2 = 2 cos
+ i sin
16
16
µ
¶
√
25π
25π
8
w3 = 2 cos
+ i sin
16
16
w0 =
Il poligono regolare con vertici w0 , w1 , w2 e w3 inscritto in una
√
circonferenza di raggio 8 2 è rappresentato in Figura 5
6
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 4: Poligono con vertici z0 , z1 , z2 e z3
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 5: Poligono con vertici w0 , w1 , w2 e w3
• Radici quarte di u = 1 − i =
u0
u1
u2
u3
√ ¡
¢
7π
2 cos 7π
4 + i sin 4
µ
¶
√
7π
7π
8
= 2 cos
+ i sin
16
16
µ
¶
√
15π
15π
8
= 2 cos
+ i sin
16
16
¶
µ
√
23π
23π
8
= 2 cos
+ i sin
16
16
µ
¶
√
31π
31π
8
= 2 cos
+ i sin
16
16
Il poligono regolare con vertici u0 , u1 , u2 e u3 inscritto in una
√
circonferenza di raggio 8 2 è rappresentato in Figura 6
7
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 6: Poligono con vertici u0 , u1 , u2 e u3
• Radici quinte di z = −1
π
π
+ i sin
5
5
3π
3π
+ i sin
z1 = cos
5
5
z0 = cos
z2 = cos π + i sin π
7π
7π
+ i sin
5
5
9π
9π
z4 = cos
+ i sin
5
5
z3 = cos
Il poligono regolare con vertici z0 , z1 , z2 , z3 e z4 inscritto in una
circonferenza unitaria è rappresentato in Figura 7
8
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 7: Poligono con vertici z0 , z1 , z2 , z3 e z4
• Radici quinte di w = 1 + i =
w0 =
w1 =
w2 =
w3 =
w4 =
√ ¡
¢
2 cos π4 + i sin π4
√ ³
π´
π
+ i sin
2 cos
20 ¶
µ 20
√
9π
9π
10
2 cos
+ i sin
20
20
µ
¶
√
17π
17π
10
2 cos
+ i sin
20
20
µ
¶
√
5π
5π
10
2 cos
+ i sin
4
4
¶
µ
√
33π
33π
10
+ i sin
2 cos
20
20
10
Il poligono regolare con vertici w0 , w1 , w2 , w3 e w4 inscritto in una
√
circonferenza di raggio 10 2 è rappresentato in Figura 8
9
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 8: Poligono con vertici w0 , w1 , w2 , w3 e w4
√ ¡
¢
7π
• Radici quinte di u = 1 − i = 2 cos 7π
+
i
sin
4
4
¶
µ
√
7π
7π
10
+ i sin
u0 =
2 cos
20
20
¶
µ
√
3π
3π
10
u1 =
+ i sin
2 cos
4
4
µ
¶
√
23π
23π
10
u2 =
2 cos
+ i sin
20
20
µ
¶
√
31π
31π
10
2 cos
+ i sin
u3 =
20
20
µ
¶
√
39π
39π
10
u4 =
2 cos
+ i sin
20
20
Il poligono regolare con vertici u0 , u1 , u2 , u3 e u4 inscritto in una
√
circonferenza di raggio 10 2 è rappresentato in Figura 9
6. Trovare le radici complesse dei seguenti polinomi:
z4 + i = 0
z 5 + z 3 − iz 2 − i = 0
Soluzione: Risolviamo la prima equazione.
Poniamo z = r(cos θ + i sin θ), allora
z 4 = r4 (cos 4θ + i sin 4θ)
10
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Figura 9: Poligono con vertici u0 , u1 , u2 , u3 e u4
e l’equazione diventa
r4 (cos 4θ + i sin 4θ) = 1(cos
3π
3π
+ i sin )
2
2
segue
r4 = 1
=⇒
r = 1
e
4θ =
3π
+ 2kπ
2
=⇒
θ =
3π
kπ
+
, 0 ≤ θ ≤ 2π
8
2
quindi le radici dell’equazione sono:
3π
3π
+ i sin
8
8
7π
7π
z2 = cos
+ i sin
8
8
11π
11π
z3 = cos
+ i sin
8
8
15π
15π
z4 = cos
+ i sin
8
8
z1 = cos
Risolviamo la seconda equazione.
Possiamo scriverla nel seguente modo
z 3 (z 2 + 1) − i(z 2 + 1) = 0
e ancora
11
(z 2 + 1) (z 3 − i) = 0
da cui si ricavano le seguenti
z 2 = −1
z3 = i
Poniamo ora z = r(cos θ + i sin θ), allora
z 2 = r2 (cos 2θ + i sin 2θ)
e
z 3 = r3 (cos 3θ + i sin 3θ)
segue
r = 1
e
θ1 =
θ3 =
π
,
6
π
,
2
θ4 =
θ2 =
3π
2
5π
,
6
θ5 =
3π
2
Riepilogando le radici dell’equazione
z 5 + z 3 − iz 2 − i = 0
sono:
π
π
+ i sin
2
2
3π
3π
z2 = cos
+ i sin
= z5 (ossia z2 ha molteplicità 2)
2
2
π
π
z3 = cos + i sin
6
6
5π
5π
+ i sin
z4 = cos
6
6
z1 = cos
12