Capitolo 4: Lavoro ed Energia

Capitolo 4
LAVORO ED ENERGIA
4.1
Il lavoro di una forza costante
Nel linguaggio comune, una qualsiasi attività che necessita di uno sforzo viene indicata col termine
lavoro. In fisica, tuttavia, non è utile adoperare lo stesso significato poiché non tutti gli sforzi sono
produttivi, nel senso che non necessariamente uno sforzo produce una modificazione dello stato di un
sistema.
Poichè in fisica siamo interessati a studiare solo le modificazioni dell’universo sarà allora ovvio
riferirci al lavoro se e solo se lo sforzo ha prodotto tale modifica, ovvero se associato all’applicazione
della forza vi è uno spostamento del sistema.
Per definire il lavoro riferiamoci ora ad un primo caso molto semplice: consideriamo uno spazio
unidimensionale ed una forza costante F applicata su un corpo che si sposta di un tratto (x 2 − x1 ).
Si definisce lavoro compiuto dalla forza F durante lo spostamento da x 1 ad x2 la quantità:
L = F (x2 − x1 )
(4.1)
Il lavoro risulta allora essere misurato, nel sistema MKS,da N m; tale unità viene detta Joule (J).
Possiamo interpretare geometricamente il lavoro considerando un grafico in cui sia rappresentato
sull’asse delle ascisse la posizione e su quello delle ordinate la forza. Poiché la forza è costante, la retta
rappresentante l’andamento della forza in funzione della posizione sarà parallela all’asse x. Il lavoro,
L = F (x2 − x1 ), sarà allora dato dall’area del rettangolo che ha per base il segmento sull’asse x con
estremi x1 ed x2 e per altezza il segmento sull’asse delle ordinate che ha per estremi 0 ed F (area
tratteggiata nella Figura ??).
Figura 4.1: Il lavoro di una forza costante come area della figura.
Estendiamo ora questa definizione del lavoro al caso pluridimensionale.
Per semplicità consideriamo uno spazio bidimensionale ed una forza F~ cui è associato uno spostamento ~s del punto di applicazione.
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60
CAPITOLO 4. LAVORO ED ENERGIA
Scomponiamo ora la forza in due componenti: una parallela allo spostamento, F p , e l’altra
perpendicolare ad ~s, Fs . Detto α l’angolo tra la forza e lo spostamento risulta:
Fp
~
F sin α
= F~ cos α
Fn =
Per analogia col caso unidimensionale possiamo ritenere che la componente F n non compia alcun
lavoro poiché non partecipa allo spostamento e quindi il lavoro può essere scritto:
L = Fp |~s| = F~ |~s| cos α = F~ · ~s
(4.2)
ovvero, il lavoro di una forza costante è il prodotto scalare della forza per lo spostamento del suo
punto di applicazione.
4.2
Lavoro di una forza variabile
Nel precedente paragrafo abbiamo definito il lavoro di una forza costante ma resta ancora aperto il
problema di determinare cosa sia il lavoro nel caso di una forza variabile.
Per ottenere questa nuova definizione possiamo far riferimento alla interpretazione geometrica del
lavoro nel caso di spazio unidimensionale.
Consideriamo pertanto un grafico sul cui asse delle ascisse sia riportato lo spostamento e sul cui
asse delle ordinate sia riportata la forza.
Nel caso di forza variabile la forza in funzione dello spostamento viene rappresentata da una curva.
Ricordando l’interpretazione geometrica del lavoro possiamo definire il lavoro come l’area racchiusa
dalla figura piana compresa tra il grafico della forza e lo spostamento (area tratteggiata della Figura
??) da P1 ad P2 .
Figura 4.2: Il lavoro di una forza generica come integrale della funzione forza nello spostamento.
In analisi matematica questa operazione si esegue per mezzo dell’integrale definito. Diremo allora
che il lavoro compiuto da una forza nello spostare il suo punto di applicazione da P 1 a P2 è dato da:
L=
Z
P2
P1
F~ · d~s
(4.3)
ovvero diremo che lavoro di una forza è l’integrale del prodotto scalare della forza per lo
spostamento ove l’integrale va esteso allo spostamento in questione
4.3
Teorema delle forze vive
Consideriamo ora un punto materiale soggetto ad una forza F~ e che quindi, in un riferimento
inerziale, si muove con una accelerazione a collegata alla forza dalla relazione:
F~ = m ~a
(4.4)
61
4.4. FORZE CONSERVATIVE ED ENERGIA POTENZIALE
Durante lo spostamento del corpo da un punto P 1 ad un punto P2 la forza compie un lavoro L
dato da
Z P2
Z P2
Z P2
d~v
F~ · d~s =
(4.5)
L=
m~a · d~s =
m · d~s
dt
P1
P1
P1
e quindi
L=m
Z
P2
P1
(d~v · d~s)
=m
dt
Z
ed in definitiva
L =
v2
v1
d~s
d~v ·
=m
dt
Z
v2
v1
d~v · ~v = m
1
1
m v22 −
m v12
2
2
Z
v2
v1
~v · d~v
(4.6)
(4.7)
Siamo giunti alla conclusione che il lavoro svolto da una forza nell’andare da un punto P 1 ad un
punto P2 è pari alla variazione del valore assunto da una funzione nei due punti. Tale funzione viene
detta energia cinetica del punto ed è definita dalla relazione:
K(P ) =
1
m v2
2
(4.8)
In altre parole possiamo enunciare il teorema dell’energia cinetica detto anche teorema delle
forze vive, secondo il quale il lavoro svolto da una forza nell’andare da un punto ad un altro è uguale
alla variazione di energia cinetica subita dal sistema.
La funzione energia cinetica esprime, per come è stata definita, la quantità di lavoro necessaria
a portare un corpo di massa m dalla velocità nulla sino alla velocità v. Essa, come può facilmente
vedersi, è uno scalare e può essere misurata con le stesse unità di misura del lavoro.
Un’interessante formulazione della fisica può ottenersi se il teorema delle forze vive viene letto non
da sinistra verso destra ma al contrario . In tal caso possiamo costruire una fisica nella quale quella
che esiste è l’energia dei sistemi ed il lavoro non rappresenta altro che il modo in cui l’energia da un
sistema può essere trasferita ad un altro sistema.
In tale formulazione occorre quindi assegnare una certa quantità di energia ad ogni sistema, determinare quali sono i meccanismi con i quali viene trasferita l’energia ed infine occorre stabilire qual’è
la tendenza della natura nella distribuzione stabile dell’energia. In altre parole occorre stabilire qual’è
la configurazione di stabilità verso cui tendono i sistemi meccanici.
Tale tendenza può essere espressa, in termini molto semplici, asserendo che i sistemi tendono a
disporsi in quelle configurazioni cui competono valori massimi o minimi di energia. Nel caso dei
valori massimi si ha una configurazione che viene detta di equilibrio instabile perchè basta una
minima variazione di stato affinchè il sistemi abbandoni la configurazione; nel caso di energia minima
si parla invece di equilibrio stabile perchè se si sposta di poco il sistema dalla sua configurazione
di equilibrio, il sistema stesso tende a ritornarvi. Esiste poi l’equilibrio indifferente, tale che in
qualunque configurazione si ha equilibrio.
4.4
Forze conservative ed energia potenziale
In fisica un ruolo particolarmente significativo è svolto dalle forze conservative. Per spiegare cosa
sono tali forze consideriamo una regione dello spazio in ogni punto della quale sia definita una forza
F.
Se in ogni punto dello spazio è definito il valore della forza vuol dire che esiste una funzione
F = F (x, y, z)
Consideriamo ora il lavoro fatto da tale forza nell’andare da un punto P qualsiasi allo stesso punto
P lungo una traiettoria chiusa. Tale lavoro è, per la definizione
L=
Z
P2
P1
F~ · d~s
(4.9)
62
CAPITOLO 4. LAVORO ED ENERGIA
In generale tale lavoro sarà diverso da zero. Accade però che per alcune forze tale lavoro è nullo
ed in tal caso parliamo di forze conservative.
Si può dimostrare che, nel caso in cui l’integrale esteso ad una linea chiusa di una funzione è nulla,
l’integrale esteso ad una qualsiasi linea aperta dipende solo dagli estremi e non dalla particolare linea
scelta. Possiamo quindi dare due distinte, ma equivalenti, definizioni di forze conservative:
1. Si definisce forza conservativa quella particolare forza per la quale il lavoro relativo ad una
qualunque linea chiusa è nullo.
2. Si definisce forza conservativa quella particolare forza per la quale il lavoro relativo ad una
qualunque linea dipende solo dagli estremi e non dalla particolare traiettoria prescelta.
In base alla seconda definizione delle forze conservative possiamo definire una nuova grandezza
detta energia potenziale. Per fare ciò consideriamo un arbitrario punto O, di riferimento ed un
generico punto P . Il lavoro fatto dalla forza F nell’andare dal punto P al punto O non dipenderà
dalla traiettoria ma solo dai due punti P e O. Possiamo allora scrivere che:
L=
Z
O
P
F~ · d~s = U (P )
(4.10)
ed indicheremo la funzione U (P ) col nome di energia potenziale del punto P.
Avendo definito questa nuova grandezza possiamo ora vedere che il lavoro fatto dalla forza F
nell’andare da un punto P1 ad un punto P2 è dato da:
L=
Z
P2
P1
F~ · d~s =
Z
O
P1
F~ · d~s +
Z
P2
O
F~ · d~s = U (P1 ) − U (P2 )
(4.11)
In definitiva possiamo dire che, per le sole forze conservative, il lavoro svolta dalla forza nell’andare
da un punto ad un altro è pari alla variazione di energia potenziale relativa ad due punti, cambiata di
segno.
Questa relazione può essere scritta in termini di differenziali:
dL = F~ · d~s = −dU
(4.12)
Sviluppando il prodotto scalare otteniamo
Fx dx + Fy dy + Fz dz = −dU
(4.13)
e, per la indipendenza delle tre variabili dx, dy e dz, si ha:
Fx = − ∂U
dx
Fy = − ∂U
dy
(4.14)
Fz = − ∂U
dz
ove, per indicare la derivata, si è adoperato un nuovo simbolo (∂) onde ricordare che la funzione U
dipende da più di una variabile.
Le tre relazioni scritte precedentemente sono abbreviate in un’unica relazione definendo un nuovo
operatore matematico, il gradiente, tale che, dato uno scalare k, è:
grad k =
∂k ∂k ∂k
,
,
dz dz dz
(4.15)
Con tale definizione si ottiene
F~ = − grad U
(4.16)
63
4.5. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA
4.5
Conservazione dell’energia
Siamo pervenuti alla definizione di due diverse quantità, dette energia cinetica ed energia potenziale.
I due nomi si spiegano considerando che la prima dipende solo dalla velocità del corpo mentre la seconda
dipende dalla posizione del corpo, ovvero rappresenta una energia posseduta in potenza dal corpo per
il fatto di trovarsi in un determinato punto dello spazio, soggetto ad una forza conservativa.
Queste due forme di energia possono essere comparate tra di loro Poiché costituiscono due diversi
modi di presentarsi di una stessa proprietà: l’energia. Possiamo anzi definire una nuova grandezza che
chiameremo energia meccanica totale e che scriviamo sotto la forma:
E(P ) = K(P ) + U (P )
(4.17)
ovvero l’energia meccanica totale di un sistema in un punto P è la somma dell’energia cinetica nel
punto e dell’energia potenziale nel punto stesso.
Applicando il teorema delle forze vive e la definizione di energia potenziale otteniamo che il lavoro
necessario ad andare da un punto P1 ad un punto P2 è:
L = K(P2 ) − K(P1 ) = U (P1 ) − U (P2 )
(4.18)
E(P1 ) = K(P1 ) + U (P1 ) = K(P2 ) + U (P2 ) = E(P2 )
(4.19)
e quindi
ovvero otteniamo il principio di conservazione dell’energia meccanica secondo il quale, per
un corpo soggetto solo a forze conservative, l’energia meccanica totale, cioè la somma della energia
cinetica e dell’energia potenziale, è una costante che non cambia mai durante il moto del sistema.
In altre parole, per un sistema sottoposto solo a forze conservative, durante il moto l’energia
cinetica si trasforma in energia potenziale e viceversa ma la somma delle due rimane sempre costante.
4.6
Esempi di forze conservative
Nel precedente capitolo abbiamo visto che ogni corpo, sulla Terra, è soggetto alla forza peso, data
da F~ = m ~g ove il vettore ~g è diretto verso il basso ed è costante. Verifichiamo ora che questa forza
peso è conservativa.
A tale scopo consideriamo un qualsiasi piano orizzontale e misuriamo l’altezza di un punto rispetto
a tale piano; indicheremo tale quota col simbolo h.
Calcoliamo ora il lavoro fatto dalla forza peso nel portare un corpo da un punto P , a quota h, sino
ad un punto O posto sul piano di riferimento e quindi a quota nulla.
Per la definizione di lavoro risulta:
L=
Z
O
P
F~ · d~s =
Z
O
P
m ~g · d~s = − m
Z
O
P
~g · d~h = m g h
(4.20)
ove si è tenuto conto che l’accelerazione di gravità è diretta verticalmente, verso il basso.
La formula cui siamo giunti mostra che il lavoro svolto dalla forza peso non dipende dal particolare
spostamento ma solo dalle quote dei punti di partenza e di arrivo. Ne consegue che essa è una forza
di tipo conservativo ed anche che la energia potenziale della forza peso è:
U (P ) = m g h
(4.21)
ove h è la quota del punto P rispetto ad un arbitrario piano orizzontale di riferimento.
Applichiamo ora la definizione di forza conservativa ad un’altra forza che abbiamo già incontrato.
Nel definire la forza abbiamo detto che questa deforma una molla e che la deformazione è proporzionale
alla forza: F = − k x dove x è la deformazione subita dalla molla.
64
CAPITOLO 4. LAVORO ED ENERGIA
Calcoliamo ora il lavoro fatto da questa forza nel portare un corpo da un punto P , con deformazione
x, ad un punto O, con deformazione nulla della molla:
L=
Z
0
x
− k x dx = −k
Z
0
x dx = k
x
Z
x
x dx =
0
1
k x2
2
(4.22)
Anche in questo caso abbiamo che il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria e
quindi anche questa forza è conservativa; l’energia potenziale associata è quindi:
U=
4.7
1
k x2
2
(4.23)
La potenza
Nelle applicazioni pratiche non è importante solo l’energia posseduta da un sistema ed il lavoro
scambiato ma anche la quantità di tempo necessaria a scambiare una determinata quantità di energia
tra due sistemi. Per ottenere una nuova grandezza fisica atta a rappresentare questa proprietà si
definisce la potenza come la derivata del lavoro rispetto al tempo:
P =
dL
d~s
= F~ ·
= F~ · ~v
dt
dt
(4.24)
La potenza, nel sistema MKS, si misura in Watt (W) con: 1 W= 1 J/s ma sono anche utilizzate
molto spesso (nel cosidetto sistema tecnico) le unità del cavallo vapore (CV) e dell’horse power (HP)
tali che:
1 CV = 735.5 W
(4.25)
1 HP = 745.7 W
(4.26)
Per tradizione queste due unità di misura vengono applicate in riferimento ai motori meccanici.
Quasi sempre, per la potenza elettrica, vengono utilizzate due multipli del Watt, cioè il kiloWatt
(kW) ed il megaWatt (MW) tali che:
1 kW = 1000 W
(4.27)
1 M W = 106 W
(4.28)
Associate a queste unità di potenza vi è una unità di energia, sempre adoperata per l’energia
elettrica, cioè il kiloWattora (kWh) definita come l’energia prodotta con una potenza di 1 kW durante
un’ora. Risulta allora che
1 kW h = 103 J/s ∗ 3600 s = 3.6 · 106 J = 3.6 M J
(4.29)
Per concludere il discorso sulle unità di potenza e di energia è qui il caso citare una particolarissima
unità di energia: il tep (tonnellata equivalente di petrolio) cioè la quantità di energia producibile
bruciando una tonnellata di petrolio. Risulta che:
1 tep = 42 · 109 J = 42 GJ
Questa unità viene adoperata per identificare grossissime quantità di energia.
(4.30)
65
4.8. ESERCIZI
4.8
ESERCIZI
Esercizio 4.1 : Una forza costante F~ = 12 N agisce su un corpo che si sposta di 3.0 m lungo la
direzione della forza. Determinare il lavoro svolto dalla forza.
Esercizio 4.2 :
Una forza, parallela all’asse x e con modulo pari a 7.0 N, agisce su di un corpo
mentre questi compie uno spostamento identificato dal vettore ~s = (3.0 , 2.0). Si determini il lavoro
compiuto dalla forza.
Esercizio 4.3 : Un corpo di massa m = 3.0 kg spostandosi di un tratto pari a s = 4.0 m subisce un
aumento di velocità da v1 = 2.0 m/s sino a v2 = 7.0 m/s. Determinare l’intensità della forza agente
lungo lo spostamento, nell’ipotesi che essa sia costante.
Esercizio 4.4 : Un corpo cade al suolo partendo, da fermo, da una quota h = 6.0 m. Determinare
la sua velocità al suolo.
Esercizio 4.5 :
Un corpo di massa m = 80 kg, per essere trasportato a valle, viene sospeso
ad un cavo lungo complessivamente L = 200 m e che supera un dislivello h = 100 m. Supponendo
che durante il tragitto le forze resistenti compiano un lavoro resistente (negativo) pari a L = 12 kJ,
determinare la velocità con la quale il corpo giunge al fondo ed il valore delle forze resistenti.
Esercizio 4.6 :
Un ascensore sta salendo con velocit costante; quando trasporta un carico
complessivo di M = 600 kg sale di h = 60 m in mezzo minuto. Determinare il lavoro compiuto e la
potenza erogata dal motore.
Esercizio 4.7 :
Un’auto di massa M = 890 kg si muove lungo una salita inclinata di un angolo
θ = 30◦ rispetto all’orizzontale, con una velocità costante v = 72 km/h. Trascurando gli attriti
determinare la potenza sviluppata dal motore.
Esercizio 4.8 :
Un punto con m = 0.50 kg si muove, in un riferimento inerziale, sotto l’azione
della forza F~ = (2.0 , t , 1.0). Se all’istante iniziale il punto ha velocità nulla si calcoli la potenza
sviluppata in funzione del tempo.
Esercizio 4.9 :
Una pietra avente massa m = 2.0 kg cade da un’altezza h in 1.41 secondi.
Determinare l’energia potenziale e quella cinetica a metà altezza trascurando gli attriti.
Esercizio 4.10 :
Un corpo di massa m = 0.30 kg cade da un’altezza h = 3.0 m su una molla
avente costante elastica k = 1800 N/m. Determinare la massima compressione della molla.
Esercizio 4.11 :
Una forza si applica su un punto materiale di massa m = 10 kg per un tempo
pari a 10 secondi, sviluppando una potenza costante pari a P = 40 W. Supponendo che il corpo parta
da fermo si determini la velocità finale.
Esercizio 4.12 :
L’energia potenziale di un punto materiale è espressa dalla formula U = −k/r,
66
CAPITOLO 4. LAVORO ED ENERGIA
dove r è la distanza da un punto O e k una costante. Si determini l’andamento della forza in funzione
della posizione.
Esercizio 4.13 : Una biglia di massa M = 4.0 kg urta contro una parete con una velocità iniziale
vi = 7.0 m/s, diretta perpendicolarmente alla parete. Se si suppone che l’urto sia anelastico e che
quindi durante l’urto sia persa il 25% dell’energia iniziale si determini la velocità dopo l’urto.
Esercizio 4.14 :
Gli impianti elettrici delle abitazioni sono dotate di un contatore cui associato
un interruttore automatico che scatta, interrompendo l’erogazione di energia elettrica, quando viene
richiesta una potenza superiore ad un valore predeterminato; ordinariamente tale valore di 3.0 kW.
Si determini l’energia massima consumabile in un anno. Si determini anche quanta energia viene
consumata se si fa funzionare un motore da 13 CV per 3.0 ore.
Esercizio 4.15 :
Un corpo viene lanciato verso l’alto con una velocità iniziale v = 5 m/s. Si
determini la massima quota raggiunta.
Esercizio 4.16 :
Un corpo, di massa m = 2.0 kg, viaggia di moto rettilineo con una equazione
oraria x = 5 + 3 t3 . Si determini il lavoro svolto dalla forza agente sul corpo nell’intervallo di tempo
compreso tra l’istante iniziale e t = 8.0 s. Si determini anche la potenza nell’istante finale.
67
4.9. SOLUZIONI
4.9
SOLUZIONI
Svolgimento dell’esercizio 4.1 :
Poiché la forza costante è diretta parallelamente allo spostamento si ha semplicemente:
L = F s = 12 × 3 = 36 J.
Svolgimento dell’esercizio 4.2 :
In questo caso occorre eseguire il prodotto scalare tra forza e spostamento, ottenendosi:
L = F · s = 7 × 3 + 0 × 2 = 21 J
Svolgimento dell’esercizio 4.3 :
Per il teorema delle forze vive abbiamo che la variazione dell’energia cinetica del corpo pari al lavoro
svolto, ovvero al prodotto della forza cercata per lo spostamento. Abbiamo quindi:
F ·s=L=
ed in definitiva:
1
1
m v22 − m v12
2
2
m v22 − v12
3 × 72 − 2 2
F =
=
= 17 N.
2s
2×4
Svolgimento dell’esercizio 4.4 :
Poiché il corpo soggetto alla sola forza peso possiamo ricordare che questa una forza conservativa. Per
essa possiamo allora definire un’energia potenziale data da:
U (P ) = m g h
ed ancora dobbiamo ricordare che vale il principio di conservazione dell’energia meccanica. Ovvero:
E (P ) = K (P ) + U (P ) =
1
m v 2 + m g h = costante
2
Calcoliamo ora l’energia meccanica iniziale:
Einiz = m g h
essendo nulla la velocità iniziale.
L’energia meccanica finale, invece, è:
Ef in =
1
m v2
2
essendo nulla la quota finale.
Dalla conservazione dell’energia si ha allora:
mg h=
ovvero:
v=
p
2g h=
1
m v2
2
√
2 × 10 × 6 = 11 m/s
68
CAPITOLO 4. LAVORO ED ENERGIA
Svolgimento dell’esercizio 4.5 :
Il corpo soggetto alla forza peso ed alle forze resistenti. La prima forza è di tipo conservativo per cui
il lavoro svolto da queste forze non dipende dal tipo di traiettoria ma solo dal dislivello. E’ allora:
Lg = m g h
Per il teorema delle forze vive risulta che, detto L r il lavoro delle forze resistenti, la variazione di
energia cinetica del corpo è pari alla somma dei lavori svolti dalle forze agenti. Tenendo conto che il
corpo parte da fermo si ha:
1
m v 2 = Lg − Lr
2
e quindi
v=
s
(Lg − Lr )
2
=
m
s
Lr
2 g h−
=
m
s
2 × 10 × 100 −
12 × 103
= 41 m/s
80
Per il valore delle forze resistenti occorre ricordare che:
Lr = F r s
e quindi
Lr = F r =
Lr
12 × 103
=
= 60 N.
s
200
Svolgimento dell’esercizio 4.6 :
Il lavoro compiuto dalla forza, sviluppato in 30 secondi, è dato da:
L = m g h = 600 × 10 × 600 = 360 kJ
mentre la potenza media sarà:
P =
L
360 × 103
=
= 12 kW.
t
30
Svolgimento dell’esercizio 4.7 :
Per prima cosa trasformiamo la velocità in unità del sistema MKS:
v = 72
km
1000 m
= 72 ×
= 20 m/s.
h
3600 s
Durante il moto il corpo soggetto a diverse forze, la cui risultante deve essere nulla poich il moto
avviene a velocità costante. Le tre forze agenti sono la forza peso, diretta verticalmente verso il basso,
la reazione del suolo, diretta perpendicolarmente al suolo verso l’alto, e la forza motrice diretta lungo
il suolo. Scomponendo tutte le forze lungo la direzione del piano inclinato e quella perpendicolare
a questo otteniamo che la forza motrice deve essere uguale al componente della forza peso lungo la
direzione del piano inclinato:
Fm = m g sin θ
e quindi la potenza sviluppata dal motore è:
P = F v = m g v sin θ = 890 × 10 × 20 × 0.5 = 89 kW ( ≈ 120 CV ).
69
4.9. SOLUZIONI
Svolgimento dell’esercizio 4.8 :
Il punto si muoverà di moto uniformemente accelerato con accelerazione:
~a =
F~
= (4 , 2 t , 2)
m
e quindi la velocità sarà:
~v =
Z
~a dt =
Z
4 dt ,
Z
2 t dt ,
Z
2 dt = 4 t , t2 , 2 t
mentre per la potenza si ottiene:
P = F~ · ~v = 8 t + 2 t3 + 2 t = 2 t3 + 10 t .
Svolgimento dell’esercizio 4.9 :
Per quanto già detto precedentemente il corpo soggetto alla sola forza peso e cadrà con una accelerazione g. L’equazione oraria fornisce allora:
h=
1
g t2 .
2
L’energia meccanica totale iniziale corrisponde alla sola energia potenziale iniziale:
E=mg h=
1
1
m g 2 t2 = × 2 × 102 × 1.412 = 200 J.
2
2
ed a metà altezza questa energia si sar ripartita in parti eguali ( = 100 J) tra energia potenziale ed
energia cinetica.
Svolgimento dell’esercizio 4.10 :
Il corpo inizialmente possiede soltanto energia potenziale. Successivamente tale energia potenziale
si trasforma in energia cinetica. Tale energia va, poi, di nuovo a trasformarsi in energia potenziale
accumulata nella molla.
Per determinare la massima compressione della molla occorre ricordare che sia la forza peso che la
forza elastica della molla sono forze conservative e quindi vale il principio di conservazione dell’energia.
Notando che nel momento in cui si ha la massima compressione la velocità del corpo è nulla mentre il
corpo è sceso di un tratto h + x , dove x è la compressione della molla, si ha:
Ei = m g (h + x) =
1
k x2
2
la cui soluzione è doppia; scartando quella negativa che non ha significato fisico, si ottiene:
mg
x=
+
k
s
m2 g 2
mg
+2
h
2
k
k
che numericamente fornisce:
3
x=
+
1800
s
32
3
+2×
× 3 = 0.10 m.
18002
1800
70
CAPITOLO 4. LAVORO ED ENERGIA
Svolgimento dell’esercizio 4.11 :
Se la potenza sviluppata costante, vuol dire che il prodotto della forza per la velocità costante, ovvero
la velocità è inversamente proporzionale alla forza:
v=
P
F
ma la forza, per il secondo principio della dinamica, proporzionale all’accelerazione, cioè alla derivata
della velocità:
dv
F =ma=m
dt
e quindi:
P dt
v=
m dv
e, moltiplicando entrambi i termini per dv, si ottiene:
v dv =
P
dt
m
Integrando e ricordando che la velocità iniziale è nulla, si ottiene:
1 2
P
v =
t
2
m
ovvero:
v=
s
P
2
t=
m
r
2×
40
× 10 = 8.9 m/s.
10
Svolgimento dell’esercizio 4.12 :
Per semplicità, e senza che si abbia perdita di generalità, trattiamo il caso bidimensionale.
Consideriamo quindi un sistema di coordinate rettangolare con l’origine coincidente col punto O.
Per un punto qualsiasi le coordinate x ed y sono legate al raggio r dalla relazione:
r=
q
x2 + y 2
e quindi le sue derivate rispetto ad x ed y rispettivamente sono:
√
∂ x2 +y 2
∂r
=
= xr
∂x
öx
∂ x2 +y 2
∂r
= yr
∂y =
∂x
Per le componenti della forza abbiamo allora:
∂(−k/r)
Fx = − ∂U
=k
∂x = − ∂x
∂(−k/r)
Fx = − ∂U
=k
∂y = −
∂y
e quindi, in termini vettoriali, si ha:
∂(1/r)
∂x
∂(1/r)
∂y
= −k
= −k
k
F~ = − 3 ~r .
r
Svolgimento dell’esercizio 4.13 :
In questo caso non vale la conservazione dell’energia ma risulta che:
Ef = α E i
x
r3
y
r3
71
4.9. SOLUZIONI
dove α è il coefficiente di anelasticità e nel nostro caso vale α = 0.25.
Si ha pertanto:
1
1
m vf2 = α m vi2
2
2
ovvero
√
√
vf = vi α = 7 0.25 = 3.5 m/s.
Svolgimento dell’esercizio 4.14 :
Per risolvere la prima parte dell’esercizio basta calcolare quante ore vi sono in un anno. Se si considera
allora che in un anno vi sono 365 giorni, che in un giorno vi sono 24 ore, abbiamo:
1 anno = 365 giorni = 365 × 24 ore = 8760 ore
e quindi
E = 3 × 8760 = 26280 kW h = 95 GJ
Per la seconda parte ricordiamo che:
13 CV = 13 × 735.5 = 9.6 kW
e quindi:
E = 9561. 5 × 3 × 3600 = 0.10 GJ.
Svolgimento dell’esercizio 4.15 :
In questo caso agisce la sola forza peso, che una forza conservativa e per la quale quindi vale il principio
di conservazione dell’energia. Abbiamo quindi:
Ei =
ovvero:
h=
1
m v 2 = m g h = Ef
2
v2
52
=
= 1.3 m/s
2g
20
Svolgimento dell’esercizio 4.16 :
L’accelerazione si ottiene semplicemente derivando lo spazio rispetto al tempo due volte:
a=
d2 x
= 18 t
dt2
e quindi la forza è:
F = m a = 36 t
Il lavoro allora è:
L=
Z
F dx =
Z
dx
F
dt =
dt
Z
mentre la potenza è:
P =
(36 t) × 9 t
2
dt = 324
Z
t3 dt = 81 t4 = 81 × 84 = .33 M J
dL
= 324 t3 = 324 × 83 = .17 M W
dt