Esercitazioni del 18/01/2007

Esercitazioni del 13/04/2010
Problema 1)
Una molla di costante elastica K=100N/m e’ attaccata in un estremo ad un sostegno fisso
ed all’ altro puo’ spingere (ma non tirare) una massa m=100g. Essa e’ compressa di
=10cm. Ad un certo punto la molla viene lasciata libera di espandersi e la massa m
viene lanciata. La massa puo’ poi slivolare senza attrito su una guida composta da un
tratto orizzontale e da uno obliquo, in salita. A che altezza, rispetto al tratto orizzontale,
arrivera’ la massa m?
Soluzione
B
A
h
Il problema puo’ essere risolto con la conservazione dell’ energia meccanica. Infatti
entrambe le forze che agiscono sulla massa, la forza elastica e la forza peso, sono forze
conservative.
Dobbiamo dunque imporre che l’ energia meccanica si conservi:
E  K  U  const
I due punti tra i quali imporre la conservazione dell’ energia sono il punto iniziale (A) e
quello di altezza massima raggiunta dalla massa m (B).
E ( A)  K ( A)  U ( A)
E ( B)  K ( B)  U ( B)
In A, quando la molla e’ compressa, la massa m e’ ferma, dunque l’ energia cinetica e’
nulla. In B, che il punto di massimo, di nuovo la velocita’ e l’ energia cinetica si
annullano. Quindi
1
mvA  0
2
1
K ( B)  mvB  0
2
L’ energia potenziale e’ costituita da due componenti. Una e’ quella elastica e l’ altra e’
quella dovuta alla forza peso.
1
U  mgz  kx 2
2
Scegliamo l’ origine dell’ asse z coincidente con il piano. In A la componente dovuta alla
1
forza peso e’ nulla (z=0) e quella dovuta alla forza elastica e’ k2 . In B invece la massa
2
si trova ad una quota h e la componente dell’ energia potenziale dovuta alla forza peso e’
mgh . La molla non agisce piu’ quindi la componente dovuta alla forza elastica e’ nulla.
Riassumendo
1
U ( A)  k2
2
U ( B)  mgh
K ( A) 
Mettendo insieme tutti i pezzi e imponendo la conservazione dell’ energia otteniamo
K ( A)  U ( A)  K ( B)  U ( B)
1 2
k  mgh
2
Possiamo percio’ ricavare h:
h
k2
100 N / m  0.01m 2

 0.51m
2mg 2  0.1kg  9.81m / s 2
Problema 2)
Una massa m si muove su un piano orizzontale con attrito (d=0.2) con velocita’
v0=5m/s. Che distanza percorrerra’ prima di arrestarsi? Fare il calcolo sia partendo dal
secondo principio della dinamica che usando il teorema dell’ energia cinetica.
Soluzione
A

N

Fd
l
B

v0
x

mg
Sulla massa agiscono la forza peso, la reazione vincolare (entrambe perpendicolari al
piano e opposte tra loro) e la forza di attrito (parallela al piano e con verso opposto
rispetto alla velocita’).
Forza peso e reazione vincolare si compensano, hanno cioe’ stesso modulo e verso
opposto:
N  mg
La forza di attrito dinamico vale in
Fd  d N cioe’
Fd   d mg
Il segno meno deriva dal fatto che la forza e’ opposta alla velocita’ e all’ asse x che
abbiamo disegnato in figura.
Il moto parallelamente al piano e’ un moto uniformemente accelerato (la forza che agisce
e’ quella di attrito dinamico ed e’ costante). Le equazioni orarie per velocita’ e
accelerazione per un moto uniformemente accelerato sono (le abbiamo ricavate a lezione)
1 2

 x  x0  v0t  at
2

v  v0  at
Per conoscere l’ accelerazione a usiamo il secondo principio della dinamica
da cui ricaviamo
F  Fd  d mg  ma
a  d g
Quindi
1

2
 x  x0  v0t   d gt
2

v  v0   d gt
(notare che non dipende dalla massa m).
A questo punto dobbiamo ricavare la distanza percorsa l  x  x0 per passare dalla
velocita’ iniziale v0 alla velocita’ finale nulla (v  0) . Se dunque v  0
1

2
 x  x0  v0t   d gt
2

0  v0   d gt
Per ottenere l  x  x0 risolviamo il sistema ricavando t dalla seconda equazione
( t  v0 / d g ) e sostituendolo nella seconda. Dunque
2
v
1
25m 2 / s 2
l  x  x0  v0 (v0 /  d g )   d g (v0 /  d g ) 2  0 
 6.4m
2
2 d g 2  0.2  9.81m / s 2
Con il teorema delle energia cinetica i conti erano piu’ rapidi. Esso dice che
L  K ( B)  K ( A)
Il lavoro e’ quello fatto dalla forza di attrito che per il percorso tra A e B (lavoro di una
forza costante e su un percorso rettilineo) vale
L  Fd l    d mgl
(attenzione al segno meno, forza di attrito e spostamento sono opposti).
L’ energia cinetica iniziale e finale vale
1
2
K ( A)  mv0
2
1
K ( B)  mv2  0
2
Dunque dal teorema dell’ energia cinetica ( L  K ( B)  K ( A) ) otteniamo
1
2
  d mgl  0  mv0 da cui possiamo esplicitare l
2
2
v
l 0
2 d g
Problema 3)
Un pendolo e’ costituito da un filo di lunghezza l=1m e una massa m. All’ istante iniziale
la massa m e’ ferma ad un’ altezza h=10cm rispetto al punto di altezza minima. Lasciata
viene lasciata libera di oscillare. Con che velocita’ giunge al punto di altezza minima?
Quanto vale in tale istante la tensione del filo?
Soluzione