ANALISI MATEMATICA I (Corso di Laurea SSE)

ANALISI MATEMATICA I (Corso di Laurea SSE)
Programma della seconda prova parziale
Proprietà globali delle funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri (Th.∗ 3.26).
Punti di massimo e punti di minimo assoluti (Def. 4.4) e relativi (Def. 4.5) di una funzione,
teorema di Weierstrass (Th. 3.27). Teorema di Darboux (Th.∗ 3.28) (Cap. 3, Par. 4.1).
Metodi per la ricerca di punti di massimo/minimo: teorema di Fermat (Th.∗ 4.5) e condizione di
stazionarietà. Teorema di Lagrange (Th.∗ 4.6); test di monotonia (Th.∗ 4.7) e suo utizzo nella
ricerca di massimi e minimi (Cap. 4, Par. 4.2). Il teorema di de L’Hospital (Th. 4.8) e sue
applicazioni (Cap. 4, Par. 4.4). Derivata seconda, convessità e concavità: sottoinsiemi convessi
di R2 ; epigrafico di una funzione, funzioni convesse e funzioni concave (Def. 4.6). Riformulazione
equivalente della convessità per funzioni e sua interpretazione geometrica. Funzioni strettamente
convesse/concave. Caratterizzazione della convessità/concavità per funzioni derivabili (Th. 4.11).
Convessità e rette tangenti (Th. 4.12). Punti di flesso (Def. 4.8) e condizione di flesso per funzioni
con derivata seconda (Th. 4.13). Calcolo differenziale e approssimazioni: il differenziale di una
funzione. Il simbolo “o piccolo” (Def. 4.9) (Cap. 4, Par. 7.1). Approssimazioni polinomiali:
formula di MacLaurin all’ordine n, con resto di Peano (Th. 4.16 + Th. 4.17); formula di Taylor
all’ordine n, con resto di Peano (Th. 4.18). Alcuni esempi: funzione esponenziale, seno e coseno
(Cap. 4, Par. 7.3). Formula di Taylor all’ordine n, con resto di Lagrange (Th. 4.19) (Cap.4,
Par. 7.4).
5. Serie: Successione delle somme parziali e definizione di serie. Carattere di una serie (Def. 5.1).
Somma di una serie. Serie geometrica (Es. 1.1), serie armonica (Es. 1.2), serie di Mengoli (Es.
1.3). Una condizione necessaria per la convergenza (Th.∗ 5.1) e comportamento della successione
dei resti (Th.∗ 5.2) (Cap. 5, Par. 1.1). Serie a termini non negativi: i due caratteri possibili;
criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico e carattere della
serie armonica generalizzata (Es. 1.5 + Es. 1.6); criterio della radice; criterio di condensazione;
criterio del rapporto (Cap. 5, Par. 1.2). Serie a termini di segno variabile: assoluta convergenza
(Def. 5.2) e sua relazione con la convergenza semplice (Th. 5.3). Serie a termini di segno
alternato. Criterio di Leibniz (Th. 5.4). Serie di Taylor: sviluppabilità in serie di Taylor di
funzioni derivabili infinite volte. La serie esponenziale e le serie delle funzioni trigonometriche
elementari (Cap. 5, Par. 2.1).
6. Calcolo integrale per funzioni di una variabile: La definizione di integrale come limite
di somme di Cauchy-Riemann (Def. 6.1). Interpretazione geometrica: area con segno. Classi di
funzioni integrabili (Th. 6.1, Th. 6.2, Th. 6.3). Proprietà dell’integrale: linearità, additività,
positività e monotonia (Th. 6.4). Teorema della media (Th.∗ 6.5). Il teorema fondamentale del
calcolo integrale: primitiva (Def. 6.2), teorema fondamentale (Th.∗ 6.6). Primitive di alcune
funzioni elementari. Integrazione per sostituzione, uso delle simmetrie (Cap. 6, Par. 5.1).
Integrazione di funzioni razionali (Par. 5.2). Integrazione per parti (Cap. 6, Par. 5.3). Integrali
generalizzati: integrazione di funzioni non limitate, funzioni integrabili in senso generalizzato
R b dx
(Def. 6.3), analisi della convergenza dell’integrale a (b−x)
α (Par. 8.1). Criteri di integrabilità al
finito: criterio del confronto e criterio del confronto asintotico (Par. 8.2). Assoluta integrabilità
(Th. 6.8). Integrazione su intervalli illimitati (Def. 6.4), analisi della convergenza dell’integrale
R +∞ dx
xα . Un’applicazione: divergenza della serie armonica e convergenza della serie armonica
1
generalizzata (Cap. 6, Par. 8.3). Criteri di integrabilità all’infinito: criterio del confronto e
1
criterio del confronto asintotico (Cap. 6, Par. 8.4). Assoluta integrabilità (Th. 6.9). Funzioni
integrali: definizione. Un esempio: la “funzione degli errori”. Secondo teorema fondamentale del
calcolo integrale (Th.∗ 6.10) e sue conseguenze (Cap. 6, Par. 9).
Legenda:
Th. = Teorema
Th.∗ = Teorema + dimostrazione
Pro. = Proposizione
Cor. = Corollario
Def. = Definizione
Pro.∗ = Proposizione + dimostrazione
Cap. = Capitolo
Par. = Paragrafo
Es. = Esempio
[BPS08] M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008.
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