Definizione 1. Si dice pentagonale, e si indica con N 5, un reticolo

Definizione 1. Si dice pentagonale, e si indica con N5 , un reticolo ordinato (R, ≤),
dove R = {b
0, a, b, c, b
1} e “ ≤ ” si definisce semplicemente con la condizione b ≤ c (questa
condizione è sufficiente a descrivere il reticolo perchè la relazione è d’ordine e quindi
riflessiva e inoltre si è già visto che b
0 è il più piccolo elemento di R, b
1 è il più grande
elemento di R).
Il diagramma di Hasse di N5 è:
b
1
•
l
ll c
•
a •
S
•b
S
,
S ,
S•,
b
0
Si osserva che a ha due complementi che sono b e c. Pertanto il reticolo non può essere
distributivo (cf. Proposizione 4). Ad ulteriore conferma:
b ∨ (a ∧ c) = b ∨ b
1=b
1
(b ∨ a) ∧ (b ∨ c) = b
1 ∧ c = c.
Definizione 2. Si dice trirettangolo, e si indica con M3 , un reticolo ordinato (R, ≤),
dove R = {b
0, a, b, c, b
1}, senza ulteriori condizioni su “ ≤ ”.
Il diagramma di Hasse del reticolo trirettangolo è il seguente:
b
1
•
S
S
S
a •
• b S•
S
S
S S•
c
b
0
Si osservi che a ha due complementi, ovvero b e c; b ha due complementi, ovvero a e c;
c ha due complementi, ovvero a e d. Quindi, come nel caso di N5 , il reticolo non può
essere distributivo: e infatti si ha:
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ b
1=a
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) = b
0∨b
0=b
0.
Nota Bene Se si deve provare che un reticolo finito è distributivo e non lo si può fare
con tre generici suoi elementi, non è consigliabile verificare tutti i possibili casi. Infatti
c’è il seguente criterio.
Teorema 1. Un reticolo finito (R, ∧, ∨) è distributivo se e soltanto se non ammette
sottoreticoli di tipo N5 o M3 .
Osservazione 1. Per vedere se un tale sottoreticolo esiste, si utilizzano i diagrammi di
Hasse, come nei seguenti esempi.
1
2
Esempio 1. Il reticolo rappresentato dal seguente diagramma di Hasse, non è distribu•
tivo:
h
@
@
@
@ @•
e• @
@
@•
c•
b •
f•
g
d
a•
Infatti {b, d, c, e, f } formano un sottoreticolo di tipo N5 .
Esempio 2. Analogo discorso vale per il reticolo individuato dal diagramma di Hasse:
•f
d
%e
ee•
%
e
%
e• b
%
•
c
l
• l
l
l
l•
a
poichè {a, c, d, e, f } formano un sottoreticolo di tipo N5 .
Esempio 3. Il reticolo il cui diagramma di Hasse è:
•g
f
Q
Q
• • e Q• d
QQ
Q•
c
•
b
•
a
non è distributivo, in quanto {c, d, e, f, g} è un sottoreticolo di tipo M3 .
Esercizio 1. Nell’esempio precedente {a, b, c, f, g} non forma un sottoreticolo: perchè?
Definizione 3. Si dice che un anello (A, +, ·) è di Boole se
∀a ∈ A a2 = a
Proposizione 1. Sia (A, +, ·) un anello di Boole. Allora
1) ∀a ∈ A 2a = a + a = 0
2) ∀a, b ∈ A ab = ba ovvero (A, +, ·) è commutativo.
Dimostrazione. Sia a ∈ A, allora
a + a = (a + a)2 = a2 + a2 + a2 + a2 = a + a + a + a.
Per le leggi di cancellazione nel gruppo (A, +), a + a = 0, per cui 1) è provata. Si osservi
che 1) implica che ∀a ∈ A − a = a. Per dimostrare 2) si procede in modo analogo: siano
a, b ∈ A, allora
a + b = (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab + ba + b.
Ancora per le leggi di cancellazione nel gruppo (A, +), ab + ba = 0, per cui, usando 1),
ab = −ba = ba.
3
Esempio 4. È facile osservare che (Z2 , +, ·) è anello di Boole.
Osservazione 2. Siano (A1 , +, ·), . . . , (An , +, ·) anelli e sia A = A1 × · · · × An . Si può
munire A della struttura di anello ponendo ∀(a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ A
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn )
(a1 , . . . , an ) · (b1 , . . . , bn ) = (a1 · b1 , . . . , an · bn ).
n
n
In particolare, se (B, +, ·) è un anello, si può considerare l’anello (B , +, ·), dove B =
B × · · · × B.
Esempio 5. È facile osservare che se (B, +, ·) è un anello di Boole, allora anche l’anello
n
∗
n
(B , +, ·) definito nell’Osservazione 2 è di Boole. Quindi per ogni n ∈ N , (Z2 , +, ·) è
un anello di Boole.
Teorema 2. Sia (A, +, ·) un anello di Boole. Posto ∀a, b ∈ A
a ∧ b = a · b,
a ∨ b = a + b + a · b,
si ottiene un reticolo di Boole (A, ∧, ∨). Viceversa se (R, ∧, ∨) è un reticolo di Boole,
allora le due leggi di composizione ”+” e ”·” cosı̀ definite: ∀x, y ∈ R
x + y = (x ∧ y 0 ) ∨ (x0 ∧ y)
x·y =x∧y
conferiscono a R la struttura di anello di Boole.
Esempio 6. Dato X insieme, (P(X), ∩, ∪) è un reticolo di Boole. Allora, come suggerisce il Teorema 2, si pone per ogni A, B ∈ P(X)
A + B = (A ∩ {X (B)) ∪ ({X (A) ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A) = A∆B
che si chiama anche differenza simmetrica di A e B,
A · B = A ∩ B.
Quindi (P(X), ∆, ·) è un anello di Boole.
Definizione 4. Si dice che due anelli (A1 , +, ·) e (B, +.·) sono isomorfi se esiste un’applicazione bigettiva f : A → B tale che:
• ∀a, a0 ∈ A f (a + a0 ) = f (a) + f (a0 )
• ∀a, a0 ∈ A f (a · a0 ) = f (a) · f (a0 )
• f (1A ) = 1B .
In tal caso f si dice isomorfismo di anelli.
Osservazione 3. Si può provare che per un isomorfismo di anelli risulta f (0A ) = 0B .
∗
Teorema 3. Sia (A, +, ·) anello di Boole finito. Allora esiste n ∈ N tale che (A, +, ·)
n
sia isomorfo all’anello di Boole (Z2 , +, ·).
∗
Osservazione 4. Sia (A, +, ·) anello di Boole finito. Allora esiste n ∈ N tale che
|A| = 2n . In altri termini un anello di Boole finito ha cardinalità uguale ad una potenza
di 2. Quindi se un anello ha cardinalità diversa da una potenza di 2, sicuramente non è
di Boole. Inoltre, dal Teorema 2 si sa che ogni reticolo di Boole si può riguardare come
un anello di Boole e dunque un reticolo di Boole finito ha cardinalità uguale ad una
potenza di 2. In conclusione: se un reticolo non ha cardinalità uguale ad una potenza
di 2 non è di Boole, ma attenzione: non è vero che se un reticolo ha cardinalità uguale
ad una potenza di 2 allora è un reticolo di Boole (vedi Es.1)!