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Cap. 8 - FENOMENI DI TRASPORTO.
Introduzione.
I fenomeni di conduzione sono determinati dal moto degli elettroni e delle lacune
soggetti a campi esterni e/o all'interazione con il reticolo. L'equazione che
governa il trasporto dei portatori in un metallo o in un semiconduttore è
l'equazione di Boltzmann che descrive come la distribuzione degli stati permessi
cambia nel tempo per effetto di campi esterni, della diffusione e dei processi di
scattering dei portatori. Si parla di fenomeni di trasporto in quando sia il
fenomeno della conduzione elettrica che quello del flusso di calore sono legati,
rispettivamente, al moto di particelle cariche in un campo esterno o al flusso di
energia portato dalle particelle. Se, a causa di un urto, l'energia del portatore
cambia per una quantità minore di kT, l'equazione può essere risolta
nell'approssimazione del tempo di rilassamento. Il tempo di rilassamento è il
tempo medio intercorrente tra due urti successivi; esso, in generale, dipende
dall'energia e dal tipo di processo di scattering.
L'equazione di Boltzmann.
L'equazione di Boltzmann descrive come la funzione distribuzione che
rappresenta la probabilità di trovare una particella in una certa posizione, con un
certo vettore k, ad un certo istante, cambia nel tempo ovvero quanto essa vale in
situazioni stazionarie. Sia f(r, p, t) la funzione distribuzione che descrive
l'occupazione degli stati di energia permessi. Il numero di particelle dN, che al
tempo t hanno posizione compresa tra r e r+dr e impulso compreso tra p e p+dp,
sarà:
dN= f(r, p, t)drdp
Sia f0(r, p, t) la funzione distribuzione all'equilibrio termico. Consideriamo un
elemento di volume dello spazio delle fasi, drdp, (spazio a sei dimensioni x, y, z,
px, py, pz) centrato sul punto (r, p). La variazione temporale di N, e quindi di f,
sarà determinata da tre tipi di processi:
a) le particelle entrano ed escono dalla regione considerata;
b) i campi esterni cambiano l'impulso delle particelle;
c) urti tra particelle e tra particelle e reticolo; un urto può far entrare o uscire
la particella dalla regione considerata.
La derivata temporale di f(r, p, t) sarà quindi data da:
r
r
df ∂f ∂ r ∂f ∂ p ∂f r r
1r r
∂f
r
= r
+ r
+
= v ⋅ ∇ r f + F ⋅ ∇ kr f +
dt ∂ r ∂t ∂ p ∂t ∂t
h
∂t
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dove F è la risultante di tutte le forze agenti sulla particella. Per un insieme di
particelle classiche vale il teorema di Liouville secondo il quale se il sistema è in
equilibrio termodinamico
df
= 0 cioè, la probabilità che una particella occupi il
dt
volume drdp è la stessa di quella che occupi il volume dr’dp’. In condizioni
stazionarie, si ha:
r r
1r r
∂f
= − v ⋅ ∇ rr f − F ⋅ ∇ rk f
h
∂t
cioè, la variazione della funzione di distribuzione in ogni punto dello spazio delle
fasi deriva sia dal moto delle particelle nello spazio ordinario che da quello nello
spazio k ovvero sia a causa dell'interazione
tra particelle (urti) che per
r
l'influenza di campi esterni. La forza F è dovuta sia a campi esterni che a campi
interni che perturbano il campo periodico reticolare (impurezze, difetti, ....)
Possiamo porre
r
Sia
r
F ext
∂k r
1r r
⋅ ∇ rk f .
= − F ⋅ ∇ kr f = −
∂t
h
campi esterni e int erni
r
la forza risultante dovuta a campi esterni e F int quella dovuta ai difetti
∂f
∂t
reticolari. La prima genera una variazione 'lenta' dello stato della particella,
−7
mentre il range dei campi interni è molto breve, ≈ 10 cm , e se la velocità degli
7
−14
s per cui, tali forze
elettroni è ≈ 10 cm / s , il tempo d'interazione è ≈ 10
interne sono di tipo impulsivo e il processo che ne deriva è una collisione.
Pertanto:
r
∂f
r r
1r
= − v ⋅ ∇ rr f − F ext ⋅ ∇ rk f
424
3 1h4
∂t 1
4244
3
∂f
∂t
diffusione
∂f
∂t
campiesterni
r
1r
− F int ⋅ ∇ rk f
1h4
4244
3
∂f
int egrale di collisione=
∂t
=
∂f
∂t
+
drift
∂f
∂t
scattering
(1)
scattering
Tale equazione rappresenta l'equazione di Boltzmann.
∂f
∂t
caratterizza gli effetti dei campi esterni applicati:
drift
∂f
−
∂t
drift
r
r r
1r
r
= v ⋅ ∇ r f + F ext ⋅ ∇ rk f
h
In generale, l'integrale di collisione ha una espressione abbastanza complicata e
per determinarne la forma analitica sono necessari metodi statistici; di
conseguenza, l'equazione di Boltzmann è una equazione integro-differenziale di
difficile soluzione.
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In generale,
(∂f / ∂t )scattering
dipende dallo specifico processo di scattering; se
S(k, k’) è la probabilità per unità di tempo affinchè si abbia un urto che porti
delle particelle dallo stato (r, k) a quello (r',k'); poichè l'urto non può modificare
sostanzialmente le coordinate la probabilità di transizione sarà indipendente da r
e r'. Potremo scrivere:
r r
r r
r
r r
r r
r r
r r
∂f
≡ ∫ S (k , k ' ) f (r , k , t ) 1 − f (r ' , k ' , t ) − S (k ' , k ) f (r ' , k ' , t ) 1 − f (r , k , t ) dk ' (2)
∂t scattering
[
{
]
[
]}
Si è, inoltre, tenuto conto del numero di stati occupati e del numero di stati
liberi; il primo termine dell'integrando rappresenta la diminuizione di particelle
nel volume dk e il secondo l'aumento; l'integrale va esteso al volume della zona di
Brillouin entro cui varia k'.
All'equilibrio:
r r
f ( k , r ,t ) equil. = f o (E) =
e
∂f
∂t
=0
scatt
per cui
r r
ovvero S (k ' , k )e − Ek / kT
1
1 + exp [(E − E F ) / kT ]
r r
r r f ( E )[1 − f o ( E ' )]
S (k ' , k ) = S (k , k ' ) o
f o ( E ' )[1 − f o ( E )]
r r − E / kT
. Se gli urti sono elastici, gli elettroni
= S ( k , k ' )e k '
cambiano solo il vettore d'onda e non l'energia, cioè
r r
r r
S (k ' , k ) = S (k , k ' ) .
E k = Ek ' ,
e quindi
Notiamo che l’equazione del trasporto di Boltzmann è stata ricavata nell’ipotesi
che di una particella ad un certo istante si possa conoscere, simultaneamente, sia
la posizione che la quantità di moto (approccio classico); la probabilità di
scattering è indipendente dalle forze esterne e tutti gli urti sono istantanei.
Approssimazione del tempo di rilassamento.
Se lo stato di equilibrio viene perturbato da un campo esterno, dopo la rimozione
del campo (t=0), il sistema torna all'equilibrio grazie alle collisioni (rilassamento).
Se la velocità con cui il sistema torna all'equilibrio
alla
r è proporzionale
r
deviazione dallo stato di equilibrio, cioè a
r
r
f ( r , k ,t ) − f o ( r , k ) ,
potremo
scrivere:
∂f
∂t
e quindi, integrando:
cioè, la f tende a
fo
=−
scattering
f − fo
τ
(f − f o ) t = ( f − f o ) t =0 e −t / τ
esponenzialmente. τ dipende in generale dal vettore d'onda
k e dai campi (elettrici e termici); nell'approssimazione del tempo di
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rilassamento si assume τ indipendente dal campo, ma dipendente dai processi di
collisione.
Il sistema rilassa tramite eventi di scattering; infatti, in assenza di tali eventi e
di processi di diffusione, l’equazione di Boltzmann si ridurrebbe a:
∂f
=0
∂t
e quindi il sistema non rilasserebbe mai.
Cerchiamo ora una soluzione dell’equazione di Boltzmann nell’approssimazione del
tempo di rilassamento, in presenza di un campo elettrico uniforme esterno.
Supponiamo che la distribuzione sia spazialmente uniforme, cioè sia nullo il
gradiente spaziale di f, e di essere in condizioni stazionarie:
∂f
∇ rr f = 0
=0
∂t
L’equazione di Boltzmann nell'approssimazione del tempo di rilassamento è:
r
Fext
f − f0
∂f
⋅ ∇ kr f =
=−
∂t urti
h
τ
r
r
Essendo Fext = −eE possiamo riscrivere:
r
− eE ⋅ ∇ vr f
f − f0
=−
τ
m
r
Posto E = Ekˆ risulta:
eEτ ∂f
= f − f0
m ∂v z
Supponiamo che la funzione distribuzione di non equilibrio non sia troppo diversa
∂f
∂f
= 0 . Se si assume che la f0 sia
da quella all’equilibrio, per cui assumiamo
∂v z ∂v z
una maxwelliana, f 0 = e − E / kT = e − mv
−
2
/ 2 kT
, l’equazione del trasporto si scrive:
eEτ mv z − mv 2 / 2 kT
e
= f − f0
m kT
da cui:
⎡ eEτv z ⎤
f = f 0 ⎢1 −
kT ⎥⎦
⎣
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f0 è centrata su v=0 per cui la densità di corrente è nulla all’equilibrio.
Calcoliamola in condizioni di fuori equilibrio:
j z = −en v z
Calcoliamo la velocità media:
∫ v f (v ) N (v ) d v
=
∫ f (v ) N (v ) d v
3
vz
z
3
N(v) è la densità degli stati per unità di volume nello spazio delle velocità; essa
vale 2m3V/h3 (V è il volume della cella del reticolo diretto). Infatti nell’elemento
di volume d3k, la densità degli stati è 2(V/8π3) d3k=(V/4π3)4πk2dk=2V(m/h)3d3v.
Comunque la densità di stati è un fattore moltiplicativo al numeratore e al
denominatore che quindi possiamo elidere. Tenendo conto dell’espressione
ottenuta per f, possiamo scrivere:
∞ π 2π
⎡ eEτv cos θ ⎤
(v) ⎢1 −
v cos θv 2 dv sin θdθ
⎥
kT
⎣
⎦
v z = 0 0 ∞0 π 2π
⎡ eEτv cos θ ⎤ 2
∫0 ∫0 ∫0 dφf 0 (v)⎢⎣1 − kT ⎥⎦v dv sin θdθ
∫ ∫ ∫ dφf
Essendo
π
∫ cosθ sin θdθ = 0
0
si ha:
0
∞π
∫∫
vz = − 0 0
f 0 (v )
eEτv 4 cos 2 θ sin θ
dvdθ
kT
∞π
∫∫ f
0
(v)v 2 sin θdvdθ
0 0
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Inoltre
π
2
∫ cos θ sin θdθ =
0
2
3
π
∫ sin θdθ = 2
e
per cui, assumendo τ indipendente da
0
θ, si ottiene:
∞
vz = −
[
]
1 eE
v 2 f 0 (v) v 2τ (v)dv
3 kT ∫0
∞
∫f
0
(v)v 2 dv
=−
1 eE 2
vτ
3 kT
0
Poiché per una particella libera l’energia cinetica media vale 3/2 kT e quindi
1
kT = m v 2 , si ha:
3
2
eE
eE v τ
=
−
τ
vz = −
m
m v2
dove
v 2τ
v2
= τ .
La mobilità dell'elettrone è definita come la sua velocità per unità di campo
vz
eτ
e quindi µ =
. La densità di corrente può scriversi:
elettrico: µ =
Ez
m
j z = −en v z =
e 2 nE z τ
= σE z
m
e quindi
σ=
ne 2 τ
= enµ
m
Mobilità Hall.
Un metodo largamente usato è quello di van der Pauw che utilizzando quattro
contatti permette di misurare sia la resistività che la mobilità. E' necessario
soddisfare per quanto possibile le seguenti condizioni: a) contatti sul bordo e
sufficientemente piccoli; b) spessore costante e superficie senza buchi. Con
riferimento alla figura, se RAB,CD è la resistenza misurata facendo passare
corrente tra A e B e misurando la tensione tra C e D e analogamente per RBC,DA e
se d è lo spessore del campione, si trova:
ρ=
π d R AB ,CD + R BC,DA ⎛ R AB ,CD ⎞
log 2
2
⎟⎟
f ⎜⎜
R
⎝ BC ,DA ⎠
dove f è una funzione di correzione.
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i
D
A
V
B
C
La mobilità Hall è data da:
dove
d ∆ R AC,DB
B
ρ
− ( R AC ,DB ) Br = 0 .
µH =
∆ R AC ,DB = ( R AC ,DB ) Br ≠ 0
Tipi di mobilità.
In generale si distinguono i seguenti tipi di mobilità:
a) mobilità microscopica: è la velocità per unità di campo elettrico di un
portatore libero in un cristallo; non può essere misurata direttamente;
b) mobilità di conducibilità: è la mobilità che entra nell'espressione σ e = ne µ e ;
tale mobilità è legata a
τ
che dipende dal processo di scattering;
c) mobilità Hall: è il prodotto della conducibilità misurata per la costante di Hall
misurata; in genere, tale mobilità differisce per un fattore dell'ordine dell'unità
dalla mobilità di conducibilità e dipende dai meccanismi di scattering e dalla
struttura a bande;
d) mobilità di drift: è la velocità per unità di campo elettrico di un portatore in
moto in un campo elettrico; se un impulso di carica è iniettato in un punto di un
materiale e impiega un tempo t per giungere in un punto distante d, la mobilità di
drift è definita come:
µ drift
d2
=
Vt
se V/d è il campo elettrico (tecnica del tempo di volo).
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