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Corso di AERODINAMICA E GASDINAMICA
Anno Accademico 2016/2017
- Lezione N.5 -
Prof. Ing. Renato RICCI
Flusso di Stokes (Creeping flow) – Re << 1
Il flusso attorno ad un corpo tozzo è fortemente influenzato dal numero di Reynolds, ciò porta ad una
marcata variazione del coefficiente di resistenza del corpo. Per valori del numero di Reynolds inferiori ad 1
siamo in presenza di un flusso molto particolare dove le forze di inerzia sono del tutto trascurabili e le forze
viscose formano il contributo dinamico più rilevante; tale flusso viene comunemente chiamato “Creeping
flow” o flusso di Stokes. Questo campo di moto è quello che si instaura attorno agli organismi microscopici,
come i batteri , oppure nei canali di lubrificazione dei cuscinetti; in un flusso di Stokes i microrganismi sono
costretti a muoversi in modo ondulatorio e quando cessano di muoversi si fermano di colpo: non ci sono
effetti inerziali apprezzabili che ne consentono il “moto planato”. E’ così consueto che tali microrganismi
siano dotati di “code lunghe” che ne permettono il movimento ondulatorio: anche gli spermatozoi
presentano queste caratteristiche. Se richiamiamo la forma adimensionale dell’equazione di conservazione
della quantità di moto e riteniamo che:
•Il numero di Strouhal è circa unitario o di poco inferiore ad 1
•Il numero di Reynolds è molto piccolo (Re<<1)
•I termini gravitazionali trascurabili per il moto e causa solo della pressione idrostatica, si avrà
*
é ù
é ù
éSt ù ¶V + V * × Ñ* V * = -éEu ùÑ* p * + ê 1 ú g * + ê 1 úÑ*2V *
ë û *
ë û
2
¶t
ë Fr û
ëRe û
(
)
Poiché i termini differenziali dell’equazione sono unitari affinché la stessa sia soddisfatta si dovrà avere un
numero di Eulero pari all’inverso del numero di Reynolds:
Eu 
p0  p
1



2
V
Re   V  L

2
p0  p 
 V
L
La relazione precedente ci dice come la differenza di pressione non sia in scala con la pressione cinematica,
come accade nei flussi inerziali, ma sia invece correlata alla viscosità. La Resistenza aerodinamica sarà così
2
dipendente da: D  ( p0  p )  L  K    V  L dove K è una costante
Per una sfera si ha:
D  3  V D  cD
 V 2  D2
2
4
 cD 
24
ReD
Flusso Laminare (Re < 40)
Per Re << 1 il flusso era dominato totalmente da effetti viscosi e non
venivano riscontrati problemi di separazione già però per Re pari a circa
4 si inizia a osservare la formazione di una scia vorticosa a valle del
corpo. Tale scia è molto confinata e strettamente aderente alla
superficie del corpo, sulla porzione frontale dello stesso il flusso risulta
attaccato e la resistenza complessiva è adducibile principalmente
all’effetto viscoso. Quando il numero di Reynolds arriva a circa 10 la zona
separata mostra distintamente la presenza di 2 vortici controrotanti che
aumentano di dimensioni fino a Re pari a circa 40; è evidente che la
resistenza inizia ad essere influenzata dalla pressione e dagli effetti
inerziali.
ReD = 41
ReD = 13
ReD = 24
Karman Vortex Street (40 < Re < 1000)
ReD = 140
Per Re > 40 i 2 vortici iniziano a staccarsi dalla superficie posteriore del cilindro;
tale distacco non avviene mai contemporaneamente e ciò porta una variazione di
pressione periodica sul contorno del corpo stesso. Tale periodicità è ben
visualizzata dalla forma della scia di separazione a valle del corpo e la Resistenza
aumenta. Chiaramente la variazione di pressione periodica non porta solo ad un
aumento della resistenza ma anche ad una forza verticale che diventa
ciclicamente di Portanza e Deportanza. Tutto ciò fa si che il corpo sia sollecitato in
modo aeroelastico in direzione ortogonale al flusso e la frequenza di dette
sollecitazioni è valutabile mediante il valore assunto dal numero di Strouhal: che
in un cilindro è pari a circa 0.2 e scende a 0.13 sui corpi a sezione quadrata. E’
chiaro che soprattutto per strutture sospese è fondamentale che le frequenze di
risonanza non siano mai prossime a quelle di distacco dei vortici.
St 
D
V
Strouhal vs. Reynolds
Flusso Sub-Critico 1.000 < Re < 300.000
Re = 2.000
Per numeri di Reynolds maggiori di 1.000 il Karman Vortex Street inizia a diventare Turbolento e si forma una scia unica che
contiene i due Vortici “sfalsati”.
Lo strato limite Laminare sul cilindro si separa a circa 80° dal punto di ristagno.
La frequenza di sganciamento dei vortici aumenta fino ad indurre, per Re vicino a 300.000, una scia turbolenta stazionaria.
Il CD rimane costante da Re=1.000 fino a circa 300.000 indicando che la resistenza è da addurre quasi totalmente alla resistenza
di forma.
Il numero di Strouhal è pari a circa 0.18.
Separazione dello Strato Limite Laminare
Punto di Distacco
80°
Re = 200.000
La separazione dello Strato Limite Laminare avviene perché la particelle vicino alla parete sono soggette ad una piccola forza di
inerzia, sufficiente a vincere le forze viscose ma insufficiente a superare anche il gradiente avverso di pressione.
Flusso Critico 300.000 < Re < 3.000.000
A numeri di Reynolds elevati lo Strato Limite Laminare si separa sempre a circa 80° ma lo strato di fluido al di fuori della
ragione separata (Shear Layer) entra in Transizione per poi passare in Turbolento.
Tutto ciò fa si che la zona separata si riattacchi alla superficie del cilindro e si separi definitivamente a circa 120°, producendo
così una scia ridotta ed una riduzione della resistenza di forma.
Il numero di Strouhal è pari a circa 0.5
Flusso Post-Critico Re > 3.000.000
In questo caso lo strato limite diventa Turbolento prima del massimo diametro, di conseguenza il flusso rimane attaccato al
cilindro fino a circa 110°.
Il Coefficiente di Resistenza aumenta all’aumentare di Reynolds in quanto i punti di separazione iniziano a rimuoversi verso
monte inducendo una scia più spessa.
Il numero di Strouhal ritorna ad un valore di 0.2.
Coefficiente di Resistenza