II Modulo - Matematica e Informatica

A. A. 2006-07 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - novembre 2007
C.d.L. in Matematica - III Modulo
C.d.L. in M.I.C.S. - II Modulo
1. Sia C una conica del piano affine reale tangente alla retta y = 0 nel punto
P = (2, 0) ed alla retta x = 0 in Q = (0, 1). Sia inoltre R = (a, b) un
ulteriore punto di C. Individuare tra le seguenti condizioni su a e b l’unica
che garantisce che C sia priva di punti singolari :
(a) a 6= 0 6= b;
(b) a 6= 0 = b;
(c) a = b = 0;
(d) a = 0 6= b.
Soluzione: L’unica conica degenere di A2 (R) che soddisfa le condizioni
poste è quella che ha come componenti le due tangenti, cioè la conica
xy = 0. Ne consegue che una condizione che garantisce che C non sia
degenere è che il punto R non stia né su x = 0, né su y = 0.
2. Siano q, l1 , l2 ∈ R[T1 , . . . , Tn ], n > 2, polinomi omogenei a coefficienti reali
con q quadratico e ciascun li lineare soddisfacenti la condizione q = l12 + l22 .
Si individui tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta sbagliata:
(a) il radicale della forma bilineare associata a q ha codimensione ≤ 2;
(b) q ha rango ≤ 2;
(c) la quadrica proiettiva definita da q è degenere;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Si ha q(a1 , . . . , an ) = 0 esattamente quando l1 (a1 , . . . , an ) =
l2 (a1 , . . . , an ) = 0. Ne consegue che il sostegno della quadrica definita da
q è dato dall’intersezione degli iperpiani di equazione l1 (X1 , . . . , Xn ) = 0
ed l2 (X1 , . . . , Xn ), cioè è una quadrica di rango 1 o 2 a seconda che i due
iperpiani coincidono o no.
3. Sia f una forma bilineare simmetrica definita su uno spazio vettoriale V
di dimensione ≥ 2 e sia U un sottospazio proprio di V . Denotato con R
il radicale della restrizione di f ai vettori di U , individuare tra le seguenti
affermazioni l’unica che risulta in ogni caso non vera:
(a) R può essere un sottospazio proprio di U ⊥ ;
(b) R ed U ⊥ possono coincidere;
(c) U ⊥ può essere un sottospazio proprio di R;
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(d) una delle precedenti affermazioni è certamente falsa.
Soluzione: Ogni vettore di R è certamente ortogonale ad ogni vettore di
U per cui in ogni caso si ha R ≤ U ⊥ e ciò esclude che vi siano situazioni
in cui U ⊥ è un sottospazio proprio di R. Esempi in cui R = U ⊥ oppure
R U ⊥ si ottengono considerando le due forme f1 : (x, y) 7→ x1 y2 + x2 y1
e f2 : (x, y) 7→ x1 y1 + x2 y2 definite su un qualunque piano vettoriale e la
retta U : x1 = 0 di questo piano (la restrizione di f1 ai vettori di U produce
la forma nulla per cui R = U , ma è anche U = U ⊥f1 ; la restrizione di f2 ai
vettori di U è invece non degenere per cui R si riduce al solo vettore nullo
con dim U ⊥f2 = codimU = 1.)
4. Si consideri la conica γ di A2 (R) definita dall’equazione:
x2 = ax + by + c
con a, b, c ∈ R. Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta
vera:
(a) γ è una conica degenere di A2 (R) qualunque sia il valore dei parametri
a, b, c;
(b) la chiusura proiettiva di γ ha forma canonica: X02 + X12 − X22 = 0
qualunque sia il valore dei parametri a, b, c;
(c) γ è una parabola qualunque sia il valore dei parametri a, b, c;
(d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
Soluzione: Per classificare γ è opportuno distinguere due casi. Se b 6= 0
allora γ è chiaramente una parabola (e quindi è non degenere e la sua
chiusura proiettiva ha forma canonica X02 + X12 − X22 = 0). Se, invece,
b = 0 allora γ ha sostegno in due rette parallele distinte, o in due rette
coincidenti, oppure ha sostegno vuoto (ma con chiusura proiettiva non
vuota) secondo che il discriminante del polinomio x2 − ax − c sia positivo,
nullo o negativo. In ogni caso γ è degenere per b = 0.
5. Sia f (x, y) = 0 un’equazione quadratica che rappresenti una data conica
non degenere e non vuota γ di A2 (R) e sia Γ la quadrica di A3 (R) definita
dalla stessa equazione f (x, y) = 0, ove si consideri f come un polinomio
nelle indeterminate x, y e z. Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica
che potrebbe risultare falsa:
(a) Γ è una quadrica degenere;
(b) Γ ha un solo punto improprio;
(c) la forma canonica della chiusura proiettiva di Γ è: X02 + X12 − X22 = 0;
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(d) una delle precedenti affermazioni potrebbe non essere vera.
Soluzione: Il piano z = h interseca Γ secondo la stessa conica d’equazione
f (x, y) = 0 indipendentemente dal valore della quota h. Ciò significa che
Γ è un cilindro con asse parallelo all’asse z. Se γ è un’ellisse, (0, 0, 0, 1) è
l’unico punto improprio di Γ, ma se γ è una parabola o un’iperbole i punti
impropri di Γ sono più di uno.
6. Sia {e1 , . . . , en } una base dello spazio unitario Cn di dimensione finita
n ≥ 2 e sia ϕ l’endomorfismo definito dalle condizioni:
ϕ(ei ) = en−i+1
(i = 1, . . . , n) .
Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta falsa:
(a) ϕ è hermitiano;
(b) ϕ è unitario;
(c) 1 e −1 sono gli unici autovalori di ϕ;
(d) −1 è un autovalore di ϕ se e solo se n è pari.
Soluzione: La matrice che rappresenta ϕ rispetto alla base fissata ha
tutti 1 sulla diagonale secondaria e 0 altrove. Si vede subito che ϕ = ϕT
e che ϕ2 = id. Quindi ϕ è sia hermitiana che unitaria, conseguentemente
i suoi autovalori possono essere solo ±1. Si osservi infine che i vettori di
coordinate (1, 0, . . . , 0, 1) e (1, 0, . . . , 0, −1) sono sempre, rispettivamente,
autovettori relativi agli autovalori 1 e −1.
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