Successioni e serie di funzioni
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12/12/2016 Successioni di funzioni Successioni di funzioni: convergenza puntuale Definizione Sia I un insieme di numeri reali e sia f n una successione di funzioni reali definite in I f n : I R, I R. Si dice che f n converge puntualmente in I verso la funzione f : I R, se risulta lim f n ( x) f ( x) n Cioè se 0 e x R x I ; , x R : f ( x) f n ( x) f ( x) n , x 1 12/12/2016 Successioni di funzioni: convergenza puntuale f n ( x) f ( x) n , x • f(x)+ε Y f (x) •n • ε f(x) ε •f(x)-ε a x • b X Successioni di funzioni:convergenza puntuale Per stabilire la convergenza puntuale si fissa x I e si considera la successione numerica f n (x) Esempio n2 Dire se converge la successione f n ( x) 1 n2 x2 x (0,1] Si ha lim f n ( x) lim n n2 n 1 n 2 x 2 lim n 12 n 1 x2 1 x2 2 12/12/2016 Successioni di funzioni Esempio f n ( x) x n lim x n 0 n lim x n 1 n x [0,1] se x [0,1) se x 1 Successioni di funzioni Esempio f n ( x) arctg nx 2 lim arctgnx 0 n 2 xR se x 0 se x 0 se x 0 3 12/12/2016 Successioni di funzioni In generale, fissato 0, il numero , x dipende dal punto x; se invece , x non dipende da x allora si parla di convergenza uniforme: Definizione f n (x) converge uniformemente in I verso f(x) se 0 R ( non dipende da x) tale che f n ( x) f ( x) n , x I Successioni di funzioni convergenza uniforme convergenza puntuale Infatti, fissato 0, se è tale che f n ( x) f ( x) n , allora per ogni x I si può scegliere , x e quindi la diseguaglianza vale anche n , x . Il viceversa in generale non vale. 4 12/12/2016 Successioni di funzioni Se le fn , f sono limitate in I allora f n (x) converge uniformemente ad f in I se e solo se lim sup f n ( x) f ( x) 0 n xI Esercizio. x Dimostrare che la successione f n ( x) converge 1 nx uniformemente in [0,1] x 0 n 1 nx Fissato x in [0,1] si ha lim Successioni di funzioni, convergenza uniforme Vediamo se la convergenza è uniforme x 1 0 lim 0 n [ 0,1] 1 nx n 1 n lim sup Quindi f n ( x) x converge uniformemente a f(x)=0 1 nx 5 12/12/2016 Successioni di funzioni x x2 Esempio f n ( x) , x [0,1] converge uniformemente a n zero. Infatti x x2 0 n n lim x x2 1 lim sup lim 0 n [ 0,1] n 4n n Successioni di funzioni Teorema (continuità del limite uniforme di funzioni continue) Se f n (x) converge uniformemente in I verso f(x), e tutte le fn(x) sono continue in x0, allora anche f(x) è continua in x0. In generale la convergenza puntuale di una successioni di funzioni continue non assicura la continuità della funzione limite 6 12/12/2016 Successioni di funzioni Esempio f n ( x) arctg nx 2 lim arctgnx 0 n 2 xR se x 0 se x 0 se x 0 La convergenza non può essere uniforme in quanto la funzione limite non è continua Serie di funzioni 7 12/12/2016 Serie di funzioni Sia f n una successione di funzioni reali definite in IR. Se x I ( x fissato) la serie numerica f n ( x) f1( x) f 2 ( x) ...... n 1 è convergente, cioè se la successione delle somme parziali S n ( x) n f k ( x) f1( x) f 2 ( x) ... f n ( x) k 1 converge puntualmente in I, allora si dice che la serie di funzioni f n f1 f 2 ...... n 1 è convergente puntualmente in I. Serie di funzioni Definizione (convergenza totale) Se esistono dei numeri reali M n 0 tali che f n ( x) M n , x I , n N e se la serie numerica dice che fn Mn è convergente in I, allora si converge totalmente in I. Teorema La convergenza totale di una serie di funzioni implica quella uniforme: convergenza totale convergenza uniforme 8 12/12/2016 Serie di funzioni Definizione (convergenza uniforme) La serie f n (x) converge uniformemente in I verso S (x) se la successione delle somme parziali S n (x) converge uniformemente in I verso S (x) . Teorema La somma di una serie di funzioni continue convergente uniformemente è anch’essa continua. (discende dal teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue) Serie di funzioni Esercizio Dire se converge puntualmente x R la serie Si ha cos nx 1 e n2 n2 n2 n 1 1 n 1 cos nx n2 converge (serie armonica generalizzata) cos nx converge totalmente n2 converge uniformemente converge puntualmente 9 12/12/2016 Serie di funzioni (1 x 2 )n Serie geometrica n 0 1 q( x)n 1 1 (1 x 2 ) n 1 S n ( x) 1 q( x) x2 lim S n ( x) lim n 1 (1 x 2 ) n 1 n x2 1 x 2 x 0, - 2 x 2 x0 indeterminata x 2 , x 2 Serie di funzioni (1 x 2 )n Serie geometrica n 0 Converge solo puntualmente a S ( x) 2 , x 2 , 2 , x 0 x perché S non è continua in I 1 Converge uniformemente in ogni intervallo del tipo [a, b] 0, 2 , o [a, b] 2 ,0 10 12/12/2016 Serie di funzioni n n 1 x x n n 1 Serie telescopica n 1 x n 1 Si ha S n ( x) f 0 ( x) f n 1 ( x) x n 1 - converge con somma S lim S n x, n x 1 - diverge se x > 1 - oscilla se x < -1 Serie di funzioni Teorema di integrazione per serie (termine a termine) Sia f n una successione di funzioni continue in [a,b], se la serie f n (x) è convergente uniformemente in [a,b] verso S (x) allora b b b a S ( x)dx a ( f n ( x))dx a f n ( x)dx 11 12/12/2016 Esercizio xn Dire se la serie 3 in x ,2 2 1 è integrabile termine a termine n 0 Serie di funzioni Teorema di derivazione per serie (termine a termine) Sia f n una successione di funzioni derivabili in (a,b) con derivata continua in [a,b]. Se i) f (x) n converge almeno in un punto x0 [a, b] f n (x) converge uniformemente in [a,b] con somma A(x) allora anche f (x) converge uniformemente in [a,b] e se S(x) ii) n è la sua somma , si ha S ( x) f n ( x) f ( x) A(x) n x [a, b] 12 12/12/2016 Esercizio Dire se la serie n 1 x n1 n 1 è derivabile termine a termine Serie di funzioni Serie di potenze Sia an una successione di numeri reali, si chiama serie di potenze di punto iniziale zero, la serie di funzioni: an x n n 0 dove a0, a1,…, an,…. Sono i coefficienti. L’intervallo I in cui tale serie converge si chiama intervallo di convergenza. Il raggio di convergenza è l’estremo superiore r di tale intervallo 13 12/12/2016 Serie di potenze Si possono avere 3 casi: an x n converge solo in 1) r =0 allora la serie di potenze x =0 an x n 2) 0 < r < +∞ allora converge assolutamente per x (r , r ) e totalmente in ogni [ , ] (r , r ) non converge per x r 3) r = +∞ allora an x n converge assolutamente in ogni x R e totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato di R: [ , ] R Serie di potenze Teorema di Cauchy Data la serie an x n n 0 se lim n n allora r an 1 14 12/12/2016 Serie di potenze Teorema di D’Alembert Data la serie an x n se an 0 n, n 0 e se an 1 n an lim allora r 1 ( se 0 r ) Serie di potenze Esercizio Determinare l’intervallo di convergenza delle seguenti serie di potenze 2n x n 5n n 0 Si trova r=2, quindi I=(-2, 2) 15 12/12/2016 Serie di potenze n 1 ( x 1) n n2 di centro x0 1 Si trova r = 1 quindi I= (-2,0) Serie di potenze n2 xn (n 1)! n 1 Si trova r = +∞ quindi I= R 16 12/12/2016 Serie di potenze ( x 1) n n n 1( n 1) 2 Si trova r = 2 quindi I= (-1,3) Serie di funzioni Esercizio Determinare per quali valori di x converge la seguente serie x n 1 n x 2 n 1 Separo in due serie: n x 1 n n 1 2 n 1 x x Sono due serie geometriche, una di ragione e l’altra di 1 2 ragione x 17 12/12/2016 Esercizio Determinare per quali valori di x converge la seguente serie e nx n n 1 Fissando x si ha una sere numerica e converge per x<0. Si può trovare questo risultato utilizzando uno dei criteri sufficienti (per esempio quello della radice) studiati per le serie numeriche. Se x=0 si ha una serie armonica divergente. Se x>0 la serie data non soddisfa la condizione necessaria di convergenza . Esercizio Studiare la convergenza della seguente serie sinn x cos n x n 0 18 12/12/2016 Esercizio Studiare la convergenza della seguente serie enx e(n1) x n2 19
