Problemi matematica

Problemi
Problema 1
Il missile disintegrato
In una stazione un osservatore, in un certo istante, rileva sullo schermo la presenza di un missile che si
muove con la legge oraria espressa dalla funzione
Dopo 10
secondi il missile viene colpito e devia dalla sua traiettoria originaria modificando il suo moto, per altri
20 secondi il missile si muoverà di moto rettilineo uniformemente accelerato con la nuova legge
oraria
per poi disintegrarsi.
) Definisci la legge oraria del missile per tutta la durata del suo moto e individua la velocitàerazione
dopo i primi 15s .
2) Studia la funzione che definisce tale legge oraria durante tutti i 30 secondi ed evidenziane
eventuali punti di discontinuità e/o di non derivabilità
3) Rappresenta un grafico approssimato di tale funzione e determina la velocità massima e minima
raggiunte dal missile durante il suo moto
4) Generalizzando il problema, calcola l'area del segmento parabolico generato dall'intersezione della
parabola di equazione
con la retta r obliqua passante per i punti della parabola
A e B rispettivamente di ascissa x=0 e x=18.
Problema 2
Progetto di un tetto - ispirato alla mansarda su Zanichelli
Antonio e Chiara sono due architetti. In questo momento sono alle prese con il problema di dare
"forma" ad un tetto. Si tratta di trovare la giusta inclinazione sia per motivi pratici che per ragioni
estetiche e di stile.
a) Il tetto è quello rappresentato in figura 1. Ne vediamo il profilo stilizzato. La base deve avere una
lunghezza "L" (in figura è L in minuscolo), il tetto vero e proprio ( b+c =AC+CB ) deve avere una
lunghezza complessiva L + k. Antonio e Chiara cominciano a considerare questo profilo e si chiedono
che relazione esista tra h ed L, ovvero come l'altezza h sia legata ad L. Come caso modello decidono di
considerare k=1. Studiate anche Voi questa relazione.
Una volta ottenuta la funzione h(L) i nostri architetti tracciano un grafico. Definiscono le condizioni
per cui h abbia un significato reale e concreto, queste conclusioni si traggono dall'analisi del grafico,
fatelo anche voi. In particolare Antonio vuole determinare la relazione dh/dL. Che informazioni può
trarre in questo caso ?
b) Detto theta l'angolo in A , aiutate Antonio e Chiara a studiare come varia l'inclinazione del tetto, che
funzione proponete ? Tracciatene un grafico al variare di L.
c) Antonio e Chiara, nel corso della loro progettazione affrontano ora un caso particolare, quello in cui
theta = 90° . Come possiamo ora determinare la funzione h(L) ? ( Studiamo anche noi il caso modello
con k=1). Che funzione otteniamo? Per quali valori di L la funzione descrive una situazione reale ?
d) Viene infine affrontato il caso più generale. Quello relativo ad un tetto con un'inclinazione qualsiasi
theta. (Potete affrontarlo sia nel caso generale in cui b+c =AC+CB=L +k, sia nel caso modello in cui
sia k=1).
e) Poniamo ora L=20m e k=10 m. Ad una latitudine di 45° sarà possibile ottimizzare ( avere la
massima produzione di energia elettrica) la resa dei pannelli solari che verranno installati sul lato c=
BC ?
Problema 3
Progetto di un "recinto"
Progetta un recinto di una casa a forma esagonale, costruito assemblando delle tavole di legno la cui
lunghezza totale sia uguale a 2p.Il "recinto" deve essere costruito nel seguente modo: sui lati opposti di
un rettangolo ed esternamente ad esso ci devono essere due triangoli isosceli aventi gli angoli alla base
di ampiezza α. Indica con AB e CD i lati opposti del rettangolo con APB e CDQ i due triangoli
isosceli.
1. Determina le lunghezze dei lati del rettangolo in modo tale che l'area racchiusa dall'esagono
APBCDQD risulti massima. Calcola l'area massima
2. Determina valore di α per il quale l'esagono trovato è iscrivibile in una circonferenza, giustificando
l'accettabilità della soluzione trovata.
3. Calcola il valore dell'area compresa tra la circonferenza e l'esagono trovato
4. Posto 2p= 20, studia e rappresenta la funzione area.
Problema 4
Lancio dall’aereo
Un tuo amico, pilota di piccoli aerei turistici, ti chiede delle informazioni sul tipo di moto che avrebbe
un oggetto se fosse lanciato da un’altezza di 2000 m. Tu a scuola hai studiato che un corpo in caduta
libera aumenterebbe la sua velocità di circa 10 m/ , però sai che questo sarebbe vero solo in assenza
dell’aria, che è un mezzo viscoso e che quindi tende a rallentare l’oggetto con una forza che è
proporzionale alla sua velocità.
Dopo aver fatto qualche calcolo, ottieni che lo spazio percorso dall’oggetto è descritto dall’equazione:
dove
m/s e τ = 12s.
Ti chiediamo allora:
1. Qual èl’equazione che descrive l’accelerazione a(t) in funzione del tempo? Tracciane il grafico.
2. Quanto vale s0? Qual è la funzione che descrive la velocità v(t) in funzione del tempo? Tracciane il
grafico. Qual è il significato di k nell’equazione inizialmente fornita?
3. Determina l’equazione della retta tangente al grafico della velocità nel punto di coordinate (0;0). Se
nell’equazione di questa retta poni v=k cosa ottieni? Qual è il significato cioè di τ .
4. Calcola l’accelerazione media nell’intervallo [0;30] s, quindi determina dopo quanto tempo
dall’inizio della caduta l’accelerazione del corpo è uguale a quella media calcolata. Rappresenta e
interpreta il risultato sia sul grafico della velocità che su quello dell’accelerazione.
Problema 5
La sfera e il cono del mago Merlino
Il mago Merlino vuole costruire un cono dorato (che ricorda il suo copricapo) che copra completamente
la sua sfera magica. Siccome il materiale del cono è abbastanza costoso cerca di costruire quello di
volume minimo e si accorge che il cono trovato è anche quello di superficie totale minima. Indicando
con r il raggio della sfera determina :
1. l'altezza e il raggio di base del cono di volume minimo e il valore del volume minimo
2. la superficie totale minima.
3. dimostra che il cono di volume minimo è di superficie totale minima.
4. quanto vale il volume non coperto dalla sfera all'interno del cono di superficie minima?