Sistemi di equazioni lineari, indipendenza lineare, determinanti e

ALGEBRA: SECONDO FOGLIO DI ESERCIZI
1. S ISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
(1) Dire se il sistema lineare
(
2x − y + 2t = 1
y − x + 2z = 0
sia risolubile. In caso affermativo, determinarne tutte le soluzioni.
(2) Risolvere il sistema omogeneo


z − 3x = 0
4x + y = 0


x+y+z =0
(3) Determinare tutte le soluzioni del sistema lineare

x − y + 2z = 3



3x − 2y + z = 4

4x − 7y + 5z = −9



3x − 7y + 8z = −7
(4) Dato il sistema lineare
(
x−y−1=0
x+y−z+1=0
si determinino i valori reali di t in modo che tutte le soluzioni del sistema soddisfino anche l’equazione
tx + y = 0.
(5) Verificare che il sistema


x + y + z = 1
2x + 4y − 3z = 9


3x + 5y − 2z = 11
sia compatibile, e determinarne tutte le soluzioni
(6) Verificare che il sistema

x + y + z = 5

2x − y + z = 7


3x + y − 5z = 13
sia compatibile, e determinarne tutte le soluzioni
(7) Dire se il sistema

x1 − 5x3 + 2x6 = 6





2x2 + x4 + 3x5 = 6
2x1 − 7x3 + 3x6 = 4



3x2 + 2x4 + 4x5 = 72x1 − x3 + x6 = −12




4x2 + 3x4 + x5 = 9
sia compatibile e in tal caso trovarne tutte le soluzioni.
(8) Dire se il sistema

x1 + 2x2 − 5x3 + 4x4 + x5 = 4





3x1 + 7x2 − x3 − 3x4 + 2x5 = 10
−x2 − 13x3 − 2x4 + x5 = −14



x3 − 16x4 + 2x5 = −11




2x4 + 5x5 = 12
sia compatibile e in tal caso trovarne tutte le soluzioni.
(9) Dire se il sistema


x1 + 2x2 + x3 = 1
−x1 + x2 + 2x3 = 0


3x1 − x2 + x3 = 2
sia compatibile e in tal caso trovarne tutte le soluzioni.
2
ALGEBRA
(10) Determinare una base per le soluzioni del sistema lineare omogeneo
(
x1 − x2 + 2x3 − x4 + x5 = 0
x2 + x3 − 3x4 = 02x1 − x2 + 5x3 − 5x4 + 2x5 = 0
e scriverne tutte le soluzioni.
(11) Determinare, al variare del parametro reale λ, la compatibilità del sistema lineare


x + y + λz = 1
x + λy + z = 1


λx + y + z = 1
(12) Determinare, al variare del parametro reale λ, la compatibilità del sistema lineare


x + y + λz = 2
x + λy + z = −1


λx + y + z = −1
(13) Determinare, al variare del parametro reale λ, la compatibilità del sistema lineare


λx + y + z = 0
5x + y − 2z = 3


−2x − 2y + z = −3
(14) Risolvere, al variare del paramentro k ∈ R, il sistema di equazioni lineari
(
(k + 2)x + ky + 2z = 4
kx + (k − 1)y + (3 − k)z = 4 − k
(15) Esprimere in termini dei numeri reali a, b, c, d la condizione affinché il sistema


x + y + z = 1
ax + by + cz = d

 3
a x + b3 y + c3 z = d3
sia compatibile, e in tal caso determinarne le soluzioni.
2. D IPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE
(1) Decidere se gli elementi (1, 2, 3, 4), (1, −1, 1, −1), (2, 3, 4, 5), (2, 3, 2, 3) siano o meno linearmente indipendenti in R4 .
(2) Determinare tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti della seguente famiglia di vettori di R3 :
(1, 1, 0), (1, −1, 2), (1, 0, 1), (1, 1, 1).
(3) Determinare la dimensione del sottospazio di R5 generato dagli elementi (3, 1, 2, 0, 1), (5, 2, 3, 1, 1), (1, −1, 2, −4, 3),
descrivendone una base.
(4) Trovare una base del sottospazio di R4 costituito dalle soluzioni del sistema
(
x1 + 2x2 − 3x3 − 4x4 = 0
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 0
(5) Sia T : R5 → R3 l’applicazione lineare di matrice

1
1
5
−1 1 −1
2
1
7
3
1
3

1
3 .
0
Calcolare una base sia di ker T che di Im T .
(6) Dire se i vettori (1, 2, 1, 3), (1, 1, 2, 3), (3, 2, 1, 1), (3, 1, 2, 1) di R4 siano linearmente indipendenti.
(7) Mostrare che (4, 2, 6, 10), (6, 3, 9, 12) sono linearmente dipendenti, e completarli ad una base di R4 .
(8) Trovare una base del sottospazio di R4 generato dai vettori (3, 1, 2, 4), (1, −2, −5, 7), (2, 3, 7, −3), (1, 5, 12, −10)
e completarla ad una base di R4 .
(9) I vettori a = (1, 2, 3, 5), b = (2, 5, 7, 12), c = (3, −1, 2, 1), d = (4, −7, −3, −10) generano un sottospazio
vettoriale U ⊂ R4 . Estrarre da {a, b, c, d} una base di U .
(10) Dopo aver verificato che u = (1, 1, 2, 1, 2) appartiene al sottospazio vettoriale U ⊂ R5 di equazioni cartesiane
(
x1 + x2 + x3 − 2x4 − x5 = 0
x1 − x2 − x3 − 2x4 + 2x5 = 0,
completare u ad una base di U . Che dimensione ha U ?
ALGEBRA
3
3. D ETERMINANTI
(1) Calcolare i seguenti determinanti:
1
1 1
1 1 1 1 −1
1
1 1 6 a
1 6
1 2 3 4
11 3
1 2 b2 c2 a
1 36 121
1 4 9 3
b
c 2
−1
0 1 2 3 1 1 1 1 0 0 5 1 0 0 5 1 1 0 1 2 1 2 1 2 0 0 6 2 0 0 6 2 2 1 0 1 1 1 3 1 5 6 7 3 0 0 7 3 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 1 4 1 2 3
1001 1002 1003 1004
−π
1
−1
1 1 1 1
1002 1003 1001 1002
−3
2
0
1/2
2 5 6
1001 1001 1001 999 2π − 1
0
2
0
0 1 2
1001 1000 998
2
999 −5
0
−15/8
(2) Calcolare i seguenti determinanti
y + z + 2x
(x + 1)(x + 2) x + 2 1
y
z
(x + 2)(x + 3) x + 3 1
x
z + x + 2y
z
(x + 3)(x + 4) x + 4 1
x
y
x + y + 2z (3) Risolvere le seguenti equazioni
a − x b − x
a − x b − x
c c a − x
a − x
b
c − x = 0
c
b − x = 0
a
a
b − x c − x
b − x c − x
(4) Dimostrare l’identità
x + t
a − x b − x
x
x c 2
y
a − x
y+t
y = t (x + y + z + t)
c
b − x = 0
z
a
z
z + t
b − x c − x
4
1
2
3
(5) Calcolare il determinante del prodotto delle due matrici A e B, verificando che det(AB) = det(A) det(B).




1 0 0
1 4 4
A = 1 2 0 ,
B = 0 2 1 
1 2 3
0 0 3
(6) Dimostrare l’uguaglianza
0
−c
b
l
e dedurre che
c
0
−a
m
0
−c
b
−x
−b
a
0
n
x
y = −(ax + by + cz)(al + bm + cn),
z 0
c
0
−a
−y
−b
a
0
−z
x
y = (ax + by + cz)2 .
z 0
(7) Dimostrare l’uguaglianza
2
1
a3 3 a a
a
1
a a2 = (1 − a4 )3 .
b a3 1
a c
d a3 1 (8) Se a, b, c sono diversi tra loro e non nulli, trovare le soluzioni dell’equazione
a
2 b2 c2 x2 a
b
c
x
3
3
3
3 = 0.
a
5 b5 c 5 x5 a
b
c
x 4
ALGEBRA
4. M ATRICI INVERTIBILI
(1) Verificare che la matrice

1
2
6
2
6
24

6
24 
120
è invertibile e trovarne l’inversa.
(2) Sia T : R2 → R2 l’applicazione lineare di matrice
1 2
.
2 1
Determinare tutti gli elementi di R2 che vengono mandati da T in un multiplo di se stessi.
(3) Dire per quale valore di d ∈ R la matrice
1 2
3 d
sia invertibile.
(4) Dire per quali valori di b, d ∈ R la matrice
1 b
3 d
sia invertibile.
(5) Dire per quali valori di a, b, c, d ∈ R la matrice
a
c
b
d
−1
2
−1
0
0
−1
2
−1
sia invertibile.
(6) Mostrare che la matrice

2
−1

0
0

0
0

−1
2
è invertibile e calcolarne l’inversa.
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA”
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