Testi e soluzioni

FISICA GENERALE T-A scritto del 14/1/2014
prof. Spighi (CdL ingegneria Energetica)
r
1) Dato il campo di forze F ( x, y, z ) = α ( y 2 − x 2 ) iˆ + 3 xyjˆ  determinare nel caso α = 1 , il lavoro fatto
per spostare un punto materiale dall’origine O(0,0) del sistema di riferimento XY, al punto A(2,2)
lungo un percorso che parte dall’origine, si sposta
a) lungo l’asse X fino al punto B(2,0) e poi parallelo all’asse Y fino al punto A(2,2);
b) lungo l’asse Y fino al punto B(0,2) e poi parallelo all’asse X fino al punto A(2,2);
c) giustificare il risultato ottenuto.
2) Un blocco di massa M =50 kg con sezione a forma di trapezio isoscele è appoggiato su una
superficie
orizzontale
liscia.
L’inclinazione
rispetto
all’orizzontale dei lati obliqui è 45°. A contatto del blocco si
trovano posizionati come in figura tre corpi di masse m1=1 kg,
m2=2 kg e m3 collegati tra loro da due fili inestensibili di massa
trascurabile e da due carrucole ideali. Supponendo che non vi sia
attrito tra i tre corpi ed il blocco, si calcoli il valore di m3
affinché i tre corpi siano in equilibrio:
a) nel caso il blocco M sia saldato alla superficie orizzontale di appoggio;
b) nel caso in cui il blocco M si muova verso destra a velocità costante v sulla superficie di appoggio.
Se il blocco M inizia a muoversi verso destra con accelerazione A=g/2, si determini
c) l’accelerazione delle tre masse, supponendo m3= 1kg.
3) Un disco omogeneo di massa M=2kg e raggio R=0.2m é inchiodato nel suo centro C ad una parete
verticale; ad una sua estremità é fissato al soffitto con una corda T (inestensibile e di massa
trascurabile) e ad una distanza di R/2 dal centro é incollato un oggetto puntiforme di massa m=M/2
(vedi figura). Nell’ipotesi che il sistema sia in equilibrio, determinare:
a) il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un asse perpendicolare al disco e
T
passante per C;
C R
b) la reazione vincolare V esercitata dal chiodo;
c) la tensione della corda T.
m
Ad un certo istante la corda si rompe, determinare
d) l’accelerazione angolare del sistema
Il momento d’inerzia di un disco di massa M e raggio R rispetto a un asse perpendicolare a esso e passante per il suo centro
di massa é I cm =
1
MR 2
2
4) Un disco inizialmente fermo viene fatto ruotare con accelerazione angolare costante α1=1 rad/s2. Dopo 10
s l'accelerazione angolare cessa e il disco ruota con velocità angolare costante per altri 10 s. Infine il disco
decelera costantemente per altri 10 s fino a fermarsi. Si determini:
a) la decelerazione angolare durante la fase di frenata;
b) quanti giri completi compie il disco complessivamente;
c) la velocità angolare media.
5) Enunciare, spiegare e eventualmente dimostrare il teorema delle forze vive.
SOLUZIONI
EX 1
Innanzitutto vediamo se il campo é conservativo e per verificarlo calcolo il rotore della forza.
Imponendo che il rotore sia nullo ottengo la condizione sulle costanti che rendono il campo di forze
conservativo.
ˆj
ˆj
 iˆ
kˆ  
iˆ
kˆ 
r 
δ δy δ δz  =
∇ × F =  δ δx δ δy δ δz  =  δ δx

 

2
2
0 
F
Fy
Fz
α ( y − x ) 3αxy
 x
 

2
2
 ∂ (0) ∂ (3αxy )  ˆ ∂ (0) ∂ (α ( y − x ))  ˆ ∂ (3αxy ) ∂ (α ( y 2 − x 2 )) 
ˆ
 + k 
 =
 − j
= i 
−
−
−
∂z   ∂x
∂z
∂y
 ∂y
  ∂x

r r
= iˆ(0 − 0 ) − ˆj (0 − 0 ) + kˆ (3αy − 2αy ) = kˆ(αy ) ⇒ ∇ × F = 0 ⇐⇒ α = 0
Dunque il campo di forze non é conservativo e mi aspetto che il lavoro lungo due percorsi diversi dia
un differente risultato.
a)
x, y
L AB =
2,2
2, 0
2,2
r r 2, 0
2
2
F
d
s
=
F
dx
+
F
dy
=
y
−
x
dx
+
α
∫
∫ x ∫ y ∫
∫ 3αxy dy =
(
0,0
0,0
2, 0
2,0
)
0,0
2, 2
2, 0
2,0
2, 2
 



x 3 
y2 
x3 
y2 
8
28
= α  y 2 x −  + 3αx  = − α  + 3αx  = −α + 12α = α
3  0 , 0 
2  2,0 
3  0,0 
2  2, 0
3
3
 
b)
x, y
L AB =
2,2
0,2
2, 2
r r 0, 2
2
2
F
d
s
=
F
dy
+
F
dx
=
3
xy
dy
+
α
∫
∫ y ∫ x ∫
∫ α y − x dx =
(
0, 0
0,0
0,2
0, 2
0, 0
2, 2
)
0,2
2, 2
 
 

y2 
x 3 
x 3 
8  16

= 3αx  + α  y 2 x −  = α  y 2 x −  = α  8 −  = α
2  0,0  
3   0, 2  
3   0, 2
3 3


c) il lavoro lungo i due percorsi é diverso, nonostante gli estremi siano gli stessi, poiché il campo non é
conservativo.
EX 2
a) Il sistema é fermo dunque si tratta di
r
r
scrivere la F = ma per i tre corpi e imporre
che l’accelerazione sia nulla. Prendiamo l’asse
x lungo la direzione dei lati del trapezio con
verso come in figura e scriviamo le forze che
agiscono su ogni corpo. Per rispondere alle
r
r
domande é sufficiente scrivere la F = ma
y
x
R2
x
y
R1
T1
T1
m2
y
T2
T2
m1
m3
m 2g
α
lungo la direzione x
R1
x
α
m 3g
m 1g
m1 → − m1 g sin α + T1 = 0
m 2 → − T1 + T2 = 0
m3 → m3 g sin α − T2 = 0
Questo é un sistema in tre equazioni e tre incognite (T1, T2 e m3) e risolvendo si trova
m3 = m1 = 1 kg
b)
La soluzione é esattamente come nel caso a) poiché in un moto rettilineo uniforme non si genera
alcuna forza apparente (o fittizia che dir si voglia).
c)
ll blocco viaggia verso destra con un’accelerazione pari a g/2 dunque il sistema non é più inerziale e su
ogni corpo si esercita una forza Fi (con i =
1,2,3 relativo alle masse m1,m2,m3) pari
y
alla massa del corpo per l’accelerazione
x
del blocco (con segno opposto) verso
R2
sinistra (vedi figura).
Il sistema non é più in equilibrio dunque
scriveremo la seconda legge della
dinamica per tutti i corpi (anche in questo
caso é sufficiente lungo la direzione x).
x
y
R1
T1
T1
m1
m 1g
dove
F1 = m1
g
g
F2 = m 2
,
2
2
Dunque sostituendo
e
F3 = m3
g
2
y
T2
m3
m 2g
α
m1 → − m1 g sin α + T1 − F1 cos α = − m1 a
m 2 → − T1 + T2 − F2 = − m2 a
m3 → m3 g sin α − T2 − F3 cos α = −m3 a
m2
T2
α
m 3g
R1
x
Mg/2
− m1 g sin α + T1 − m1
g
cos α = − m1 a
2
g
= −m2 a
2
g
m3 g sin α − T2 − m3 cos α = −m3 a
2
− T1 + T2 − m 2
Anche questo é un sistema in tre equazioni in tre incognite (T1, T2 e a), che risolto
rispetto all’accelerazione del sistema dà:
m cos α 
m
 m cos α
g 1
+ m1 sin α + 2 − m3 sin α + 3

r
2
2
2


| a |=
m1 + m2 + m3
(la direzione ed il verso dell’accelerazione é ovviamente quella del moto).
Sostituendo si ottiene:
m
g 2

 3m1 + 2 m 2 + 2 − m3  g 2 1 + 2
r
4 
2
= 2
| a |=
= 0.43 g
m1 + m 2 + m3
4
(
)
Osservazione 1: nel caso l’accelerazione a ' del blocco fosse stata maggiore, il corpo m1 si sarebbe
potuto staccare dalla superficie del trapezio e la soluzione proposta non sarebbe più corretta.
L’accelerazione massima possibile del blocco affinché m1 non si stacchi si può ricavare dalla
Fy = m1 a y lungo la direzione y
m1 ( y ) → − m1 g cos α + m1 a ' sin α + R1 = m1 a y
Imponendo sia ay=0 che R1 =0 (al limite il corpo non tocca il trapezio) si ottiene
cos α
a' ≤ g
≤g
sin α
come era nel testo.
Osservazione 2 : si poteva pensare (erroneamente) che per il terzo principio della dinamica, su ogni
Mg
massa m1,m2 e m3 agisse una forza uguale per tutti e tre i corpi data da F = −
2
Questo non é vero poiché il terzo principio si riferisce a forze reali tra corpi, mentre qui siamo in
presenza di forze apparenti.
EX 3
a)
Il sistema é composto dal disco e dalla massa puntiforme, dunque il momento d’inerzia del sistema é
dato da:
2
1
1
R2 1
M R2 5
R
2
2
2
I S = I D + I m = MR + m  = MR + m
= MR +
= MR 2 = 0.05 kg m 2
2
2
4
2
2 4 8
2
b,c)
Imponiamo le condizioni di equilibrio sul sistema cioé la sommatoria delle
forze e dei momenti delle forze deve essere nulla. Prendiamo un sistema di
riferimento come in figura con l’asse z uscente dal foglio e partente dal
centro del disco: tutte le forze hanno direzione verticale, mentre i momenti
delle forze (a cui contribuiscono solo T e mg) sono lungo z.
y
T
V
x
T − Mg − mg + V = 0


R
− RT + mg 2 = 0
mg
Mg
Questo é un sistema in due incognite (T,V) e due equazioni che risolto dà:

m  5 gM

V = g  M + 2  = 4 = 24.5 N



T = mg = g = 4.9 N

2
2
d)
Utilizziamo la seconda equazione cardinale della meccanica
r
r
M = Iα
r
nel momento in cui la corda si spezza il momento della forza M é dato dall’unica forza dovuta al peso
della massa m.
r r
r r M r RMg ˆ
M = r × mg = r ×
g=
k
2
4
mentre il momento di inerzia é già stato calcolato nel punto a)
2
1
5
R
I S = I D + I m = MR 2 + m  = MR 2
2
8
2
r
r
dunque sostituendo in M = I α
RMg ˆ  5
r
k =  MR 2 α
4
8

da cui si ottiene
r 2g ˆ
α=
k = 19.6 rad / s 2
5R
EX 4
a,b)
Siamo in presenza di un moto circolare, in particolare:
• prima fase moto circolare uniformemente accelerato con accelerazione costante α1=1
rad/s2 della durata di 10 s;
• seconda fase moto circolare uniforme della durata di 10 s;
• terza fase moto circolare uniformemente decelerato della durata di 10 s.
Scriviamo le equazioni che legano l’angolo percorso, la velocità angolare e l’accelerazione angolare
per le varie fasi:
1
Prima fase ϑ1 = α1t12 = 50 rad
2
dove θ1 é l’angolo coperto in questa prima fase.
La velocità angolare alla fine della durata di questa fase é
ω1 = α1t1 = 10 rad / s
Seconda fase ϑ2 = ω1t1 = 100 rad
ω 2 = ω1 = 10 rad / s
Terza fase 1
ϑ3 = ω 2t3 − α 3t32
2
Per calcolare θ3 bisogna prima determinare α3 e per questo scriviamo la relazione tra la velocità
angolare e l’accelerazione angolare
ω fin = ωin − α 3t3 = ω 2 − α 3t3
imponendo che la ωfin sia nulla , si ricava:
ω
ω2 − α 3t3 = 0 → α 3 = 2 = 1 rad / s 2
t3
Questo risultato era comprensibile anche senza fare calcoli poiché si tratta di un moto totalmente
simmetrico dunque la decelerazione della fase 3 deve essere uguale (in modulo) all’accelerazione della
fase 1.
A questo punto
1
ϑ3 = ω 2 t3 − α 3t32 = 50 rad
2
Pertanto il numero di giri percorso é dato da:
ϑ + ϑ2 + ϑ3
n= 1
= 31.8
2π
c) La velocità angolare media é data da:
ϑ + ϑ + ϑ3
< ω >= 1 2
= 6.67 rad / s
t1 + t2 + t3