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Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi –
Esercizio 1 Data la variabile casuale X con funzione di densità f(x) = 2x, per 0≤ x ≤ 1; f(x) = 0 per
x∉∈ [0, 1], determinare:
a) P( - 0,5 < X< 0,7)
b) P( 0,3 < X< 0,5)
c) E(X); var(X).
Esercizio 2 Per un campione casuale di 14 ragazzi, sono stati osservati i seguenti pesi (in Kg) :
48,
47,
49,
53,
52,
51,
54,
40,
46,
57,
61,
63,
50
41
Nell'ipotesi che tale campione provenga da una Normale con media e varianza incognita, trovare
l'intervallo di confidenza per la media µ dell'intera popolazione, con α = 0,05 e con α = 0,02 .
Esercizio 3 Si vuole sottoporre a verifica l'ipotesi che una moneta sia ben bilanciata (ovvero che
sia P(T) = 0,5), contro l'alternativa che sia P(T) = 2/3. Si decide di procedere nel seguente modo: si
lancia la moneta 10 volte. Se esce testa almeno 8 volte si rifiuta l'ipotesi nulla H0 che sia P(T) = 0,5;
a) Calcolare la probabilità dell'errore di prima specie, α.
b) Calcolare la potenza del test.
Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi - 18-12- 2003
Esercizio 1 Data la seguente tabella a doppia entrata:
Y\ 5
1 10
7 5
15
10
0
10
10
15
5
15
20
tot
15
30
45
a) Determinare i parametri della retta di regressione Y = a + bX
b) Calcolare l'indice R2.
Esercizio 2 Si lanciano due dadi, uno bianco ed uno rosso, siano X ed Y il numero di
punti, rispettivamente, sul dado bianco e sul dado rosso. Sia Z= X+Y (ovvero Z e' la
somma dei punti presentatisi). Calcolare:
a) Pr(X=3,Z=6)
b) Pr(Z=6)
c) La probabilita' condizionata Pr(X=3/ Z=6)
d) La distribuzione condizionata della v.c. X/Z=6, e calcolarne valore atteso e
varianza.
e) X e Z sono indipendenti? X e Y sono indipendenti?
Esercizio 3 Secondo un produttore di spine elettriche, il 4% dei pezzi costruiti
risulta difettoso. Sottoporre a verifica l’ipotesi che l’affermazione sia esatta (contro
l’alternativa che sia p>0,04) per un campione di 18 pezzi con α=0,05. Supponendo di
aver osservato 3 pezzi difettosi, a favore di quale ipotesi si conclude?
Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi 2-7- 2001
Esercizio 1 Su 500 visitatori di un museo 300 sono uomini e 200 sono donne.
Delle donne 125 sono laureate , 25 sono diplomate, le restanti hanno "altro" titolo di studio..
Tra i 500 visitatori il numero complessivo di laureati e' pari a 275. Mentre quelli con "altro titolo di
studio" sono 90.
Sulla base di queste informazioni riempire la seguente tabella di frequenze:
M
F
Dipl.
Laurea
Altro
200 500
Valutare, mediante un indice opportuno, se vi sia dipendenza tra il sesso ed il titolo di studio.
Esercizio 2 Una variabile casuale discreta X ha la seguente funzione di ripartizione:
F(0) = 0; F(1) = 0,1; F(2)= 0,25 F(3) = 0,6; F(4) = 0,9; F(5) =1.
Calcolarne il valore atteso e la varianza.
:
Esercizio 3. Per stabilire se in una moneta e' Pr(T) = 1/2 oppure Pr(T) = 1/4 si adotta la seguente
regola di decisione. Si lancia la moneta 4 volte. Se Testa esce non piu' di 1 volta si rifiuta l'ipotesi
nulla p= 0,5.
a) Calcolare la probabilità dell'errore di prima specie (α).
b) Calcolare la potenza
Prova d'esame di Statistica I
Esercizio 1 Supponendo di voler verificare al livello α= 0,10 l'ipotesi nulla che il
voto medio all’esame di Statistica I sia pari a 27,2 contro l'ipotesi alternativa che sia
pari a 25, quale dovrà essere la numerosità campionaria affinché la potenza del test
risulti almeno pari a 0,95?
Ai fini della soluzione si assume che la distribuzione dei voti d’esame sia Normale
con varianza pari a 9.
Esercizio 2 Data la seguente tabella a doppia entrata:
Y\X
10
15
Tot.
5
10
5
15
10
0
10
10
15
5
15
20
tot
15
30
45
Calcolare rx,y.
Esercizio 3 Una variabile casuale discreta (X) ha la seguente funzione di ripartizione:
F(0) = 0; F(1) = 0,2; F(2) = 0,4; F(3) = 0,4; F(4) = 0,8; F(5) = 1.
Calcolarne il valore atteso e la varianza.
Esercizio 4 Viene fatto il seguente gioco. Si lancia un dado a facce equiprobabili. Se
esce un numero non superiore a 2 si lancia, una sola volta, una moneta. Viceversa, se
lanciando il dado esce un numero maggiore di 2 si lanciano 2 monete. Qual'e' la
probabilità di ottenere almeno una volta l'evento "Testa" ?
Prova d'esame di Statistica I –Corso Prof.ssa S. Terzi 8-7- 2003
Esercizio 1. La seguente tabella riporta i voti (per classi) (Y) conseguiti all’esame di
statistica da un gruppo di studenti distinti per livello di conoscenza della matematica
(X).
Classi di voto
X
Y
18-22
23-27
28-30
tot.
Ins.
16
18
6
40
Suff.
15
14
9
38
Buono
2
9
15
26
Ottimo
3
6
18
27
Tot.
36
47
48
131
a) Calcolare la varianza di Y (voto di statistica);
b) Calcolare la varianza del voto di statistica per il gruppo di studenti che hanno
una conoscenza della matematica Buona.
c) Calcolare il chi quadrato relativo.
Esercizio 2 Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 palline nere. Dall’urna vengono
estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la variabile casuale “numero di palline
bianche su due estratte”. Ricavare la funzione di probabilità di X, e calcolarne il valore
atteso e la varianza.
Esercizio 3 Per una popolazione Normale di varianza σ2 = 9 si vuole fare un test
d’ipotesi per verificare: H0 : µ = 18 contro l’ipotesi alternativa H1 : µ = 15.
Dato un campione di numerosità n= 16 si decide di applicare la seguente regola di
decisione: se X < 16 si rifiuta H0. (Dove X indica la media campionaria).
a) Calcolare α ;
b) Calcolare β;
c) Volendo 1-β≥0,95, quale dovrà essere la numerosità campionaria?
Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi 11-9- 2000
Esercizio 1 Un test a risposta multipla e' costituito da 3 domande, ciascuna con 3
possibili risposte. Delle tre risposte una e' giusta, una e' imprecisa, un'altra e'
decisamente sbagliata. Nella correzione del test i punteggi vengono assegnati nel
seguente modo:
2 punti per ogni risposta esatta
0 punti per ogni risposta imprecisa
-1 punto per ogni risposta sbagliata
Immaginando che uno studente risponda a caso alle diverse domande, qual e' la
probabilità che riporti un punteggio positivo?
Esercizio 2 Per due variabili statistiche X e Y si hanno le seguenti coppie di
osservazioni:
X
1
3
4
7
8
10
Y
5
4.9 4.5 3
2.2 2
Stimare i parametri della retta di regressione: Y = a+bX e valutarne la bontà di
adattamento tramite l'indice R2. Posto poi che si osservi X=12, sulla base della retta
stimata, qual'e' il presumibile valore della Y?
Esercizio 3 Per una popolazione Normale(µ; 1), si vuole sottoporre a test l'ipotesi
Ho:µ=0, contro l'ipotesi alternativa H1:µ<0 attraverso un campione casuale di 50
osservazioni.
Individuare la regione critica del test per α= 0,025 .
Calcolare la potenza del test per µ= -0,5
Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi - 16 luglio 2001
Esercizio 1 Si sospetta che una moneta possa essere sbilanciata in maniera tale che l'uscita di testa
risulti più probabile dell'uscita di Croce. In particolare si pensa che la probabilità che esca "Testa"
possa essere = 0,8. Si decide quindi di sottoporre a verifica l'ipotesi nulla che la moneta abbia due
facce equi- probabili contro l'alternativa che la probabilità che esca Testa sia 0,8. Si decide di
procedere nel seguente modo: si lancia la moneta 5 volte, se si ottiene Testa almeno 4 volte si rifiuta
l'ipotesi nulla. Calcolare la probabilità dell'errore di prima specie. Calcolare la potenza di questo
test.
Esercizio 2 Un'urna contiene 5 palline bianche e 5 palline nere. Dall'urna vengono estratte (senza
ripetizione) 2 palline. Sia X la variabile casuale "numero di palline bianche su due estratte". Calcolare
E(X) e var(X).
Esercizio 3 I pesi degli alunni di una scuola si distribuiscono normalmente con varianza pari a 36
(kg.2 ).
a) Per α= 0,07 , n=14 determinare la regione critica del test : H0 : µ = 50; H1 µ≠50.
b) Sia X= 46. A favore di quale ipotesi si conclude?
c) Calcolare la potenza del test per µ = 45.
Prova d'esame di Statistica I –17-6- 2003
Esercizio 1. Data la seguente tabella a doppia entrata:
X Y
2
1
3
5
0
10
2
Tot.
5
2
Calcolare χ relativo.
4
3
4
0
7
6
0
4
2
6
tot.
6
8
4
18
Esercizio 2 Un’urna contiene 4 palline bianche e 4 palline nere. Dall’urna vengono
estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la variabile casuale “numero di palline
bianche su due estratte”. Ricavare la funzione di probabilità di X, e calcolarne il valore
atteso e la varianza.
Esercizio 3 Per una popolazione Normale di varianza σ2 = 9 si vuole fare un test
d’ipotesi per verificare: H0 : µ = 15 contro l’ipotesi alternativa H1 : µ = 18.
Dato un campione di numerosità n= 16 si decide di applicare la seguente regola di
decisione: se X > 17 si rifiuta H0. (Dove X indica la media campionaria).
d) Calcolare α ;
e) Calcolare β;
f) Volendo 1-β≥0,95, quale dovrà essere la numerosità campionaria?
Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi - 20-giugno- 2000
Esercizio 1 Si consideri il valore dei depositi in miliardi nelle aziende di credito e presso le
amministrazioni postali in Italia nel 1987:
Aziende di credito
Amministrazione postale
Totale
460.000
78.000
I due tipi di deposito sono cosi' distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del Centro-Nord
e Mezzogiorno:
Aziende di credito
Amministrazione postale
Centro Nord
79.9%
65.9%
Mezzogiorno
20.1%
34.1%
Totale
100%
100%
a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente i valori
dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito.
b) Quale tipo di indipendenza si può valutare su una tabella come quella del punto a)?
c) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri.
Esercizio 2 Per tre persone, A, B, C, la probabilità di guardare la televisione la sera è
rispettivamente pari a: 0.1 , 0.6, 0.4. Si constata che una persona sta guardando la televisione.
Qual'é la probabilità che si tratti di C?
Chi e' più probabile che sia, A, B o C?
Esercizio 3 Supponendo di voler verificare al livello α= 0,05 l'ipotesi nulla che il voto medio
riportato dagli studenti di Economia nell'esame di Statistica I sia pari a 26 contro l'ipotesi alternativa
che sia pari a 24,5, individuare la regione critica, nell'ipotesi che si abbia un campione casuale di
numerosità n= 30. (Ai fini della soluzione si assume che la popolazione studentesca abbia una
distribuzione Normale con varianza pari a 9). Supponendo di aver osservato un voto medio pari a
25, cosa si conclude?
Prova d'esame di Statistica I – 22-7- 2002
Esercizio 1. Data la seguente tabella a doppia entrata:
X Y
2
1
2
5
0
10
1
Tot.
3
2
a) Calcolare χ
4
2
3
0
5
6
0
5
2
7
tot.
4
8
3
15
Esercizio 2 Una variabile casuale X che assume valori : X = 0 1
seguente funzione di ripartizione:
F(0) = 0,1; F(1) = 0,3; F(2) = 0,6; F(3) = 1.
Ricavare la funzione di probabilità e calcolare E(X) e var(X).
2
3, ha la
Esercizio 3 Per una popolazione Normale di varianza σ2 = 9 si vuole fare un test
d’ipotesi per verificare: H0 : µ = 15 contro l’ipotesi alternativa H1 : µ = 18.
Dato un campione di numerosità n= 36 si decide di applicare la seguente regola di
decisione: se X > 17 si rifiuta H0. (Dove X indica la media campionaria).
g) Calcolare α ;
h) Calcolare 1 - β