Esercitazione 8 - Servizio di Hosting di Roma Tre

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi)
CALCOLO DELLE PROBABILTà
Esercitazione n° 8
8.1 La probabilità che durante la produzione giornaliera di una piccola azienda di componenti elettronici, si
verifichino X pezzi difettosi è data da:
P(X=0)=K, P(X=1)=3K, P(X=2)=K, P(X=3)=P(X=4)=2K, P(X 5)=0.
a) Determinare il valore della costante K.
b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale X.
c) Calcolare la probabilità che il numero di pezzi difettosi in un giorno sia tra 1 e 3.
[R: K=1/9; E(X)=2.11; var(X)=1.88; P(1 ≤X ≤3) = 0.67]
8.2 Una variabile casuale discreta X ha la seguente funzione di ripartizione:
F(0)=0, F(1)=0.2, F(2)=0.4, F(3)=0.4, F(4)=0.8, F(5)=1.
a) Calcolarne il valore atteso e la varianza.
b) Calcolare la probabilità che X assuma un valore maggiore di 3.
[R: E(X)=3.2; var(X)=2.16; P(X>3)=0.6]
8.3 Un’urna contiene 5 palline bianche e 5 palline nere. Dall’urna vengono estratte (senza ripetizione) 2
palline. Sia X la variabile casuale “numero di palline bianche su due estratte”.
a) Calcolare E(X) e var(X).
b) Calcolare la probabilità che X assuma un valore maggiore o uguale a 1.
[R: E(X)=1; var(X)=0.44; P(X1)=0.78]
8.4 Sia X il tempo in minuti che occorre al sig. Rossi per arrivare in ufficio la mattina con la sua macchina.
Supponendo che X abbia distribuzione uniforme nell’intervallo (25,40), e che il sig. Rossi esce di casa ogni
giorno alle 7.25, quale e’ la probabilita’ che arrivi in ritardo se deve timbrare il cartellino entro le 8.00? [R:
1/3]
8.5 L’altezza di 450 studenti immatricolati all’Università di Roma Tre nel 1998 è risultata in media di 170
cm., con uno s.q.m. di 7.5 cm. Nell’ipotesi che la statura si distribuisca come una Normale, quale è il numero
atteso di studenti con altezza
a) maggiore di 180 cm.;
b) minore o uguale a 160 cm.;
c) tra 162.5 e 172.5.
[R: n(X>180)=41; n(X≤160)=41; n(162.5<X<172.5)=212]
8.6 Sia X una v.c. N (5, 9). Trovare, facendo uso delle tavole:
a) P (6.41 <X< 7.82);
b) la probabilità che la v.c. X assuma un valore compreso fra -1 e 11;
o
c) il valore di X corrispondente al 30 percentile.
[R: P (6.41 <X< 7.82) = 0.1456; P (-1 <X< 11) = 0.9544; X30 =3.41]
8.7 Un’urna contiene una pallina nera e nove bianche; vengono estratte 10 palline con ripetizione. Si calcoli
la probabilità di estrarre due palline nere facendo uso: a) della v.c. binomiale; [R: P(N=2)=0.194]
8.8 E’ noto che il 35% dei dipendenti di una multinazionale è single. Considerando un campione casuale di
10 dipendenti:
a) determinare la probabilità che almeno due dipendenti siano single;
b) determinare la probabilità che il numero di single sia compreso tra 2 e 4;
[R: P(X2)=0.915; P(2≤X≤4)=0.666]
8.9 Una ditta produttrice di fotocopiatrici sa che la durata di una macchina (in migliaia di copie) si
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distribuisce come una normale con µ = 1600 e σ = 3600. Essa risarcisce un milione di lire all’acquirente se
la durata della macchina acquistata è inferiore a 1450. Calcolare la probabilità che:
a) su 5 macchine la ditta debba risarcire al massimo un milione di lire;
b) su 100 macchine la ditta debba risarcire pi`u di un milione.
[R: P(N≤1)=0.9996; P(N>1)=0.1219]
8.10 Il diametro interno delle guarnizioni prodotte dalla ditta Fido è di 0.502 cm e la deviazione standard è di
0.005 cm. Gli scopi per i quali queste guarnizioni sono prodotte permettono una tolleranza massima del
diametro fra 0.496 e 0.508 cm, mentre nel caso contrario le guarnizioni sono considerate difettose.
Assumendo la distribuzione dei diametri Normale:
a) determinare la percentuale delle guarnizioni difettose prodotte dalla macchina;
b) determinare quale è la probabilità di trovarne almeno 2 difettose in un campione casuale di 10 guarnizioni;
c) determinare il 10 percentile e il 3 quartile della distribuzione delle guarnizioni
[R: P(D)=0.23; P(N2)=0.71; X10=0.4375; X75=0.554]
8.11 Le cinque unità che compongono una popolazione presentano per la X i seguenti valori: 3,4,6,12,17. Si
considerino tutti i possibili campioni di ampiezza due che possono essere estratti con ripetizione da questa
popolazione. Calcolare:
a) la media della popolazione;
b) lo scarto quadratico medio della popolazione;
c) la distribuzione della media campionaria;
d) verificare che la media campionaria è una stima non distorta della media della popolazione;
e) controllare che la varianza della distribuzione campionaria delle medie è in accordo con il risultato teorico.
[R: µ =8.4; σ =5.31]
8.12 Una fabbrica produce batterie per telefoni cellulari si suppone che in condizioni normali la durata di vita
di una batteroia sia distribuita come una variabile casuale normale con media 12000 e deviazione standard
1200. Calcolare la probabilità che estraendo a caso da una batteria abbia:
a) una durata media di vita inferiore a 10000 ore
b) una vita compresa tra 11000 e 13000 ore
[R:P(X<10000)=0.04746; P(11000≤X≤13000)=0.59346]
8.13 L’esame di macroeconomia è composto da 6 domande a risposta chiusa in corrispondenza di ogni
domanda ci sono tre possibili risposte di cui 1 giusta e due sbagliate. Se uno studente risponde a caso qual è
la probabilità che risponde correttamente ad almeno 3 domande?
[R:P(X3)=0.32]