Stralcio volume

Insiemi
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Capitolo Primo
Insiemi
1.1. Quantificatori e simboli logici
Nel seguito spesso si usano alcuni simboli della logica formale che indicano
in modo abbreviato delle frasi ricorrenti.
I QUANTIFICATORI LOGICI sono i tre simboli seguenti:
1. quantificare esistenziale, che si legge «esiste almeno un»; un caso particolare è !, che si legge «esiste uno ed uno solo»;
2. , quantificare universale, che si legge «per ogni, qualunque sia»;
 , che è la negazione del quantificatore esistenziale e si legge «non esiste».
3. 
I simboli d’IMPLICAZIONE logica sono i seguenti:
1.  che si legge «implica»;
2.  che si legge «equivalente a, implica e viceversa»;
 che si legge «non implica»;
3. 
 che si legge «non equivalente a».
4. 
Si osservi che, considerate due proposizioni A e B, A  B significa che A è
condizione sufficiente per B e B è condizione necessaria per A. Così, ad esempio, nella implicazione x > 5  x > 2, si osserva immediatamente che la proposizione x > 5 è condizione sufficiente (ma non necessaria) perché sia x > 2; viceversa, x > 2 è condizione necessaria (ma non sufficiente) perché sia x > 5.
A  B, invece, indica che A è condizione necessaria e sufficiente per B e viceversa. Ad esempio, x  0  x2 > 0 indica che la proposizione x  0 è condizione necessaria e sufficiente perché x2 > 0 e viceversa.
Si usa anche il simbolo | o : che si legge «tale che».
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Capitolo Primo
1.2. Insiemi, sottoinsiemi ed operazioni
Con le parole INSIEME, COLLEZIONE, CLASSE, FAMIGLIA, ecc., si indicano degli enti primitivi (1). Un insieme è formato (ossia contiene, è composto) da oggetti che si chiamano ELEMENTI.
Nel seguito gli insiemi si indicano con lettere latine maiuscole e gli elementi
con lettere latine minuscole; per dire che a è un elemento dell’insieme A si scrive a  A, che si legge «a appartiene ad A», mentre per dire che a non è un
elemento di A si scrive a  A, che si legge «a non appartiene ad A». Pertanto,
deve potersi affermare in maniera inequivocabile se a  A oppure a  A, non
essendo possibile alcuna altra affermazione.
Si dice che due insiemi A e B sono uguali quando ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa. Si chiama insieme vuoto e si indica col simbolo
 un insieme che non contiene alcun elemento. Se un insieme A contiene gli
elementi a, b, c, ... si scrive:
A = {a, b, c, ...}.
Si dice che un insieme A è finito quando contiene un numero finito di elementi e tale numero prende il nome di CARDINALE di A e si indica col simbolo
|A| oppure card(A) (2), nel caso contrario si dice che A è infinito. Una definizione
più rigorosa di insieme finito sarà data in 1.3.
Per individuare un insieme finito si può usare la rappresentazione tabulare, indicando entro parentesi graffe tutti gli elementi che lo compongono; per esempio,
{a, b, d}, {10} (insieme, detto singoletto (singleton in inglese), che contiene un
solo elemento), {1, 3, 5, 7}. Per individuare un insieme infinito possono indicarsi alcuni suoi elementi che consentono di definire la legge di formazione dell’insieme considerato. Per esempio, {0, 1, 2, ..., n, ...}, {0,  2,  4,  6, ...,  2n, ...},
{1, 2, 4, 16, ..., 2n, ...}.
Esempio
1. A = {1, 7, 3, 4}; B = {gli studenti iscritti al primo anno di un corso di laurea
di questo Ateneo}; C = {studenti presenti in un’aula e i banchi della stessa aula};
D = {punti di una retta}.
Gli insiemi A, B, C sono finiti e in particolare card(A) = 4, mentre l’insieme D è infinito.
Una rappresentazione frequentemente usata è anche quella mediante un diagramma di Eulero-Venn: gli elementi appartenenti all’insieme considerato ven(1)
Si chiamano enti primitivi quegli enti che non si definiscono (ossia di conoscenza comune)
in quanto introdotti come nozioni non derivabili da concetti più elementari.
(2)
Si pone card () = 0.
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Insiemi
gono indicati con dei punti all’interno di una regione piana delimitata da una
linea chiusa (Figura 1).
Spesso un insieme A può essere individuato in base ad una proprietà caratteristica, goduta da un suo elemento qualsiasi, fissata la quale è possibile stabilire inequivocabilmente se un elemento appartiene o no all’insieme A. Per esempio {x | x = 2n, con n numero naturale}, {x  R | x ≥ 3}, dove R indica l’insieme dei numeri reali, {x | x studente iscritto ad un corso di laurea di questo Dipartimento}. La proprietà “studente diligente iscritto ad un corso di laurea di
questo Dipartimento” non consente di individuare un insieme, perché la qualità
“diligente” non è oggettiva e non consente di stabilire in maniera inequivocabile
se un elemento appartiene o meno a tale “insieme”. Esistono altri tipi di insiemi,
ad esempio insiemi fuzzy, insiemi rough, ... molto interessanti per le loro applicazioni, ma la cui trattazione esula da questo manuale.
Figura 1.
A = {a, b, c, d, e}
f, g  A
A
c
a
b
 f
e
d

g
Dati due insiemi A e B si dice che B è un SOTTOINSIEME di A oppure B è contenuto in A oppure A include B e si scrive B  A se ogni elemento di B è anche
elemento di A; in altri termini l’appartenenza di x ad A comporta che x appartiene anche a B, ossia x  B  x  A.
In relazione all’inclusione si possono presentare tre casi:
1. A = B «A coincide con B»  (A  B e B  A).
2. B  A «B incluso strettamente in A»  A   ed  x  A | x  B.
3. B = .
Nei casi 1 e 3 B dicesi sottoinsieme IMPROPRIO di A, mentre nel caso 2. B dicesi sottoinsieme PROPRIO di A; ad esempio, l’insieme dei numeri pari P è un
sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N, perché esiste almeno
un elemento (nell’esempio proposto, tutti i numeri dispari) che appartiene ad N
ma non a P.
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Capitolo Primo
Esempio
2. A = {poligoni}; B = {triangoli}; C = {triangoli con tre angoli retti}. Si osservi
che B è un sottoinsieme proprio di A e C, insieme vuoto, è un sottoinsieme improprio
sia di A che di B.
Dati due insiemi A e B, dicesi DIFFERENZA tra A e B, e si scrive A\B oppure A – B,
l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B (Figura 2), cioè si ha:
A – B = {x | x  A e x  B}.
Nel caso in cui B  A, A – B si chiama il COMPLEMENTO di B in A e si scrive
CA(B) oppure B .
Dati due insiemi A e B non vuoti, chiamasi PRODOTTO CARTESIANO di A per
B, e si indica con A×B, l’insieme che ha per elementi le coppie ordinate (a, b)
con a  A e b  B, ossia {(a, b) | a  A e b  B}; a e b si chiamano coordinate
del punto (a, b).
Se A e B sono non vuoti e diversi tra loro, risulta:
A × B  B × A,
ossia il prodotto cartesiano di due insiemi non gode della proprietà commutativa, perché (a, b)  (b, a), in quanto (a, b) = (c, d)  a = c e b = d. Si osservi,
pertanto, che {a, b} = {b, a}, mentre (a, b)  (b, a).
Figura 2.
differenza tra A e B
B
A
A–B
B–A
Nel caso in cui B = A, il prodotto A×A si chiama QUADRATO CARTESIANO di
A e si indica con A2.
Si pone per convenzione A × × × 
Se A e B sono finiti, risulta |A × B| = |A||B|.
Ad esempio, se A = {a, b, c} e B = {1, 2}, si ha A × B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1),
(a, 2), (b, 2), (c, 2)}, |A| = 3, |B| = 2, |A × B| = 6 (Figura 3, nell’ipotesi che a < b < c).
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Insiemi
Figura 3.
2



1



0
a
b
c
Ancora: A = {x R | 1 x  4}, B = {y R | 1  y  2}; A × B è costituito
dai punti del rettangolo P1 P2 P3 P4 (Figura 4).
Figura 4.
A = {x  R | 1  x  4}, B = {y  R | 1  y  2}
y
2
1
0
P2
P3
P1
P4
1
2
3
4
x
Dati due insiemi A e B, si chiama UNIONE o SOMMA LOGICA di A e B l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi
A e B (Figura 5); tale insieme si indica con A  B «A unione B» e in simboli si
può scrivere:
A  B = {x | x  A o x  B}.
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Capitolo Primo
Figura 5.
Unione di due insiemi
B
A
Si osservi che nella definizione precedente “o” ha il significato di “vel” (ossia “e/o”) e non di “aut” (disgiunzione esclusiva).
Si chiama INTERSEZIONE o PRODOTTO LOGICO di A e B l’insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B (Figura 6); si indica tale insieme con A  B «A intersezione B» e in simboli si può scrivere:
A  B = {x | x  A e x  B}.
Figura 6.
Intersezione di due insiemi
A
B
AB
Due insiemi A e B si dicono DISGIUNTI quando è
A  B = .
Ad esempio, l’insieme dei numeri pari e dei numeri dispari sono disgiunti.
Le operazioni di unione e intersezione tra insiemi godono delle seguenti
proprietà:  A, B e C
commutativa: A  B = B  A; A  B = B  A;
associativa: (A  B)C = A  (B  C); (A  B)C = A  (B  C);
distributiva: A  (B  C) = (A  B) (A  C);A  (B  C) = (A  B)
 (A  C).
idempotenza: A  A = A; A  A = A;
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Insiemi
assorbimento: A  (A  B) = A; A  (A  B) = A; A  (A  B) e B  (A  B);
(A  B)  A e (A  B)  B;
del complementare o di De Morgan:
A B  A B; A B  A B.
Si chiama DIFFERENZA SIMMETRICA di A e B e si indica con A  B l’unione
della differenza tra A e B e della differenza tra B e A (Figura 7), ossia:
A  B = (A – B)  (B – A).
Figura 7.
Differenza simmetrica
A
B
La differenza simmetrica può definirsi in maniera equivalente anche come la
differenza tra l’unione e l’intersezione di A e B, cioè:
A  B = (A  B) – (A  B).
Esempio
3. A = {a, b, c, d, e}; B = {a, b, e, f, g}; C = {a, b, c} ; D = {e, f, g}; E = {a, e}; si
osservi che C  A e si ha:
A–B
C–D
AB
CD
A
CE
EC
E2
C
AB
= {c, d}; A – C = {d, e} (complemento di C in A);
= {a, b, c};
= {a, b, c, d, e, f, g}; A  B ={a, b, e};
= {a, b, c, e, f, g}; C  D = ;
= A; B   = ;
= {(a, a), (a, e), (b, a), (b, e), (c, a), (c, e)};
= {(a, a), (a, b), (a, c), (e, a), (e, b), (e, c)};
= {(a, a), (a, e), (e, a), (e, e)};
= ;   C = 
= (A – B)  (B – A) = {c, d}  {f, g} = (A  B) – (A  B) =
= {a, b, c, d, e, f, g} – {a, b, e} = {c, d, f, g}.
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Capitolo Primo
Nel caso in cui A e B sono finiti risulta (Teorema dei quattro cardinali):
card (A  B) + card (A  B) = card(A) + card(B).
[1]
Questo teorema può estendersi utilmente considerando un numero k (k  2)
qualunque di insiemi. Per esempio, nel caso di tre insiemi A, B e C, si ha
card (A  B  C) = card(A) + card(B) + card(C) +
 card (A  B)  card (A  C)  card (B  C) + card(A  B C).
Esempio
4. In aula ci sono 60 studenti che parlano l’inglese, 30 studenti che parlano il francese e 10 che conoscono entrambe le lingue. Quanti sono gli studenti che parlano almeno
una delle due suddette lingue straniere?
Si richiede il cardinale dell’unione di tali insiemi. Ricordando, allora, la [1] (Teorema dei quattro cardinali) si ha: card (A  B) = card(A) + card(B ) – card (A  B) e
quindi il numero richiesto è: 60 + 30 – 10 = 80.
Dato un insieme A, si chiama INSIEME DELLE PARTI e si denota con P (A), la
famiglia costituita da tutti i sottoinsiemi di A, inclusi l’insieme vuoto e A stesso.
Si osservi che P () = {} e P (P ()) = {, {}}.
Valgono le seguenti proprietà:
|P (A)| = 2| A |, se A è finito;
P (A  B) = P (A) P (B), P (A  B)  P (A) P (B).
Ad esempio, se A = {a, b, c}, si ha: P (A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b},
{a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Considerando anche l’insieme B = {a, c, d}, risulta
{a, b, d}  P (A  B), ma {a, b, d}  P (A) P (B).
1.3. Applicazioni
Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama APPLICAZIONE  di A in B (o su B)
una corrispondenza che associa ad ogni elemento x  A uno ed uno solo elemento y  B e si scrive:
 : A  B.
Un’applicazione  di A su B si chiama anche FUNZIONE definita in A ed a valori in B e si scrive anche
y = (x)
e y si chiama valore, immagine o trasformato di x mediante la .
Un’applicazione si dice INIETTIVA quando ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ossia,  x, y A, x  y (x)  (y).
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Insiemi
Se l’applicazione  è tale per cui ogni elemento di B è il corrispondente di
qualche elemento di A, allora si parla di applicazione di A SU TUTTO B o di applicazione SURIETTIVA, ossia  b  B,  a  A : (a) = b.
In altri termini, un’applicazione è iniettiva se ogni elemento di B è al più
immagine di un elemento di A ed è suriettiva se ogni elemento di B è immagine
di almeno un elemento di A. Si osservi che le proprietà di una applicazione di
essere iniettiva e suriettiva sono indipendenti, cioè, come si vede dai successivi
esempi, si possono avere tutti e quattro i casi possibili:
1. applicazioni non iniettive e non suriettive: per esempio, A = a, b, c,
B = 1, 2, 3 e  : A  B tale che (a) = (b) = 1 e (c) = 2 (Figura 8);
2. applicazioni iniettive ma non suriettive: per esempio, A = a, b, B = 1, 2, 3
e  : A  B tale che (a) = 1 e (b) = 2 (Figura 9);
3. applicazioni suriettive ma non iniettive: per esempio, A = a, b, c, B = 1, 2
e  : A  B tale che (a) = (b) = 1 e (c) = 2 (Figura 10);
4. applicazioni iniettive e suriettive: per esempio, A = a, b, c, B = 1, 2, 3
e  : A  B tale che (a) = 1, (b) = 2 e (c) = 3 (Figura 11).
Figura 8.
A
B
1
a
b
2
c
3
Figura 9.
A
B
1
a
2
b
3
10
Capitolo Primo
Figura 10.
A
B
a
1
b
c
2
Figura 11.
A
B
a
1
b
2
c
3
Un’applicazione iniettiva di A su tutto B si chiama CORRISPONDENZA BIUtra A e B. Si osservi che in una corrispondenza biunivoca ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A. Se  è un’applicazione
iniettiva e suriettiva di A su B, ossia realizza una corrispondenza biunivoca
tra A e B, associando ad ogni elemento (x)  B l’elemento x  A di cui esso
è immagine tramite la  si ottiene un’applicazione definita in B ed a valori in
A, che si chiama APPLICAZIONE INVERSA di  e si indica con –1. In simboli: –
1
: B  A e,  b B, –1(b) = a | (a) = b. Per esempio l’applicazione  : A 
B, con A = a, b, c, B = 1, 2, 3 e (a) = 3, (b) = 1 e (c) = 2 è una corrispondenza biunivoca e la sua inversa –1 : B  A restituisce –1(1) = b, –1(2) = c
e  –1(3) = a (Figura 12).
NIVOCA
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Insiemi
Figura 12.
A
B

a
1
b
2
c
3
A
a
–1
B
1
b
2
c
3
Si osservi che [–1(b)] = b e –1[(a)] = a,  a  A e  b  B.
Introdotto il concetto di corrispondenza biunivoca, può definirsi rigorosamente il concetto di CARDINALE di un insieme finito. Sia M = {1, 2, 3, ..., m}  N
(insieme dei numeri naturali, vedi Cap. 2), e sia A  ; se  : A  M realizza
una corrispondenza biunivoca tra A e M, l’insieme A si dice finito ed il numero
m degli elementi di M si chiama cardinale di A, ossia card(A) = m.
Esempi
1. L’applicazione  : N  N definita dalla legge (n) = n2, n N, è iniettiva ma non
suriettiva, perché a numeri interi distinti corrispondono quadrati distinti, ma non tutti i
numeri interi sono dei quadrati (ossia, immagini di qualche numero intero tramite la ).
2. L’applicazione  : R  R (R, insieme dei numeri reali, vedi Cap. 2) definita dalla legge (x) = 2x, x R, è iniettiva e suriettiva, perché a numeri reali distinti corrispondono numeri reali doppi distinti e ogni numero reale è immagine di un numero
reale (la sua metà); essa, quindi, realizza una corrispondenza biunivoca tra R e R.
1.4. Relazioni binarie
Dati due insiemi non vuoti A e B, può essere utile associare elementi appartenenti ad A con elementi appartenenti a B, tenendo conto del loro ordine, ossia
considerando coppie (a, b), con a  A e b  B. Per esempio, se A è l’insieme
degli studenti iscritti ad un corso di laurea di questa Università e B è l’insieme
delle materie del suo piano di studi, possiamo associare ad ogni studente le materie di cui ha superato gli esami. Si chiama RELAZIONE di A in B un qualunque
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Capitolo Primo
sottoinsieme R del prodotto cartesiano A  B; si dice in tal caso che «a è in relazione R con b» e si scrive a R b  (a, b)  R  A  B. Si osservi che ogni
applicazione  : A  B è anche una relazione di A in B, ma non viceversa, perché per le relazioni non è richiesto di associare ogni elemento di A ad uno ed
uno solo elemento di B, come invece accade per le applicazioni.
Esempi
1. Siano A = {a, b, c, d} e B = {, }. Una possibile relazione di A in B può essere
la seguente R = {(a, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, )}  A  B.
2. Siano A = {2, 4, 6}e B = {1, 2, 3, 4}; R = {(x, y)  A  B | x > y}={(2, 1), (4, 1),
(4, 2), (4, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4)}  A  B.
Un caso particolarmente interessante di relazione tra insiemi è quello di una
relazione in cui B = A. Per esempio, se A è l’insieme degli studenti iscritti ad un
corso di laurea di questa Università, si voglia associare ad ogni studente gli studenti (di A) che sono nati nella sua stessa città. Allora, dato un insieme A, si
chiama RELAZIONE BINARIA definita in A un qualunque sottoinsieme R di A × A
e, se (a, b)  R, si dice che «a sta nella relazione R con b» e si scrive:
a R b  (a, b)  R  A  A.
Si dice che una relazione binaria R gode della proprietà:
1. RIFLESSIVA, se aRa,  a  A;
per esempio, la relazione di inclusione  tra insiemi (ma non la relazione di inclusione stretta ) definita nell’insieme delle parti di X, perché Y  Y,  Y  P (X).
2. SIMMETRICA, aRb  bRa,  a, b  A;
per esempio, la relazione di perpendicolarità definita nell’insieme delle rette del
piano.
3. ASIMMETRICA, aRb non bRa,  a, b  A;
per esempio, la relazione > definita nell’insieme dei numeri reali.
4. ANTISIMMETRICA, aRb e bRa  a = b,  a, b  A;
per esempio, la relazione  definita nell’insieme dei numeri reali. Si osservi che
la proprietà antisimmetrica può scriversi anche
aRb non bRa,  a, b  A tale che a  b.
5. TOTALE o COMPLETA, se aRb e/o bRa,  a, b  A, con a  b;
6. FORTEMENTE COMPLETA, se aRb e/o bRa,  a, b  A,
ossia, deve valere almeno una delle relazioni aRb o bRa, comunque si confrontano due elementi (distinti o meno) di A. Per esempio, la relazione ≥ definita nell’insieme dei numeri reali è fortemente completa, mentre non è completa la relazione di inclusione  tra insiemi definita nell’insieme delle parti di X, se |X|  2.
Infatti, siano, ad esempio, X = {a, b, c}, Y = {a, b} e Z = {b, c}; risultano né Y  Z
Insiemi
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né Z  Y. Si osservi che la forte completezza implica la riflessività.
7. TRANSITIVA, aRb e bRc  aRc,  a, b, c  A;
per esempio, la relazione di parallelismo definita nell’insieme delle rette del piano.
Di grande interesse applicativo sono alcune relazioni binarie che godono di
particolari proprietà. Se ne ricorda qualcuna.
Una relazione binaria R definita in un insieme A si chiama RELAZIONE DI
EQUIVALENZA in A se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Se
R è una relazione di equivalenza in A, la CLASSE DI EQUIVALENZA C(a) di a  A
è l’insieme di tutti gli elementi di A che sono in relazione con a, cioè
C(a) = b  A | bRa = b  A | aRb.
L’insieme che ha come elementi le classi di equivalenza della relazione R in
A si chiama INSIEME QUOZIENTE e si indica con A/R. Per esempio, si consideri la
relazione di equivalenza R definita sull’insieme A = x, y, w, z come segue:
R = (x, x), (x, w), (y, y), (y, z), (w, x), (w, w), (z, y), (z, z).
In questo caso si ha C(x) = C(w) = x, w e C(y) = C(z) = y, z e quindi
A/R = x, w,y, z.
Esempi
3. Sia A l’insieme degli abitanti di una città. L’insieme
R = {(a, b) | a è fratello di b con a, b  A}
è una relazione binaria definita in A che gode della simmetria e, in generale, ma non sempre, della transitività (infatti, è sufficiente avere un solo genitore in comune per essere
fratelli); pertanto, essa non è una relazione di equivalenza.
4. Sia A l’insieme delle rette del piano euclideo, si dice che:
aRb con a, b  A  a | | b (a parallela a b).
Si verifica facilmente che R è una relazione d’equivalenza in A, ammettendo che una
retta è parallela a se stessa. Data una retta a, la sua classe di equivalenza è data da tutte le
rette del piano ad essa parallele. L’insieme quoziente è dato dalla famiglia di tutti gli insiemi di rette parallele fra di loro. Si osservi che la classe di equivalenza di una retta a individua una direzione nel piano (la direzione della retta a) e che pertanto l’insieme quoziente di R su A è dato dall’insieme di tutte le direzioni nel piano.
5. Sia A l’insieme dei libri della mia biblioteca, si dice che:
aRb con a, b  A a e b sono libri della stessa materia.
Anche questa R è una relazione d’equivalenza in A. Dato un libro a  A, la sua
classe di equivalenza è data dall’insieme dei libri della stessa materia di a. L’insieme
quoziente è dato dalla famiglia di tutti gli insiemi di libri della stessa materia, ossia da tutte le materie rappresentate da almeno un libro della biblioteca.
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Capitolo Primo
Con riferimento a questo ultimo esempio, si osservi che abbiamo suddiviso i
libri in base alle rispettive materie.
Si dice che una famiglia (3) Fdi sottoinsiemi non vuoti di un insieme A costituisce una PARTIZIONE di A, se ogni elemento di A appartiene ad uno ed uno
solo elemento di F. Gli elementi di F si chiamano anche CLASSI della partizione. Nell’esempio precedente, le classi della partizione corrispondono alle diverse materie cui appartengono i libri della biblioteca.
Formalmente, dette Ai  A le classi della partizione, si ha:
Ai  , i;
i, k, ik, Ai  Ak = ;
i Ai  A.
Teorema 1.4.1: Una partizione di A definisce una relazione d’equivalenza in A
e viceversa; più precisamente,
– data la partizione di A F = A1, A2,..., An, la relazione R tale che aRb se
a e b appartengono alla stessa classe della partizione è una relazione di
equivalenza,
– data una relazione di equivalenza R in A, l’insieme quoziente è una partizione di A.
Infatti, ponendo aRb con a, b  A quando a e b stanno in una stessa classe
della partizione, si verifica facilmente che R è una relazione d’equivalenza in A
(perché, a, b, c  A, a sta nella stessa classe di a, e quindi R è riflessiva; se a
sta nella stessa classe di b, allora anche b sta nella stessa classe di a, e quindi R
è simmetrica; se a sta nella stessa classe di b e b nella stessa classe di c, allora
anche a sta nella stessa classe di c, e quindi R è transitiva).
Viceversa, sia R una relazione d’equivalenza in A. Ad ogni a  A si fa corrispondere la sua classe di equivalenza C(a), l’insieme cioè di tutti gli elementi di A che sono in relazione con a. Si ottiene in questo modo una famiglia
F = {C(a), a  A} che è una partizione di A. Infatti,  a  A a  C(a) in quanto
aRa per la proprietà riflessiva, e quindi i sottoinsiemi C(a) sono non vuoti. Inoltre, se esistesse c  A | c  C(a) C(b) , si avrebbe cRa e cRb e, per la
simmetria e la transitività di R, si avrebbe anche aRb e quindi C(a) = C(b), ossia c non potrebbe appartenere a classi diverse.
Esempi
6. Sia A l’insieme degli studenti iscritti ad un corso di laurea di questo Ateneo. Si
definisca la seguente relazione R in A:
(3)
Sinonimo di insieme o collezione o classe.
Insiemi
15
 a, b  A, aRb se e solo se lo studente a ha superato lo stesso numero di esami
dello studente b.
La relazione R è riflessiva, simmetrica e transitiva e quindi è una relazione di equivalenza. Se lo studente a ha superato 4 esami, C(a) è la classe degli studenti di A che
hanno superato esattamente 4 esami.
7. Dati due insieme A e B, sia  un’applicazione di A su B. L’insieme
R = {(a, b) | a  = b  ; a, b  A}
è una relazione d’equivalenza definita in A.
Se A = {a, b, c, d, e}, B = {f, g}, a  = b  = f e c  = d  = e  = g, si ha:
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (c, d), (d, c), (c, e), (e, c), (d, e),
(e, d)}, A/R = {{a, b}, {c, d, e}}.
8. Sia A = {a, b, c, d, e, f, g). Le seguenti famiglie di sottoinsiemi (classi) di A costituiscono esempi di partizioni di A:
8.1. F 1 = {{a, b}, {c, d, e}, {f, g}};
8.2. F 2 = {{a}, {b, d, f}, {c, e, g}};
8.3. F 3 = {{a, b, d, f}, {c, e, g}}.
Si osservi che in base al Teorema 1.4.1 alle partizioni F1, F2, F3 corrispondono
rispettivamente le seguenti relazioni di equivalenza R1, R2 e R3:
8.4. R1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (c, d), (c, e), (d, c), (d, d), (d, e), (e, c),
(e, d), (e, e), (f, f), (f, g), (g, f), (g, g)};
8.5. R2 = {(a, a), (b, b), (b, d), (b, f), (c, c), (c, e), (c, g), (d, b), (d, d), (d, f), (e, c),
(e, e), (e, g), (f, b), (f, d), (f, f), (g, c), (g, e), (g, g)};
8.6. R3 = {(a, a), (a, b), (a, d), (a, f), (b, a), (b, b), (b, d), (b, f), (c, c), (c, e), (c, g),
(d, a), (d, b), (d, d), (d, f), (e, c), (e, e), (e, g), (f, a), (f, b), (f, d), (f, f), (g, c), (g, e), (g, g)}.
Una relazione binaria R definita in un insieme A si chiama RELAZIONE DI
ORDINAMENTO PARZIALE in A se gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e
transitiva.
Un insieme A si chiama PARZIALMENTE ORDINATO se in esso è definita una
relazione di ordinamento parziale R; in questo caso, invece di aRb, con a, b  A,
si suole scrivere a  b e si legge «a contenuto in b» o «a precede b» o «a è minore o uguale a b».
Un insieme A parzialmente ordinato si chiama TOTALMENTE ORDINATO se la
relazione R gode anche della proprietà 6, per cui
 a, b  A  a  b o b  a.
Esempio
9. Dato un insieme A, sia P (A) il suo insieme delle parti, ossia l’insieme costituito
da tutti i sottoinsiemi di A.
16
Capitolo Primo
L’insieme P (A), |A|  2, rispetto alla relazione binaria:
R = {(X, Y) | X  Y con X, Y  P (A)}
risulta parzialmente ordinato, in quanto R è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, mentre P (A) non è totalmente ordinato, perché due elementi di P (A) non sono sempre
confrontabili tra loro, come precedentemente osservato.
Una relazione binaria R definita in un insieme A si chiama PREORDINE COM(o TOTALE) in A se essa è riflessiva, fortemente completa e transitiva. Se
essa è solamente riflessiva e transitiva, si chiama, invece, PREORDINE PARZIALE.
PLETO
Esempi
10. Si supponga che una commissione voglia costruire una graduatoria degli studenti appartenenti ad una certa classe A in base ai voti ottenuti da essi nell’esame di matematica secondo la seguente regola:
– lo studente a precede in graduatoria lo studente b se a ha in matematica un voto
almeno tanto buono quanto quello ottenuto da b.
Sarà, allora, sempre possibile confrontare due studenti qualunque a, b  A; sarà anche possibile che essi occupino lo stesso posto in graduatoria (se hanno lo stesso voto:
ex aequo o pari merito) e, banalmente, vale la transitività; la relazione binaria (graduatoria) così costruita è riflessiva, fortemente completa e transitiva e, quindi essa è un
preordine completo.
11. Si immagini, adesso, di voler costruire la graduatoria degli studenti di A in base
ad i voti ottenuti da essi negli esami di matematica e di economia applicando la seguente regola:
– lo studente a precede in graduatoria lo studente b se e solo se a ha conseguito un
voto almeno tanto buono quanto quello di b in entrambi le materie.
Pertanto, se ad esempio a ha avuto un voto più alto di quello di b in matematica ma
più basso in economia, né a precede b, né b precede a in graduatoria, ma essi risultano
non confrontabili; poiché valgono la riflessività e la transitività (ma non la completezza), tale relazione binaria è un preordine parziale.
1.5. Strutture algebriche
Dicesi OPERAZIONE ALGEBRICA BINARIA definita su un insieme A una applicazione di A  A in A; in generale l’elemento di A che corrisponde alla coppia
ordinata (a, b)  A2 si indica con a  b (4). In altri termini, ad ogni coppia (a, b)
(4)
Col simbolo «» s’intende un’operazione del tutto arbitraria che, in particolare, può coincidere con la somma (+) o col prodotto (•).
Insiemi
17
di elementi appartenenti ad A si fa corrispondere un elemento (ed uno solo) dello stesso insieme A.
Un GRUPPOIDE è un insieme non vuoto con un’operazione algebrica binaria 
definita su di esso.
Un SEMIGRUPPO è un gruppoide G nel quale si ha:
(a  b)  c = a  (b  c),  a, b, c,  G (proprietà associativa).
Un GRUPPO G è un semigruppo nel quale:
1. esiste e  G, detto ELEMENTO UNITÀ o ELEMENTO NEUTRO, tale che:
a  e = e  a = a,  a G
2.  a  G, a  G, detto INVERSO di a, tale che:
–1
a  a–1 = a–1  a = e.
Si osservi che l’elemento neutro e è unico. Infatti se per assurdo esistesse un
altro elemento neutro f  G si avrebbe f = e  f = e, dove la prima eguaglianza
segue dal fatto che e è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è anche f.
Valgono le seguenti proprietà dell’elemento inverso:
2.1.  a  G esiste un solo inverso: infatti, se per assurdo a  G avesse due
inversi, a–1 e b, allora si avrebbe anche, per definizione, a  b = e, e quindi:
a–1 = a–1  e = a–1  (a  b) = (a–1  a)  b = e  b = b, avendo dapprima sostituito e (elemento neutro, per cui a–1  a = e) con a  b e quindi applicato la proprietà associativa;
2.2.  a  G, (a–1)–1 = a: infatti, per definizione l’inverso di a–1, cioè (a–1)–1,
deve soddisfare l’eguaglianza (a–1)–1  a–1 = a–1  (a–1)–1 = e, da cui, ricordando
che a  a–1 = a–1 a = e, si conclude che (a–1)–1 = a;
2.3. e–1 = e: infatti, per definizione l’inverso di e, cioè e–1, deve soddisfare
l’eguaglianza e  e–1 = e–1  e = e, per cui e è l’inverso di e se e  e = e, che è
vera in quanto a  e = a  a G e quindi anche per a = e;
2.4.  a, b  G, (a  b)–1 = b –1  a–1: infatti, per definizione l’inverso di a  b, cioè
(a  b)–1, deve soddisfare l’eguaglianza (a  b)–1  (a  b) = (a  b)  (a  b)–1 = e, per
cui per dimostrare che b–1  a–1 è l’inverso di a  b occorre provare che (b–1  a–1) 
(a  b) = (a  b)  (b–1  a–1) = e. Si ha:
b–1  (a–1  a)  b = b–1  e  b = (b–1  e)  b = b–1  b = e.
In maniera analoga si prova che (a  b)  (b–1  a–1) = e.
Un gruppo G si chiama COMMUTATIVO o ABELIANO se
a  b = b  a,  a, b  G (proprietà commutativa).
Un ANELLO è un insieme A non vuoto con due operazioni algebriche binarie
definite su esso, dette rispettivamente somma (+) e prodotto (•), nel quale:
18
Capitolo Primo
1. A, rispetto a (+), è un gruppo abeliano il cui elemento unità si indica con 0
(zero) e l’inverso di un a  A con – a (opposto);
2. a • (b + c) = a • b + a • c ; (a + b) • c = a • c + b • c  a, b, c  A.
Un CORPO K è un anello in cui l’insieme K – {0}, rispetto a (•), è un gruppo
il cui elemento unità si indica con 1 (uno) e l’inverso di un a  K con a–1.
Dicesi CAMPO un corpo K nel quale si ha:
a  b = b  a,  a, b  K.
Esempi
1. L’insieme A = {a, b, c} rispetto all’operazione «» definita dalla seguente tabella:

a
b
c
a
b
a
c
b
a
c
b
c
c
b
a
(leggasi: a  a = b; a  b = a; a  c = c;
b  a = a; b  b = c; b  c = b; c  a = c;
c  b = b; c  c = a)
è un gruppoide, ma non un semigruppo in quanto non vale la proprietà associativa, perché, ad esempio, (a  b)  c = a  c = c mentre a  (b  c) = a  b = a.
2. L’insieme G = {e, b, c} rispetto all’operazione «» definita dalla seguente tabella:

e
b
c
e b c
e b c
b c e
c e b
è un gruppo abeliano con elemento unità e e con e–1 = e, b–1 = c, c–1 = b.
3. L’insieme A = {0, b, c} rispetto alle operazioni (+) e (•) definite dalle seguenti
tabelle:

0
b
c
è un anello.
0
0
b
c
b
b
c
0
c
c
0
b
•
0
b
c
0
0
0
0
b
0
c
b
c
0
b
b
19
Insiemi
4. L’insieme K = {0, 1, a} rispetto alle operazioni (+) e (•) definite dalle seguenti
tabelle:

0
1
a
0
0
1
a
1
1
a
0
a
a
0
1
• 1
1 1
a a
a
a
1
è un campo.
Importanti esempi di strutture algebriche si vedranno nei capitoli 2, 3 e 8.