Corso di Risk Management S

Corso di Risk Management S
Marco Bee
[email protected]
Dipartimento di Economia
Università di Trento
Anno Accademico 2007-2008
Struttura del corso
I
Il corso può essere suddiviso come segue:
1. presentazione di alcuni concetti, matematici e finanziari,
indispensabili per il seguito;
2. alcuni elementi di teoria delle opzioni: il modello binomiale
ad un periodo, la formula di Black & Scholes, le Greche;
3. concetti di base di risk management;
4. rischio di mercato;
5. rischio di credito.
I
In generale, l’accento è su metodi e tecniche, più che
sull’applicazione a specifici strumenti.
Un po’ di storia
I
Prima del 1973 la finanza era affrontata con concetti e
strumenti “contabili” (cioè aritmetici, o almeno non
stocastici); eccezioni:
I
I
teoria del portafoglio di Markowitz;
Capital Asset Pricing Model.
I
La disciplina nasce con i lavori di Black & Scholes (1973) e
Merton (1973).
I
Essi sono i primi a determinare il prezzo di un derivato
tramite il principio di non arbitraggio, ipotizzando una
precisa evoluzione stocastica del sottostante.
I
Da questo momento gli strumenti probabilistici assumono
un ruolo di primo piano in finanza.
Testi di riferimento
I
Hull, J.C. (2005), Options, Futures, and Other Derivatives,
London, Prentice-Hall.
I
McNeil, A.J., Frey, R. e Embrechts, P. (2005),
Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques,
and Tools, Princeton Series in Finance, Princeton,
Princeton University Press.
I
Bluhm, C., Overbeck, L. e Wagner, C. (2002), An
Introduction to Credit Risk Modeling, New York, Chapman
and Hall.
I
Ngai, H.C. e Wong, H.Y. (2007), Simulation Techniques in
Financial Risk Management, New York, Wiley.
I
Sironi, A. (2005), Rischio e Valore nelle Banche, Milano,
EGEA.
Rendimenti
I
Sia Pt il prezzo di un’attività finanziaria; la variazione
percentuale di prezzo (rendimento netto) è data da
Rt−1,t =
I
Pt − Pt−1
;
Pt−1
il rendimento lordo è dato da
l
Rt−1,t
=
I
Pt
;
Pt−1
il rendimento logaritmico è dato da
Pt
l
rt−1,t = log(Rt ) = log
= log(Pt )−log(Pt−1 ) = pt −pt−1 ,
Pt−1
dove pt = log(Pt ).
Rendimenti (continua)
I
Teorema 1. Il rendimento netto è un’approssimazione
lineare del rendimento logaritmico.
I
Teorema 2. Il rendimento logaritmico relativo a n periodi è
dato da
r0,n = log(Pn /P0 ) = r0,1 + r1,2 + · · · + rn−1,n .
Distribuzione lognormale
I
P ha distribuzione lognormale di parametri a e b2 se
P = er = ea+bZ ,
(1)
dove Z ∼ N(0, 1) e quindi r ∼ N(a, b2 ).
I
Dalla (1) segue che log(P) = r , dunque il logaritmo
naturale di una lognormale è distribuito normalmente.
I
Quando possibile, conviene sfruttare questa caratteristica
per le procedure inferenziali e di simulazione.
I
Valore atteso e varianza della (1):
b2
E(P) = ea+ 2 ,
2
2
var (P) = e2a+2b − e2a+b .
(2)
Distribuzione lognormale
a = 0, b = 1
a = 3, b = 1
f
f
0.000
0.0
0.0
0.1
0.5
0.2
0.010
0.3
f
1.0
0.4
0.020
0.5
1.5
0.6
0.030
a = −1, b = 1
1
2
3
4
0
2
4
6
8
0
20
40
60
x
x
x
a = 6, b = 1
a = 0, b = 2
a = 3, b = 2
80
100
0
500
1000
x
1500
0.00
0.02
0.04
f
f
0.0
0.0000
0.5
0.0005
f
0.0010
1.0
0.06
0.0015
1.5
0
0
5
10
x
15
0
50
100
x
150
Capitalizzazione
I
Si supponga di investire x$ per n anni al tasso annuo
(netto o logaritmico) R, con capitalizzazione solo alla fine
dell’anno. Allora il valore futuro dopo n anni è
FVn = x(1 + R)n $.
I
Se la capitalizzazione ha luogo m volte all’anno si ottiene:
R nm
(m)
FVn = x 1 +
$.
m
I
Quando m → ∞, otteniamo la capitalizzazione continua:
R nm
c
FVn = lim x 1 +
$ = xeRn $.
m→∞
m
Sconto
I
Osservazione. Passando dalla capitalizzazione annuale a
quella continua, il valore futuro (sul medesimo orizzonte
temporale) aumenta progressivamente.
I
Le corrispondenti formule di sconto sono:
x=
FVn
$;
(1 + R)n
(m)
x=
x=
FVn
$;
R nm
m
FVnc · e−Rn $.
1+
Il concetto di portafoglio
I
Un portafoglio di N attività è costruito come segue.
I
Sia ri,t+1 il rendimento logaritmico dell’attività i nel periodo
[t, t + 1]; sia r = (r1 , . . . , rN )0 .
I
I pesi delle attività nel portafoglio sono w = (w1 , . . . , wN )0 .
I
E(r ) = µ;
I
var (r) = Σ.
Sia rw = w 0 r il rendimento del portafoglio. La sua media e
varianza sono
E(rw ) =
N
X
def
wi µi = w 0 µ = µw ;
i=1
var (rw ) =
N X
N
X
i=1 j=1
def
2
.
wi wj σij = w 0 Σw = σw
Il concetto di portafoglio
I
Esempio (portafoglio di rendimenti normali indipendenti ed
equidistribuiti). Sia r ∼ NN (µ, Σ), dove µ = (µ, . . . , µ)0 e
Σ = diag(σ 2 , P
. . . , σ 2 ). Allora rw ∼ N(w 0 µ, w 0 Σw ), ovvero
2
rw ∼ N(µ, σ 2 N
i=1 wi ).
I
Esempio (portafoglio di rendimenti normali indipendenti).
Sia r ∼ NN (µ, Σ), dove µ = (µ1 , . . . , µN )0 e
Σ = diag(σ12 , . . . , σN2 ). Allora rw ∼ N(w 0 µ, w 0 Σw ), ovvero
P
PN
2 2
rw ∼ N( N
i=1 wi µi ,
i=1 wi σi ).
I
Esempio (portafoglio di rendimenti normali). Sia
r ∼ NN (µ, Σ), dove µ = (µ1 , . . . , µN )0 . Allora
0
0
rw ∼ N(w
), ovvero
PNµ, w ΣwP
P
2 2
rw ∼ N( i=1 wi µi , N
i=1 wi σi + 2
i>j wij σij ).
I
La matrice di covarianza deve essere definita positiva per
essere sicuri che qualsiasi portafoglio abbia varianza
positiva!
Il CAPM
I
I
Il Capital Asset Pricing Model è un modello di equilibrio dei
rendimenti delle attività finanziarie rischiose. Si può
dimostrare che
cov (Ri , RM )
E(Ri ) = rrf +
(µM − rrf ),
var (RM )
!
σiM
µi = rrf +
(µM − rrf );
2
σM
2 sono il
dove rrf è il tasso di interesse risk-free, µM e σM
valore atteso e la varianza del rendimento del portafoglio di
mercato.
Il beta per l’i-esima attività è dato da
βi =
cov (Ri , RM )
,
var (RM )
cosicché il CAPM risulta essere
µi = rrf + βi (µM − rrf ).
Il CAPM
I
Sia ora rpi = βi (µM − rrf ); allora il CAPM diventa
µi = rrf + rpi ,
che dà una misura esplicita del premio al rischio.
I
Il CAPM sposta la nozione di rischio da σi a βi : per
un’attività incorrelata col mercato (βi = 0) il rendimento, in
equilibrio, è uguale a rrf , perché il suo rischio può essere
completamente diversificato.
I
Il beta di un’attività dà una misura del suo rischio non
diversificabile.
Il CAPM
I
Si noti che l’equazione del CAPM può essere riscritta
come un modello di regressione:
E(Ri |RM ) − rrf = βi (RM − rrf )
Ri − rrf = βi (RM − rrf ) + i ,
dove i ∼ N(0, σ2i ).
I
La covarianza fra due attività è interamente determinata
dai rispettivi beta:
2
cov (Ri − rrf , Rj − rrf ) = βi βj σM
Il CAPM
I
cov (i , RM ) = 0
I
2 + σ 2 ; σ 2 è una misura del rischio
var (Ri ) = βi2 σM
i
M
sistematico, mentre σ2i è una misura del rischio specifico
(o idiosincratico).
I
L’extra-rendimento sull’attività i-esima è collegato alla
covarianza dei rendimenti fra l’attività i ed il portafoglio di
mercato. Un’attività con beta uguale ad uno è rischiosa
come il mercato; con beta maggiore di uno è più rischiosa
del mercato; con beta minore di uno è meno rischiosa del
mercato.