Prima lezione 18/10/2016 Derivate e differenziali
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19/10/16 Primalezione 18/10/2016 Riepilogo Derivateedifferenziali • Lavelocitàistantaneacorrispondeformalmenteconladefinizionedelladerivataprimadiuna funzionef(x)nelpuntox0(pernoilaposizionex(t)all’istantet0): • LecondizionimatemaEchediesistenzadellimitesonosempreverificateinFisica. Laderivataèunafunzionef’(x),ilsuovalorecoincideconlapendenzadellareKatangentealla curvapert=ti.Ilsegnodelladerivataindicalavariazionedif(x): • f’>0crescente • f’<0decrescente • f’=0stazionaria(estremioflessi) 1 19/10/16 Derivateedifferenziali • • • Dalladefinizionedelladerivatasipossonoricavarediverseregolediderivazione;in parEcolarel’operazionediderivazioneèlineare.Lealtreproprietàmostrateintabellasono facilmentededucibili,cosìlederivatedelleprincipalifunzionichesiincontranonelle applicazioniinFisica(polinomi,potenze,funzionitrigonometriche,esponenzialielogaritmi). UnconceKomatemaEcochetrovalargaapplicazioneinFisicaèquellodidifferenzialediuna funzionechevienedefinitocomeilprodoKodellasuaderivataperl’incrementoinfinitesimo dellavariabileindipendente: LanotazionediLeibnitzevidenzial’aspeKointuiEvodiquestoconceKocomevariazione piccoladellafunzioneperunavariazioneinfinitesimadellavariabileindipendente.Avolte succededioperareconidifferenzialicomesefosserodeinumeri(un’operazione matemaEcamentepocoortodossaaprimavista)mamoltovicinaalsignificatofisicodi piccolevariazionidellequanEtàemoltouElenelleschemaEzzazionideifenomenifisici.Per esempioèmoltonaturalescrivereunospostamentopiccolocome: Derivateedifferenziali 2 19/10/16 Velocitàederivazione • LedefinizionematemaEcheprecedenEpermeKonodiinterpretarelavelocitàistantanea come: doveabbiamousatoanchelanotazionediNewtonperlederivaterispeKoaltempo.Inquesta associazionenonsidevedimenEcareilcontestofisicodellimiteΔt→0,anchesequestonon rappresentaquasimaiunproblemanell’ambitodellameccanicaclassica. • Ilvalorenumericodelladerivatacoincideconlatangentedell’angolochelareKatangente allacurvaformaconl’assedelleascisse;elavelocitàistantaneahalostessosignificatonel diagrammaorario.Ilsegnodelladerivataindicailsensodivariazionedellafunzione>0 crescentee<0decrescente);eperlavelocitàindicheràilversodellospostamento;gli estremi(=0)corrispondonoavelocitànulla. • IlconceKodivelocitànullaèpiùampiodiquellodell’esperienzacomune,nellaqualesipensa soloasituazionistaEche.Unpuntomobilepuòfermarsiancheperun“soloistante”,come peresempiounsassolanciatoversol’altocherallentasifermaeriscendeocomeunpeso cheoscillaappesoadunamollae,quandoinverteladirezionedelmoto,passaperunpunto incuilavelocitàsiannulla. Velocitàederivazione Lavelocitàistantaneacomederivatadella leggeoraria 3 19/10/16 Relazionependenzaderivata • • • • • f’>0crescente f’<0decrescente f’=0stazionaria(estremioflessi) Integrazione LeespressioniprecedenEcorrispondonoalladefinizionedellasommaintegralediuna funzionerealesuunintervallo[a,b](integraledefinito): checorrispondegeometricamenteall’areacompresafralacurvael’assedelleascisse. AncheinquestocasolecondizionimatemaEchediesistenzadellimitesonosempre verificateinFisica. Siaunafunzionef(x),siofeneunasuaprimiEvaF(x),ointegraleindefinito,tramite l’operazioneinversadelladerivazione: erisultadefinitaamenodiunacostantearbitraria. QuestafunzionepermeKedicalcolareesplicitamente gliintegralipoiché: 4 19/10/16 Integrazione PertrovarelaprimiEvadiunadatafunzionesisfruKanoleregoleinversedelladerivazionenei casipiùsempliciriportaEintabella.QuestaoperazionepuòesseremoltodifficileinmolEcasi,e rappresentaunodeiproblemipiùdifficilicomesannoglistudenEimpegnaEnegliesamidiAnalisi matemaEca!EsistonoalcunetecnichecomelasosEtuzionedivariabileol’integrazioneperparE perriportarsiinsituazionenote,manonvièdubbiocheilcalcolodegliintegraliindefiniErichiede una buona dose di ingegno. Esistono anche delle tavole di integrali o dei moderni pacchef somware che effeKuano calcolo simbolico compreso l’integrazione indefinita. In alcuni casi, come per esempio la celebre funzione di Gauss f(x)=exp(-x2), succede che la primiEva non è esplicitabile con funzioni elementari e per calcolarne l’integrale definito si usa la definizione di sommasfruKandoeventualmenteopportunimetodinumerici. IlprimoprincipiooPrincipiod’inerzia LageneralizzazionedelrisultatocosEtuisceilprimoprincipiooprincipiod’inerzia: UncorpononsoggeKoaforzenonsubiscevariazionidivelocità,restafermoseerain unostatodiquiete(V=0)oppuresimuovedimotoreflineouniforme. Una forza nulla significa: il corpo è isolato oppure le forze ci sono ma la risultante è nulla.UncasochesirealizzanellapraEcaconbuonaapprossimazione,peresempionei pianisenzaa/rito. 5 19/10/16 IlSecondoPrincipiooleggedi Newton Ilprincipiod’inerziacihaindicatoqualesistemadiriferimentousareperstudiareilmoto.Newton analizzò la relazione quanEtaEva fra le forze ed il moto; aKraverso numerosi sperimenE, alcuni anchemoltosempliciedintuiEvi,osservòchevieraunarelazionefralaforzaagentesuuncorpo el’accelerazionedelmotodelcorpo: F≈a e questa costante di proporzionalità era una caraKerisEca intrinseca del corpo deKa massa inerzialemi: F=mi*a deKa,secondoprincipiooleggediNewton,cheèilrisultatopiùimportantedelladinamica. La relazione precedente è un principio perché lega due grandezze indipendenE forza ed accelerazione;inrealtàsiassumechelaforzamisuratastaEcamenteconEnuiadaverelestesse caraKerisEchequandoilcorpoèinmoto. TuKavia in molE casi le forze in gioco non sono scindibili dal moto (per esempio la resistenza oppostadaunfluido);allorailsecondoprincipioèunmodo,notal’accelerazione,perdefinirela forzaagentesulpunto. LaLeggediNewtonvieneassuntaeseneverificanoleprevisioniconirisultaEsperimentali;per questoavoltesidice,conunleggeroabuso,cheilsecondoprincipiodefiniscelagrandezzaforza. Ilterzoprincipiooleggediazionee reazione Quando applichiamo una forza, per esempio spingiamo contro un muro, si osserva l’instaurarsi di una forza di reazione, senEamo il muro che spinge su noi! Newton verificò questa semplice osservazione per numerosi altri fenomeni, fino a formularla comeleggegeneraledelladinamica.Ilterzoprincipiooleggediazioneereazione:se uncorpoAesercitaunaforza(azione)suBalloraBesercitasuAunaforza(reazione) ugualeecontrariaedireKalungolacongiungenteiduepunE: 6 19/10/16 Laforzapeso Ilpesorappresentalaforzapiùnotadell’esperienza,inprossimitàdellasuperficieterrestre siosservachetuficorpisonoaKrafversoilbasso.QuestaforzaPrisultaproporzionalead unacaraKerisEcadelcorpomg,lamassagravitazionale,chesipuòdefinireoperaEvamente tramiteunabilanciaassumendo,dopoaveredefinitoun’opportunaunitàcampione,masse ugualinellaconfigurazionediequilibrio.Misurandoilpesoinluoghidiversi(peresempioin alEtudine)siosservachemg(misurataconlabilancia)èinvariatamentrel’indicazionedel dinamometrocambia,possiamodunquescrivere: dovegèunveKore(lacuidirezionedefiniscelaverEcale),deKoaccelerazionedigravità, indipendentedalcorposeppuredebolmentedipendentedalluogo,inparEcolaredalla quota. 7
