ANALISI MATEMATICA II, Corso di laurea triennale in Matematica

ANALISI MATEMATICA II, Corso di laurea triennale in Matematica, aa 2011/12
Perché il determinante “misura” le cose
(spiegazione gentilmente fornita dal Prof. Riccardo Salvati Manni)
Misura di un parallelepipedo. n vettori linearmente indipendenti v1 , . . . , vn individuano
un parallelepidedo R. La misura di tale parallelepipedo (detta area se n = 2 e volume se
n = 3) si ottiene moltiplicando le lunghezze di opportuni vettori ortogonali u1 , . . . , un , che si
ottengono applicando il procedimento di Gram Schmidt ai vettori v1 , . . . , vn .
Procedimento di Gram Schmidt. Poniamo u1 = v1 . u2 si ottiene sottraendo a v2 la sua
proiezione su u1 . Piu’ precisamente poniamo u2 = v2 − < v2 , u1 > |uu11|2 . In tal modo, u2 risulta
ortogonale a u1 . Si procede cosi’ di seguito, definendo ui sottraendo a vi le sue proiezioni su
u1 , · · · , ui−1 . Si verifica facilmente che la misura del parallelepipedo coincide con il prodotto
delle lunghezze dei vettori ui 1 :
|R| = |u1 | · |u2 | · · · |un |.
D’ altra parte, denotando con U e V le matrici che hanno per righe i vettori ui e vi rispettivamente, risulta per costruzione det U = det V. Questo segue facilmente ricordando che ui − vi
e’ combinazione lineare dei vettori u1 , . . . ui−1 . Deduciamo quindi
|R| = |u1 | · |u2 | · · · |un | = |det U | = |det V |.
Conto esplicito in dimensione due. Siano v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 ).
parallelogramma R di vertici O, v, w, v + w è |R| = |v| · |w| · |sinθ|.
Denotiamo con M la matrice che ha per righe v e w. Si ha
L’area del
(det M )2 = (v1 w2 − v2 w1 )2 = (v12 w22 + v22 w12 − 2(v1 w2 v2 w1 ) =
(v12 + v22 )(w12 + w22 ) − (v1 v2 + w1 w2 )2 = ||v||2 · ||w||2 − < v, w >2 =
||v||2 · ||w||2 (1 − cos2 θ) = ||v||2 · ||w||2 · sin2 θ = |R|2 .
Ossia abbiamo ridimostrato |R| = |det M |.
Prodotto vettoriale. Ricordiamo ora la definizione di prodotto vettoriale v ∧ w = (v1 w2 −
v2 w1 )~k, dove ~k e’ il vettore normale al piano di v e w. Osserviamo allora che l’ area di R si
puo’ anche esprimere come |R| = |det M | = |v ∧ w| = |det(v, w)|. Si potrebbe dimostrare che
tale identita’ rimane vera anche in dimensione tre, dove il prodotto vettoriale tra due vettori
in R3 è definito formalmente da


~i ~j ~k
v ∧ w =  v1 v2 v3 
w1 w2 w3
Notiamo infine che tale definizione coincide con la precedente se v3 = w3 = 0.
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In dimensione due stiamo dicendo che Area = base per altezza. Benche’ tale identita’ risulta intuitiva,
ricordiamo che la misura di R e’ definita tramite la teoria di Peano Jordan, ossia “contando” quadratini. Quindi
tale formula, anche in dimensione due, andrebbe dimostrata, e non e’ cosi’ ovvia come dichiarato!