matrici e determinanti - Università degli studi di Bergamo

Università di Bergamo
Primo anno di Ingegneria
Anno accademico 2016–2017
Foglio 5
Geometria e Algebra Lineare
Matrici e determinanti
Esercizio 5.1. Calcolare (quando è possibile) A + B, AB e BA nei seguenti casi.
1
2 3
−1 2
1
(a)
A=
e B=
;
0 −1 2
2 0 −2
A=
(b)
3 −1
x
0
e B=

(c)

3 −1
0 
A= 5
−2
3
e B=
−2
a
1 −2
;
1 2
0
−3 1 −1
.
Esercizio 5.2. Trovare coppie di matrici (A, B) tali che A e B non siano nulle ma il
prodotto AB invece sì.
Esercizio 5.3. Data la matrice
A=
1 1
0 2
,
determinare tutte le matrici B tali che AB = BA.
Esercizio 5.4. Date

2
 6
A=
 8
4
le matrici

−3
4
5
−5 −2
2 

−4 −4 −2 
2 −4
1

e
calcolare det A, det B, det(2B) e det (B 2 ).
1
1
 1
B=
 1
1

1 1 1
2 3 4 
,
4 9 16 
8 27 64
Esercizio 5.5. Si consideri la matrice


−4
3
12
M =  18 −7 −36 
−6
3
14
Determinare i valori di λ tali che det(λI3 − M ) = 0.
Esercizio 5.6. Si considerino i vettori
v 1 = (1, 0, k)
v 2 = (1, 1, 0)
v 3 = (k, 1, k)
a) Per quali valori del parametro k i tre vettori sono complanari?
b) Per quali valori del parametro k il volume del parallelepipedo formato dai tre
vettori è 8?
Esercizio 5.7. Si considerino le matrici
cos α − sin α
Aα =
.
sin α cos α
a) Dimostrare che la trasformazione
x
y
7→ Aα
x
y
rappresenta una rotazione di un angolo α in senso antiorario.
b) Dimostrare che (Aα )−1 = A−α .


1 1 1
Esercizio 5.8. Mostrare che la matrice A =  0 1 1  è invertibile e calcolarne
0 0 1
l’inversa.
n(n+1)
1 n
n
2
Calcolarne la potenza n-esima per ogni n ∈ Z (risposta: A = 0 1 n
, che si può
0 0
dimostrare per induzione).
Esercizio 5.9. Per quali valori dei parametri a e b le matrici


1 1 a
a b
A=
e B= 0 1 1 
b a
a 0 a
sono invertibili? Calcolare la loro inversa quando esiste.
2
1